Polytechnique Mathématiques 2 MP 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

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BanqueX-ENS Année2007 FilièreMP MatièreMathématiques

Annales X-ENS MP Mathématiques X-ENS MP 2007 MP Mathématiques Mathématiques 2007

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Relations de commutation entre endomorphismes

Le problème décrit des triplets d'endomorphismes (K, E, F) d'un espace vectoriel complexe satisfaisant certaines relations de commutation. La première partie étudie les endomorphismes commutant à une famille donnée et les sous-espaces stables associés, tandis que les parties suivantes construisent des endomorphismes explicites K0, E0, F0 et étudient leurs propriétés de commutation et de stabilité.

1Première partieEndomorphismes commutant à une matrice diagonale ou à une famille d'endomorphismes, sous-espaces stables associés.
2Deuxième partieConstruction des endomorphismes K0, F0 puis E0, calcul de leur relation de commutation et recherche des sous-espaces stables.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que l'épreuve a été plutôt réussie dans l'ensemble, la moyenne générale étant supérieure à 9, même si les correcteurs relèvent une désinvolture générale dans la rédaction.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,11 / 20 · écart-type 4,04 · 1 471 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,11/ 20
Écart-type: 4,04
Copies: 1 471

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion entre l'espace vide et l'espace réduit à {0} · Erreurs sur les familles libres et les sommes directes · Croyance erronée en la diagonalisabilité systématique

L'épreuve a été plutôt réussie dans l'ensemble, notamment grâce à des questions de pur calcul qui ont permis de compenser des lacunes en algèbre linéaire. Le jury déplore néanmoins une désinvolture générale dans la rédaction et une part importante d'implicite laissée à l'appréciation des correcteurs.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre l'espace vide et l'espace réduit à {0}
Le jury signale cette confusion classique et de plus en plus fréquente chez les candidats.
2
Erreurs sur les familles libres et les sommes directes
Certains candidats croient qu'une famille de vecteurs deux à deux non proportionnels est libre, ou qu'une famille d'espaces d'intersection nulle deux à deux est en somme directe.
3
Croyance erronée en la diagonalisabilité systématique
On lit trop souvent que tous les endomorphismes sont diagonalisables, ou que l'espace entier est la somme des espaces propres.
4
Division par zéro non vérifiée
Un problème récurrent est la simplification par un facteur multiplicatif sans vérifier qu'il n'est pas nul.
5
Affirmation fausse sur les endomorphismes diagonaux4.b
Un petit tiers des candidats affirme sans justification qu'un endomorphisme diagonal laisse stables tous les sous-espaces de l'espace vectoriel ambiant.
6
Question 2.b très largement omise2.b
Cette question sur la réciproque est omise par plus de la moitié des candidats, et très peu proposent un contre-exemple convaincant.

Ce qui a été bien réussi

La question 5 a été bien traitée par plus de 90 % des candidats.
La question 8 a été traitée sans problème par la quasi-totalité des candidats.
La question 6 a été largement abordée et plutôt réussie en guise de rattrapage.

Conseils du jury

Justifier explicitement chaque étape, y compris les passages d'une ligne de calcul à la suivante ou les affirmations découlant d'une question précédente.
Vérifier qu'un facteur multiplicatif n'est pas nul avant de simplifier une égalité par ce facteur.
Ne pas se contenter de deviner la forme d'un résultat : le rapport note que le résultat de la question 4.a a été deviné, sans justification, dans plus de la moitié des copies.
Nommer précisément les objets utilisés, par exemple distinguer polynôme caractéristique et polynôme minimal plutôt que de parler vaguement de polynôme annulateur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

CONCOURS D'ADMISSION 2007

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Relations de commutation

Dans ce problème, on se propose de décrire les triplets (

K, E, F

) où

K, E, F

sont trois endomorphismes d'un espace vectoriel satisfaisant certaines relations de commutation. On désignera toujours par

q

un nombre complexe non nul et tel que pour tout entier

n > 0, q^n \neq 1

Première partie

Dans cette partie, on désigne par

X

un espace vectoriel complexe de dimension finie

n ⩾ 2

, et par

(x_1, \dots, x_n)

une base de

X

Soit $A$ un endomorphisme de $X$ représenté dans la base ( $x_1, \dots, x_n$ ) par une matrice diagonale de coefficients diagonaux $a_1, \dots, a_n$ deux à deux distincts. Montrer que tout endomorphisme $B$ de $X$ , commutant à $A$ , est aussi représenté par une matrice diagonale.
Soit $A_1, \dots, A_p$ des endomorphismes de $X$ .
2.a) Montrer que, si les seuls sous-espaces vectoriels de $X$ stables par $A_1, \dots, A_p$ sont ${0}$ et $X$ , alors tout endomorphisme $B$ de $X$ , commutant à $A_1, \dots, A_p$ , est un multiple scalaire de l'identité.
2.b) La réciproque est-elle vraie?

Deuxième partie

On définit

X

(x_1, \dots, x_n)

comme à la première partie. On note

K_0

F_0

les endomorphismes de

X

définis comme suit :

∀p = 1, …, n, K_0 x_p = q^(n + 1 − 2p)x_p, F_0 x_p = {x_(p + 1), si p < n; 0, si p = n.

Calculer $K_0 F_0 - q^(- 2)F_0 K_0$ .
Déterminer les sous-espaces vectoriels de $X$ stables par $F_0$ , puis ceux stables par $F_0$ et $K_0$ .

On définit un troisième endomorphisme

E_0

X

par

E_0 x_p = {(q − q^(− 1))^(− 2)(q^(p − 1) − q^(1 − p))(q^(n + 1 − p) − q^(p − n − 1))x_(p − 1), si, p > 1; 0, si p = 1.

Calculer $K_0 E_0 - q^2 E_0 K_0$ .
Vérifier la relation

E_0 F_0 - F_0 E_0 = (q - q^(- 1))^(- 1)(K_0 - K_0^(- 1)).

Déterminer les sous-espaces vectoriels de $X$ stables par $K_0, E_0, F_0$ .

Troisième partie

Dans cette partie, on désigne par

K

E

deux endomorphismes d'un espace vectoriel complexe

X

de dimension

n

satisfaisant les conditions suivantes :
i)

KE = q^2 EK

ii)

K

est inversible
iii)

E

est non nul.

Pour tout nombre complexe

λ

on pose

X_λ = Ker(K - λI), Y_λ = Ker(E - λI)

Vérifier les relations

E(X_λ) \subset X_(q^2 λ), K(Y_λ) \subset Y_(q^(- 2)λ)

Montrer que $Y_λ$ est réduit à ${0}$ si $λ$ est non nul.
Indiquer un nombre entier $r > 0$ tel que $E^r = 0$ .
Montrer qu'il existe un élément $x$ non nul de $KerE$ , vecteur propre pour $K$ .
On suppose $X$ de dimension 2, et on se propose de démontrer l'existence d'une base ( $x_1, x_2$ ) de $X$ possédant les propriétés suivantes:
(P1) $Kx_1 = λx_1$ où $λ$ est un scalaire convenable
(P2) $Kx_2 = q^(- 2)λx_2$
(P3) $Ex_1 = 0$
(P4) $Ex_2 = x_1$ .
12.a) Montrer qu'il existe un vecteur $x_1^0$ et un scalaire $λ$ tels que l'on ait

Kx_1^0 = λx_1^0 et Ex_1^0 = 0

On note

x_2^0

un vecteur non nul et non proportionnel à

x_1^0

.
12.b) Montrer que le vecteur

Ex_2^0

, qu'on note

x_1

, est un multiple non nul de

x_1^0

.
12.c) Montrer qu'il existe un scalaire

β

tel que

Kx_2^0 = βx_1 + q^(- 2)λx_2^0

12.d) Trouver un scalaire

α

tel que les vecteurs

x_1

x_2 = x_2^0 + αx_1

répondent à la question.

Quatrième partie

Dans cette quatrième partie on désigne par

X

un espace vectoriel complexe de dimension

n ⩾ 2

et on considère un triplet (

K, E, F

) d'endomorphismes de

X

satisfaisant les conditions suivantes :
i)

K

est inversible,

K^2 \neq I

ii)

KE = q^2 EK

iii)

KF = q^(- 2)FK

iv)

EF - FE = (q - q^(- 1))^(- 1)(K - K^(- 1))

v) les seuls sous-espaces vectoriels de

X

, stables par

K, E, F

, sont

{0}

X

.
13. Vérifier que, pour tout entier

m > 0

, on a

EF^m - F^m E = (q - q^(- 1))^(- 2)(q^m - q^(- m))F^(m - 1)(q^(1 - m)K - q^(m - 1)K^(- 1))

Dans ce qui suit, on note

ν_1

un vecteur non nul de

X

, annulé par

E

et vecteur propre de

K

pour une certaine valeur propre que l'on notera

λ

. Pour tout entier

m > 0

, on pose

ν_m = F^(m - 1)ν_1

.
14. Calculer

Kν_m

.
15. Démontrer la relation

\forallm ⩾ 2, Eν_m = (q - q^(- 1))^(- 2)(q^(m - 1) - q^(1 - m))(q^(2 - m)λ - q^(m - 2)λ^(- 1))ν_(m - 1)

Démontrer les assertions suivantes:
16.a) Ceux des vecteurs $ν_m$ qui sont non nuls, sont linéairement indépendants.
16.b) Il existe $m_0 ⩾ 1$ tel que $ν_m = 0$ pour tout $m > m_0$ et que $ν_1, \dots, ν_(m_0)$ soient linéairement indépendants.
16.c) On a $m_0 = n$ .
16.d) On a $λ = \pm q^(n - 1)$ .
Comparer le triplet $(K, E, F)$ avec le triplet $(K_0, E_0, F_0)$ considéré à la deuxième partie.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte X maths 2 MP 2007 ?

Le sujet porte sur la réduction des endomorphismes, les sous-espaces stables et les relations de commutation entre endomorphismes d'un espace vectoriel complexe.

Quelle est la moyenne à X maths 2 MP 2007 ?

D'après le rapport, sur 1471 copies, la moyenne était de 9,11 avec un écart-type de 4,04.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de l'X ?

Le jury pointe la confusion entre l'espace vide et l'espace réduit à {0}, des affirmations fausses sur la diagonalisabilité systématique des endomorphismes, et un manque général de justification dans les rédactions.

Ce sujet X maths 2 MP 2007 est-il difficile ?

Le rapport le qualifie de plutôt réussi dans l'ensemble, avec une moyenne supérieure à 9, bien que certaines questions comme la 2.b ou la 16.a aient semblé difficiles à une majorité de candidats.

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Commentaires• Polytechnique Mathématiques 2 MP 2007

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