ENS Mathématiques C MP 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Fractions rationnelles, pôles, corps de fractions
Racines de l'unité, indicatrice d'Euler
Séries entières, fonctions de classe C infini, platitude
Compacité, extraction de sous-suites
Déterminants et interpolation

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BanqueX-ENS Année2021 FilièreMP MatièreMathématiques

Annales X-ENS MP Mathématiques X-ENS MP 2021 MP Mathématiques Mathématiques 2021

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Présentation du sujet

Difficile

Intersections atypiques : fractions rationnelles et fonctions transcendantes

Le sujet étudie, dans deux parties indépendantes, comment une fonction ne peut rencontrer un ensemble exceptionnel en beaucoup de points sans être elle-même exceptionnelle. La partie I, plus algébrique, caractérise les fractions rationnelles dont la restriction aux racines de l'unité prend ses valeurs dans ce même ensemble. La partie II, plus analytique, borne le nombre d'intersections entre le graphe d'une fonction transcendante et des courbes algébriques planes, puis un réseau du plan.

1Partie I : intersections atypiques et fractions rationnellescaractérisation des fractions rationnelles spéciales sur le cercle unité, puis étude de celles dont l'image des racines de l'unité reste dans l'ensemble des racines de l'unité.
2Partie II : intersections atypiques, le cas transcendantdémonstration d'une borne sur le nombre d'intersections entre le graphe d'une fonction transcendante et une courbe algébrique, puis avec un réseau du plan dont le volume tend vers 0.

Difficile. le rapport qualifie le sujet de relativement long avec quelques questions difficiles ; la moyenne est de 9,46/20 et aucune copie n'est parvenue à le résoudre entièrement.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,46 / 20 · écart-type 3,93 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,46/ 20
Écart-type: 3,93
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 16 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Récurrence mal posée sur le théorème de Rolle · Confusion entre injectivité et surjectivité en dimension finie · Ensemble des racines de l'unité pris à tort pour un sous-corps

L'épreuve, composée de deux parties indépendantes, exigeait une bonne maîtrise des polynômes, des fractions rationnelles, des fonctions réelles, des séries entières et des racines de l'unité. Le jury attend clarté, précision et rigueur même sur les questions élémentaires, et a fortement valorisé la résolution des questions délicates tandis que les candidats se cantonnant aux questions les plus simples ont été peu récompensés.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Récurrence mal posée sur le théorème de Rollequestion préliminaire
de trop nombreux candidats n'ont pas su poser correctement l'hypothèse de récurrence ni énoncer clairement les hypothèses et la conclusion du théorème utilisé.
2
Confusion entre injectivité et surjectivité en dimension finieQ2.a
de nombreux candidats pensent à tort qu'une application linéaire en dimension finie est surjective si et seulement si elle est injective, ou que la dimension d'un produit d'espaces vectoriels est le produit des dimensions.
3
Ensemble des racines de l'unité pris à tort pour un sous-corps
des candidats affirment que l'ensemble des racines de l'unité ou des complexes de module 1 est un sous-corps de C, une affirmation fausse et pénalisée.
4
Redémonstration inutile et souvent fausse d'un résultat de coursQ14
il n'était pas nécessaire de redémontrer qu'une série entière est lisse sur son disque de convergence ; de nombreuses tentatives de démonstration étaient incorrectes et sanctionnées.
5
Passage à la limite insuffisamment justifiéQ7 et Q20
un argument de compacité était nécessaire pour justifier certains passages à la limite, ce qui n'était pas toujours fait avec rigueur.
6
Fin du sujet presque jamais étudiéeQ28 et Q29
les questions les plus difficiles de la fin du sujet, nécessaires à la preuve du théorème final, n'ont presque jamais été étudiées.

Ce qui a été bien réussi

les questions 3.a et 3.b sur les intersections avec le cercle unité ont souvent été bien traitées
la question 4 a été généralement bien traitée
les questions 15.a, 15.b, 16 et 17 sur les fonctions transcendantes ont été souvent réussies
la question 19 a été bien traitée quand elle était abordée

Conseils du jury

s'aider d'un brouillon avant de rédiger au propre pour plus de clarté et de concision
ne pas redémontrer un résultat de cours sauf demande explicite du sujet
écrire lisiblement et mettre en évidence les résultats obtenus
chercher à aborder les questions difficiles plutôt que de se cantonner aux plus simples
procéder par double implication pour une argumentation claire et rigoureuse

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSI ON 2021

VENDREDI 16 AVRIL 2021 08h00-12h00

FILIERE MP - Epreuve $n^\circ9$

MATHEMATI QUES C (ULCR)

Durée: 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Le thème de ce problème est l'étude des intersections atypiques: étant donnés deux ensembles

A

B

, une fonction

f : A \to B

et un sous-ensemble "exceptionnel"

C

A \times B

, le graphe de

f

ne peut pas rencontrer

C

en beaucoup de points, sauf si la fonction

f

est elle-même "exceptionnelle". La première partie, de nature plus algébrique, étudie le cas où la fonction

f

est donnée par une fraction rationnelle, l'ensemble "exceptionnel" étant soit

{(x, y) ∈ ℂ^2||x| = |y| = 1}

, soit l'ensemble des points du plan dont les coordonnées sont des racines de l'unité. La deuxième partie, plus analytique et totalement indépendante de la première, étudie le cas d'une fonction "transcendante"

f

(par exemple

f(x) = e^x

), l'ensemble exceptionnel

C

étant un réseau du plan.

Notations

X

est un ensemble fini, on note

|X|

son cardinal. Si

X

est un ensemble infini on pose

|X| = \infty

. Par convention

\infty

est strictement supérieur à tout nombre réel.

K

est un sous-corps de

ℂ

on note

K[X]_n

l'ensemble des polynômes à coefficients dans

K

, de degré inférieur ou égal à

n

, et on note

K(X)

l'ensemble des fractions rationnelles

F(X) = P(X)/Q(X)

avec

P, Q \in K[X]

Q \neq 0

. L'inclusion de

K[X]

dans

ℂ[X]

se prolonge en une injection de corps

K(X) \to ℂ(X)

, et on se permettra dans la suite d'identifier

K(X)

à un sous-corps de

ℂ(X)

I

est un intervalle de

ℝ

non vide et non réduit à un point on note

𝒞^\infty(I, ℝ)

l'ensemble des fonctions numériques de classe

𝒞^\infty

sur

I

. Si

f \in 𝒞^\infty(I, ℝ)

et si

n

est un entier naturel on note

f^((n))

n

-ième dérivée de

f

A

est un ensemble et si

f : A \to ℂ

est une fonction on note

Z(f) = {x \in A|f(x) = 0}

l'ensemble de ses zéros et

Γ(f) = {(x, f(x))|x \in A} \subset A \times ℂ

son graphe.

Question préliminaire

Soit $I \subset ℝ$ un intervalle et $n \geq 2$ un entier. Montrer que si $g \in 𝒞^\infty(I, ℝ)$ vérifie $|Z(g)| \geq n$ , alors $|Z(g^((i)))| \geq n - i$ pour tout $1 \leq i \leq n - 1$ .

I Intersections atypiques et fractions rationnelles

Pour

G(X) = P(X)/Q(X) \in ℂ(X)

, avec

P, Q \in ℂ[X]

premiers entre eux et

Q \neq 0

, on note

𝒫(G) = {x \in ℂ|Q(x) = 0}

l'ensemble des pôles de

G

et on note abusivement

G : ℂ∖𝒫(G) \to ℂ

la fonction envoyant

x

sur

P(x)/Q(x)

Fractions rationnelles et rationalité

Soit

K

un sous-corps de

ℂ

et soit

F \in ℂ(X)

telle que

F(K∖𝒫(F)) \cap K

soit un ensemble infini. On se propose de montrer que

F \in K(X)

. On écrit

F(X) = P(X)/Q(X) \in ℂ(X)

, avec

P \in ℂ[X]_p

Q ∈ ℂ[X]_q∖{0}

pour certains entiers

p, q \geq 0

. On note

d = p + q + 1

.
2. (a) Soient

x_1, \dots, x_d, y_1, \dots, y_d \in K

. Montrer que l'application linéaire

φ : K[X]_p \times K[X]_q \to K^d, φ(U, V):=(U(x_i) - y_i V(x_i))_(1 \leq i \leq d)

n'est pas injective.
(b) Soient

x_1, \dots, x_d \in K∖𝒫(F)

deux à deux distincts tels que

F(x_1), \dots, F(x_d) \in K.

Montrer qu'il existe

U \in K[X]_p

V \in K[X]_q

tels que

(U, V) \neq (0, 0)

P(x_i)V(x_i) = Q(x_i)U(x_i)

pour

1 \leq i \leq d

. En déduire que

F \in K(X)

.
(c) Soit

F \in ℂ(X)

telle que

F(K∖𝒫(F)) \cap K

soit un ensemble infini. Montrer que

F \in K(X)

Intersections avec le cercle unité

Soit

U = {z \in ℂ||z|=1}

. On dit qu'une fraction rationnelle

F \in ℂ(X)

est spéciale si l'ensemble

{z \in U∖𝒫(F)|F(z) \in U}

est infini. On se propose de décrire les fractions rationnelles spéciales.
Si

z \in ℂ

on note

z¯

son conjugué. Si

P(X) = \sum_(i = 0)^d a_i X^i \in ℂ[X]

on note

P¯(X) = \sum_(i = 0)^d a_i^-X^i

Dans les questions 3 à 5 on fixe

F(X) = P(X)/Q(X) \in ℂ(X)

, avec

P, Q \in ℂ[X]

Q \neq 0

. On pose

F¯(X) = P¯(X)/Q¯(X)

G(X) = F¯(1/X)

.
3. (a) Soit

z \in U∖𝒫(F)

. Montrer que

F(z) \in U

si et seulement si

F(z)G(z) =

1.
(b) En déduire que

F

est spéciale si et seulement si

G(X) \cdot F(X) = 1

.
4. Montrer que si

α \in ℂ

alors

B_α(X) = (X - α)/(1 - α¯X)

est spéciale. Que vaut

B_α(X)

pour

α = 0

et pour

α \in U

?
5. On suppose que

F

est spéciale.
(a) Soit

α \in ℂ^*∖𝒫(F)

. Montrer que

F(α) = 0

si et seulement si

1/α¯ \in 𝒫(F)

.
(b) Montrer que si

F \in ℂ[X]

alors il existe

c \in U

d \in ℕ

tels que

F(X) = cX^d

.
(c) Montrer qu'il existe des entiers

d, n

avec

n \geq 0

α_1, \dots, α_n \in ℂ

tels que

F(X) = X^d\prod_(i = 1)^n B_(α_i)(X)

On pourra écrire

F(X) = P(X)/Q(X)

et raisonner par récurrence sur le nombre de racines de

P

Racines de l'unité

Soit

Λ

l'ensemble des

z \in ℂ

tels qu'il existe un entier

n \geq 1

vérifiant

z^n = 1

, i.e.

Λ

est l'ensemble des racines de l'unité dans

ℂ

. On se propose de décrire les fractions rationnelles

F \in ℂ(X)

telles que

F(Λ∖𝒫(F)) \subset Λ

Pour

n \geq 1

on pose

ζ_n = exp(2iπ/n) \in Λ

et on note

ℚ(ζ_n) = {F(ζ_n)|F ∈ ℚ(X) et ζ_n ∉ 𝒫(F)}.

Ainsi

ℚ(ζ_n)

est un sous-corps de

ℂ

.
On note

φ

l'indicatrice d'Euler et on rappelle que

φ(1) = 1

et que si

n = p_1^(k_1)\dotsp_r^(k_r)

est la factorisation de

n \geq 2

, alors

φ(n) = \prod_(i = 1)^r p_i^(k_i - 1)(p_i - 1)

. On admet le résultat suivant:

Théorème 1 (admis). Pour tout

n \geq 1

le corps

ℚ(ζ_n)

est un

ℚ

-espace vectoriel de dimension

φ(n)

On fixe dans les questions 6 à 12 une fraction rationnelle

F \in ℂ(X)

telle que

F(1) = 1

. On suppose qu'il existe une suite strictement croissante d'entiers

(n_j)_(j \geq 1)

tels que pour tout

j \geq 1

on a

n_j \geq 1, ζ_(n_j) \notin 𝒫(F)

F(ζ_(n_j)) \in Λ

.
6. Montrer que pour tout

j \geq 1

il existe un unique

q_j \in ℚ \cap ] - 1/2, 1/2]

tel que

F(ζ_(n_j)) = exp(2iπq_j)

Montrer que $lim_(j \to + \infty)q_j = 0$ .
(a) Soit $P \in ℂ[X]$ un polynôme tel que $P(1) = 0$ . Calculer $lim_(n \to + \infty)nP(ζ_n)$ .
(b) Calculer $lim_(j \to + \infty)n_j(F(ζ_(n_j)) - 1)$ et en déduire que la suite $(n_j q_j)_(j \geq 1)$ converge.
On suppose qu'il existe un entier $c \geq 1$ tel que $cn_j q_j \in ℤ$ pour tout $j \geq 1$ . Montrer qu'il existe $d \in ℤ$ tel que $F(X) = X^d$ .
En utilisant le résultat établi dans la question 2 b , montrer qu'il existe un entier $p \geq 1$ tel que $F \in ℚ(ζ_p)(X)$ .
Soit $N \geq 1$ un entier, $q \in ℚ$ et notons $ζ = exp(2iπq)$ . On suppose que $ζ \in ℚ(ζ_N)$ . On écrit $q = u/v$ avec $u, v \in ℤ$ premiers entre eux et $v \neq 0$ . Soit $l$ le PPCM de $v$ et $N$ .
(a) Montrer qu'il existe $a, b \in ℤ$ tels que $ζ_l = ζ^a \cdot ζ_N^b$ .
(b) En utilisant le théorème admis, montrer que $φ(l) \leq φ(N)$ , puis que $l|2N$ et que $2Nq \in ℤ$ .
Montrer qu'il existe un entier $c \geq 1$ tel que $cn_j q_j \in ℤ$ pour tout $j \geq 1$ et qu'il existe $d \in ℤ$ tel que $F(X) = X^d$ .
Décrire les fractions rationnelles $F \in ℂ(X)$ telles que $F(Λ∖𝒫(F)) \subset Λ$ .

II Intersections atypiques: le cas transcendant

Courbes et fonctions transcendantes

Un intervalle

I

ℝ

sera appelé non trivial si

I

est non vide et non réduit à un point. Si

I

est un intervalle non trivial et si

f \in 𝒞^\infty(I, ℝ)

, on dit:

que $f$ est plate en un point $x \in I$ si $f^((n))(x) = 0$ pour tout $n \geq 0$ , c'est-à-dire si toutes les dérivées successives de $f$ s'annulent en $x$ ;
que $f$ est transcendante si pour tout $d \geq 1$ et tous polynômes $P_0, \dots, P_d \in ℝ[X]$ , non tous nuls, la fonction $x \mapsto \sum_(i = 0)^d P_i(x)f(x)^i$ n'est plate en aucun point de $I$ .

Soit $(a_n)_(n \geq 0)$ une suite de nombres réels telle que la série $\sum_(n \geq 0)a_n x^n$ converge pour tout réel $x$ . On note $f(x) = \sum_(n \geq 0)a_n x^n$ pour $x \in ℝ$ , obtenant ainsi une fonction $f : ℝ \to ℝ$ . Montrer que $f \in 𝒞^\infty(ℝ, ℝ)$ et que si $f$ est plate en 0 alors $a_n = 0$ pour tout $n \geq 0$ .
Soit $n \geq 1$ un entier, $α_1 < \dots < α_n$ des réels et $P_1, \dots, P_n \in ℝ[X]$ des polynômes non nuls. Soit $f : ℝ \to ℝ$ la fonction définie par $f(x) = \sum_(i = 1)^n P_i(x)e^(α_i x)$ .
(a) En calculant $lim_(x \to + \infty)(f(x))/(x^N e^(ax))$ pour $N \in ℤ$ et $a \in ℝ$ convenables, montrer que $f$ n'est pas identiquement nulle.
(b) En déduire que $f$ n'est plate en aucun $x \in ℝ$ . On pourra commencer par traiter le cas $x = 0$ .
Montrer que si $P \in ℝ[X]$ et $α \in ℝ$ sont non nuls, alors pour tout intervalle non trivial $I \subset ℝ$ la fonction $f : I \to ℝ$ définie par $f(x) = P(x)exp(αx)$ est transcendante.

On fixe pour la suite de cette partie un entier

d \geq 1

et un segment non trivial

I \subset ℝ

. On note

ℓ(I) = maxI - minI

la longueur de

I

. On a donc

ℓ(I) > 0

. Un sous-ensemble

C

ℝ^2

est appelé

d

-courbe s'il existe des nombres réels

(a_(i, j))_(1 \leq i, j \leq d)

, non tous nuls et tels que

C = {(x, y) ∈ ℝ^2|∑_(i = 1)^d∑_(j = 1)^d a_(i, j)x^(i − 1)y^(j − 1) = 0}

On se propose de démontrer le résultat suivant:
Théorème 2. Soient I un segment non trivial et

f \in 𝒞^\infty(I, ℝ)

une fonction transcendante, de graphe

Γ(f)

. Il existe

c_1 \geq 1

tel que

|Γ(f) \cap C| \leq c_1

pour toute

d

-courbe

C

On fixe

f

comme dans l'énoncé du théorème à démontrer et on note

V \subset 𝒞^\infty(I, ℝ)

ℝ

-espace vectoriel engendré par les fonctions

x \mapsto x^(i - 1)f(x)^(j - 1)

pour

1 \leq i, j \leq d

. On raisonne par l'absurde en supposant qu'il existe une suite de

d

-courbes

(C_r)_(r \geq 1)

telles que

|Γ(f) \cap C_r| \geq r^2

pour tout

r \geq 1

.
17. Soit

g \in V

une fonction non identiquement nulle. Montrer que

g

n'est plate en aucun

x \in I

.
18. Soit

r \geq 1

un entier. Montrer qu'il existe

g \in V

non identiquement nulle telle que

|Z(g)| \geq r^2

. Montrer que pour toute telle fonction

g

il existe un segment

K \subset I

de longueur inférieure ou égale à

ℓ(I)/r

tel que

|Z(g) \cap K| \geq r

Soient

n = dimV, g_1, \dots, g_n

une base de

V

S_n = {(a_i)_(1 ≤ i ≤ n) ∈ ℝ^n|∑_(i = 1)^n|a_i|=1}

Pour

a_- = (a_i)_(1 \leq i \leq n) \in S_n

posons

G_(a_-) = a_1 g_1 + \dots + a_n g_n

.
19. Montrer qu'il existe une suite

(a_-_r)_(r \geq 1)

d'éléments de

S_n

, ainsi qu'une suite

(K_r)_(r \geq 1)

de segments inclus dans

I

dont les longueurs tendent vers 0 quand

r \to + \infty

et tels que

|Z(G_(a_-_r)) \cap K_r| \geq r

pour tout

r \geq 1

.
20. Montrer que

S_n

est compact. En déduire qu'il existe

a_- \in S_n, x \in I

et une suite strictement croissante d'entiers

(r_s)_(s \geq 1)

avec

r_1 \geq 1

tels que

lim_(s \to + \infty)a_-_(r_s) = a_-

lim_(s \to + \infty)minK_(r_s) = x

.
21. En utilisant la question 1 , montrer que

G_(a_-)

est plate en

x

et conclure la preuve du théorème 2 .

Une inégalité

On fixe un segment non trivial

I \subset ℝ

, un entier

n \geq 2

et des fonctions

f_1, \dots, f_n \in 𝒞^\infty(I, ℝ)

. Pour

x_1, \dots, x_n \in I

on note

A(x_1, \dots, x_n) = (f_i(x_j))_(1 \leq i, j \leq n) \in M_n(ℝ)

On se propose de démontrer le résultat suivant:
Théorème 3. Il existe

c_2 > 0

tel que pour tous

x_1, \dots, x_n \in I

deux à deux distincts, on a

|detA(x_1, \dots, x_n)| \leq c_2\prod_(1 \leq i < j \leq n)|x_j - x_i|.

Dans les questions 22 et 23 on fixe

x_1, \dots, x_n \in I

deux à deux distincts et on note

β = \prod_(i = 1)^(n - 1)(x_n - x_i) = (x_n - x_1)\dots(x_n - x_(n - 1))

Soit $f \in 𝒞^\infty(I, ℝ)$ .
(a) Montrer que si $f(x_1) = \dots = f(x_(n - 1)) = 0$ alors il existe $y \in I$ tel que $f(x_n) = (f^((n - 1))(y))/((n - 1)!)β$ . On pourra considérer la fonction $g$ définie par $g(x) = βf(x) - \prod_(i = 1)^(n - 1)(x - x_i)f(x_n)$ .
(b) En déduire qu'il existe $y \in I$ tel que

f(x_n) - \sum_(i = 1)^(n - 1)f(x_i)\prod_(j = 1; j \neq i)^(n - 1)(x_n - x_j)/(x_i - x_j) = (f^((n - 1))(y))/((n - 1)!)β

Montrer qu'il existe $(y_1, \dots, y_n) \in I^n$ tel que

detA(x_1, \dots, x_n) = β/((n - 1)!) \cdot det(f_1(x_1), \dots, f_1(x_(n - 1)), f_1^((n - 1))(y_1); ⋮, ⋮, ⋮; f_n(x_1), \dots, f_n(x_(n - 1)), f_n^((n - 1))(y_n))

Conclure la preuve du théorème 3.

Intersections atypiques: le cas transcendant

On fixe un segment non trivial

I \subset ℝ

et une fonction transcendante

f \in 𝒞^\infty(I, ℝ)

, dont on note

Γ(f)

le graphe. Pour un entier

n \geq 1

on note

1/nℤ^2 = {(x/n, y/n)| x, y ∈ ℤ}

. On se propose de démontrer le résultat suivant.

Théorème 4. Pour tout

ε > 0

il existe un réel

c_3 > 0

tel que pour tout

n \geq 1

on a

|Γ(f) \cap 1/nℤ^2| \leq c_3 n^ε

On fixe pour la suite

ε > 0

et un entier

d > 1

tel que

2/(d + 1) < ε

.
Pour

P = (x, y) \in ℝ^2

on note

v^P \in ℝ^(d^2)

le vecteur dont les coordonnées (numérotées de 1 à

d^2

) sont définies par la formule

v_(i + dj + 1)^P = x^i y^j

pour

0 \leq i, j \leq d

. Par exemple, si

d = 2

on a

v^P = (1, x, y, yx)

et pour

d = 3

on a

v^P = (1, x, x^2, y, yx, yx^2, y^2, y^2 x, y^2 x^2)

P_1, \dots, P_n \in ℝ^2

on note

B(P_1, \dots, P_n)

la matrice de taille

d^2 \times n

dont les vecteurs colonnes sont

v^(P_1), \dots, v^(P_n)

.
25. Soient

n \geq 1

un entier et

P_1, \dots, P_n \in ℝ^2

. Montrer qu'il existe une

d

-courbe contenant

P_1, \dots, P_n

si et seulement si

rang(B(P_1, \dots, P_n)) < d^2.

En utilisant le théorème 3, montrer qu'il existe un réel $c > 1$ tel que pour tous points $P_1 = (x_1, y_1), \dots, P_(d^2) = (x_(d^2), y_(d^2))$ deux à deux distincts de $Γ(f)$ on a

|detB(P_1, \dots, P_(d^2))| \leq (c \cdot max_(1 \leq i < j \leq d^2)|x_i - x_j|)^((d^2(d^2 - 1))/2),

On fixe un tel réel

c

pour la suite.
27. Soient

P_1 = (x_1, y_1), \dots, P_(d^2) = (x_(d^2), y_(d^2))

des points deux à deux distincts appartenant à

Γ(f) \cap 1/nℤ^2

.
(a) Montrer que

n^(d^2(d - 1)) \cdot detB(P_1, \dots, P_(d^2))

est un entier.
(b) En déduire que si

P_1, \dots, P_(d^2)

n'appartiennent pas à une même

d

-courbe, alors

max_(1 \leq i < j \leq d^2)|x_i - x_j| \geq c^(- 1)n^(- 2/(d + 1))

Soit $J$ un segment contenu dans $I$ et de longueur strictement inférieure à $c^(- 1)n^(- 2/(d + 1))$ . Montrer qu'il existe une $d$ -courbe contenant tous les points de $Γ(f) \cap 1/nℤ^2$ dont l'abscisse appartient à $J$ .
Finir la preuve du théorème 4 .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Math C inter-ENS MP 2021 ?

Le sujet porte sur les fractions rationnelles et les racines de l'unité dans la première partie, puis sur les fonctions transcendantes, les séries entières et la compacité dans la seconde.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l'épreuve Math C inter-ENS MP 2021 ?

Le jury signale une récurrence mal posée sur le théorème de Rolle, des confusions entre injectivité et surjectivité, et des tentatives infondées de redémontrer un résultat de cours.

L'épreuve Math C inter-ENS MP 2021 est-elle difficile ?

Le rapport la décrit comme longue avec quelques questions difficiles, une moyenne de 9,46/20 et aucune copie n'ayant résolu entièrement le sujet.

Quelles écoles partagent l'épreuve Math C inter-ENS MP 2021 ?

L'épreuve est commune aux ENS Lyon, Paris-Saclay, Rennes et Ulm, avec des coefficients différents selon l'école et la filière.

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSI ON 2021

VENDREDI 16 AVRIL 2021 08h00-12h00

FILIERE MP - Epreuve n^∘9

MATHEMATI QUES C (ULCR)

Notations

Question préliminaire

I Intersections atypiques et fractions rationnelles

Fractions rationnelles et rationalité

Intersections avec le cercle unité

Racines de l'unité

II Intersections atypiques: le cas transcendant

Courbes et fonctions transcendantes

Une inégalité

Intersections atypiques: le cas transcendant

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Math C inter-ENS MP 2021 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l'épreuve Math C inter-ENS MP 2021 ?

L'épreuve Math C inter-ENS MP 2021 est-elle difficile ?

Quelles écoles partagent l'épreuve Math C inter-ENS MP 2021 ?

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