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X ENS Mathématiques B MP MPI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Théorie de Floquet : équations différentielles linéaires à coefficients périodiques
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Le sujet étudie les systèmes différentiels linéaires X' = A(t)X avec A continue et périodique, pour établir le théorème de Floquet et caractériser l'existence de solutions périodiques. Il passe par une démonstration élémentaire du théorème d'inversion locale, puis par la surjectivité de l'exponentielle matricielle sur GLn(C), obtenue par un argument de connexité.

  1. 1Première partie : l'équation y'' + qy = 0 à coefficient périodiqueCas particulier en dimension 2 : base de solutions, wronskien, solutions vérifiant y(t+T) = µy(t), puis théorèmes de Floquet et des solutions périodiques dans ce cas.
  2. 2Deuxième partie : théorème d'inversion localeDémonstration par l'inégalité des accroissements finis, la compacité et la minimisation de la distance ‖y0 - f(x)‖².
  3. 3Troisième partie : surjectivité de l'exponentielle matricielleÉtude de l'exponentielle sur l'algèbre C[A] des polynômes en A, ouverts et fermés dans un ensemble connexe par arcs, puis surjectivité de exp sur GLn(C).
  4. 4Quatrième partie : théorème de Floquet et solutions périodiquesDémonstration du théorème de Floquet, utilisation de la décomposition de Dunford admise, puis cas avec second membre et exemple en dimension 2.

Difficile. Le jury estime le sujet original sans être plus difficile que les années précédentes, mais les taux de réussite chutent sous 20 % dès la question 5.b et atteignent 0 % pour les questions 20 à 22.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,69 / 20 · écart-type 3,78 · 1 437 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,69/ 20
Écart-type
3,78
Présents
1 437
Durée
4 h
moyenne 9,6905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 16 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Équivalence démontrée dans un seul sens · Racines supposées conjuguées · Manipulations illicites de « petits o »
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Les questions de vérification du début (1, 2, 8.a, 10.a) sont très bien réussies, avec des taux proches de 90 %. Les questions qui demandent de l'initiative, en particulier dans les parties II à IV, ne sont traitées que par une petite fraction des candidats. Le jury constate un niveau stable par rapport aux années précédentes et de nombreuses copies convenablement rédigées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Équivalence démontrée dans un seul sensQ3, Q15

    En question 3, beaucoup de candidats montrent une implication mais oublient la réciproque, ou s'enlisent dans des calculs au lieu de voir µ comme valeur propre d'un endomorphisme de l'espace des solutions.

  2. 2
    Racines supposées conjuguéesQ4.a

    Par habitude des trinômes réels, des candidats affirment que µ1 et µ2 sont conjugués, ce qui est faux ici : il fallait utiliser les relations coefficients-racines.

  3. 3
    Manipulations illicites de « petits o »Q5.b, Q5.c

    Le caractère C1 de f est indispensable en 5.b ; se contenter de la différentiabilité en a mène à des additions de petits o non justifiées.

  4. 4
    Continuité de la réciproque jugée évidenteQ7.b

    Une bijection continue n'est pas forcément un homéomorphisme : il fallait prouver que la réciproque est lipschitzienne.

    « Il conviendrait d'avoir en tête un exemple de bijection continue qui ne soit pas un homéomorphisme. »
  5. 5
    Exponentielle de matrices mal manipuléeQ12, Q15, Q17.b

    La formule « exponentielle d'une primitive » n'est valable que si les A(t) commutent, et exp(D+N) = exp(D)exp(N) exige que D et N commutent. En question 12, une suite exp(Bk) bornée n'implique pas que Bk le soit.

  6. 6
    Argument de limite oubliéQ9

    Pour montrer que exp(P(A)) est un polynôme en A, il faut passer à la limite en utilisant que C[A] est fermé, et pas seulement invoquer un polynôme annulateur.

Ce qui a été bien réussi

  • Application du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire en question 1.a (84 % de réussite).
  • Wronskien constant en question 1.b (89 %) et changement de variable t ↦ t + T en question 2 (92 %).
  • Questions faciles 7.a, 8.a et 10.a bien traitées.
  • Existence d'un minimum par compacité en question 6.a vue par une majorité de candidats.

Conseils du jury

  • Traiter correctement des questions consécutives, y compris difficiles, plutôt que de grappiller les plus faciles : le barème rend cette stratégie perdante.
  • Soigner les questions 3, 6.a et 7.b, qui donnent la clé des parties suivantes.
  • Utiliser un résultat admis est permis, à condition de vérifier toutes ses hypothèses.
  • Mentionner même les vérifications triviales, comme en question 8.a.
  • Utiliser un brouillon et écrire lisiblement : un passage indéchiffrable ne rapporte pas de points.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2024

MARDI 16 AVRIL 2024
08h00-12h00
FILIERES MP-MPI - Epreuve nº 3
MATHEMATIQUES B (X)

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Le sujet comporte quatre parties. La première partie est indépendante des trois autres.

Notations

On note ℕ l'ensemble des entiers naturels, ℕ^∗ l'ensemble des entiers naturels non nuls, ℤ l'ensemble des entiers relatifs, ℝ l'ensemble des nombres réels et ℂ l'ensemble des nombres complexes. On note également ℂ^∗ l'ensemble des nombres complexes non nuls.
Si E désigne un ℝ-espace vectoriel et si v_1, …, v_k sont des éléments de E, on note Vect(v_1, …, v_k) le sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs v_1, …, v_k.
Si k ⩾ 1 est un entier et si E désigne un ℝ-espace vectoriel de dimension finie, on note 𝒞^k(ℝ, E) l'ensemble des fonctions de classe 𝒞^k de ℝ dans E.
Soit (E, ‖ ⋅ ‖) un ℝ-espace vectoriel normé de dimension finie. Si U est un ouvert de E et f : U → E une fonction différentiable, pour tout x ∈ U on note df(x) la différentielle de f en x. On rappelle que df(x) est alors un endomorphisme ℝ-linéaire de E. Si g est un endomorphisme ℝ-linéaire de E, on note ‖g‖ sa norme d'opérateur, c'est-à-dire
‖g‖ = sup{‖g(v)‖|v ∈ E, ‖v‖ ⩽ 1}
Pour a ∈ E et r > 0 un nombre réel positif, on note B(a, r) la boule ouverte de centre a et rayon r et B(a, r)^– la boule fermée de centre a et rayon r.
On note Id_E l'application identité de E dans E.
Si p et q désignent deux entiers naturels non nuls, on note ℳ_(p, q)(ℂ) l'ensemble des matrices à p lignes et q colonnes à coefficients dans ℂ. Si p = q, on note ℳ_p(ℂ) pour ℳ_(p, p)(ℂ) et GL_p(ℂ) l'ensemble des matrices inversibles de ℳ_p(ℂ). On identifie également le ℂ-espace vectoriel ℂ^p avec le ℂ-espace vectoriel des vecteurs colonnes ℳ_(p, 1)(ℂ).
Si A ∈ ℳ_p(ℂ), on note exp(A) ∈ ℳ_p(ℂ) l'exponentielle de la matrice A.

Première partie

Soit q : ℝ → ℝ une application continue, périodique de période T > 0. On considère l'équation différentielle
y^(′′) + qy = 0
1a. Justifier l'existence de deux solutions y_1 et y_2 dans 𝒞^2(ℝ, ℂ) à (1) telles que :
{y_1(0) = 1; y_1^′(0) = 0 et {y_2(0), = 0; y_2^′(0), = 1
Justifier que Vect(y_1, y_2) est l'ensemble des solutions de (1) dans 𝒞^2(ℝ, ℂ).
1b. Montrer que :
∀t ∈ ℝ, y_1(t)y_2^′(t) − y_1^′(t)y_2(t) = 1
  1. Montrer que si y ∈ 𝒞^2(ℝ, ℂ) est une solution de (1), alors la fonction t ↦ y(t + T) l'est aussi. En déduire que pour tout t ∈ ℝ :
y(t + T) = y(T)y_1(t) + y^′(T)y_2(t)
  1. Soit μ ∈ ℂ^∗, et soit λ ∈ ℂ tel que μ = e^(λT). Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes.
    (a) L'équation (1) possède une solution y ∈ 𝒞^2(ℝ, ℂ) non nulle qui vérifie :
∀t ∈ ℝ, y(t + T) = μy(t).
(b) Le nombre complexe μ est solution de l'équation d'inconnue x :
x^2 − (y_1(T) + y_2^′(T))x + 1 = 0.
(c) L'équation différentielle (1) possède une solution y ∈ 𝒞^2(ℝ, ℂ) non nulle telle que :
∀t ∈ ℝ, y(t) = e^(λt)u(t)
où u ∈ 𝒞^2(ℝ, ℂ) est une fonction T-périodique.
4. Soient μ_1, μ_2 les racines complexes de l'équation d'inconnue x :
x^2 − (y_1(T) + y_2^′(T))x + 1 = 0
4a. Montrer que si μ_1 ≠ μ_2 et si λ est un nombre complexe tel que μ_1 = e^(λT), alors pour toute solution y de (1), il existe deux fonctions T-périodiques w_1 et w_2, ainsi que deux nombres complexes α et β tels que
∀t ∈ ℝ, y(t) = αe^(λt)w_1(t) + βe^(− λt)w_2(t)
4b. Supposons que μ_1 = μ_2. Montrer que μ_1 = μ_2 = ± 1 et que l'équation (1) admet une solution périodique dans 𝒞^2(ℝ, ℂ).

Deuxième partie

Soit a ∈ E et soit U un ouvert de E contenant a. Soit f : U → E une application de classe 𝒞^1 sur U telle que df(a) = Id_E.
5a. Soient V un ouvert convexe de E et h une fonction de classe 𝒞^1 de V dans E. On suppose qu'il existe un réel C ⩾ 0 tel que pour tout x ∈ V, ‖dh(x)‖ ⩽ C. Montrer que pour tous x_1 et x_2 dans V, on a ‖h(x_2) − h(x_1)‖ ⩽ C‖x_2 − x_1‖.
5b. Montrer qu'il existe un nombre réel r > 0 tel que B(a, r)^– ⊂ U et
∀x_1, x_2 ∈ B(a, r)^–, ‖f(x_1) − f(x_2)‖ ⩾ 1/2‖x_1 − x_2‖.
Nous fixons désormais un réel r > 0 vérifiant ces conditions dont la valeur sera utilisée dans la suite des questions de cette deuxième partie.
5c. Montrer que pour tout x ∈ B(a, r), l'application linéaire df(x) est injective.
6. Soit y_0 ∈ E tel que ‖y_0 − f(a)‖ ⩽ r/4.
6a. Montrer que l'application
g : B(a, r)^–, ⟶, ℝ; x, ⟼, ‖y_0 − f(x)‖^2
admet un minimum atteint en un point x_0 de B(a, r).
6b. Montrer que f(x_0) = y_0.
7. On note W = {y ∈ E| ‖y − f(a)‖ < r/4} et V = f^(− 1)(W) ∩ B(a, r).
7a. Justifier que V et W sont des ouverts de E.
7b. Montrer que
f_(|V) : V, ⟶, W; x, ⟼, f(x)
est une bijection continue de V sur W dont la réciproque est une fonction continue sur W.

Troisième partie

Soit A ∈ ℳ_n(ℂ). On note ℂ[A] l'ensemble des éléments de ℳ_n(ℂ) de la forme P(A) où P ∈ ℂ[X] est un polynôme. On note
(ℂ[A])^∗ = {B ∈ ℂ[A] ∩ GL_n(ℂ)|B^(− 1) ∈ ℂ[A]}
8a. Justifier que ℂ[A]^∗ est un sous-groupe abélien de GL_n(ℂ).
8b. Montrer que (ℂ[A])^∗ = ℂ[A] ∩ GL_n(ℂ).
9. Montrer que exp(ℂ[A]) ⊂ (ℂ[A])^∗.
10. Pour a ∈ ℝ, on définit l'application
Z_a : [0, 1], ⟶, ℂ; t, ⟼, t + iat(1 − t)
10a. Montrer que l'application
]0, 1[ × ℝ, ⟶, ℂ; (t, a), ⟼, Z_a(t)
est injective.
10b. Soient M_1 et M_2 deux éléments de (ℂ[A])^∗. Montrer qu'il existe a ∈ ℝ tel que
∀t ∈ [0, 1], M(t) = Z_a(t)M_1 + (1 − Z_a(t))M_2 ∈ (ℂ[A])^∗
10c. En déduire que (ℂ[A])^∗ est connexe par arcs.
11a. Montrer qu'il existe un ouvert U de ℂ[A] contenant 0 et un ouvert V de ℂ[A] contenant la matrice identité I_n tels que la fonction exponentielle induit une bijection continue de U ⊂ ℂ[A] sur V dont la réciproque est une fonction continue sur V.
11b. En déduire que exp(ℂ[A]) est un ouvert de ℂ[A].
12. Montrer que exp(ℂ[A]) est un fermé de (ℂ[A])^∗.
13. On veut montrer que exp(ℂ[A]) = (ℂ[A])^∗. On suppose que exp(ℂ[A]) ≠ (ℂ[A])^∗ et on fixe M_1, M_2 ∈ (ℂ[A])^∗ telles que M_1 ∈ exp(ℂ[A]) et M_2 ∉ exp(ℂ[A]).
13a. Montrer qu'il existe une application continue f de (ℂ[A])^∗ dans {0, 1} telle que f(M_1) = 0 et f(M_2) = 1.
13b. Conclure.
14. Conclure que exp(ℳ_n(ℂ)) = GL_n(ℂ).

Quatrième partie

Soient T > 0 un nombre réel et n ∈ ℕ^∗ un entier naturel. Soit
A :, ℝ; t ⟶ ℳ_n(ℂ) (⟶; A(t)
une application continue sur ℝ et T-périodique. On considère le système différentiel
X^′(t) = A(t)X(t)
où X est une fonction de ℝ dans ℂ^n, de classe 𝒞^1 sur ℝ.
15. Montrer qu'il existe μ ∈ ℂ^∗ et une solution Y ∈ 𝒞^1(ℝ, ℂ^n) non nulle de (2) tels que
∀t ∈ ℝ, Y(t + T) = μY(t)
Soit 𝒮 l'espace des solutions dans 𝒞^1(ℝ, ℂ^n) de (2). Soit (Y_1, Y_2, …, Y_n) une base de 𝒮. Pour t ∈ ℝ, on note M(t) la matrice dont les colonnes sont Y_1(t), …, Y_n(t). On dispose ainsi d'une application M de ℝ dans ℳ_n(ℂ).
16a. Montrer que pour tout nombre réel t, M(t) ∈ GL_n(ℂ) et M^′(t) = A(t)M(t).
16b. Montrer que la matrice (M(t))^(− 1)M(t + T) est indépendante de t ∈ ℝ.
16c. En déduire qu'il existe B ∈ ℳ_n(ℂ) telle que:
∀t ∈ ℝ, M(t + T) = M(t)exp(TB)
16d. En déduire qu'il existe une application Q : ℝ → GL_n(ℂ) continue sur ℝ et T périodique telle que
∀t ∈ ℝ, M(t) = Q(t)exp(tB)
(On appelle cette identité la forme normale de la matrice M ).
On admet qu'il existe deux matrices D et N de ℳ_n(ℂ) telles que D est diagonalisable, N est nilpotente et
B = D + N et DN = ND.
Il existe donc une matrice P ∈ GL_n(ℂ) et une matrice diagonale Δ telles que D = PΔP^(− 1).
17a. Pour t ∈ ℝ, on note Z_1(t), Z_2(t), …, Z_n(t) ∈ ℂ^n les colonnes de la matrice M(t)P. Montrer que (Z_1, Z_2, …, Z_n) est une base de l'espace 𝒮.
17b. Soient λ_1, …, λ_n les nombres complexes tels que Δ = Diag(λ_1, λ_2, …, λ_n). Pour tous 0 ⩽ i ⩽ n − 1, 1 ⩽ k ⩽ n et t ∈ ℝ, on note R_(i, k)(t) la k-ième colonne de la matrice 1/(i!)Q(t)N^i P. Montrer que pour tout k ∈ {1, 2, …, n}, on a
Z_k(t) = e^(λ_k t)(∑_(i = 0)^(n − 1)t^i R_(i, k)(t))
et vérifier que les applications R_(i, k) sont continues sur ℝ et T-périodiques.
17c. En déduire que si les parties réelles des λ_i pour 1 ⩽ i ⩽ n sont strictement négatives et si Y est une solution quelconque de (2), alors
lim_(t → + ∞)Y(t) = 0
18a. Montrer que si B a une valeur propre de la forme λ = i(2kπ)/(mT) avec k ∈ ℤ et m ∈ ℕ^∗, alors (2) a une solution mT-périodique non nulle.
18b. On suppose qu'il existe m ∈ ℕ^∗ tel que (2) possède une solution mT-périodique non nulle. Montrer que exp(TB) possède une valeur propre qui est une racine m-ième de l'unité.
19. Dans cette question, on suppose que (2) possède une solution T^′-périodique X avec T^′ ∉ ℚT.
Montrer que pour tous t ∈ ℝ et u ∈ ℝ, on a
A(u)X(t) = A(t)X(t)
On pourra utiliser sans démonstration le fait que si G est un sous-groupe de ( ℝ, + ) qui n'est pas de la forme ℤ a pour a ∈ ℝ, alors G est dense dans ℝ.
20. On suppose dans cette question qu'il n'existe pas de sous-espace vectoriel V ⊂ ℂ^n, différent de {0} et ℂ^n, tel que, pour tout t ∈ ℝ, V est stable par A(t). Donner une condition nécessaire et suffisante sur A et sur B pour que (2) ait au moins une solution périodique non nulle.
21. Soit le système différentiel
X^′(t) = A(t)X(t) + b(t)
où b : ℝ → ℂ^n est une fonction continue sur ℝ et T-périodique.
On suppose que 1 n'est pas valeur propre de exp(TB). Montrer que (3) possède une unique solution T-périodique.
22. Résoudre le système différentiel
{x^′(t) = x(t) − cos(t)y(t); y^′(t) = cos(t)x(t) + y(t)
et déterminer sa forme normale (voir la question 16d.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths B X MP MPI 2024 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths B X MP MPI 2024 ?

Sur les équations différentielles linéaires (Cauchy-Lipschitz, wronskien), le calcul différentiel, la réduction des endomorphismes, l'exponentielle de matrices et la topologie (compacité, connexité par arcs).

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths B de Polytechnique 2024 en MP et MPI ?

La moyenne toutes filières est de 9,12 avec un écart-type de 3,89. Elle vaut 9,14 en MP (2016 copies) et 8,98 en MPI (286 copies).

Quelles erreurs le jury de maths B X 2024 a-t-il le plus relevées ?

Des équivalences prouvées dans un seul sens, des racines supposées conjuguées à tort, des manipulations illicites de petits o et des propriétés de l'exponentielle de matrices utilisées sans hypothèse de commutation.

Le sujet de maths B X 2024 était-il plus difficile que les années précédentes ?

Selon le jury, il était plus original mais pas plus difficile. Les taux de réussite restent très faibles dans la quatrième partie, où les dernières questions n'ont été réussies par personne.

Pas de description pour le moment