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X ENS Mathématiques A MP MPI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Permutations aléatoires et nombre de facteurs premiers : deux estimations asymptotiques du type ln(n) et ln(ln(n))
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Le sujet comporte deux parties indépendantes qui visent chacune une estimation asymptotique. La première munit le groupe des permutations de la probabilité uniforme et étudie la signature, le nombre de points fixes et le nombre de cycles, dont on montre qu'il reste proche de ln(n). La seconde étudie le nombre ω(n) de diviseurs premiers d'un entier n et montre que les entiers pour lesquels ω(n) s'écarte de ln(ln(n)) forment un ensemble de densité nulle.

  1. 1Première partie : variables aléatoires sur les permutationsDiagonalisation d'une matrice, formule du binôme et matrices de changement de base pour dénombrer les dérangements, puis loi, espérance et variance du nombre de cycles et inégalité de concentration.
  2. 2Deuxième partie : nombre de facteurs premiers d'un entierTransformation d'Abel sous forme intégrale, majoration du produit des nombres premiers par 4^n, valuations p-adiques de n!, estimation de la somme des 1/p puis moyenne et variance de ω(n).

Difficile. Le jury juge la longueur raisonnable mais la difficulté des dernières questions de la seconde partie particulièrement élevée, si bien que peu de candidats ont traité l'épreuve en entier.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,59 / 20 · écart-type 3,95 · 1 768 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,59/ 20
Écart-type
3,95
Présents
1 768
Durée
4 h
moyenne 8,5905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 15 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Diagonalisabilité mal justifiée · Matrice d'une application dans deux bases · Comparaisons asymptotiques imprécises
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Le niveau global est jugé satisfaisant. La première partie a été largement abordée, tandis que le nombre de réponses chute nettement à partir de la question 20.a. Le jury relève des erreurs systématiques sur les matrices d'applications linéaires, les comparaisons asymptotiques et l'usage du lemme de Gauss.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Diagonalisabilité mal justifiée1a

    Beaucoup affirment qu'une matrice est diagonalisable dès que son polynôme caractéristique est scindé, ou que le polynôme obtenu est à racines simples. Donner un sous-espace propre sous la forme d'un noyau sans le calculer ne suffit pas.

  2. 2
    Matrice d'une application dans deux bases5b, 5d

    L'écriture de la matrice de l'identité avec des bases différentes au départ et à l'arrivée a causé de nombreuses erreurs, ainsi que la confusion entre une matrice et sa transposée.

  3. 3
    Comparaisons asymptotiques imprécises14a, 19a, 20c

    Des candidats confondent o(1) et O((ln n)/n), ou raisonnent avec des équivalents alors qu'un développement beaucoup plus fin était demandé.

    « Une autre erreur fréquente était de raisonner avec des équivalents, sans comprendre que le résultat demandé était un developpement limité beaucoup plus fin. »
  4. 4
    Mauvaise inégalité de concentration15

    L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev a souvent été invoquée à la place de l'inégalité de Markov, alors que la déviation portait sur ln(n) et non sur l'espérance.

  5. 5
    Lemme de Gauss mal utilisé17c

    La justification de la divisibilité du coefficient binomial par le produit des nombres premiers semblait anodine, mais beaucoup ne savent pas la rédiger rigoureusement.

    « l’utilisation du lemme de Gauss n’est pas correctement intégrée. »
  6. 6
    Récurrence mal initialisée et termes résiduels oubliés10, 11

    La relation de récurrence n'était valable que pour k entre 2 et n-1 ; les autres termes devaient être traités à part.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1a est en général bien traitée.
  • Le lien entre la formule de la question 1b et les opérations de dérivation et d'intégration a en général été vu (question 2).
  • Le dénombrement des permutations par points fixes et dérangements (question 6) est globalement assez bien réussi.
  • L'inversibilité de la matrice triangulaire de la question 5c a été remarquée par l'ensemble des candidats.
  • Les questions 13a, 16, 17b, 19a et 19c ont été largement traitées.

Conseils du jury

  • Ne pas utiliser de résultat hors programme sans le démontrer.
  • Soigner la rédaction, y compris pour les résultats élémentaires, et numéroter clairement les questions.
  • Pour utiliser un résultat antérieur, citer la question et expliquer comment il s'insère dans l'argument.
  • Ne pas se contenter de survoler le sujet en ne traitant que les questions faciles.
  • Envisager de commencer par la seconde partie quand les parties sont indépendantes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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CONCOURS D'ADMISSION 2024

LUNDI 15 AVRIL 2024
08h00-12h00
FILIERES MP-MPI - Epreuve n ^∘1
MATHEMATIQUES A (XLSR)

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Le problème comporte deux parties qui sont indépendantes.

Notations

On note ℕ l'ensemble des entiers naturels et ℕ^∗ l'ensemble des entiers naturels non nuls.
Soit n un entier naturel non nul. On note 𝔖_n le groupe des permutations de {1, …, n} et ε(σ) la signature d'une permutation σ ∈ 𝔖_n.
Si σ ∈ 𝔖_n, on appelle point fixe de σ un élement i ∈ {1, …, n} tel que σ(i) = i. On note ν(σ) le nombre de points fixes de σ. On appelle dérangement une permutation σ ∈ 𝔖_n n'ayant aucun point fixe. On note 𝔇_n l'ensemble des dérangements de 𝔖_n et D_n son cardinal.
Si k est un entier naturel tel que k ⩽ n, on note (n/k) le coefficient binomial correspondant au nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments. Par convention, on pose (n/k) = 0 pour un entier naturel k > n.
On note ℝ[X] l'ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients réels. Si de plus n ⩾ 0 est un entier naturel, on note ℝ_n[X] l'ensemble des éléments P ∈ ℝ[X] de degré inférieur ou égal à n.
Si n ⩾ 0 et d ⩾ 1 sont deux entiers naturels, on note d|n la relation «d divise n».
Si x est un réel, on note E(x) sa partie entière, c'est-à-dire l'unique entier E(x) tel que E(x) ⩽ x < E(x) + 1.
Si p est un nombre premier et n un entier naturel non nul, on note
ν_p(n) = max{ν ∈ ℕ : p^ν|n}.
Soit n un entier naturel non nul. On note ℳ_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients réels.
Pour tout ensemble E, on note 𝒫(E) l'ensemble des parties de E.
On note ln_2 la fonction de ]1, + ∞[ dans ℝ définie par ln_2(x) = ln(ln(x)).
Si (a_n)_(n ∈ ℕ^∗) désigne une suite de nombres réels, on note, pour tout nombre réel x ∈ ℝ,
∑_(n ⩽ x)a_n = ∑_(n = 1)^(E(x))a_n, ∑_(p ⩽ x; p premier)a_p = ∑_(p = 1; p premier)^(E(x))a_p, ∏_(p ⩽ x; p premier)a_p = ∏_(p = 1; p premier)^(E(x))a_p
avec la convention que la somme indexée par l'ensemble vide vaut 0 et le produit indexé par l'ensemble vide vaut 1 .
On pourra utiliser sans démonstration le fait qu'il existe un réel γ tel que
∑_(k = 1)^n 1/k = _(n → + ∞)ln(n) + γ + O(1/n)

Première partie

Soit un entier naturel n ⩾ 2. Pour tout nombre réel x, on considère la matrice de ℳ_n(ℝ) suivante
M_x = (x, 1, ⋯, 1, 1; 1, x, ⋯, 1, 1; ⋮, ⋮, ⋱, ⋮, ⋮; 1, 1, ⋯, x, 1; 1, 1, ⋯, 1, x).
1a. Montrer que la matrice − M_0 est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
1b. En déduire que pour tout x ∈ ℝ, on a
∑_(σ ∈ 𝔖_n)ε(σ)x^(ν(σ)) = (x − 1)^(n − 1)(x + n − 1).
  1. Calculer
∑_(σ ∈ 𝔖_n)ε(σ), ∑_(σ ∈ 𝔖_n)ε(σ)ν(σ) et ∑_(σ ∈ 𝔖_n)(ε(σ))/(ν(σ) + 1).
  1. Établir que
Card{σ ∈ 𝔖_n : ε(σ) = 1} = Card{σ ∈ 𝔖_n : ε(σ) = − 1}
et en déduire la probabilité qu'une permutation de 𝔖_n tirée uniformément au hasard soit de signature prescrite.
4. Pour σ ∈ 𝔖_n, préciser à quelle condition sur ν(σ), on a σ ∈ 𝔇_n. En déduire que
Card{σ ∈ 𝔇_n : ε(σ) = 1} = Card{σ ∈ 𝔇_n : ε(σ) = − 1} + (− 1)^(n − 1)(n − 1).
Soit m ∈ ℕ. On considère la matrice
M = ((0/0), 0, ⋯, ⋯, ⋯, 0; (1/0), (1/1), 0, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋮; ((m − 1)/0), ((m − 1)/(m − 1)), 0; (m/0), ⋯, ⋯, ⋯, ⋯, (m/m)) ∈ ℳ_(m + 1)(ℝ).
5a. Justifier que les familles (1, X, …, X^m) et (1, (X − 1), …, (X − 1)^m) sont des bases de ℝ_m[X].
5b. Montrer que la transposée de M est la matrice de l'application linéaire identité
ℝ_m[X], ⟶, ℝ_m[X]; P, ⟼, P
dans les bases (1, X, …, X^m) au départ et (1, (X − 1), …, (X − 1)^m) à l'arrivée.
5c. Établir que M est inversible et expliciter son inverse.
5d. En déduire que pour tous (u_0, …, u_m), (v_0, …, v_m) ∈ ℝ^(m + 1),
si ∀k ⩽ m, u_k = ∑_(ℓ = 0)^k(k/ℓ)v_ℓ, alors ∀k ⩽ m, v_k = ∑_(ℓ = 0)^k(− 1)^(k − ℓ)(k/ℓ)u_ℓ
  1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul,
D_n = n!∑_(k = 0)^n((− 1)^k)/(k!)
Pour n un entier naturel supérieur ou égal à 2 , on considère l'espace probabilisé (𝔇_n, 𝒫(𝔇_n)) muni de la probabilité uniforme. On définit une variable aléatoire Y_n par Y_n(σ) = ε(σ).
7a. Expliciter la loi de Y_n.
7b. Calculer, pour tout ε ∈ { − 1, 1}, lim_(n → + ∞)ℙ(Y_n = ε).
Pour n un entier naturel supérieur ou égal à 2 , on considère l'espace probabilisé ( 𝔖_n, 𝒫(𝔖_n) ) muni de la probabilité uniforme. On définit une variable aléatoire Z_n par Z_n(σ) = ν(σ).
8a. Expliciter la loi de Z_n.
8b. Calculer, pour tout entier naturel k ⩽ n, lim_(n → + ∞)ℙ(Z_n = k).
8c. Déterminer le nombre moyen de points fixes d'une permutation aléatoire ainsi que sa limite quand n tend vers + ∞.
Soit n un entier naturel non nul. Pour toute permutation σ ∈ 𝔖_n, on rappelle qu'il existe, à l'ordre près, une unique décomposition σ = c_1 c_2⋯c_(ω(σ)), où ω(σ) ∈ ℕ^∗ où c_1, …, c_(ω(σ)) sont des cycles à supports disjoints de longueurs respectives ℓ_1 ⩽ ℓ_2 ⩽ ⋯ ⩽ ℓ_(ω(σ)) et ℓ_1 + ℓ_2 + ⋯ + ℓ_(ω(σ)) = n. En particulier, on prendra garde au fait que l'on prend ici en compte les cycles c_i de longueur 1 , qui correspondent aux points fixes de σ, auquel cas c_i est l'identité.
Par exemple, si σ est la permutation identité de {1, …, n}, on a ω(σ) = n et ℓ_(ω(σ)) = 1. Et si σ est la permutation (1, 2) de {1, 2, 3}, on a σ = c_1 ∘ c_2 où c_1 est l'identité et c_2 = (1, 2) de sorte que ω(σ) = 2.
On obtient ainsi une application ω : 𝔖_n → ℕ. On se propose de montrer qu'en moyenne, ω(σ) est de l'ordre de ln(n) dans un sens que l'on précisera.
Pour un entier k inférieur ou égal à n, on note s(n, k) le nombre de permutations de 𝔖_n telles que ω(σ) = k. On considère alors, sur l'espace probabilisé ( 𝔖_n, 𝒫(𝔖_n) ) muni de la probabilité uniforme, la variable aléatoire X_n définie par X_n(σ) = ω(σ).
9. Calculer, pour n ∈ {2, 3, 4}, la quantité 1/(n!)∑_(σ ∈ 𝔖_n)ω(σ).
10. Préciser s(n, n) et s(n, 1) puis montrer que, pour 2 ⩽ k ⩽ n − 1, on a
s(n, k) = s(n − 1, k − 1) + (n − 1)s(n − 1, k)
Pour σ ∈ 𝔖_n, on pourra distinguer les cas σ(1) = 1 et σ(1) ≠ 1.
11. Établir que, pour tout réel x, ∏_(i = 0)^(n − 1)(x + i) = ∑_(k = 1)^n s(n, k)x^k.
12. Démontrer que 𝔼[X_n] = _(n → + ∞)ln(n) + γ + O(1/n).
13a. Montrer que
1/(n!)∑_(k = 1)^n k(k − 1)s(n, k) = ∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n 1/(ij) − ∑_(i = 1)^n 1/(i^2).
13b. En déduire que
1/(n!)∑_(k = 1)^n k^2 s(n, k) = 𝔼[X_n] + (∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n 1/(ij) − ∑_(i = 1)^n 1/(i^2)).
14a. Montrer que
1/(n!)∑_(σ ∈ 𝔖_n)ω(σ)^2 = _(n → + ∞)(2γ + 1)ln(n) + c + ln(n)^2 + O((ln(n))/n)
pour un réel c à préciser.
14b. Montrer que
1/(n!)∑_(σ ∈ 𝔖_n)(ω(σ) − ln(n))^2 = _(n → + ∞)ln(n) + c + O((ln(n))/n).
  1. Justifier qu'il existe un nombre réel C > 0 tel que, pour tout réel ε > 0 et tout entier n ⩾ 1, on a
ℙ(|X_n − ln(n)| > εln(n)) ⩽ C/(ε^2 ln(n)).

Deuxième partie

Pour tout entier naturel n non nul, on pose
ω(n) = Card{p premier : p|n} = ∑_(p|n; p premier)1
Par exemple, ω(6) = ω(12) = 2.
16. Soit (a_n)_(n ⩾ 2) une suite de nombres réels. Pour t ∈ ℝ, on pose A(t) = ∑_(2 ⩽ k ⩽ t)a_k. Soit b : [2, + ∞[ → ℝ une fonction de classe 𝒞^1. Montrer que pour tout entier n ⩾ 2,
∑_(k = 2)^n a_k b(k) = A(n)b(n) − ∫_2^n b^′(t)A(t)dt
  1. L'objectif de cette question est de démontrer que si n est un entier naturel non nul, alors ∏_(p ⩽ n; p premier)p ⩽ 4^n.
17a. Traiter les cas n ∈ {1, 2, 3}.
On suppose à présent n ⩾ 4 et le résultat connu au rang k pour tout entier k compris entre 1 et n − 1.
17b. Établir le résultat au rang n si n est pair.
17c. Soit n = 2m + 1 avec m ∈ ℕ. Justifier que ∏_(m + 1 < p ⩽ 2m + 1; p premier)p divise ((2m + 1)/m) et montrer que ((2m + 1)/m) ⩽ 4^m.
17d. Conclure.
18. Soit n un entier naturel non nul et soit p un nombre premier. Justifier la formule ν_p(n!) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)E(n/(p^k)) et montrer que
n/p − 1 < ν_p(n!) ⩽ n/p + n/(p(p − 1))
19a. Par comparaison avec une intégrale, établir que
∑_(k = 1)^n ln(k) = _(n → + ∞)nln(n) − n + O(ln(n))
19b. Justifier que n! = ∏_(p ⩽ n; p premier)p^(ν_p(n!)) et en déduire que
n∑_(p ⩽ n; p premier)(ln(p))/p − nln(4) < ln(n!) ⩽ n∑_(p ⩽ n; p premier)(ln(p))/p + n∑_(p ⩽ n; p premier)(ln(p))/(p(p − 1)).
19c. Justifier que la série ∑_(k ⩾ 2)(ln(k))/(k(k − 1)) converge.
19d. Conclure que ∑_(p ⩽ n; p premier)(ln(p))/p = _(n → + ∞)ln(n) + O(1).
20a. On pose, pour tout réel t ⩾ 2,
R(t) = ∑_(p ⩽ t; p premier)(ln(p))/p − ln(t)
Montrer, en utilisant le résultat de la question 16, que
∑_(p ⩽ n; p premier)1/p = 1 + ln_2(n) − ln_2(2) + (R(n))/(ln(n)) + ∫_2^n(R(t))/(t(ln(t))^2) dt
20b. Justifier que la fonction t ↦ (R(t))/(t(ln(t))^2) est intégrable sur [2, + ∞[.
20c. Établir que ∑_(p ⩽ n; p premier)1/p = _(n → + ∞)ln_2(n) + c_1 + O(1/(ln(n))), pour un réel c_1 ∈ ℝ à préciser.
21a. Soient x un réel positif supérieur ou égal à 1 et q ∈ ℕ^∗. Justifier que la quantité
Card{n ∈ ℕ ∩ [1, x] : n ≡ 0(modq)} − x/q
est bornée en valeur absolue par un réel indépendant de x et de q.
21b. Démontrer, à l'aide d'une interversion de sommes, que 1/x∑_(n ⩽ x)ω(n) = _(x → + ∞)ln_2(x) + O(1).
22a. Montrer que
1/x∑_(n ⩽ x)(ω(n) − ln_2(x))^2 = _(x → + ∞)1/x(∑_(n ⩽ x)ω(n)^2) − ln_2(x)^2 + O(ln_2(x))
22b. Montrer que
∑_(n ⩽ x)ω(n)^2 = ∑_(p_1 ⩽ x; p_1 premier)∑_(p_2 ⩽ x; p_2 premier)Card{n ∈ ℕ^∗ : n ⩽ x, p_1|n et p_2|n}
22c. Montrer que
(∑_(p_1, p_2 ⩽ x; p_1 ≠ p_2 premiers)Card{n ∈ ℕ^∗ : n ⩽ x, p_1|n et p_2|n}) − xln_2(x)^2 = _(x → + ∞)O(xln_2(x))
On pourra estimer le cardinal de l'ensemble des paires de nombres premiers ( p_1, p_2 ) tels que p_1 p_2 ⩽ x quand x tend vers + ∞.
22d. Conclure que 1/x(∑_(n ⩽ x)(ω(n) − ln_2(x))^2) = _(x → + ∞)O(ln_2(x)).
23. On pose 𝒮 = {n ⩾ 3 : |(ω(n) − ln_2(n))/(√(ln_2(n)))| ⩾ (ln_2(n))^(1/4)}. Montrer que
lim_(x → + ∞)1/xCard{n ⩽ x : n ∈ 𝒮} = 0
On pourra commencer par écrire Card(𝒮 ∩ [1, x]) = _(x → + ∞)Card(𝒮 ∩ [√x, x]) + O(√x) et remarquer que dans la somme du membre de droite, la différence |ln_2(n) − ln_2(x)| reste bornée.
On dit alors que l'ensemble 𝒮 a densité 0 . De même que pour les permutations, on obtient que, en dehors d'un ensemble de densité nulle, ω(n) = ln(ln(n))(1 + o(1)).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet X-ENS maths A MP-MPI 2024 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet X-ENS maths A MP-MPI 2024 ?

La première partie mêle permutations, dénombrement, réduction des matrices, polynômes et probabilités discrètes. La seconde porte sur l'arithmétique des nombres premiers et les comparaisons asymptotiques.

Quelle est la moyenne de l'épreuve X-ENS maths A MP-MPI 2024 ?

Selon le rapport, la moyenne des 2690 candidats est de 8,16/20 avec un écart-type de 4,01.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en X-ENS maths A MP-MPI 2024 ?

Le jury cite la matrice d'une application linéaire dans deux bases différentes, la manipulation approximative des o et des O, l'usage d'équivalents au lieu d'un développement asymptotique précis et un emploi incorrect du lemme de Gauss.

Faut-il traiter tout le sujet X-ENS maths A MP-MPI 2024 pour avoir une bonne note ?

Non. Le jury précise qu'il n'était pas nécessaire de traiter l'ensemble du sujet pour obtenir une excellente note, les dernières questions de la seconde partie étant très difficiles.

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