Sujet CCINP Mathématiques 2 MP 2005
Racines carrées de matrices
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AccessibleRacines carrées de matrices
Le problème étudie les racines carrées d'une matrice, c'est-à-dire les matrices R telles que R au carré soit égale à une matrice A donnée. Il détermine ces racines dans quatre exemples (matrice à valeurs propres distinctes, matrice nulle, matrice identité, matrice symétrique réelle), puis étudie les propriétés topologiques de l'ensemble des racines carrées et l'intérieur de cet ensemble à l'aide de zéros de fonctions polynomiales.
- 1Partie I : détermination de Rac(A) dans quelques exemplesRecherche des racines carrées d'une matrice dans quatre cas : valeurs propres distinctes, matrice nulle, matrice identité, matrice symétrique réelle.
- 2Partie II : étude topologique de Rac(A)Étude des propriétés topologiques de l'ensemble des racines carrées d'une matrice, notamment son caractère borné ou non.
- 3Partie III : zéros de fonctions polynomiales, application à l'intérieur de Rac(A)Étude des zéros de fonctions polynomiales à plusieurs variables pour déterminer l'intérieur de l'ensemble des racines carrées.
Accessible. Le rapport indique que le problème était bien construit, détaillé et progressif, qu'il n'a posé aucun problème de compréhension et qu'il n'était ni difficile ni long.
L'épreuve en chiffres
Moyenne 10,11 / 20 · écart-type 4,21 · où vous situez-vous ?Afficher ou masquer la section
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Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevéesFausse propriété sur les matrices qui commutent · Confusion entre implication et équivalence · Fausse propriété sur la réunion de familles libresAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevéesFausse propriété sur les matrices qui commutent · Confusion entre implication et équivalence · Fausse propriété sur la réunion de familles libres
Le problème, bien construit et progressif, n'a posé aucun problème de compréhension et n'était ni difficile ni long selon le rapport. Les résultats des candidats sont pourtant extrêmement contrastés, avec un nombre élevé de très bonnes copies mais aussi une quantité importante de très mauvaises copies. Des erreurs de logique sont fréquentes, en particulier la confusion entre implication et équivalence, alors que le cours est globalement bien connu.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Fausse propriété sur les matrices qui commutentQ2.b
À la question 2.b, l'erreur la plus fréquente consiste à affirmer qu'une matrice qui commute avec une matrice diagonale est elle-même diagonale, ce qui est faux puisque toute matrice commute avec l'identité.
« une matrice qui commute avec une matrice diagonale est diagonale »
- 2Confusion entre implication et équivalence
Les candidats ne doivent pas confondre « si » et « si et seulement si » ; de nombreuses réciproques ont été oubliées tout au long du problème.
« Les candidats ne doivent pas confondre « si » et « si et seulement si ». »
- 3Fausse propriété sur la réunion de familles libresQ5.b
À la question 5.b, une erreur grave consiste à affirmer que la réunion de deux familles libres est encore une famille libre, ce qui est faux en général.
« la réunion de 2 familles libres est encore une famille libre »
- 4Oubli de l'hypothèse de spectre simpleQ9
À la question 9, très rarement bien traitée, les candidats affirment souvent à tort qu'une matrice admettant une valeur propre strictement négative n'a pas de racine carrée, sans préciser l'hypothèse de spectre simple nécessaire.
« une matrice qui admet une valeur propre strictement négative n’admet pas de racine carrée »
- 5Confusion entre ensemble infini et non bornéQ12.a
À la question 12.a, beaucoup de candidats affirment à tort qu'un ensemble de matrices est non borné au seul motif qu'il est infini.
« C’est une horreur ! »
Ce qui a été bien réussi
- Une quantité non négligeable d'étudiants a traité toutes les questions.
- La question 7.a a été réussie par quasiment tous les candidats.
- Le calcul du déterminant et les questions simples comme la 2.a ou la 2.c ont été globalement bien traitées.
- La question 14.b a donné lieu à beaucoup de bonnes réponses, malgré de rares erreurs dans les graphiques.
Conseils du jury
- Bien distinguer une implication d'une équivalence et ne pas oublier de démontrer les réciproques.
- Justifier soigneusement les affirmations plutôt que de deviner la réponse, notamment pour les questions de topologie.
- Écrire explicitement les polynômes et leurs variables lors des questions calculatoires sur les coefficients de matrices.
- Faire les questions dans l'ordre pour garder en tête le fil conducteur du problème, même si les parties restent indépendantes.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont interdites.
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RACINES CARRÉES DE MATRICES
Notations
Dans ce sujet,
n est un entier naturel non nul et on note :
M_n(ℝ) la
ℝ - algèbre des matrices carrées réelles de taille
n .
M_(n, 1)(ℝ) le
ℝ - espace vectoriel des matrices à
n lignes et une colonne.
GL_n(ℝ) le groupe des matrices inversibles de
M_n(ℝ) .
I_n la matrice unité de
M_n(ℝ) .
Id l'application identité deℝ^n .
Pour une matriceA de
M_n(ℝ), ^t A est sa matrice transposée.
S_n(ℝ) le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de
M_n(ℝ) .
S_n^+(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques positives de
M_n(ℝ) , c'est-à-dire des matrices
A de
S_n(ℝ) vérifiant : pour toute matrice
X ∈ M_(n, 1)(ℝ), ^t XAX ≥ 0 .
Six_1, x_2, …, x_n sont des réels, on note
diag(x_1, x_2, …, x_n) la matrice diagonale de
M_n(ℝ) qui admet pour coefficients diagonaux les réels
x_1, x_2, …, x_n dans cet ordre.
Id l'application identité de
Pour une matrice
Si
Si
p est un entier naturel non nul, on notera
‖‖_∞ la norme infinie sur
ℝ^p :
six = (x_1, …, x_p) ∈ ℝ^p, ‖x‖_∞ = max_(1 ≤ i ≤ p)|x_i| .
Sia ∈ ℝ^p et
r > 0 , on note
B_∞(a, r) la boule ouverte de centre
a et de rayon
r pour la norme
‖‖_∞ .
si
Si
Objectifs
Soit
A une matrice de
M_n(ℝ) , on dit qu'une matrice
R de
M_n(ℝ) est une racine carrée de
A si
R^2 = A .
On noteRac(A) l'ensemble des racines carrées de
A , c'est-à-dire
On note
Le problème propose de déterminer les racines carrées de
A dans différents exemples, (on pourra constater qu'une matrice peut admettre parfois une infinité de racines) et d'étudier quelques propriétés topologiques de
Rac(A) .
Les trois parties du problème sont indépendantes.
Les trois premiers exemples de la partie I sont tous indépendants.
Les trois premiers exemples de la partie I sont tous indépendants.
I - DÉTERMINATION DE
Rac(A) DANS QUELQUES EXEMPLES
Exemple 1: Cas où
A possède
n valeurs propres distinctes
On suppose que la matrice
A ∈ M_n(ℝ) admet
n valeurs propres réelles
λ_1 < λ_2 < … < λ_n .
- Justifier l'existence d'une matrice
P ∈ M_n(ℝ) inversible telle queA = PDP^(− 1) oùD = diag(λ_1, λ_2, …, λ_n) , puis montrer queR est une racine carrée deA , si et seulement si la matriceS = P^(− 1)RP est une racine carrée deD . - Racines carrées de
D
Soit
S une racine carrée de
D .
a. Montrer queDS = SD .
b. En déduire que la matriceS est diagonale.
c. On note alorsS = diag(s_1, s_2, …, s_n) . Que vaut
s_i^2 lorsque
i ∈ {1, …, n} ?
d. Que peut-on dire deRac(A) si
A admet une valeur propre strictement négative ?
e. Si on suppose que toutes les valeurs propres deA sont positives ou nulles, déterminer les racines carrées de la matrice
D . On pourra poser
ε_i ∈ { − 1, + 1} pour
i ∈ {1, …, n} .
3. Écrire toutes les racines carrées deA à l'aide de la matrice
P . Combien de racines carrées
A admet-elle ? (On discutera selon le signe des valeurs propres de
A ).
4. Application :
a. Montrer que
b. En déduire que la matrice
c. On note alors
d. Que peut-on dire de
e. Si on suppose que toutes les valeurs propres de
3. Écrire toutes les racines carrées de
4. Application :
Écrire les racines carrées de
A = (11, − 5, 5; − 5, 3, − 3; 5, − 3, 3) à l'aide de la matrice
P que l'on déterminera.
Exemple 2 : Cas où
A est la matrice nulle de
M_n(ℝ)
Dans cet exemple, on cherche à déterminer les racines carrées de la matrice nulle.
SoitR ∈ M_n(ℝ) , une racine carrée de la matrice nulle.
5. Soitf l'endomorphisme de
ℝ^n dont
R est la matrice dans la base canonique de
ℝ^n . On note
r le rang de
f .
a. ComparerImf et
Kerf puis montrer que
r ≤ n/2 .
b. On supposef non nul, donc
r ≥ 1 . Soit (
e_1, …, e_r ) une base de
Imf que l'on complète avec (
e_(r + 1), …, e_(n − r) ) pour former une base de
Kerf . Pour
i ∈ {1, …, r} , on note
u_i le vecteur tel que
f(u_i) = e_i .
Montrer que la familleB = (e_1, …, e_(n − r), u_1, …, u_r) est une base de
ℝ^n puis écrire la matrice de
f dans la base
B . On notera
M_r cette matrice.
6. a. Déterminer les racines carrées dansM_n(ℝ) de la matrice nulle.
b. Application : déterminer dansM_4(ℝ) , les racines carrées de la matrice nulle.
Soit
5. Soit
a. Comparer
b. On suppose
Montrer que la famille
6. a. Déterminer les racines carrées dans
b. Application : déterminer dans
Exemple 3 : Cas où
A = I_n
- Soit
R une racine carrée de l'unitéI_n .
a. Vérifier queR est une matrice inversible.
b. Montrer queR est semblable à une matrice diagonale que l'on décrira. - Déterminer
Rac(I_n) . On pourra poserε_i ∈ { − 1, + 1} pouri ∈ {1, …, n} .
Exemple 4 : Cas où
A est une matrice symétrique réelle
Dans cet exemple, toutes les matrices que l'on considérera appartiennent à
M_n(ℝ) .
9. Une matrice symétrique admet-elle nécessairement une racine carrée ?
10. Montrer qu'une matrice symétrique positive admet au moins une racine carrée qui est elle même symétrique et positive.
9. Une matrice symétrique admet-elle nécessairement une racine carrée ?
10. Montrer qu'une matrice symétrique positive admet au moins une racine carrée qui est elle même symétrique et positive.
Remarque : On peut montrer l'unicité de cette racine carrée dans
S_n^+(ℝ) mais ce ne sera pas utile pour la suite du problème.
II - Étude topologique de
Rac(A)
Si
A est une matrice de
M_n(ℝ) qui a pour coefficients
(a_(i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n) , on définit une norme en
posantN(A) = max_(1 ≤ i, j ≤ n)|a_(i, j)| . On munit
M_n(ℝ) de cette norme
N .
11. Fermeture deRac(A)
11. Fermeture de
Soit
A une matrice de
M_n(ℝ) . Montrer que
Rac(A) est une partie fermée de
M_n(ℝ) .
12. Étude du caractère borné deRac(I_n)
a. Un exemple instructif Pour tout entier naturelq , on pose
S_q = (1, 0; q, − 1) . Calculer
S_q^2 .
Rac(I_2) est-elle une partie bornée de
M_2(ℝ) ?
b.Rac(I_n) est-elle une partie bornée de
M_n(ℝ) pour
n ≥ 3 ?
c. Application : pour cette question,n ≥ 2 .
12. Étude du caractère borné de
a. Un exemple instructif Pour tout entier naturel
b.
c. Application : pour cette question,
Montrer qu'il n'existe pas de norme
‖‖ «surmultiplicative» sur
GL_n(ℝ) , c'est-àdire vérifiant pour tous
A et
B dans
GL_n(ℝ), ‖AB‖ ≥ ‖A‖‖B‖ .
III - ZÉROS DE FONCTIONS POLYNOMIALES. APPLICATION À LA DÉTERMINATION DE L'INTÉRIEUR DE
Rac(A)
Soit
p un entier naturel non nul. On munit
ℝ^p de la norme infinie
‖‖_∞ .
On note
Γ_p l'ensemble des fonctions polynomiales sur
ℝ^p , c'est-à-dire :
siP ∈ Γ_p , il existe
N un entier naturel et une famille de réels
{a_(i_1, …, i_p), 1 ≤ i_1, …, i_p ≤ N} tels que
∀(x_1, x_2, …, x_p) ∈ I_1 × … × I_p, P(x_1, x_2, …, x_p) = ∑_(1 ≤ i_1, …, i_p ≤ N)a_(i_1, …, i_p)x_1^(i_1)…x_p^(i_p) .
Par exemple sip = 3, P(x_1, x_2, x_3) = 5x_1^2 + 3x_1 x_2 x_3 + 4x_2^5 est une fonction polynomiale sur
ℝ^3 . Si
p = 1, Γ_1 est l'ensemble des fonctions polynômes sur
ℝ .
si
Par exemple si
Enfin, si
P ∈ Γ_p , on pose
Z(P) = {(x_1, x_2, …, x_p) ∈ ℝ^p, P(x_1, x_2, …, x_p) = 0}(Z(P) est l'ensemble des zéros de la fonction polynomiale
P ).
L'objectif de cette partie est d'étudier l'intérieur de
Z(P) , afin de déterminer l'intérieur de
Rac(A) .
On rappelle que si
Ω est une partie de
ℝ^p , un vecteur
a de
ℝ^p est un point intérieur à
Ω s'il existe un nombre réel
r strictement positif tel que
B_∞(a, r) ⊂ Ω et que l'intérieur d'une partie est l'ensemble de ses points intérieurs.
13. Questions préliminaires:
a. Soita = (a_1, …, a_p) ∈ ℝ^p et
r > 0 . Montrer que
B_∞(a, r) peut s'écrire comme produit de
p intervalles.
b. SoientF et
G deux parties de
ℝ^p . On suppose que
F et
G sont d'intérieur vide, montrer que
F ∩ G est encore d'intérieur vide.
14. Exemples d'ensemble des zéros de fonctions polynomiales
a. Dans cette questionp = 1 . Soit
P une fonction polynôme sur
ℝ . Dans quel cas
Z(P) est-il infini ? Justifier votre réponse.
b. Dans cette questionp = 2 . On considère
P(x_1, x_2) = 2x_1 − x_2 − 1 et
Q(x_1, x_2) = x_1^2 − x_2 . Représenter graphiquement dans le plan
ℝ^2 les ensembles
Z(P) et
Z(Q) .
Z(P) et
Z(Q) sont-ils infinis?
15. Intérieur de l'ensemble des zéros d'une fonction polynomiale
13. Questions préliminaires:
a. Soit
b. Soient
14. Exemples d'ensemble des zéros de fonctions polynomiales
a. Dans cette question
b. Dans cette question
15. Intérieur de l'ensemble des zéros d'une fonction polynomiale
Soit
P ∈ Γ_p .
a. SoientI_1, I_2, …, I_p des parties infinies de
ℝ . Montrer par récurrence que si la fonction polynomiale
P s'annule sur
I_1 × I_2 × … × I_p , alors
P est la fonction nulle.
b. En déduire que siP s'annule sur une partie d'intérieur non vide,
P est la fonction nulle.
c. Si l'on suppose queP n'est pas la fonction nulle, que vaut l'intérieur de
Z(P) ?
16. Application à l'étude de l'intérieur deRac(A)
a. Soient
b. En déduire que si
c. Si l'on suppose que
16. Application à l'étude de l'intérieur de
Dans cette question, on confondra les espaces vectoriels
M_n(ℝ) et
ℝ^(n^2) . Par exemple, on prendra la liberté d'écrire que pour
M ∈ M_n(ℝ), M = (m_(i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n) ∈ ℝ^(n^2) , sans se soucier de l'ordre des termes.
SoitA une matrice de
M_n(ℝ) .
a. ÉcrireRac(A) sous forme d'un sous-ensemble de
ℝ^(n^2) puis montrer qu'il existe des éléments
P_1, P_2, …, P_(n^2) de
Γ_(n^2) tels que
Rac(A) = ⋂_(l = 1)^(n^2)Z(P_l) .
b. Déterminer l'intérieur deRac(A) .
Soit
a. Écrire
b. Déterminer l'intérieur de
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 CCINP MP 2005 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 CCINP MP 2005 ?
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 CCINP MP 2005 ?
Le problème porte sur les racines carrées de matrices : réduction des endomorphismes, algèbre bilinéaire (théorème spectral, matrices définies positives), topologie en dimension finie et polynômes à plusieurs indéterminées.
Quelle est la moyenne du sujet de mathématiques 2 CCINP MP 2005 ?
Le rapport indique une moyenne élevée de 10,11 sur 20, avec un écart-type important de 4,21.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?
Le jury relève une confusion fréquente entre implication et équivalence, des réciproques oubliées, ainsi que des affirmations fausses comme le fait qu'une matrice commutant avec une matrice diagonale serait diagonale, ou que la réunion de deux familles libres serait libre.
Ce sujet de mathématiques 2 CCINP MP 2005 est-il difficile ?
Non, le rapport précise que le problème n'était ni difficile ni long et qu'il n'a posé aucun problème de compréhension, même si les résultats des candidats restent très contrastés.
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