CCINP Mathématiques 1 MP 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants

PREMIER EXERCICE

Calculer les deux intégrales doubles suivantes :
a.

\iint_T(x + y)dx dy

où

T = {(x, y) ∈ ℝ^2, x ≤ 1, y ≤ 1, x + y ≥ 0}

.
b.

\iint_C|x + y|dx dy

où

C = [ - 1, 1] \times [ - 1, 1]

DEUXIÈME EXERCICE

Pour

n

entier naturel non nul, on considère l'équation différentielle linéaire

(E_n) : xy^' - ny = 0.

Donner l'espace vectoriel des solutions de l'équation ( $E_n$ ) sur chacun des intervalles $I = ] - \infty, 0[$ et $J = ]0, + \infty[$ .
Dans le cas où $n = 1$ , déterminer uniquement par des considérations graphiques, l'espace vectoriel des solutions de ( $E_1$ ) sur $ℝ$ . Quelle est la dimension de cet espace vectoriel?
Dans le cas où $n \geq 2$ , déterminer avec soin l'espace vectoriel des solutions de ( $E_n$ ) sur $ℝ$ . Quelle est la dimension de cet espace vectoriel ?

PROBLÈME : Autour du théorème d'ABEL pour les séries entières

Dans tout le problème :

(a_n)_(n \in ℕ)

est une suite de nombres réels telle que la série entière

\suma_n x^n

de la variable réelle

x

ait pour rayon de convergence 1 .
On désigne alors par

\suma_n

la série de terme général

a_n

et par

f

la fonction définie sur l'intervalle

] - 1, 1[

par :

f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n

.
On désigne par

(𝒫_1)

(𝒫_2)

les deux propriétés suivantes possibles de la suite

(a_n)

(𝒫_1)

: la série

\suma_n

converge.

(𝒫_2)

: la fonction

f

admet une limite finie, notée

lim_(x \to 1^-)f(x)

, lorsque

x

tend vers 1 par valeurs inférieures.

I. GÉNÉRALITÉS

En utilisant des développements en série entière «usuels», donner dans chaque cas, un exemple de suite $(a_n)$ telle que :
a. $(a_n)$ vérifie $(𝒫_1)$ et $(𝒫_2)$ ;
b. $(a_n)$ ne vérifie pas $(𝒫_1)$ et vérifie $(𝒫_2)$ ;
c. $(a_n)$ ne vérifie ni $(𝒫_1)$ ni $(𝒫_2)$ ;
d. La série $\suma_n x^n$ ne converge pas uniformément sur l'intervalle $] - 1, 1[$ (justifier).
On suppose que la série $\suma_n$ est absolument convergente ; montrer alors que la fonction $f$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers 1 par valeurs inférieures et que $lim_(x \to 1^-)f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n$ .
Exemple

Déduire de la question précédente la somme de la série

\sum_(n \geq 2)((- 1)^n)/(n(n - 1))

(on pourra utiliser une décomposition en éléments simples).

II. THÉORÈME D'ABEL

On suppose dans cette question que la série $\suma_n$ converge.

On va montrer qu'alors la fonction

f

admet une limite finie lorsque

x

tend vers 1 par valeurs inférieures (théorème d'Abel).

On pose

r_n = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)a_k

et pour tout

x \in [0, 1], R_n(x) = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)a_k x^k

.
a. Simplifier, pour tout

x \in [0, 1], \sum_(p = 1)^(+ \infty)(r_(n + p - 1) - r_(n + p))x^(n + p)

.
b. En déduire que, pour tout

x \in [0, 1[, R_n(x) = r_n x^(n + 1) + x^(n + 1)(x - 1)\sum_(p = 1)^(+ \infty)r_(n + p)x^(p - 1)

.
c. Soit un réel

ε > 0

, justifier qu'il existe un entier

n_0

tel que pour tout entier

n \geq n_0

et tout entier naturel

p

on ait

|r_(n + p)| \leq ε/2

, puis que :
pour tout entier

n \geq n_0

et pour tout réel

x \in [0, 1], |R_n(x)| \leq ε

.
d. Conclure que la fonction

f

admet une limite lorsque

x

tend vers 1 par valeurs inférieures et que

lim_(x \to 1^-)f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n

.
5. Que peut-on dire de la série

\suma_n

lim_(x \to 1^-)f(x) = + \infty

?
6. Exemple

Retrouver le développement en série entière en 0 de la fonction

x \mapsto arctanx

puis utiliser le théorème d'Abel pour écrire

π/4

comme somme d'une série numérique.
7. Application

On rappelle que le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est une série absolument convergente.
a. Le produit de Cauchy de deux séries convergentes est-elle une série convergente ?
(On pourra examiner le cas

u_n = v_n = ((- 1)^n)/(n^(1/4))

pour

n \geq 1

).
b. Soit

\sumu_n, \sumv_n

deux séries de nombres réels, on pose pour

n

entier naturel,

w_n = \sum_(k = 0)^n u_k v_(n - k)

et on suppose que les trois séries

\sumu_n, \sumv_n

\sumw_n

convergent. Montrer, à l'aide du théorème d'Abel, qu'alors

\sum_(n = 0)^(+ \infty)w_n = \sum_(n = 0)^(+ \infty)u_n\sum_(n = 0)^(+ \infty)v_n

III. RÉCIPROQUE DU THÉORÈME D'ABEL

Justifier que la réciproque du théorème d'Abel est fausse.

On cherche à rajouter une condition

(Q)

à la condition

(P_2)

de telle sorte que si

(a_n)

vérifie

(P_2)

(Q)

, alors elle vérifie

(P_1)

.
9. On prend pour (

Q

) la propriété : pour tout entier

n, a_n \geq 0

Montrer que si

(a_n)

vérifie les propriétés

(𝒫_2)

(Q)

, alors elle vérifie la propriété

(𝒫_1)

(on pourra montrer que

\sum_(k = 0)^n a_k \leq lim_(x \to 1^-)f(x)

Si on prend pour

(Q)

la propriété :
la suite (

a_n

) vérifie

a_n = O(1/n)

(la suite (

a_n

) est dominée par la suite (

1/n

) au voisinage de

+ \infty)

,
on obtient le théorème de Littlewood dont on admettra la démonstration pour l'appliquer dans la partie suivante.

IV. SÉRIES HARMONIQUES TRANSFORMÉES

Désormais, on admet et on pourra utiliser le théorème de Littlewood :
si la fonction

f

admet une limite finie lorsque

x

tend vers 1 par valeurs inférieures et que

a_n = O(1/n)

alors la série

\suma_n

converge.

Pour

p

entier naturel non nul, on considère une suite

(ε_n)_(n \geq 1)

périodique de période

p

formée d'éléments de l'ensemble

{ - 1, 1}

.
10. Donner, en justifiant leur valeur, les rayons de convergence des séries entières

\sum_(n \geq 1)ε_n x^(n - 1)

\sum_(n \geq 1)(ε_n)/nx^n

.
On pose, pour

x \in ] - 1, 1[ : f(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(ε_n)/nx^n

g(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)ε_n x^(n - 1)

.
11. Établir que la série

\sum_(n \geq 1)(ε_n)/n

converge si et seulement si la fonction

f : x \mapsto \int_0^x g(t)dt

admet une limite finie lorsque

x

tend vers 1 par valeurs inférieures.
12. Montrer que

g

est une fraction rationnelle à déterminer.
13. Retrouver, uniquement par les deux questions précédentes, que la série harmonique

\sum_(n \geq 1)1/n

diverge et que la série alternée

\sum_(n \geq 1)((- 1)^n)/n

converge en précisant sa somme.
14. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur la somme

\sum_(i = 1)^p ε_i

pour que la série

\sum_(n \geq 1)(ε_n)/n

converge.
Que peut-on en conclure dans les cas où la période

p

est un entier impair?
15. Exemple

Dans le cas où la suite

(ε_n)_(n \geq 1)

est périodique de période 6 avec

ε_1 = 1, ε_2 = 1, ε_3 = 1, ε_4 = - 1, ε_5 = - 1, ε_6 = - 1

, déterminer

\sum_(n = 1)^(+ \infty)(ε_n)/n

(il est demandé de détailler les calculs).

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