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Polytechnique Mathématiques 2 MP 2007

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Algèbre linéaireRéduction
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2007
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CONCOURS D'ADMISSION 2007

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Relations de commutation

Dans ce problème, on se propose de décrire les triplets ( ) où sont trois endomorphismes d'un espace vectoriel satisfaisant certaines relations de commutation. On désignera toujours par un nombre complexe non nul et tel que pour tout entier .

Première partie

Dans cette partie, on désigne par un espace vectoriel complexe de dimension finie , et par une base de .
  1. Soit un endomorphisme de représenté dans la base ( ) par une matrice diagonale de coefficients diagonaux deux à deux distincts. Montrer que tout endomorphisme de , commutant à , est aussi représenté par une matrice diagonale.
  2. Soit des endomorphismes de .
    2.a) Montrer que, si les seuls sous-espaces vectoriels de stables par sont et , alors tout endomorphisme de , commutant à , est un multiple scalaire de l'identité.
    2.b) La réciproque est-elle vraie?

Deuxième partie

On définit et comme à la première partie. On note et les endomorphismes de définis comme suit :
  1. Calculer .
  2. Déterminer les sous-espaces vectoriels de stables par , puis ceux stables par et .
On définit un troisième endomorphisme de par
  1. Calculer .
  2. Vérifier la relation
  1. Déterminer les sous-espaces vectoriels de stables par .

Troisième partie

Dans cette partie, on désigne par et deux endomorphismes d'un espace vectoriel complexe de dimension satisfaisant les conditions suivantes :
i)
ii) est inversible
iii) est non nul.
Pour tout nombre complexe on pose
  1. Vérifier les relations
  1. Montrer que est réduit à si est non nul.
  2. Indiquer un nombre entier tel que .
  3. Montrer qu'il existe un élément non nul de , vecteur propre pour .
  4. On suppose de dimension 2, et on se propose de démontrer l'existence d'une base ( ) de possédant les propriétés suivantes:
    (P1) où est un scalaire convenable
    (P2)
    (P3)
    (P4) .
    12.a) Montrer qu'il existe un vecteur et un scalaire tels que l'on ait
On note un vecteur non nul et non proportionnel à .
12.b) Montrer que le vecteur , qu'on note , est un multiple non nul de .
12.c) Montrer qu'il existe un scalaire tel que
12.d) Trouver un scalaire tel que les vecteurs et répondent à la question.

Quatrième partie

Dans cette quatrième partie on désigne par un espace vectoriel complexe de dimension et on considère un triplet ( ) d'endomorphismes de satisfaisant les conditions suivantes :
i) est inversible,
ii)
iii)
iv)
v) les seuls sous-espaces vectoriels de , stables par , sont et .
13. Vérifier que, pour tout entier , on a
Dans ce qui suit, on note un vecteur non nul de , annulé par et vecteur propre de pour une certaine valeur propre que l'on notera . Pour tout entier , on pose .
14. Calculer .
15. Démontrer la relation
  1. Démontrer les assertions suivantes:
    16.a) Ceux des vecteurs qui sont non nuls, sont linéairement indépendants.
    16.b) Il existe tel que pour tout et que soient linéairement indépendants.
    16.c) On a .
    16.d) On a .
  2. Comparer le triplet avec le triplet considéré à la deuxième partie.

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