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Mines Mathématiques 1 MP 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Théorème de De Moivre-Laplace

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Présentation du sujet

Difficile
Démonstration du théorème de Moivre-Laplace pour une suite de variables de loi binomiale
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Le problème démontre le théorème de Moivre-Laplace, qui décrit le comportement limite d'une suite de variables aléatoires de lois binomiales B(n, p). Il combine analyse asymptotique (formule de Stirling, équivalents, développements limités), intégration et probabilités, avec une application du théorème de convergence dominée. Il se termine par des applications et une généralisation.

  1. 1Résultats préliminairesFormule de Stirling, équivalents des parties entières, convergence de l'intégrale de la densité gaussienne et développement limité d'une fonction auxiliaire.
  2. 2Étude asymptotique d'une suiteProbabilité modale d'une loi binomiale et convergence d'une suite normalisée par des calculs d'équivalents.
  3. 3Convergence en loiVariable centrée réduite, fonctions en escalier, convergence simple puis passage à la limite dans une intégrale par convergence dominée.
  4. 4Applications et généralisationCalcul de l'intégrale de la densité gaussienne, limites de probabilités, puis loi limite de l'image par une fonction de classe C1.

Difficile. Le jury juge le sujet manifestement trop long pour une épreuve de trois heures ; après la question 17, il n'a trouvé aucune résolution complète.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,68 / 20 · écart-type 4,09 · 5 650 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,68/ 20
Écart-type
4,09
Présents
5 650
Coefficient
4
Durée
3 h
moyenne 9,6805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 26 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Bâcler le début pour grappiller la fin · Équivalents traités par passage à la limite · Rédaction incomplète d'un exercice classique
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Le sujet, progressif mais trop long, a été noté avec un barème donnant peu de points aux dernières questions, ce qui a donné une moyenne correcte et un bon étalement des notes. Les meilleures copies résolvaient correctement les dix-sept premières questions. Grappiller en fin de sujet après avoir bâclé le début n'a rien rapporté.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Bâcler le début pour grappiller la fin

    Le barème favorisait les premières questions. Les meilleures copies avaient résolu les dix-sept premières questions avec soin.

    « les candidats qui ont baclé les premières questions pour aller grapiller quelquefois jusqu'à la dernière n'y ont pas gagné. »
  2. 2
    Équivalents traités par passage à la limiteQ1, Q2, Q11

    Il fallait établir les équivalents à partir de la définition classique et utiliser le théorème d'encadrement, pas un passage à la limite dans des inégalités.

    « Il fallait surtout éviter d'utiliser un passage à la limite dans les inégalités »
  3. 3
    Rédaction incomplète d'un exercice classiqueQ3

    Pour la convergence de l'intégrale, il fallait citer la continuité et la positivité de la fonction lors d'une majoration ou d'un équivalent.

    « on attendait une rédaction impeccable »
  4. 4
    Maximum de la loi binomialeQ5

    Il suffisait d'étudier le bon quotient de probabilités successives, idée peu évidente en temps limité.

    « traitée correctement par moins de 5% des candidats »
  5. 5
    Domination non établieQ17

    Le théorème de convergence dominée n'a pas été utilisé par tous, et la domination, à chercher dans la question 8, a rarement été bien traitée.

    « la condition de domination, qu'il fallait aller chercher à la question 8, a été très rarement bien traitée. »

Ce qui a été bien réussi

  • La formule de Stirling est citée correctement dans la quasi-totalité des copies (Q1).
  • Les erreurs sur le développement limité de ln(1 + x) sont assez rares (Q4).
  • Les questions calculatoires Q7 et Q8 sont plutôt correctement traitées.
  • Les performances restent correctes sur l'espérance et la variance de la loi binomiale (Q9).

Conseils du jury

  • Soigner les premières questions : le barème les valorise davantage que les dernières.
  • Donner des égalités exactes dans les développements limités, sans terme faux suivi d'un petit o.
  • Rédiger entièrement une question analogue à une précédente au lieu de renvoyer à celle-ci.
  • Justifier une fonction en escalier en donnant explicitement les intervalles où elle est constante.
  • Utiliser le brouillon pour éviter de laisser toutes les tentatives raturées sur la copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

Dans tout le problème :
  • Par convention 0^0 = 1.
  • Si i et j sont des entiers naturels tels que i ≤ j, on note [ [i, j] ] l'ensemble des entiers k tels que i ≤ k ≤ j.
  • a et b sont des réels tels que a < b.
  • Si x est un réel, on définit :
⌊x⌋ = max{k ∈ Z, k ≤ x} et ⌈x⌉ = min{k ∈ Z, x ≤ k}
  • p est un réel de ]0, 1[ et q = 1 − p.
  • ζ est la fonction de ] − 1, + ∞[ dans R définie par :
ζ(x) = (x + 1)ln(x + 1)
  • Φ est la fonction de R dans R définie par :
Φ(t) = 1/(√(2π))e^(− (t^2)/2)
  • (Ω, A, P) est un espace probabilisé.
  • (X_n)_(n ∈ N^∗) est une suite de variables aléatoires définies sur (Ω, A, P) telle que, pour tout n ∈ N^∗, X_n suit la loi binomiale de paramètres n et p, ce que l'on note X_n↪B(n, p).

Résultats préliminaires

1▹ Rappeler la formule de Stirling. En déduire l'existence d'une suite réelle (ε_n)_(n ∈ N^∗) convergeant vers 0 telle que :
∀n ∈ N^∗, n! = √(2πn)(n/e)^n(1 + ε_n)
2▹ Soit λ ∈ R_+^∗ et μ ∈ R. Démontrer que :
⌊λx + μ⌋ ∼ _(x → + ∞)λx et ⌈λx + μ⌉ ∼ _(x → + ∞)λx.
3▹ Prouver que l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)Φ(t)dt converge.
4▹ Démontrer que :
ζ(x) = _(x → 0)x + (x^2)/2 + o(x^2).

Étude asymptotique d'une suite

Dans cette partie, si n ∈ N^∗, on note x_n le nombre entier ⌈np − q⌉ et p_n le réel P(X_n = x_n).
5▹ Justifier que p_n est le plus grand élément de {P(X_n = k), k ∈ [ [0, n] ]}.
6▹ Vérifier que lim_(n → + ∞)x_n = + ∞ et lim_(n → + ∞)(n − x_n) = + ∞.
Établir alors :
√(npq)p_n ∼ _(n → + ∞)(n^n p^(x_n)q^(n − x_n))/(√(2π)x_n^(x_n)(n − x_n)^(n − x_n)).
7▹ Montrer que, pour tout entier n > max{p/q, q/p} :
(n^n p^(x_n)q^(n − x_n))/(x_n^(x_n)(n − x_n)^(n − x_n)) = e^(− npζ((x_n − np)/(np)) − nqζ((np − x_n)/(nq))).
8▹ Montrer que la suite (√(npq)p_n)_(n ∈ N^∗) converge.

Convergence en loi

Dans toute la suite, pour tout n ∈ N^∗, on note Y_n = 1/(√(npq))(X_n − np) et on définit les réels τ_(n, k) par la relation :
∀k ∈ Z, τ_(n, k) = (k − np)/(√(npq)).
9▹ Soit n ∈ N^∗. Déterminer la loi de Y_n et vérifier que Y_n est une variable aléatoire centrée réduite.
10▹ Justifier l'existence d'un élément N ∈ N^∗ tel que :
pour tout entier n ≥ N, [a, b] ⊂ [τ_(n, 0), τ_(n, n)] et 1/(√(npq)) ≤ b − a.
On définit les suites (k_n)_(n ∈ N^∗), (e_n)_(n ∈ N^∗) et (f_n)_(n ∈ N^∗), de fonctions de R dans R de la façon suivante : pour tout n ∈ N^∗, pour tout t ∈ R,
k_n(t) = ⌊√(npq)t + np⌋, e_n(t) = τ_(n, k_n(t)), f_n(t) = √(npq)P(Y_n = e_n(t)).
11▹ Démontrer que pour tout n ∈ N^∗, e_n est une fonction en escalier croissante vérifiant :
∀t ∈ R, e_n(t) ≤ t < e_n(t) + 1/(√(npq))
Démontrer que (e_n)_(n ∈ N^∗) converge simplement vers une fonction e que l'on précisera.
12▹ Montrer que :
∫_(τ_(n, k_n(a)))^(τ_(n, k_n(b) + 1))Φ(t)dt→−_(n → + ∞)^∫_a^b Φ(t)dt
puis vérifier que
P(e_n(a) ≤ Y_n ≤ e_n(b)) = ∫_(τ_(n, k_n(a)))^(τ_(n, k_n(b) + 1))f_n(t)dt
13▹ Prouver que, pour tout n ∈ N^∗, pour tout k ∈ [ [0, n − 1] ] :
f_n(τ_(n, k)) = 1/(√(2π))√((pqn^2)/(k(n − k)))(p^k q^(n − k))/((k/n)^k((n − k)/n)^(n − k))(1 + ε_n)/((1 + ε_k)(1 + ε_(n − k))),
où (ε_n)_(n ∈ N^∗) est la suite définie à la question 1 .
14▹ Justifier que, pour tout t ∈ [a, b] :
√((pqn^2)/(k_n(t)(n − k_n(t))))→−_(n → + ∞)^1 et (1 + ε_n)/((1 + ε_(k_n(t)))(1 + ε_(n − k_n(t))))→−_(n → + ∞)^1.
15▹ Montrer que pour tout n ∈ N^∗ et pour tout k ∈ [ [0, n] ] tels que max{√(q/(np)), √(p/(nq))} × |τ_(n, k)| < 1 :
(p^k q^(n − k))/((k/n)^k((n − k)/n)^(n − k)) = e^(− npζ(√(q/(np))τ_(n, k)) − nqζ(− √(p/(nq))τ_(n, k))).
16▹ Démontrer que :
(p^(k_n(t))q^(n − k_n(t)))/(((k_n(t))/n)^(k_n(t))((n − k_n(t))/n)^(n − k_n(t)))→−_(n → + ∞)^e^(− (t^2)/2).
17▹ En conclure que :
∀t ∈ [a, b], f_n(t)→−_(n → + ∞)^Φ(t)
puis que :
∫_a^b f_n(t)dt→−_(n → + ∞)^∫_a^b Φ(t)dt
18▹ Déduire de tout ce qui précède que :
P(e_n(a) ≤ Y_n ≤ e_n(b))→−_(n → + ∞)^∫_a^b Φ(t)dt
puis que :
P(a ≤ Y_n ≤ b)→−_(n → + ∞)^∫_a^b Φ(t)dt

Applications

19▹ Montrer que :
∀T ∈ R_+^∗, ∫_(− T)^T Φ(t)dt ≥ 1 − 1/(T^2)
puis en déduire la valeur de ∫_(− ∞)^(+ ∞)Φ(t)dt.
20▹ Les suites (P(Y_n ≤ b))_(n ∈ N^∗) et (P(Y_n ≥ a))_(n ∈ N^∗) sont-elles convergentes? En préciser les limites éventuelles.

Généralisation

Soit φ une fonction de R dans R, de classe C^1 et telle que φ^′ ne s'annule pas sur R. Pour tout n ∈ N^∗, on note Z_n = φ ∘ Y_n.
21▹ Montrer que, si φ(R) = R, il existe une unique fonction Ψ continue sur R telle que:
pour tout (α, β) ∈ R^–^2, si α ≤ β, alors P(α ≤ Z_n ≤ β)→−_(n → + ∞)^∫_α^β Ψ(t)dt, où R^– désigne l'ensemble constitué des réels, de − ∞ et de + ∞.
Que dire si l'on ne suppose plus φ(R) = R ?

Fin du problème

  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines Maths 1 MP 2021 ?
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Sur quoi porte le sujet Mines Maths 1 MP 2021 ?

Il démontre le théorème de Moivre-Laplace pour une suite de variables de loi binomiale. Il mobilise la formule de Stirling, les équivalents, les développements limités, les intégrales généralisées et le théorème de convergence dominée.

Le sujet Mines Maths 1 MP 2021 est-il trop long ?

Oui, le jury le juge manifestement trop long pour trois heures. Le barème donnait peu de points aux dernières questions et une copie résolvant bien les dix-sept premières pouvait obtenir une excellente note.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées au Mines Maths 1 MP 2021 ?

Des équivalents justifiés par un passage à la limite dans des inégalités, des hypothèses oubliées (continuité, positivité), une domination rarement établie et des copies très raturées.

Quelle question du Mines Maths 1 MP 2021 a été la moins réussie ?

La question 5 a souvent été abandonnée et traitée correctement par moins de 5 % des candidats. Après la question 17, le jury n'a plus trouvé de résolution complète.

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