ENS Mathématiques C MP MPI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte le sujet ENS Maths C MP MPI 2024 ?

Sur les suites et séries numériques, les séries entières et les intégrales généralisées. Le fil conducteur est le lemme de Cesàro, le théorème d'Abel et leurs réciproques partielles dites taubériennes.

Q: Quelle est la moyenne de l'épreuve ENS Maths C MP MPI 2024 ?

Selon le rapport du jury, la moyenne est de 9,7/20 avec un écart-type de 3,8, et les notes se sont étalées de 0 à 20.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en ENS Maths C 2024 ?

Des raisonnements imprécis dès la preuve du lemme de Cesàro, l'usage du produit de Cauchy sans convergence absolue, des théorèmes appliqués sans leurs hypothèses et des tentatives de passage en force.

Q: Quelle partie traiter pour avoir une bonne note en ENS Maths C MP 2024 ?

D'après le rapport, réussir la partie I suffisait pour dépasser la moyenne. Y ajouter les questions 1 à 4 de la partie II donnait une très bonne note, et terminer la partie II plaçait parmi les meilleures copies.

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Présentation du sujet

Difficile

Lemme de Cesàro, théorème d'Abel et théorèmes taubériens, versions discrètes et continues

Le sujet part du lemme de Cesàro sur les suites numériques, en donne des applications puis des réciproques partielles sous hypothèse de monotonie ou de contrôle des écarts (théorèmes de Hardy). Il établit ensuite le théorème d'Abel pour les séries entières au bord du disque de convergence et des théorèmes taubériens. La dernière partie transpose ces résultats aux intégrales sur ]0, +∞[, avec la transformée de Laplace.

1Partie I : lemme de CesàroPreuve du lemme, applications (équivalents, limite de la racine n-ième, produit de Cauchy) puis réciproques partielles jusqu'au théorème de Hardy.
2Partie II : théorème d'AbelComportement de la somme d'une série entière au bord du disque, calcul d'une série alternée, puis théorèmes taubériens faible et fort par approximation polynomiale.
3Partie III : variantes continuesVersion intégrale du lemme de Cesàro, transformée de Laplace, calcul de l'intégrale de sin(x)/x et théorème taubérien continu.

Difficile. Le rapport indique que les questions 1 à 5 de la partie I, pourtant sans difficulté majeure, n'ont été résolues proprement que par une minorité de copies, et que la partie III n'a été abordée que par un petit nombre de candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,7 / 20 · écart-type 3,8 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,7/ 20
Écart-type: 3,8

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Raisonnements imprécis dès la première question · Produit de Cauchy utilisé hors de ses hypothèses · Résultats non autorisés ou mal cités

Les notes vont de 0 à 20. Le jury attend clarté et rigueur même sur les questions élémentaires et a fortement sanctionné les réponses mal justifiées. Beaucoup de candidats manquent d'aisance en analyse réelle : comparaisons de séries et d'intégrales, équivalents et intégrabilité sont trop souvent mal justifiés.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Raisonnements imprécis dès la première questionPartie I, question 1
La preuve du lemme de Cesàro, par découpage des sommes ou sommation d'équivalents, a souvent été rédigée de façon approximative. Le jury a lourdement sanctionné ces réponses.
« Le jury a été déçu par le grand nombre de raisonnements imprécis. »
2
Produit de Cauchy utilisé hors de ses hypothèsesPartie I, question 6
Le théorème sur le produit de Cauchy demande la convergence absolue, qui n'était pas supposée. Il fallait passer par des manipulations de sommes et le lemme de Cesàro.
« Nombreux sont les candidats qui ont voulu utiliser un théorème sur le produit de Cauchy des séries. »
3
Résultats non autorisés ou mal citésI.4, I.10b, II.1a
La formule de Stirling n'était pas acceptée en I.4, le théorème d'Abel radial ne devait pas être appliqué directement dans la partie II, et la question 2 ne pouvait pas être invoquée telle quelle en I.10b.
4
Tentatives de passage en forceI.10c, II.1d
Les réponses qui affirment le résultat sans le démontrer ont été sanctionnées, alors qu'une tentative inaboutie présentée honnêtement a été valorisée.
« les nombreuses tentatives d'escroquerie ont été sanctionnées, alors que les tentatives non concluantes mais présentées honnêtement ont été valorisées. »
5
Question mal comprisePartie II, question 3
Beaucoup ont proposé des séries entières sans rapport avec la situation demandée, par exemple la série géométrique.
« La question 3 a été mal comprise par de nombreux candidats »
6
Hypothèses des grands théorèmes oubliéesII.5g, III.4, III.5b
Le théorème de Stone-Weierstrass, la dérivation sous l'intégrale et l'intégration par parties avec borne infinie ont souvent été utilisés sans vérification des hypothèses.
« le jury a sanctionné une utilisation du théorème de Stone Weierstrass sans mention de ses hypothèses. »

Ce qui a été bien réussi

La partie I a été abordée par tous les candidats.
La question 7 de la partie I (contre-exemple à la réciproque de Cesàro) a été traitée correctement par un grand nombre de candidats.
Les questions 4a et 4b de la partie II ont en général été bien traitées.
Les questions 1 et 2 de la partie III ont été bien traitées par ceux qui les ont abordées.

Conseils du jury

Justifier chaque étape, y compris sur les questions les plus élémentaires, et dégager les hypothèses de tout résultat du programme invoqué.
Annoncer honnêtement une piste de démonstration inaboutie plutôt que de forcer le résultat.
Ne pas se limiter aux questions faciles de chaque partie : le jury indique que ce choix n'a guère été récompensé.
Soigner la présentation et utiliser un brouillon.
Accompagner les représentations graphiques demandées de commentaires, comme en II.5f.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2024

VENDREDI 19 AVRIL 2024 08h00-12h00

FILIERES MP et MPI Epreuve n

^\circ9

MATHEMATIQUES C (ULSR)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Le sujet comprend 7 pages numérotées de 1 à 7 .

- 0 -

Début de l'épreuve

Notations

Soit

E

une partie de

ℂ

.
À toute suite

(u_n)_(n \in ℕ)

à valeurs dans

E

, ce que l'on note

(u_n)_(n \in ℕ) \in E^ℕ

, on associe la suite

(σ_n)_(n \in ℕ)

des sommes partielles de Cesàro définie par

\foralln ⩾ 0, σ_n = 1/(n + 1)\sum_(k = 0)^n u_k,

et la suite

(e_n)_(n \in ℕ)

des écarts définie par

\foralln ⩾ 0, e_n = u_(n + 1) - u_n.

À toute série

\sum_(n ⩾ 0)a_n

avec

(a_n)_(n \in ℕ) \in E^ℕ

, on associe la suite

(S_n)_(n \in ℕ)

des sommes partielles définie par

\foralln ⩾ 0, S_n = \sum_(k = 0)^n a_k

Si la série

\sum_(n ⩾ 0)a_n

est convergente, on note

S

sa somme définie par

S = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n = lim_(N \to + \infty)S_N,

(R_n)_(n \in ℕ)

la suite des restes définie par

\foralln ⩾ 0, R_n = S - S_n = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)a_k

À toute série entière

\sum_(n ⩾ 0)a_n z^n

avec

(a_n)_(n \in ℕ) \in E^ℕ

, de rayon de convergence

R > 0

, on associe sa somme

f

définie sur

D(0, R) = {z \in ℂ; |z| < R}

par

\forallz \in D(0, R), f(z) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n z^n

Étant donné un intervalle

I

ℝ

, on note

éC^0(I) = {f : I → ℝ; f continue sur I}; C_b^0(I) = {f : I → ℝ; f continue et bornée sur I}.

1 Lemme de Cesàro

Le but de cette partie est de démontrer le lemme de Cesàro, voir question 1, d'en proposer des applications et d'établir certaines variantes puis des réciproques partielles.

Soit $(u_n)_(n \in ℕ) \in ℂ^ℕ$ et $ℓ \in ℂ$ . Démontrer que

(lim_(n \to + \infty)u_n = ℓ) \Rightarrow (lim_(n \to + \infty)σ_n = ℓ)

(u_n)_(n \in ℕ)

est à valeurs réelles, démontrer que le résultat subsiste si

ℓ = + \infty

ℓ = - \infty

Applications

En utilisant (Cesàro), calculer la limite de la suite $(v_n)_(n ⩾ 1)$ définie par $v_n = \sum_(k = 1)^n 1/(kn)$ . Puis, à l'aide d'une comparaison série-intégrale, donner un équivalent de $(v_n)_(n ⩾ 1)$ .
Soit $(u_n)_(n \in ℕ) \in ℝ^ℕ$ et $α \in ℝ^*$ . On suppose que $lim_(n \to + \infty)e_n = α$ . En utilisant (Cesàro), donner un équivalent de $(u_n)_(n \in ℕ)$ . Retrouver ce résultat par un théorème de comparaison de séries à termes positifs.
Soit $(u_n)_(n \in ℕ) \in ]0, + \infty[^ℕ$ et $ℓ \in ]0, + \infty[$ . On suppose que $lim_(n \to + \infty)(u_(n + 1))/(u_n) = ℓ$ . Démontrer que $lim_(n \to + \infty)n\sqrt(u_n) = ℓ$ . Démontrer que le résultat subsiste si $ℓ = 0$ ou $ℓ = + \infty$ . En déduire $lim_(n \to + \infty)n\sqrt(n!)$ et $lim_(n \to + \infty)n\sqrt((n^n)/(n!))$ .
Soit $(a_n)_(n \in ℕ) \in ℂ^ℕ, (b_n)_(n \in ℕ) \in ℂ^ℕ, a \in ℂ$ et $b \in ℂ$ . On suppose que $lim_(n \to + \infty)a_n = a$ et $lim_(n \to + \infty)b_n = b$ . Démontrer que

lim_(n \to + \infty)(1/n\sum_(k = 0)^n a_k b_(n - k)) = ab

Soit $\sum_(n ⩾ 0)a_n$ et $\sum_(n ⩾ 0)b_n$ deux séries de nombres complexes, convergentes de sommes respectives $A$ et $B$ . On note $(c_n)_(n \in ℕ)$ la suite de terme général $c_n = \sum_(k = 0)^n a_k b_(n - k)$ et $(C_n)_(n \in ℕ)$ la suite des sommes partielles associées définie par $C_n = \sum_(k = 0)^n c_k$ . Démontrer que

lim_(n \to + \infty)(1/n\sum_(k = 0)^n C_k) = AB

Réciproques partielles

Vérifier que la réciproque de (Cesàro) n'est pas toujours vraie en exhibant une suite $(u_n)_(n \in ℕ) \in ℝ^ℕ$ qui ne converge pas et telle que $(σ_n)_(n \in ℕ)$ converge dans $ℝ$ .
Soit $(u_n)_(n \in ℕ) \in ℝ^ℕ$ et $ℓ \in ℝ$ . Démontrer que

(lim_(n \to + \infty)σ_n = ℓ et (u_n)_(n \in ℕ) monotone) \Rightarrow (lim_(n \to + \infty)u_n = ℓ)

Démontrer que le résultat subsiste pour

ℓ = + \infty

ℓ = - \infty

.
9. Soit

(u_n)_(n \in ℕ) \in ℂ^ℕ

ℓ \in ℂ

. Démontrer que

(lim_(n \to + \infty)σ_n = ℓ et e_n = o(1/n)) \Rightarrow (lim_(n \to + \infty)u_n = ℓ).

Indication : on pourra démontrer que pour tout

n ⩾ 1

\sum_(k = 0)^n ke_k = nu_(n + 1) - \sum_(k = 1)^n u_k

Soit $(u_n)_(n \in ℕ) \in ℂ^ℕ$ et $ℓ \in ℂ$ . Le but de cette question est de démontrer que

(lim_(n \to + \infty)σ_n = ℓ et e_n = O(1/n)) \Rightarrow (lim_(n \to + \infty)u_n = ℓ)

On suppose que

lim_(n \to + \infty)σ_n = ℓ

e_n = O(1/n)

.
(a) Soit

0 ⩽ n < m

. Démontrer que

\sum_(k = n + 1)^m u_k - (m - n)u_n = \sum_(j = n)^(m - 1)(m - j)e_j

(b) En déduire qu'il existe une constante

C > 0

telle que pour tous

2 ⩽ n < m

, on a

|((m + 1)σ_m - (n + 1)σ_n)/(m - n) - u_n| ⩽ Cln((m - 1)/(n - 1)).

|u_n - ℓ| ⩽ Cln((m - 1)/(n - 1)) + (m + 1)/(m - n)(|σ_m - ℓ| + |σ_n - ℓ|).

m = 1 + ⌊αn⌋

avec un paramètre

α > 1

à choisir, où

⌊x⌋

désigne la partie entière de

x \in ℝ

2 Théorème d'Abel

Le but de cette partie est de démontrer le théorème d'Abel, voir question 1, d'en proposer des applications et d'établir certaines variantes et des réciproques partielles.

Soit $\sum_(n ⩾ 0)a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R ⩾ 1$ et de somme $f$ . On note

Δ_(θ_0) = {z ∈ ℂ; |z| < 1 et ∃ρ > 0, ∃θ ∈ [ − θ_0, θ_0], z = 1 − ρe^(iθ)}

pour

θ_0 \in [0, π/2[

.
Le but de cette question est de démontrer que

(\sum_(n ⩾ 0)a_n converge) \Rightarrow (lim_(z \to 1; z \in Δ_(θ_0))f(z) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n)

(a) Démontrer (Abel) pour

R > 1

À partir de maintenant, on suppose que

R = 1

et que

\sum_(n ⩾ 0)a_n

converge, et on se donne un

θ_0 \in [0, π/2[

.
(b) Démontrer que pour tous

N \in ℕ^*

z \in ℂ, |z| < 1

, on a

\sum_(n = 0)^N a_n z^n - S_N = (z - 1)\sum_(n = 0)^(N - 1)R_n z^n - R_N(z^N - 1).

z \in ℂ, |z| < 1

, on a

f(z) - S = (z - 1)\sum_(n = 0)^(+ \infty)R_n z^n

(d) Soit

ε > 0

. Démontrer qu'il existe

N_0 \in ℕ

tel que pour tout

z \in ℂ, |z| < 1

|f(z) - S| ⩽ |z - 1|\sum_(n = 0)^(N_0)|R_n| + ε(|z - 1|)/(1 - |z|)

(e) Démontrer qu'il existe

ρ(θ_0) > 0

tel que pour tout

z \in Δ_(θ_0)

de la forme

z = 1 - ρe^(iθ)

avec

0 < ρ ⩽ ρ(θ_0)

, on a

(|z - 1|)/(1 - |z|) ⩽ 2/(cos(θ_0))

En déduire (Abel).
2. Démontrer que

\sum_(n = 0)^(+ \infty)((- 1)^n)/(2n + 1) = π/4

Exhiber une série entière $\sum_(n ⩾ 0)a_n z^n$ de rayon de convergence 1 et de somme $f$ , telle que $f(z)$ converge quand $z \to 1, |z| < 1$ et telle que la série $\sum_(n ⩾ 0)a_n$ ne converge pas.
Soit $\sum_(n ⩾ 0)a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence 1 et de somme $f$ . Soit $S \in ℂ$ . Le but de cette question est de démontrer que

é (lim_(x \to 1^-; x \in ℝ)f(x) = S et a_n = o(1/n)) \Rightarrow (\sum_(n ⩾ 0)a_n converge et \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n = S). (Taubérien faible)

Dans la suite de cette question on suppose que

𝟙 lim_(x \to 𝟙^-; x \in ℝ)f(x) = S

et que

a_n = o(1/n)

.
(a) Démontrer que pour tous

n \in ℕ^*

x \in ]0, 1[

, on a

|S_n - f(x)| ⩽ (1 - x)\sum_(k = 1)^n k|a_k| + (sup_(k > n)(k|a_k|))/(n(1 - x))

(b) En déduire (Taubérien faible) en spécifiant

x = x_n = 1 - 1/n

pour

n \in ℕ^*

.
5. Soit

\sum_(n ⩾ 0)a_n z^n

une série entière de rayon de convergence 1 et de somme

f

. Soit

S \in ℂ

. Le but de cette question est de démontrer que

é (lim_(x \to 1^-; x \in ℝ)f(x) = S et a_n = O(1/n)) \Rightarrow (\sum_(n ⩾ 0)a_n converge et \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n = S). (Taubérien fort)

(a) Démontrer que, sans perte de généralité, on peut supposer que

S = 0

On suppose désormais que

𝟙 lim_(x \to 𝟙^-; x \in ℝ)f(x) = S

et que

a_n = O(1/n)

, avec

S = 0

.
(b) On définit

Θ

de la manière suivante

Θ = {θ : [0, 1] → ℝ; ∀x ∈ [0, 1[, ∑_(n ⩾ 0)a_n θ(x^n) converge et lim_(x → 1^−)∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n θ(x^n) = 0}.

Démontrer que

Θ

est un espace vectoriel sur

ℝ

.
(c) Soit

P \in ℝ[X]

tel que

P(0) = 0

. Démontrer que

P \in Θ

.
(d) Démontrer que

\forallP \in ℝ[X], lim_(x \to 1^-; x \in ℝ)(1 - x) \cdot \sum_(n = 0)^(+ \infty)x^n P(x^n) = \int_0^1 P(t)dt

On définit la fonction

g : ℝ \to ℝ

par

g(x) = {1, si x \in [1/2, 1]; 0, sinon

(e) Démontrer que pour établir (Taubérien fort), il suffit de démontrer que

g \in Θ

.
(f) Soit

h(x) = {- 1, si x = 0; (g(x) - x)/(x(1 - x)), si x \in ]0, 1[; 1, si x = 1

Étant donné

ε > 0

, démontrer qu'il existe

s_1, s_2 \in C^0([0, 1])

vérifiant

s_1 ⩽ h ⩽ s_2 et \int_0^1(s_2(x) - s_1(x))dx ⩽ ε

Représenter graphiquement

h

et deux telles fonctions

s_1, s_2

.
À partir de maintenant,

ε > 0, s_1

s_2

sont fixés.
(g) Démontrer qu'il existe

T_1, T_2 \in ℝ[X]

tels que

sup_(x \in [0, 1])|T_1(x) - s_1(x)| ⩽ ε et sup_(x \in [0, 1])|T_2(x) - s_2(x)| ⩽ ε.

On pose, pour tout

x \in [0, 1]

P_1(x) = x + x(1 - x)(T_1(x) - ε), P_2(x) = x + x(1 - x)(T_2(x) + ε) et Q(x) = (P_2(x) - P_1(x))/(x(1 - x))

(h) Démontrer que

P_1(0) = P_2(0) = 0, P_1(1) = P_2(1) = 1, P_1 ⩽ g ⩽ P_2 et 0 ⩽ \int_0^1 Q(x)dx ⩽ 5ε

(i) Démontrer qu'il existe

M > 0

tel que pour tout

x \in ]0, 1[

|\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n g(x^n) - \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n P_1(x^n)| ⩽ M(1 - x)\sum_(n = 1)^(+ \infty)x^n Q(x^n).

(j) Conclure.

3 Variantes continues du lemme de Cesàro et du théorème d'Abel

Le but de cette partie est d'étudier des versions continues du lemme de Cesàro, du théorème d'Abel et de leurs réciproques partielles.

Soit $f \in C^0([0, + \infty[)$ et $ℓ \in ℝ$ . Démontrer que

(lim_(x \to + \infty)f(x) = ℓ) \Rightarrow (lim_(x \to + \infty)1/x\int_0^x f(t)dt = ℓ)

À l'aide d'un contre-exemple, démontrer que la réciproque du résultat de la question 1 est fausse.
Soit $f \in C^0([0, + \infty[)$ et $ℓ \in ℝ$ . Démontrer que

(lim_(x \to + \infty)f(x + 1) - f(x) = ℓ) \Rightarrow (lim_(x \to + \infty)(f(x))/x = ℓ)

Soit $f \in C_b^0([0, + \infty[)$ . On définit la transformée de Laplace de $f$ par la fonction

L(f) : t \in ]0, + \infty[ \mapsto \int_0^(+ \infty)e^(- tx)f(x)dx

Démontrer que

L(f)

est bien définie et de classe

C^1

sur

]0, + \infty[

, et exprimer sa dérivée.
5. Soit

f \in C_b^0([0, + \infty[)

. Le but de cette question est de démontrer que

(\int_0^(+ \infty)f(x)dx converge) \Rightarrow (lim_(t \to 0^+)L(f)(t) = \int_0^(+ \infty)f(x)dx)

On suppose que

\int_0^(+ \infty)f(x)dx

converge.
(a) Démontrer que la fonction

F : x \in [0, + \infty[ \mapsto \int_x^(+ \infty)f(t)dt

est bien définie, continue et bornée sur

[0, + \infty[

, de classe

C^1

sur

]0, + \infty[

et vérifie

F^' = - f

.
(b) Démontrer que

lim_(t \to 0^+)L(f)(t) = \int_0^(+ \infty)f(x)dx

par une intégration par parties.
6. Démontrer que

\int_0^(+ \infty)(sin(x))/xdx = π/2

Soit $f \in C_b^0([0, + \infty[)$ et $S \in ℝ$ . Démontrer que

(lim_(t \to 0^+)L(f)(t) = S et f(t) = _(t \to + \infty)O(1/t)) \Rightarrow (\int_0^(+ \infty)f(x)dx converge et \int_0^(+ \infty)f(x)dx = S)

Pour cela, en utilisant les notations de la question 5 de la section 2 , on pourra démontrer qu'il existe

M > 0

A > 0

tels que pour tout

t > 0

|\int_A^(+ \infty)f(x)g(e^(- tx))dx - \int_A^(+ \infty)f(x)P_1(e^(- tx))dx|, ⩽ M\int_A^(+ \infty)Q(e^(- tx))e^(- tx)(1 - e^(- tx))/xdx; ⩽ M\int_0^1 Q(u)du

Fin du sujet

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet ENS Maths C MP MPI 2024 ?

Sur les suites et séries numériques, les séries entières et les intégrales généralisées. Le fil conducteur est le lemme de Cesàro, le théorème d'Abel et leurs réciproques partielles dites taubériennes.

Quelle est la moyenne de l'épreuve ENS Maths C MP MPI 2024 ?

Selon le rapport du jury, la moyenne est de 9,7/20 avec un écart-type de 3,8, et les notes se sont étalées de 0 à 20.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en ENS Maths C 2024 ?

Des raisonnements imprécis dès la preuve du lemme de Cesàro, l'usage du produit de Cauchy sans convergence absolue, des théorèmes appliqués sans leurs hypothèses et des tentatives de passage en force.

Quelle partie traiter pour avoir une bonne note en ENS Maths C MP 2024 ?

D'après le rapport, réussir la partie I suffisait pour dépasser la moyenne. Y ajouter les questions 1 à 4 de la partie II donnait une très bonne note, et terminer la partie II plaçait parmi les meilleures copies.

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Commentaires• ENS Mathématiques C MP MPI 2024

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