Sujet CCINP Mathématiques 2 MP 2004

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Fonctions de matrices

Notations :

Les |-algèbres suivantes sont considérées au cours de ce texte :

L'algèbre $M_n(|)$ des matrices carrées réelles d'ordre $n$ .
Si $I$ est un intervalle de $|$ d'intérieur non vide, on note $C_I^\infty$ l'algèbre commutative des fonctions de classe $C^\infty$ de $I$ dans $|$ .
L'algèbre des fonctions polynomiales de $I$ dans | est usuellement identifiée à l'algèbre $|[X]$ .

On y rencontre aussi les |-espaces vectoriels suivants:

L'espace des colonnes réelles à $n$ lignes noté $M_(n, 1)(|)$ .
L'espace $|_N[X] = {P∈|[X]/degP ≤ N}$ , où $N \in ⌉$ .

Les notions de convergence dans $M_(n, 1)(|)$ et $M_n(|)$ sont relatives aux normes respectives :

$‖X‖_\infty = Max_(1 \leq k \leq n)|x_k|$ , si $X = ^t[x_1, \dots., x_n]$ .
$‖M‖ = nMax_(1 \leq i, j \leq n)|m_(ij)|$ , si $M = [m_(ij)]_(1 \leq i \leq n)$ .

Objectifs du problème

Lorsque

P\in|[X]

A \in M_n(|)

, on sait donner un sens à la matrice

P(A)

et l'on maîtrise bien le calcul polynomial sur

A

qui en résulte. En particulier, si

M

est une matrice de

M_n(|)

, on appelle POLYNÔme MINIMAL de

M

le polynôme unitaire

P

de plus bas degré tel que

P(M) = 0

; il est immédiat (et on l'admettra) qu'il s'agit du polynôme minimal de l'endomorphisme

u

R^n

dont

M

est la matrice dans la base canonique de

R^n

.
Dans un premier temps, ce texte propose de donner un sens à la matrice

f(A)

pour tOUTE FONCTION

f

DE CLASSE

C^\infty

, et cela moyennant des hypothèses convenables sur la matrice

A

. Autrement dit, on apprend à maitriser un certain calcul fonctionnel sur

A

.
Dans un second temps, on exploite ces résultats pour résoudre un système différentiel linéaire.

Notations fixées pour tout le problème :

On considère une matrice

A

M_n(|)

et l'on SUPPOSE que son polynôme minimal

Π_A

peut être écrit sous la forme:

Π_A(X) = (X - λ_1)^(m_1)\dots(X - λ_r)^(m_r)

avec :

r \geq 1

; les

λ_j

sont des RÉELS distincts; les

m_j

sont dans

⌉^*

. On note alors

m = \sum_(1 \leq j \leq r)m_j

le degré de

Π_A

.
On considère aussi un intervalle

I

|

, d'intérieur non vide et contenant tous les

λ_j

.
La matrice

A

et l'intervalle

I

sont particularisés dans les divers exemples traités au cours du problème.

Préliminaires :

Établir que pour $X$ dans $M_(n, 1)(|)$ et $M$ dans $M_n(|)$ , on a : $‖MX‖_\infty \leq ‖M‖‖X‖_\infty$ .
Soit $M$ un sous-espace vectoriel de dimension $d \geq 1$ de $M_n(|)$ , et soit $β = (B_1, \dots, B_d)$ une base de $M$ .
a) Montrer que l'on définit une norme $N$ sur $M$ en posant $N(M) = Max_(1 \leq k \leq d)|x_k|$ , si $M = \sum_(1 \leq k \leq d)x_k B_k$ est la décomposition de l'élément $M$ de $M$ sur la base $β$ .
b) Justifier l'existence de constantes réelles strictement positives $a$ et $b$ vérifiant: $\forallM \in M, a‖M‖ \leq N(M) \leq b‖M‖$ .
c) Soit $(M_p)_(p \in ⌉)$ une suite d'éléments de $ℳ$ ; on note $M_p = \sum_(1 \leq k \leq d)x_p(k)B_k$ la décomposition de $M_p$ sur $β$ . Montrer que la suite $(M_p)_(p \in ⌉)$ converge vers 0 dans ( $M_n(|), ‖‖$ ) si et seulement si CHAQUE SUITE RÉELLE $(x_p(k))_(p \in ⌉)(k = 1, \dots, d)$ converge vers 0 .

I - Une relation d'équivalence sur $C_I^\infty$

On convient de dire que des fonctions

f

g

C_I^\infty

«coïncident sur le spectre de

A

» lorsque :

∀j ∈ {1, …, r}, ∀k ∈ {0, …, m_j − 1}, f^((k))(λ_j) = g^((k))(λ_j)

. Ce que l'on résume par la notation

f_(A¯)g

. Un exemple : si

Π_A(X) = X^2(X + 1)

la notation

f_(A¯)g

signifie :

f(0) = g(0), f^'(0) = g^'(0)

f(- 1) = g(- 1)

.
3. Soient

ℓ

dans

7^*, λ

dans

I

f

dans

C_I^\infty

vérifiant :

f^((k))(λ) = 0

pour

k = 0, 1, 2, \dots, ℓ - 1

.
a) Établir l'identité :

\forallx \in I, f(x) = \int_λ^x((x - u)^(ℓ - 1))/((ℓ - 1)!)f^((ℓ))(u)du

.
b) En déduire à l'aide d'un changement de variable, l'existence d'une fonction

h

vérifiant :
(1)

\forallx \in I, f(x) = (x - λ)^ℓ h(x)

(2)

h \in C_I^\infty

4. Soient

f

g

dans

C_I^\infty

.
a) On suppose:

\existsh \in C_I^\infty, f = g + hΠ_A

En considérant les dérivées successives de

f - g

, établir que

f_(A¯)g

.
b) On suppose

f_(A¯)g

; en exploitant le

3

. justifier l'existence de

h

dans

C_I^\infty

vérifiant:

f = g + hΠ_A

.
5. Soient

P

Q

dans

|[X]

; prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :
(1)

P \equiv A¯Q

(2)

\existsH\in|[X], P = Q + HΠ_A

II - Définition de la matrice $f(A)$

A. On considère l'application

φ

|_(m - 1)[X]

vers

|^m

qui associe à un polynôme

P

m

-uplet :

φ(P) = ((P^((k_1))(λ_1))_(0 \leq k_1 \leq m_1 - 1), \dots, (P^((k_r))(λ_r))_(0 \leq k_r \leq m_r - 1)).

Établir le caractère bijectif de $φ$ .
Soit $f$ dans $C_I^\infty$ ; justifier l'existence d'un et d'un seul polynôme $P_f$ de $|[X]$ , de degré inférieur ou égal à $(m - 1)$ et tel que : $f_A P_f$ . On convient alors de DÉFINIR la matrice $f(A)$ en posant : $f(A) = P_f(A)$ .

B. Quelques exemples

On suppose ici que $f$ est polynomiale et l'on écrit : $\forallx \in I, f(x) = \sum_(k = 0)^N a_k x^k$ .

En effectuant une division euclidienne, montrer qu'avec la définition de la question 7 , on obtient le résultat naturel :

f(A) = \sum_(k = 0)^N a_k A^k

.
9. ICI :

A = [5, - 4; 4, - 3] \in M_2(|)

I=|

.
a) Calculer

Π_A(X)

.
b) Calculer la matrice

f(A)

dans chacun des cas suivants :
(1)

f(x) = ax + b

, les réels

a

b

étant donnés.
(2)

f(x) = sin(πx)

(3)

f(x) = (x - 1)^2 g(x)

, où la fonction

g

est donnée dans

C_I^\infty

III - Le calcul systématique de $f(A)$

A. Une formule générale

En exploitant l'isomorphisme linéaire $φ$ du II.A, justifier l'existence et l'unicité de polynômes $Q_(j, k)(1 \leq j \leq r, 0 \leq k \leq m_j - 1)$ vérifiant:
pour TOUTE fonction $f$ de $C_I^\infty$ , on a : $P_f = \sum_(1 \leq j \leq r)\sum_(0 \leq k \leq m_j - 1)f^((k))(λ_j)Q_(j, k)$
On considère alors les matrices dites «associées» à $A$ :
$Z_(j, k) = Q_(j, k)(A) (1 \leq j \leq r, 0 \leq k \leq m_j - 1)$ .
Montrer que les diverses matrices $Z_(j, k)$ sont linéairement indépendantes et que :
$\forallf \in C_I^\infty, f(A) = \sum_(1 \leq j \leq r)\sum_(0 \leq k \leq m_j - 1)f^((k))(λ_j)Z_(j, k)$

B. Deux exemples

ICI : $A = [5, - 4; 4, - 3]$ et $I = |_+^*$ .
a) Justifier l'existence de matrices $Z_1$ et $Z_2$ de $M_2(|)$ telles que:

\forallf \in C_I^\infty, f(A) = f(1)Z_1 + f^'(1)Z_2.

b) En déduire le calcul de

Z_1

Z_2

.
c) Calculer les matrices

A^(2004), \sqrtA

et plus généralement

A^α

pour

α

dans

|_+^*

.
13. ICI:

A = [1, - 1, 1; 2, - 2, 1; 1, - 1, 0] \in M_3(|)

I=|

.
a) Présenter sous forme factorisée le polynôme

Π_A(X)

. La matrice

A

est-elle diagonalisable dans

M_3(|)

?
b) Calculer les matrices

Z_(j, k)

«associées» à

A

IV - Un calcul fonctionnel sur la matrice $A$

A. Quelques identités bien naturelles

Soient $f$ et $g$ dans $C_I^\infty$ et $α$ dans $|$ .
a) Que valent $P_(αf)$ et $P_(f + g)$ ?
b) Justifier l'existence d'un polynôme $H$ de $|[X]$ tel que : $P_(fg) = P_f P_g + HΠ_A$ .
a) Montrer que l'application $S : f \mapsto f(A)$ de $C_I^\infty$ dans $M_n(R)$ est un morphisme de |-algèbres.
b) Quel est son noyau?
On considère les fonctions cosinus et sinus de $|$ dans $|$ , puis les fonctions $f_1 : x \mapsto \sqrtx$ et $f_2 : x \mapsto 1/x$ de $|_+^*$ dans $|$ . On peut ainsi déFINIR les matrices $cosA, sinA$ , et même $\sqrtA$ et $1/A$ si les $λ_j$ sont dans $|_+^*$ .
a) En exploitant le morphisme $S$ , calculer $(cosA)^2 + (sinA)^2$ .
b) On suppose ici que les $λ_j$ sont strictement positifs. Reconnaître : $(\sqrtA)^2$ et $1/A$ .

B. Le spectre de $f(A)$

Montrer que l'ensemble noté $M_A = {f(A)/f ∈ C_I^∞}$ est une sous-algèbre commutative de $M_n(|)$ et préciser sa dimension.
Montrer que si un élément de $ℳ_A$ est inversible dans $M_n(|)$ alors son inverse est aussi dans $M_A$ .
Soit $f$ dans $C_I^\infty$ ; établir l'équivalence des énoncés suivants:
(1) $f(A)$ est inversible dans $M_n(|)$ .

∀j ∈ {1, …, r} f(λ_j) ≠ 0

Si $M$ est une matrice de $M_n(|)$ , on note $Λ_M$ l'ensemble de ses valeurs propres RÉELLES.

En exploitant la question 19 comparer les ensembles :

Λ_A

Λ_(f(A))

où

f

est donnée dans

C_I^\infty

V - Application à la résolution d'un système différentiel

Soient $(f_p)_(p \in ⌉)$ une suite de fonctions de $C_I^\infty$ et $f$ dans $C_I^\infty$ . Établir l'équivalence des énoncés suivants :
(1) La suite de matrices $(f_p(A))_(p \in ⌉)$ converge dans $M_n(|)$ vers $f(A)$ .
(2) Pour chaque $j(1 \leq j \leq r)$ et chaque $k(0 \leq k \leq m_j - 1)$ , la suite réelle $(f_p^((k))(λ_j))_(p \in ⌉)$ converge vers $f^((k))(λ_j)$ .
Lorsque la condition (2) est réalisée, on convient de dire que la suite de fonctions $(f_p)_(p \in ⌉)$ « converge vers $f$ sur le spectre de $A$ ».
Pour $t$ réel, on considère la fonction $f_t : x \mapsto e^(tx)$ de $|$ dans $|$ . Montrer que : $f_t(A) = \sum_(ℓ = 0)^(+ \infty)(t^ℓ)/(ℓ!)A^ℓ$ . Il s'agit donc précisément de la matrice usuellement notée $exp(tA)$ .
En exploitant les résultats acquis à ce stade du problème, résoudre le système différentiel :

{(dx)/(dt) = x - y + z; (dy)/(dt) = 2x - 2y + z; (dz)/(dt) = x - y

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Notations :

Objectifs du problème

Notations fixées pour tout le problème :

Préliminaires :

I - Une relation d'équivalence sur C_I^∞

II - Définition de la matrice f(A)

B. Quelques exemples

III - Le calcul systématique de f(A)

A. Une formule générale

B. Deux exemples

IV - Un calcul fonctionnel sur la matrice A

A. Quelques identités bien naturelles

B. Le spectre de f(A)

V - Application à la résolution d'un système différentiel

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I - Une relation d'équivalence sur $C_I^\infty$

II - Définition de la matrice $f(A)$

III - Le calcul systématique de $f(A)$

IV - Un calcul fonctionnel sur la matrice $A$

B. Le spectre de $f(A)$