WikiPrépaLivrets

X ENS Mathématiques B MP MPI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

5,0(2 votes)
Logo concours X-ENS

Explorer les annales

BanqueX-ENSAnnée2023FilièreMP/MPIMatièreMathématiques
Annales X-ENS MP/MPI MathématiquesX-ENS MP/MPI 2023MP/MPI MathématiquesMathématiques 2023

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Réduction en famille de matrices symétriques réelles dont les coefficients sont développables en séries entières
Afficher ou masquer la section

Le sujet démontre qu'une famille de matrices symétriques réelles dont les coefficients sont développables en série entière se diagonalise, près de 0, par une famille de matrices orthogonales elle aussi développable en série entière. Il étudie d'abord l'anneau des fonctions développables en série entière, puis les racines d'un polynôme à coefficients dans cet anneau, avant de conclure par récurrence sur la taille des matrices.

  1. 1Première partie : l'anneau des fonctions développables en série entièreStabilité par somme et produit, norme d'algèbre, complétude, inversibilité locale d'une fonction ne s'annulant pas en 0 et intégrité de l'anneau.
  2. 2Deuxième partie : racines d'une famille de polynômesNorme sur les polynômes à coefficients dans l'anneau, division euclidienne par un polynôme unitaire, construction d'une suite convergente de facteurs (théorème 1) et racine carrée d'une fonction strictement positive.
  3. 3Troisième partie : réduction en familleDiagonalisation par blocs grâce au théorème 1 et aux formules de Cramer, procédé de Gram-Schmidt en famille et récurrence sur la taille des matrices (théorème 2).

Difficile. Le jury ne juge pas le sujet plus difficile que les autres années, mais les taux de réussite chutent sous 15 % dès la question 13 et sont proches de 0 % sur la troisième partie.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,69 / 20 · écart-type 3,74 · 1 420 présents · où vous situez-vous ?
Afficher ou masquer la section
Moyenne
9,69/ 20
Écart-type
3,74
Présents
1 420
Durée
4 h
moyenne 9,6905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 18 avril 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Grappiller les questions faciles · Convergence absolue oubliée dans le produit de Cauchy · Convergence uniforme mal rédigée
Afficher ou masquer la section

Le jury constate une légère baisse du niveau des candidats faibles, avec beaucoup de copies faibles, tandis que le niveau des admissibles se maintient. Une note correcte suppose de réussir les questions difficiles qui forment le cœur du sujet (6a à 7, 11 à 16, 20 à 26). Se limiter aux questions faciles ne suffit jamais.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Grappiller les questions facilesQ5, Q6c

    Survoler toutes les parties pour prendre quelques points ne fonctionne pas. Réussir des questions clés comme 5 et 6c ouvrait la suite de la partie I.

    « Le barème est établi de sorte qu'une telle stratégie est forcément vouée à l'échec. »
  2. 2
    Convergence absolue oubliée dans le produit de CauchyQ2

    Le produit de Cauchy de deux séries numériques exige leur convergence absolue. Ne pas le mentionner coûte des points.

    « L'absence de mention de nécessité de la convergence absolue a été pénalisée par le barème. »
  3. 3
    Convergence uniforme mal rédigéeQ5

    Il fallait majorer le terme général par celui d'une série numérique convergente indépendante de la variable. Seuls 18 % des candidats de MP ont réussi.

    « Ces trois ingrédients (majoration, convergence et indépendance) doivent apparaître. »
  4. 4
    Critère de d'Alembert utilisé à l'enversQ6c

    Plusieurs erreurs en 6c : convergence affirmée au bord de l'intervalle, oubli d'un majorant supérieur à 1, ou emploi de la réciproque du critère de d'Alembert.

    « le critère de d'Alembert n'étant pas une équivalence »
  5. 5
    Fonction non nulle et fonction qui ne s'annule pasQ7

    Pour montrer l'intégrité de l'anneau, beaucoup oublient de vérifier les axiomes de sous-anneau et confondent deux notions distinctes. Le taux de réussite est de 8 % en MP.

    « la confusion entre les propositions "f est non nulle" et "f qui ne s'annule pas »
  6. 6
    Degré d'un produit sans précautionQ9a

    L'unicité de la division euclidienne dans cet anneau demande de justifier la formule du degré d'un produit par l'intégrité ou le caractère unitaire.

    « Le piège est d'utiliser la formule pour le degré d'un produit sans précaution. »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 sur la stabilité par somme a un taux de réussite de 100 %.
  • Les questions 6a, 6b et 6d dépassent 85 % de réussite en MP.
  • La question 8b, fondée sur la sous-multiplicativité de la norme, est réussie à 93 % en MP.

Conseils du jury

  • Traiter correctement plusieurs questions consécutives, dont des questions difficiles, plutôt que survoler le sujet.
  • Admettre un résultat intermédiaire est permis, à condition de vérifier toutes les hypothèses avant de l'utiliser.
  • Utiliser un brouillon pour ne reporter que les étapes essentielles et évoquer même les vérifications triviales.
  • Écrire lisiblement : un passage indéchiffrable ne rapporte pas de points.
  • Encadrer ou souligner les éléments clés des démonstrations.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2023

MARDI 18 AVRIL 2023
08h00-12h00
FILIERE MP-MPI - Epreuve n^∘3
MATHEMATIQUES B (X)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour
cette épreuve

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Notations

On note ℝ l'ensemble des nombres réels.
On note ℝ_+^∗ l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
Étant donné ρ ∈ ℝ_+^∗, on pose U_ρ = ] − ρ, ρ[.
On note 𝒟_ρ(ℝ) le ℝ-espace vectoriel des fonctions U_ρ → ℝ qui sont développables en série entière sur l'intervalle U_ρ.
Par définition, pour toute fonction f ∈ 𝒟_ρ(ℝ), on a une écriture de la forme f(t) = ∑_(n = 0)^∞a_n t^n ( a_n ∈ ℝ ) valable pour tout t ∈ U_ρ. On rappelle que les a_n sont uniquement déterminés par f. On rappelle également que, pour tout réel r ∈ ℝ_+^∗ tel que r < ρ, la série ∑_n|a_n|r^n est convergente et on pose :
‖f‖_r = ∑_(n = 0)^∞|a_n|r^n

Matrices

Si n et m sont deux entiers, on note ℳ_(n, m)(ℝ) l'ensemble des matrices à n lignes et m colonnes à coefficients dans ℝ.
Lorsque m = n, on note plus simplement ℳ_n(ℝ) pour ℳ_(n, n)(ℝ).
On note I_n ∈ ℳ_n(ℝ) la matrice identité.
Pour M ∈ ℳ_(n, m)(ℝ), on note M^T ∈ ℳ_(m, n)(ℝ) la matrice transposée de M.
On note S_n(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques de taille n à coefficients dans ℝ, c'est-àdire des matrices M ∈ ℳ_n(ℝ) telles que M^T = M.
On dit qu'une matrice M ∈ ℳ_n(ℝ) est orthogonale si M^T ⋅ M = I_n.
Une fonction f : U_ρ → ℳ_(n, m)(ℝ) est dite développable en série entière sur U_ρ si toutes ses fonctions coefficients le sont.
On note 𝒟_ρ(ℳ_(n, m)(ℝ)) l'ensemble des fonctions U_ρ → ℳ_(n, m)(ℝ) qui sont développables en série entière sur U_ρ au sens précédent et 𝒟_ρ(S_n(ℝ)) les fonctions de 𝒟_ρ(ℳ_(n, m)(ℝ)) qui sont à valeurs dans S_n(ℝ).
Pour M ∈ 𝒟_ρ(ℳ_(n, m)(ℝ)) et a ∈ U_ρ, on note M_(|t = a) la matrice obtenue en évaluant tous les coefficients de M au point a.
On note encore M^T ∈ 𝒟_ρ(ℳ_(m, n)(ℝ)) l'unique élément tel que (M^T)_(|t = a) = (M_(|t = a))^T pour a ∈ U_ρ et I_n ∈ 𝒟_ρ(ℳ_n(ℝ)) la fonction constante de valeur I_n.
Soit k un entier. Si n = n_1 + ⋯ + n_k avec n_1, …, n_k entiers et M_i ∈ ℳ_(n_i)(ℝ) pour i ∈ {1, …, n}, on note Diag(M_1, …, M_k) ∈ ℳ_n(ℝ) la matrice diagonale par blocs suivante :
(M_1, 0; ⋱; 0, M_k)
Si M_i ∈ 𝒟_ρ(M_(n_i)(ℝ)) pour i ∈ {1, …, n}, on note Diag(M_1, …, M_k) ∈ 𝒟_ρ(ℳ_n(ℝ)) l'élément défini par Diag(M_1, …, M_k)|_(t = a) = Diag(M_(1|t = a), …, M_(k|t = a)) pour a ∈ U_ρ.
Pour M ∈ ℳ_(n, m)(ℝ), on note :
  • ker(M) le sous-espace vectoriel de ℝ^m formé des vecteurs v tels que Mv = 0,
  • im(M) le sous-espace vectoriel de ℝ^n formé des vecteurs de la forme Mv, v ∈ ℝ^m.

Polynômes

Soit n ∈ ℕ un entier naturel. On note ℝ_n[X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à n. On note 𝒟_ρ(ℝ_n[X]) l'ensemble des fonctions de U_ρ vers ℝ_n[X] de la forme t ↦ ∑_(i = 0)^n f_i(t)X^i avec f_i ∈ 𝒟_ρ(ℝ) pour 0 ⩽ i ⩽ n. On notera dans la suite simplement f_0 + f_1 X + ⋯ + f_n X^n une telle fonction.
Si P = f_0 + f_1 X + ⋯ + f_n X^n ∈ 𝒟_ρ(ℝ_n[X]), on note degP l'entier max{i|f_i ≠ 0}. On dit que P est unitaire de degré d si P est de la forme
P = f_0 + f_1 X + ⋯ + f_(d − 1)X^(d − 1) + X^d
Pour P = f_0 + f_1 X + ⋯ + f_n X^n ∈ 𝒟_ρ(ℝ_n[X]) (avec f_i ∈ 𝒟_ρ(ℝ)) et a ∈ U_ρ, on note P_(|t = a) le polynôme
P_(|t = a) = f_0(a) + f_1(a)X + ⋯ + f_n(a)X^n ∈ ℝ[X]
Soit m ∈ ℕ. Si P ∈ 𝒟_ρ(ℝ_n[X]) et si M ∈ 𝒟_ρ(ℳ_m(ℝ)), on note P(M) la fonction
a ↦ P_(|t = a)(M_(|t = a)).
Dans tout le problème, on fixe un nombre réel ρ strictement positif.

Première partie

  1. Montrer que, pour tout ρ > 0 et tous m, n ∈ ℕ^∗, les ensembles 𝒟_ρ(ℝ), 𝒟_ρ(ℝ_n[X]) et 𝒟_ρ(ℳ_(m, n)(ℝ)) sont stables par somme.
  2. Montrer que, pour tout ρ > 0 et tout n ∈ ℕ^∗, les ensembles 𝒟_ρ(ℝ) et 𝒟_ρ(ℳ_n(ℝ)) sont stables par produit.
  3. Soit r ∈ ℝ_+^∗ tel que r ⩽ ρ. Montrer que l'application 𝒟_ρ(ℝ) → 𝒟_r(ℝ) qui à une fonction f associe sa restriction à U_r est injective.
Dans la suite, on identifiera 𝒟_ρ(ℝ) à un sous-anneau de 𝒟_r(ℝ).
4. Soit r ∈ ℝ_+^∗ tel que r < ρ. Montrer que ‖ ⋅ ‖_r est une norme sur 𝒟_ρ(ℝ) et que ‖fg‖_r ⩽ ‖f‖_r ⋅ ‖g‖_r pour tout f, g ∈ 𝒟_ρ(ℝ).
5. Soit r ∈ ℝ_+^∗ tel que r < ρ. Soit (f_n)_(n ⩾ 0) une suite d'éléments de 𝒟_ρ(ℝ). On suppose que ∑_(n ⩾ 0)‖f_n‖_r converge. Montrer que ∑_(n ⩾ 0)f_n converge normalement sur U_r vers une fonction f ∈ 𝒟_r(ℝ). Montrer que ∑_(n ⩾ 0)f_n converge également vers f pour la norme ‖ ⋅ ‖_r.
6. Soit f ∈ 𝒟_ρ(ℝ) tel que f(0) ≠ 0. Le but de cette question est de montrer qu'il existe r ∈ ℝ_+^∗, r ⩽ ρ tel que 1/f ∈ 𝒟_r(ℝ).
6a. Montrer que l'on peut supposer sans perte de généralité que f(0) = 1.
On écrit à présent f(t) = ∑_(i = 0)^∞a_i t^i et on suppose que a_0 = 1.
6b. Uniquement dans cette sous-question, on suppose qu'il existe r ∈ ℝ_+^∗ tel que r ⩽ ρ et g ∈ 𝒟_r(ℝ) tels que f(t)g(t) = 1 pour tout t ∈ U_r.
On écrit g(t) = ∑_(i = 0)^∞b_i t^i. Montrer que :
b_0, = 1; pour n ⩾ 1,, b_n = − (b_0 a_n + … + b_(n − 1)a_1).
On définit à présent la suite (b_n)_(n ⩾ 0) par la formule de récurrence ci-dessus.
6c. Montrer qu'il existe c ∈ ℝ_+^∗ tel que |a_n| ⩽ c^n pour tout n ∈ ℕ.
6d. Montrer que |b_n| ⩽ (2c)^n pour tout n ∈ ℕ.
6e. Conclure.
7. Montrer que 𝒟_ρ(ℝ) est un anneau intègre.

Deuxième partie

Soit n ∈ ℕ un entier naturel. Pour P = f_0 + f_1 X + ⋯ + f_n X^n ∈ 𝒟_ρ(ℝ_n[X]) et r, s ∈ ℝ_+^∗ avec r < ρ, on définit :
‖P‖_(r, s) = ∑_(i = 0)^n‖f_i‖_r ⋅ s^i
  1. Soient n, m ∈ ℕ et soient r, s ∈ ℝ_+^∗, r < ρ.
8a. Montrer ‖ ⋅ ‖_(r, s) est une norme sur 𝒟_ρ(ℝ_n[X]).
8b. Montrer que si P ∈ 𝒟_ρ(ℝ_n[X]) et Q ∈ 𝒟_ρ(ℝ_m[X]), alors PQ ∈ 𝒟_ρ(ℝ_(n + m)[X]) et
‖PQ‖_(r, s) ⩽ ‖P‖_(r, s) ⋅ ‖Q‖_(r, s).
  1. Soient A, B ∈ 𝒟_ρ(ℝ_n[X]). On suppose que B est unitaire de degré d ⩽ n.
9a. Montrer qu'il existe des éléments Q ∈ 𝒟_ρ(ℝ_(n − d)[X]) et R ∈ 𝒟_ρ(ℝ_(d − 1)[X]) uniquement déterminés tels que A = BQ + R.
Les éléments Q et R sont appelés respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B.
9b. Soient de plus r, s ∈ ℝ_+^∗ avec r < ρ. Montrer que, si ‖B − X^d‖_(r, s) < s^d, alors
‖Q‖_(r, s) ⩽ (‖A‖_(r, s))/(s^d − ‖B − X^d‖_(r, s)) et ‖R‖_(r, s) ⩽ (s^d ⋅ ‖A‖_(r, s))/(s^d − ‖B − X^d‖_(r, s)).
(On pourra commencer par traiter le cas où B = X^d.)
On se propose à présent de démontrer le théorème suivant.
Théorème 1. Soit n ∈ ℕ un entier naturel et soit P ∈ 𝒟_ρ(ℝ_n[X]) unitaire. Soit λ ∈ ℝ une racine de P_(|t = 0) de multiplicité d. Alors il existe r ∈ ℝ_+^∗ tel que r ⩽ ρ et F ∈ 𝒟_r(ℝ_d[X]) et G ∈ 𝒟_r(ℝ_(n − d)[X]) unitaires tels que P = FG et F_(|t = 0) = (X − λ)^d.
Pour cela, on se donne P = f_0 + f_1 X + ⋯ + f_n X^n ∈ 𝒟_ρ(ℝ_n[X]).
On suppose dans un premier temps que λ = 0, que f_0(0) = ⋯ = f_(d − 1)(0) = 0 et que f_d est la fonction constante égale à 1 .
10. Soit F ∈ 𝒟_ρ(ℝ_d[X]) unitaire et tel que F_(|t = 0) = X^d. Soit R le reste de la division euclidienne de P par F. Montrer que F + R est unitaire de degré d et que (F + R)_(|t = 0) = X^d.
On définit une suite de polynômes (F_i)_(i ⩾ 0) par la formule de récurrence suivante :
F_0, = f_0 + f_1 X + ⋯ + f_d X^d; pour i ⩾ 0, F_(i + 1), = F_i + R_i
où R_i désigne le reste de la division euclidienne de P par F_i (voir question 9a. On note Q_i le quotient de la division euclidienne de P par F_i. On déduit de la question 10 que tous les polynômes F_i sont unitaires de degré d.
On se donne de plus r, s ∈ ℝ_+^∗ avec r < ρ et on pose, pour i ∈ ℕ :
α_i = s^(− d) ⋅ ‖F_i − X^d‖_(r, s); β_i = ‖1 − Q_i‖_(r, s); ε_i = s^(− d) ⋅ ‖R_i‖_(r, s)
  1. Montrer que l'on peut choisir r et s de sorte que α_0 + 2ε_0 ⩽ 1/3 et β_0 + ε_0 ⩽ 1/3.
À partir de maintenant, et jusqu'à la fin de cette partie, nous faisons cette hypothèse sur r et s.
12. Vérifier que, pour tout i ∈ ℕ, on a la relation :
(1 − Q_i) ⋅ R_i = (Q_(i + 1) − Q_i) ⋅ F_(i + 1) + R_(i + 1)
  1. Montrer que, pour tout i ∈ ℕ, on a α_(i + 1) ⩽ α_i + ε_i et si α_(i + 1) < 1 alors :
β_(i + 1) ⩽ β_i + (β_i ε_i)/(1 − α_(i + 1)) et ε_(i + 1) ⩽ (β_i ε_i)/(1 − α_(i + 1))
  1. En déduire que, pour tout i ∈ ℕ, on a :
  • α_i ⩽ α_0 + 2 ⋅ (1 − 2^(− i)) ⋅ ε_0,
  • β_i ⩽ β_0 + (1 − 2^(− i)) ⋅ ε_0,
  • ε_i ⩽ 2^(− i) ⋅ ε_0.
15a. Montrer que la suite (F_i)_(i ⩾ 0) converge pour la norme ‖ ⋅ ‖_(r, s) vers un polynôme unitaire F ∈ 𝒟_r(ℝ_n[X]) de degré d qui vérifie F_(|t = 0) = X^d.
15b. Montrer qu'il existe G ∈ 𝒟_r(ℝ_n[X]) tel que P = FG.
16. Démontrer le théorème 1 .
17. Soit f ∈ 𝒟_ρ(ℝ) tel que f(0) > 0. Montrer qu'il existe ρ_f ∈ ℝ_+^∗ tel que ρ_f ⩽ ρ et tel que f > 0 sur U_(ρ_f) et √f ∈ 𝒟_(ρ_f)(ℝ).

Troisième partie

On dit qu'une matrice M ∈ 𝒟_ρ(ℳ_n(ℝ)) est orthogonale si M^T ⋅ M = I_n.
Le but de cette partie est de démontrer le théorème suivant.
Théorème 2. Soit M ∈ 𝒟_ρ(S_n(ℝ)). Alors il existe r ∈ ℝ_+^∗ tel que r ⩽ ρ et une matrice orthogonale P ∈ 𝒟_r(ℳ_n(ℝ)) telle que P^T ⋅ M ⋅ P est diagonale.
On considère M ∈ 𝒟_ρ(S_n(ℝ)) et on pose χ = det(XI_n − M) ∈ 𝒟_ρ(ℝ_n[X]).
18. Montrer que M_(|t = 0) admet une valeur propre réelle.
Dans la suite, on fixe une valeur propre réelle λ de M_(|t = 0) et on note d sa multiplicité comme racine de χ_(|t = 0). Par le théorème 1, il existe ρ_1 ∈ ℝ_+^∗, ρ_1 ⩽ ρ tel que χ se factorise sous la forme χ = FG avec F ∈ 𝒟_(ρ_1)(ℝ_d[X]) et G ∈ 𝒟_(ρ_1)(ℝ_(n − d)[X]) et F_(|t = 0) = (X − λ)^d.
19. Uniquement dans cette question, on suppose que d = n. Montrer qu'il existe une matrice symétrique M_0 ∈ 𝒟_(ρ_1)(S_n(ℝ)) telle que M = λI_n + tM_0 pour tout t ∈ U_(ρ_1).
On pose A = F(M) et B = G(M); on a donc A, B ∈ 𝒟_(ρ_1)(S_n(ℝ)).
Pour a ∈ U_(ρ_1), on pose A_a = A_(|t = a) et B_a = B_(|t = a).
20. Montrer qu'il existe deux matrices U ∈ ℳ_(n, d)(ℝ) et V ∈ ℳ_(n, n − d)(ℝ) telles que :
  • im(B_0 U) = im(B_0),
  • im(A_0 V) = im(A_0) et
  • la matrice par blocs (B_0 U|A_0 V) est inversible.
On pose Q = (BU|AV) ∈ 𝒟_(ρ_1)(ℳ_n(ℝ)). Pour ρ ∈ ℝ_+^∗, on note GL_n(𝒟_ρ(ℝ)) l'ensemble des éléments M ∈ 𝒟_ρ(ℳ_n(ℝ)) tels que, pour tout a ∈ U_ρ, la matrice M_(|t = a) est inversible et l'application a ↦ (M_(|t = a))^(− 1) de U_ρ dans GL_n(ℝ) est un élément, noté M^(− 1), de 𝒟_ρ(ℳ_n(ℝ)).
21. Montrer qu'il existe ρ_2 ∈ ℝ_+^∗, ρ_2 ⩽ ρ_1 tel que Q ∈ GL_n(𝒟_(ρ_2)(ℝ)). (On pourra utiliser le résultat de la question 6.)
22. On considère un nombre réel a ∈ U_(ρ_2).
22a. Montrer que im(B_a U) ⊕ im(A_a V) = ℝ^n.
22b. Montrer les égalités :
  • im(B_a U) = im(B_a) = ker(A_a) et
  • im(A_a V) = im(A_a) = ker(B_a).
    (On pourra commencer par montrer les inclusions de la gauche vers la droite, puis utiliser un argument de dimensions.)
  1. Montrer que Q^(− 1) ⋅ M ⋅ Q = Diag(M_1, M_2) avec M_1 ∈ 𝒟_(ρ_2)(ℳ_d(ℝ)), M_2 ∈ 𝒟_(ρ_2)(ℳ_(n − d)(ℝ)).
  2. Montrer que, pour tout a ∈ U_(ρ_2), la somme directe de la question 22a est orthogonale pour le produit scalaire usuel sur ℝ^n.
  3. Montrer qu'il existe ρ_3 ∈ ℝ_+^∗ tel que ρ_3 ⩽ ρ_2 et des matrices R_1 ∈ GL_d(𝒟_(ρ_3)(ℝ)), R_2 ∈ GL_(n − d)(𝒟_(ρ_3)(ℝ)) telles que la matrice Q ⋅ Diag(R_1, R_2) soit orthogonale. (On pourra utiliser le résultat de la question 17.)
  4. Démontrer le théorème 2 .

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet X-ENS Maths B MP-MPI 2023 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet X-ENS Maths B MP-MPI 2023 ?

Il mobilise les séries entières, le produit de Cauchy, les espaces vectoriels normés, les polynômes et la division euclidienne, puis la réduction des matrices symétriques et le procédé de Gram-Schmidt.

Quelle est la moyenne de l'épreuve X Maths B MP 2023 ?

Le rapport indique une moyenne de 9.25 et un écart-type de 3.85 sur 1859 copies en MP. En MPI, la moyenne est de 9.21 et l'écart-type de 4.04 sur 251 copies.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées au X-ENS Maths B MP-MPI 2023 ?

L'oubli de la convergence absolue pour le produit de Cauchy, une convergence uniforme mal rédigée, l'usage de la réciproque du critère de d'Alembert et la confusion entre fonction non nulle et fonction qui ne s'annule pas.

Où les candidats se sont-ils arrêtés au X Maths B MP-MPI 2023 ?

Selon le jury, la question 13, assez technique, a arrêté une grande majorité des candidats. La troisième partie a des taux de réussite très faibles.

Pas de description pour le moment