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X ENS Mathématiques A MP MPI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Quaternions, rotations de l'espace et classification des algèbres réelles sans diviseur de zéro
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Le sujet construit l'algèbre des quaternions comme sous-algèbre réelle de M2(C) et relie ses éléments de norme 1 aux rotations de l'espace euclidien. Une partie de topologie et de géométrie établit un critère pour qu'une norme sur R² soit euclidienne. La dernière partie montre qu'une algèbre réelle algébrique sans diviseur de zéro, ou munie d'une norme multiplicative, est isomorphe à R, C ou H.

  1. 1Partie I : préliminairesStructure d'algèbre de H, inversibilité, norme multiplicative, groupe S des quaternions de norme 1, fermeture et connexité par arcs de S, quaternions purs orthogonaux.
  2. 2Partie II : automorphismes de H et rotationsMorphisme de groupes de S × S vers SO(H), noyau, surjectivité sur les rotations de l'espace des quaternions purs et description des automorphismes de H.
  3. 3Partie III : normes euclidiennes sur R²Compacité et convexité d'un ensemble de matrices, maximisation du déterminant et preuve qu'une norme vérifiant une inégalité de type parallélogramme provient d'un produit scalaire.
  4. 4Partie IV : algèbres valuéesPolynôme annulateur, décomposition en sous-espaces propres d'une application T et classification des algèbres algébriques sans diviseur de zéro puis des algèbres à norme multiplicative.

Difficile. Le jury juge le sujet très long : pour les parties 3 et 4, seules les questions les plus faciles ont généralement été traitées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,37 / 20 · écart-type 3,62 · 1 796 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,37/ 20
Écart-type
3,62
Présents
1 796
Durée
4 h
moyenne 9,3705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 17 avril 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Noyau d'un morphisme déclaré vide · Sous-groupe mal vérifié · Argument de dimension appliqué à un groupe
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Les questions étaient précises et ne demandaient ni longues rédactions ni calculs fastidieux, mais il fallait intégrer les notations et les résultats obtenus au fil du sujet. Très long, le sujet n'avait pas à être traité en entier pour obtenir une excellente note, à condition de rédiger rigoureusement. Le niveau global est jugé satisfaisant, malgré des erreurs de fond sur les groupes et la topologie.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Noyau d'un morphisme déclaré videQ6

    Le noyau d'un morphisme de groupes contient toujours l'élément neutre ; sa description explicite a rarement été correcte.

    « le noyau d'un morphisme de groupes était l'ensemble vide, alors qu'il contient nécessairement l'élément neutre »
  2. 2
    Sous-groupe mal vérifiéQ2b, Q11

    Il faut vérifier tous les critères, dont le caractère non vide, et pas seulement la stabilité par produit.

  3. 3
    Argument de dimension appliqué à un groupe

    Invoquer une dimension pour SO3(R), qui n'est pas un espace vectoriel, n'a pas de sens.

  4. 4
    Normes passées sous silenceQ7, Q14a

    Pour la continuité ou le caractère fermé, il faut dire que les normes sont équivalentes en dimension finie et, au besoin, en choisir une.

  5. 5
    Références vagues aux questions précédentes

    Utiliser un résultat antérieur exige de citer précisément la question et le résultat employé.

    « l'utilisation de résultats de questions antérieures nécessite de faire une référence précise à la fois à la question et au résultat utilisé »
  6. 6
    Polynôme annulateur mal exploitéQ20a, Q20b

    Peu de candidats factorisent le polynôme annulateur en irréductibles réels en utilisant l'absence de diviseur de zéro ; en 20b, beaucoup cherchent un isomorphisme envoyant i sur x alors que leurs polynômes annulateurs diffèrent en général.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1c, 2b, 3a et 3b de la partie 1 sont bien traitées.
  • Les questions 8a et 8b sur les rotations sont bien traitées par ceux qui les abordent.
  • Les questions 14a et 14b sur la compacité et le maximum du déterminant sont bien traitées.
  • Les questions 22a et 22b sont très bien traitées par ceux qui les abordent.

Conseils du jury

  • Citer précisément la question et le résultat utilisés lorsqu'on s'appuie sur une partie antérieure.
  • Rédiger correctement même les résultats élémentaires : survoler le sujet ne permet pas d'obtenir une note correcte.
  • Numéroter clairement les questions, mettre en valeur les résultats et écrire lisiblement.
  • Préciser la norme utilisée en dimension finie pour les questions de continuité ou de fermeture.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

LUNDI 17 AVRIL 2023
08h00-12h00
FILIERE MP-MPI - Epreuve n^∘1
MATHEMATIQUES A (XLSR)
Notations On note ℝ et ℂ les corps des nombres réels et complexes. Pour z ∈ ℂ on note z¯ le conjugué complexe de z et |z| le module de z.
Si V est un espace euclidien, on note End(V) l'espace des applications ℝ linéaires de V dans lui-même. On note aussi GL(V) le groupe des applications ℝ-linéaires bijectives de V sur lui-même, et on note O(V) ⊂ GL(V) (respectivement SO(V) ⊂ GL(V) ) le groupe orthogonal (respectivement spécial orthogonal) de V.
Par convention, les ℝ-algèbres considérées dans ce problème seront non nulles, associatives et unitaires, mais pas forcément commutatives. Deux ℝ-algèbres A et B sont dites isomorphes s'il existe une bijection ℝ-linéaire f : A → B telle que f(xy) = f(x)f(y) pour tous x, y ∈ A.
Soit A une ℝ-algèbre et soit e ∈ A l'élément unité de A pour la multiplication. On notera ℝ_A la sous-algèbre {ae|a ∈ ℝ} de A. Un élément x de A est dit inversible s'il existe y ∈ A tel que xy = yx = e. On note A^×l'ensemble des éléments inversibles de A. On admet que A^×est un groupe pour la multiplication.
On note M_2(ℂ) la ℂ-algèbre des matrices de taille 2 × 2 à coefficients complexes. Pour z_1, z_2 ∈ ℂ on note
Z(z_1, z_2) = (z_1, − z_2^–; z_2, z_1^–)
Soit ℍ = {Z(z_1, z_2)|z_1, z_2 ∈ ℂ} ⊂ M_2(ℂ). On admet que ℍ est un sous- ℝ-espace vectoriel de M_2(ℂ), admettant comme base les matrices
E:=(1, 0; 0, 1), I:=(i, 0; 0, − i), J:=(0, 1; − 1, 0), K:=(0, i; i, 0)
qui vérifient les relations suivantes dans M_2(ℂ) :
I^2 = J^2 = K^2 = − E, IJ = − JI = K, JK = − KJ = I, KI = − IK = J.
On veillera à ne pas confondre l'élément i de ℂ et la matrice I de ℍ ⊂ M_2(ℂ), ni la matrice I avec la matrice identité E.
On note ℍ^(im) = {xI + yJ + zK|(x, y, z) ∈ ℝ^3} ⊂ ℍ.
On définit une application N : ℍ → ℝ par N(Z(z_1, z_2)):=|z_1|^2 + |z_2|^2.
On note S = {U ∈ ℍ|N(U) = 1}.

I Préliminaires

Si A = (a_(ij)) ∈ M_2(ℂ) on note A^∗ = (a_(ji)^–).
  1. a) Montrer que ℍ est une sous- ℝ-algèbre de M_2(ℂ) stable par Z ↦ Z^∗.
    b) Soit Z ∈ ℍ. Calculer ZZ^∗ et en déduire que tout élément non nul de ℍ est inversible.
    c) Soit Z ∈ ℍ. Montrer que Z ∈ ℝ_ℍ si et seulement si ZZ^′ = Z^′ Z pour tout Z^′ ∈ ℍ.
  2. a) Montrer que l'on a N(ZZ^′) = N(Z)N(Z^′) pour tous Z, Z^′ ∈ ℍ.
    b) Montrer que S est un sous-groupe de ℍ^×et que 1/(√(N(Z)))Z ∈ S pour tout Z ∈ ℍ^×.
  3. a) Montrer que pour tous x, y, z, t ∈ ℝ on a
N(xE + yI + zJ + tK) = x^2 + y^2 + z^2 + t^2.
b) Montrer que pour tout U ∈ ℍ^(im) on a U^2 = − N(U)E et que
ℍ^(im) = {U ∈ ℍ|U^2 ∈ ] − ∞, 0]E}
La question 3a) montre que l'on définit un produit scalaire ⟨, ⟩surℍ en posant, pour Z, Z^′ ∈ ℍ
⟨Z, Z^′⟩ = (N(Z + Z^′) − N(Z) − N(Z^′))/2
et que l'on dispose d'une isométrie
ψ : ℝ^4 → ℍ, ψ(x, y, z, t):=xE + yI + zJ + tK
de ℝ^4 muni du produit scalaire usuel sur ℍ. On munit par la suite ℍ de sa structure d'espace euclidien induite par le produit scalaire ⟨, ⟩.Ainsi ( E, I, J, K ) est une base orthonormée de ℍ.
4. Montrer que S est une partie fermée et connexe par arcs de ℍ.
5. Soient U, V ∈ ℍ^(im).
a) Montrer que U et V sont orthogonaux si et seulement si UV + VU = 0. Dans ce cas montrer que UV ∈ ℍ^(im) et que le déterminant de la famille ( U, V, UV ) dans la base ( I, J, K ) de ℍ^(im) est positif ou nul.
b) Montrer que si ( U, V ) est une famille orthonormale dans ℍ^(im), alors ( U, V, UV ) est une base orthonormée directe de ℍ^(im).

II Automorphismes de ℍ et rotations

On munit S × S de la loi de composition × donnée par (u_1, u_2) × (v_1, v_2) = (u_1 v_1, u_2 v_2) et on admet qu'elle munit S × S d'une structure de groupe. On considère l'application
α : S × S, ⟶ GL(ℍ); (u, v), ⟼ (Z ↦ uZv^(− 1))
en admettant que α(u, v) est bien dans GL(ℍ). Pour u ∈ S, on admet que l'endomorphisme α(u, u) de ℍ laisse stable le sous-espace ℍ^(im) de ℍ, et on note C_u ∈ End(ℍ^(im)) l'endomorphisme induit. On a donc C_u(Z) = uZu^(− 1) pour Z ∈ ℍ^(im).
6. Montrer que α est un morphisme de groupes et décrire son noyau.
7. Montrer que α est continu et que l'image de α est contenue dans SO(ℍ). On pourra commencer par montrer que α(u, v) ∈ O(ℍ) pour (u, v) ∈ S × S.
8. Soient θ ∈ ℝ et v ∈ ℍ^(im) ∩ S, et soit u = (cosθ)E + (sinθ)v.
a) Montrer que u ∈ S et que u^(− 1) = (cosθ)E − (sinθ)v.
b) Soit w ∈ ℍ^(im) ∩ S un vecteur orthogonal à v. Décrire la matrice de C_u dans la base orthonormée directe (v, w, vw) de ℍ^(im).
9. Montrer que l'application u ↦ C_u induit un morphisme surjectif de groupes S → SO(ℍ^(im)) et décrire son noyau.
10. a) En déduire que α(S × S) = SO(ℍ).
b) Montrer que N:=α(S × {1}) est un sous-groupe de SO(ℍ), puis que gng^(− 1) ∈ N pour tous n ∈ N et g ∈ SO(ℍ) et que { ± id} ⊊ N ⊊ SO(ℍ).
Soit Aut(ℍ) l'ensemble des automorphismes de la ℝ-algèbre ℍ. Un élément de Aut(ℍ) est donc une application ℝ-linéaire bijective f : ℍ → ℍ satisfaisant f|_(ℝ_ℍ) = id_(ℝ_ℍ) et f(uv) = f(u)f(v) pour tout (u, v) ∈ ℍ^2.
11. Montrer que Aut(ℍ) est un sous-groupe de GL(ℍ), contenant α(u, u) pour tout u ∈ S.
12. Montrer que (f(I), f(J), f(K)) est une base orthonormée directe de ℍ^(im) pour tout f ∈ Aut(ℍ).
13. a) Montrer que l'application de restriction à ℍ^(im) induit un isomorphisme de groupes
Aut(ℍ) ≃ SO(ℍ^(im)).
b) Montrer que
Aut(ℍ) = {α(u, u)|u ∈ S}.

III Normes euclidiennes sur ℝ^2

Le but de cette partie est la preuve du résultat suivant, qui sera utilisé dans la partie IV.
Théorème A. Soit ‖ ⋅ ‖ une norme sur le ℝ-espace vectoriel ℝ^2. Si
‖x + y‖^2 + ‖x − y‖^2 ≥ 4
pour tous x, y ∈ ℝ^2 vérifiant ‖x‖ = ‖y‖ = 1, alors ‖ ⋅ ‖ provient d'un produit scalaire sur ℝ^2.
On note ‖ ⋅ ‖_2 la norme euclidienne canonique sur ℝ^2 et on note
C:={x ∈ ℝ^2|‖x‖_2 = 1}.
On fixe une norme quelconque ‖ ⋅ ‖ sur ℝ^2 et on note
K = {A ∈ M_2(ℝ)|∀x ∈ ℝ^2‖x‖_2 ≥ ‖Ax‖}.
  1. a) Montrer que K est une partie compacte et convexe de M_2(ℝ).
    b) Montrer qu'il existe A ∈ K tel que detA = sup_(B ∈ K)detB.
On fixe par la suite un élément A de K tel que detA = sup_(B ∈ K)detB.
15. Montrer que detA > 0 et qu'il existe x ∈ C tel que ‖Ax‖ = 1.
On fixe par la suite x ∈ C tel que ‖Ax‖ = 1.
16. Soit B ∈ SO(ℝ^2) une matrice telle que x = B(1/0).
a) Montrer que pour tout r ∈ ]0, 1[ il existe x_r ∈ C tel que
‖AB(r, 0; 0, 1/r)x_r‖ > 1.
b) Montrer que si x_r = ((y_r)/(z_r)), alors z_r^2 > (r^2)/(1 + r^2).
17. En utilisant ce qui précède, montrer qu'il existe une base ( e_1, e_2 ) de ℝ^2 telle que ‖Ax‖ = ‖x‖_2 pour x ∈ {e_1, e_2}.
18. Soit T une partie fermée de C, telle qu'il existe x, y ∈ T avec y ∉ { − x, x}. On suppose que pour tous a, b ∈ T avec b ∉ { − a, a}, on a que (b − a)/(‖b − a‖_2) et (b + a)/(‖b + a‖_2) appartiennent à T . Montrer que T = C.
19. Montrer le théorème A.

IV Algèbres valuées

Soit A une ℝ-algèbre et e son élément neutre. Dans cette partie, on identifiera ℝ_A avec ℝ, et on notera (abusivement) a l'élément ae de A pour a ∈ ℝ. On dit que A est algébrique si pour tout x ∈ A il existe un entier n ≥ 1 et a_0, …, a_(n − 1) ∈ ℝ tels que
x^n + a_(n − 1)x^(n − 1) + … + a_1 x + a_0 = 0.
On dit que A est sans diviseur de zéro si xy ≠ 0 pour tous x, y ∈ A∖{0}. Dans cette partie, nous allons montrer le théorème B ci-dessous, puis l'utiliser pour prouver le théorème C plus loin.
Théorème B. Une ℝ-algèbre algébrique et sans diviseur de zéro est isomorphe à ℝ, ℂ ou ℍ.
Soit A une ℝ-algèbre algébrique et sans diviseur de zéro.
20. a) Montrer que x^2 ∈ ℝ + ℝx pour tout x ∈ A.
b) Montrer que si x ∈ A∖ℝ, alors ℝ + ℝx est une ℝ-algèbre isomorphe à ℂ.
On suppose que A n'est pas isomorphe à une des algèbres ℝ ou ℂ.
21. Montrer qu'il existe i_A ∈ A tel que i_A^2 = − 1.
On fixe par la suite un élément i_A de A tel que i_A^2 = − 1. On note U = ℝ + ℝi_A et on définit l'application
T : A → A, T(x) = i_A xi_A.
On note id : A → A l'application identité de A.
22. a) Montrer que T(xy) = − T(x)T(y) pour tous x, y ∈ A.
b) Calculer T^2 = T ∘ T et en déduire que A = ker(T − id) ⊕ ker(T + id).
23. Montrer que ker(T + id) = U et en déduire que ker(T − id) ≠ {0}.
24. On fixe β ∈ ker(T − id)∖{0}.
a) Montrer que l'application x ↦ βx envoie ker(T − id) dans ker(T + id). En déduire que β^2 ∈ U et que ker(T − id) = βU.
b) Montrer que β^2 ∈ ] − ∞, 0[.
c) Démontrer le théorème B.
On se propose maintenant de démontrer le résultat suivant:
Théorème C. Soit A une ℝ-algèbre. S'il existe une norme ‖ ⋅ ‖ sur le ℝ-espace vectoriel A telle que
∀x, y ∈ A‖xy‖ = ‖x‖ ⋅ ‖y‖,
alors A est isomorphe à ℝ, ℂ ou ℍ.
On fixe une ℝ-algèbre comme dans l'énoncé du théorème ci-dessus.
25. Soient x, y ∈ A tels que xy = yx et tels que V = ℝx + ℝy soit de dimension 2 sur ℝ. Montrer que
∀u, v ∈ V ‖u + v‖^2 + ‖u − v‖^2 ≥ 4‖u‖ ⋅ ‖v‖
et que la restriction de ‖ ⋅ ‖ à V provient d'un produit scalaire sur V.
26. Montrer que x^2 ∈ ℝ + ℝx pour tout x ∈ A. On pourra utiliser le résultat de la question 25 avec y = 1.
27. Conclure.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet X-ENS Maths A MP MPI 2023 ?
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Sur quoi porte le sujet X-ENS Maths A MP MPI 2023 ?

Sur l'algèbre des quaternions, son lien avec les rotations de l'espace, un critère pour qu'une norme sur R² soit euclidienne et la classification des algèbres réelles sans diviseur de zéro ou à norme multiplicative.

Quelle est la moyenne en Maths A X-ENS MP 2023 ?

Selon le rapport, la moyenne est de 9,37/20 (écart-type 3,62) sur 1796 copies de candidats français de MP, et de 9,19/20 (écart-type 3,49) sur 229 copies en MPI.

Faut-il finir le sujet Maths A X-ENS 2023 pour avoir une bonne note ?

Non. Le jury indique que le sujet était très long et qu'une excellente note était possible sans tout traiter, à condition de rédiger rigoureusement les questions abordées.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths A X-ENS MP MPI 2023 ?

Un noyau de morphisme déclaré vide, des sous-groupes mal vérifiés, des arguments de dimension appliqués à SO3(R), des normes non précisées pour la continuité et des renvois vagues aux questions précédentes.

Pas de description pour le moment