Mines Physique 1 MP 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

Jean Perrin et l'hypothèse atomique

Les études théoriques sur le mouvement brownien, proposées par Albert Einstein en 1905 et complétées par celles de Paul Langevin en 1908, ont été spectaculairement confirmées par une série d'une dizaine d'expériences réalisées entre 1907 et 1909 par Jean Perrin dont nous fêtons le 150^e anniversaire de naissance. Ces études sont les piliers de l'acceptation de l'existence des atomes par la communauté scientifique. Elles ont clos la << controverse atomiste >> ouverte par les Grecs 6 siècles avant notre ère!
Après avoir pris connaissance des résultats de PERRIN, en 1908, l'un des derniers farouches antiatomistes, Wilhelm Ostwald, déclare << Je suis désormais convaincu que nous sommes entrés en possession de preuves expérimentales du caractère discret ou granulaire de la nature, que l'hypothèse atomique avait cherchées en vain depuis des millénaires ≫.
Les expériences de Perrin et le modèle de Langevin reposent entièrement sur les modèles microscopiques de Ludwig Boltzmann, fondateur dans la seconde moitié du xix ^e siècle de la physique statistique. Les travaux expérimentaux de Perrin lui permirent notamment de mesurer la constante de Boltzmann k_B. En 1906, donc peu de temps avant la publication de ces travaux, Boltzmann se suicida, las des critiques et des attaques des disciples d'Ostwald...
En 1926, Perrin obtint le prix Nobel pour ses expériences!

• la résultante des forces de pression, peu modifiée par rapport à une situation d'équilibre, est donnée par la loi d'ARCHIMÈDE : cette force Π⃗ = − μ_e V_b g⃗ est exactement opposée au poids du liquide déplacé par chaque grain;
• la résultante des forces de frottement visqueux se traduit par une force f⃗ = − αv⃗ où α > 0 et v⃗ désigne la vitesse des grains. La formule de Stokes précise que, pour un grain sphérique, α = 6πηR_b dans laquelle η = 1, 2 × 10^(− 3) Pa ⋅ s représente le coefficient de viscosité dynamique de l'eau légèrement sucrée. Avec ces valeurs numériques, on trouve ici α = 4, 5 × 10^(− 9) kg ⋅ s^(− 1).
  En dehors de ces données, aucune connaissance relative à la viscosité n'est nécessaire à cette étude. Ce problème est décomposé en 4 parties relativement indépendantes : la partie I est consacrée au modèle du gaz parfait; la partie II est dédiée aux expériences de sédimentation pratiquées sur les émulsions; la partie III présente le modèle théorique du mouvement brownien de Langevin complété par les expériences de diffusion de Perrin; la partie IV étudie les moyens optiques mis en œuvre par Jean Perrin pour réaliser ses mesures.

I Équilibre vertical d'un gaz à la température ambiante

• 1. En précisant les valeurs choisies de température T_0 et de pression (supposée provisoirement uniforme) P_0, estimer le volume molaire du gaz. En déduire une estimation du rapport entre le volume occupé par l'ensemble des sphères associé aux molécules et le volume du récipient.
• 2. Rappeler la définition d'un gaz parfait. Les ordres de grandeur établis à la question précédente justifient-ils d'adopter ce modèle dans la suite?
• 3. Donner l'expression de l'énergie cinétique E_(cm) et de l'énergie potentielle E_(pm) d'une particule de masse m_m de ce gaz. Pourquoi observe-t-on qu'à température ambiante ces molécules ne se regroupent pas au fond du récipient?

• 4. En déduire que la masse volumique ρ du gaz dépend aussi de z et l'exprimer en fonction de P(z). Ecrire la condition d'équilibre mécanique pour une tranche de gaz comprise entre les altitudes z et z + dz pour laquelle on supposera l'équilibre thermodynamique local réalisé. En déduire une équation différentielle vérifiée par P(z).
• 5. En notant P_0 = P(z = 0), montrer que (P(z))/(P_0) s'exprime simplement grâce à la fonction A(z). Exprimer la distance caractéristique H en fonction de k_B, g, T_0 et m_m. Calculer la valeur numérique de H. La variation de pression est-elle détectable, avec un manomètre usuel, dans le récipient considéré ? En serait-il de même si le récipient était rempli d'eau liquide?
     ◻ − 6. Préciser la fonction E(z) telle que A(z) = exp[ − (E(z))/(k_B T_0)]. Que représente la fonction E(z) ? Interpréter physiquement cette expression dont la généralisation est due à Boltzmann.

7. Montrer que la concentration c_g(z) du gaz, rapport du nombre de moles sur le volume, suit une loi du même type, et qu'on peut écrire c_g(z) = c_(g_0)A(z), où c_(g_0) représente la concentration au niveau du sol (z = 0) dont on précisera l'expression.

II Étude d'un équilibre de sédimentation

• 9. On note v⃗(t) = − v(t)eˆ_z la vitesse de chute du grain, e^_z étant l'axe vertical ascendant, et v(t) > 0. Établir l'équation différentielle vérifiée par v(t) puis donner sa solution.
     Montrer qu'une fois le régime permanent établi, les grains possèdent une vitesse limite v_ℓ = m^∗ g/α.
     Exprimer le paramètre m^∗ en fonction de V_b et des masses volumiques μ_b et μ_e. Justifier qu'on nomme cette quantité << masse apparente >>.
     Exprimer la durée caractéristique τ du régime transitoire en fonction de m_b et α. Evaluer un ordre de grandeur de v_ℓ et de τ.

• Un premier vecteur densité de flux, j⃗_c, est associé au mouvement de chute des grains. Il est à l'origine d'un phénomène de convection et défini par la relation j⃗_c(z) = − c(z)v_ℓ eˆ_z;
• Un deuxième vecteur densité de flux est associé au gradient de densité, ici sur l'axe z. L'inhomogénéité crée un courant de particules dont l'expression est donnée par la loi de Fick qui s'écrit ici j⃗_n(z) = − (dc)/(dz)Deˆ_z. Le coefficient D se nomme coefficient de diffusion. Il dépend de la nature du milieu et des particules étudiées. Aucune connaissance relative à la loi de Fick n'est nécessaire à l'étude du problème.
• 10. Donner les unités (ou dimensions) communes aux vecteurs j⃗_c et j⃗_n, ainsi que l'unité de D. À l'état d'équilibre macroscopique, caractérisé par une température uniforme T_0 et une répartition de concentration c(z) indépendante du temps, quelle est la relation entre j⃗_c et j⃗_n ? En déduire une équation différentielle du premier ordre vérifiée par c(z).
      En posant c(z = 0) = c_0, exprimer c(z) en fonction de A(z), on déterminera la distance caractéristique H_b apparaissant dans A(z) en fonction de R_b, D, η, m^∗, et g.
      ◻ − 11. Compte tenu des forces conservatives s'exerçant sur un grain, quelle est l'expression de l'énergie potentielle E_p^∗(z) correspondant au poids de la masse apparente m^∗ du grain à l'altitude z ? En déduire l'expression de D en fonction de k_B, T_0, η et R_b permettant d'écrire A(z) = exp[ − (E_p^∗(z))/(k_B T_0)].
• 12. Sachant que le nombre N de grains est conservé sur la hauteur h_1 du récipient, suffisamment grande pour être supposée infinie, exprimer la concentration c_0 en fonction de N, de la section S, et de la distance caractéristique H_b.

Figure 1 - Sédimentation de grains

III Le modèle de Langevin

• le mouvement est extrêmement irrégulier et ne semble pas avoir de tangente;
• deux particules browniennes, même proches, ont des mouvements indépendants;
• le mouvement est d'autant plus actif que la particule est petite, que le fluide est moins visqueux ou la température est élevée;
• la nature et la densité des particules n'ont pas d'influence sur le mouvement qui de plus ne s'arrête jamais !
  Pour interpréter les expériences de Brown, on étudie le mouvement unidimensionnel - le long d'un axe ( O, eˆ_x ) - des mêmes grains sphériques que ceux étudiés dans la partie II (masse m_b, rayon R_b ). Ces grains sont plongés dans le même liquide sucré que celui utilisé dans l'expérience de Jean Perrin, en équilibre thermique à la température T_0, mobiles sous l'effet de l'agitation thermique. Ce modèle unidimensionnel peut éventuellement se généraliser à trois dimensions.
  On note x⃗ = x(t)eˆ_x la position et v⃗ = v(t)eˆ_x la vitesse d'un grain. A t = 0, le grain étudié est en O. Le mouvement ne s'arrêtant jamais, en 1908, Paul Langevin propose l'idée qu'il existe des chocs à l'échelle microscopique qui entretiennent cette agitation. Il introduit une force qui synthétise la résultante des chocs aléatoires des molécules de fluide sur les grains. Cette force ≪ indifféremment positive ou négative, dont le but est de maintenir l'agitation microscopique ≫ est notée F⃗_c = F_c eˆ_x. En des termes moins prosaïques, cela revient à faire l'hypothèse que la moyenne temporelle du produit x⃗ ⋅ F⃗_c est nulle, soit ⟨xF_c⟩ = 0. Dans son modèle, Langevin néglige tous les effets de la pesanteur mais tient compte de la résultante des forces de frottement visqueux.
• 15. Ecrire l'équation, notée (E_L), vérifiée par v⃗ en tenant compte de la force F⃗_c. Montrer qu'en l'absence de la force F⃗_c, le mouvement s'atténue très vite.
      ◻ − 16. Ecrire le produit x(dv)/(dt) en fonction de (d(xv))/(dt) et v^2.
      ◻ − 17. Donner la définition de la vitesse quadratique moyenne, notée u. En appliquant le théorème d'équipartition de l'énergie au cas particulier étudié, exprimer u en fonction de m_b, T_0 et k_B.
      Le point délicat de la théorie de Langevin revient à considérer que la fonction φ = ⟨xv⟩, qu'il calcule comme une moyenne temporelle, peut néanmoins être considérée comme une fonction du temps φ = φ(t), nous ferons cette hypothèse, dite ergodique, qui permet d'écrire ici ⟨(d(xv))/(dt)⟩ = (dφ)/(dt) ou même ⟨(d(x^2))/(dt)⟩ = (d⟨x^2⟩)/(dt). L'étude de l'hypothèse ergodique alimente depuis de nombreux travaux théoriques tant physiques que mathématiques.
      ◻ − 18. En partant de l'équation ( E_L ), obtenir une équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficients constants vérifiée par la fonction φ(t). En supposant que φ(0) = 0, en déduire l'expression de φ(t) en fonction de t, k_B, T_0, m_b et α.
• 19. En utilisant l'hypothèse ergodique, déterminer la relation entre φ(t) et ψ(t) = ⟨x^2⟩. Après avoir obtenu l'expression générale de ψ(t), montrer que les ordres de grandeur de ce problème permettent d'écrire ψ(t) ≃ D_x t où l'on précisera l'expression de la constante D_x en fonction de T_0, k_B et α.

Figure 2 - Diffusion de grains

• 20. En déduire la valeur de k_B qu'a obtenue Jean Perrin avec ses expériences de diffusion toujours effectuées à T_0 = 20^∘C. Comparer cette valeur avec celle obtenue grâce aux résultats des expériences de sédimentation de la partie II. Commenter.

IV Observations optiques

Figure 3 - Schéma d'un microscope (à gauche) - Jean Perrin observant les grains (à droite)

• 21. Rappeler ce que sont les conditions de Gauss et les deux propriétés qu'elles impliquent pour une lentille mince.
• 22. Sur un schéma clair, sans forcément respecter d'échelle, tracer les rayons issus d'un objet AB tel que |AO_1|≳f_1^′ et ressortant de L_2 afin de former une image à l'infini. On pourra reproduire et compléter le schéma de la partie gauche de la figure 3.
• 23. Justifier, grâce à une évaluation d'ordres de grandeur, que l'objet AB se trouve quasiment sur le foyer F_1 de l'objectif, tout en restant en amont ( AF_1^– > 0 ). Quel est l'intérêt pour un observateur dont la vision n'a pas de défaut, d'observer une image à l'infini? Où se forme alors l'image intermédiaire A_1 B_1 ? Où se formerait-elle si AF_1^– < 0 ?
      On définit la puissance intrinsèque d'un microscope par : P_i = (α^′)/(AB). Son unité est la dioptrie δ, égale à 1 m^(− 1). L'angle α^′ est l'angle sous lequel l'objet AB est vu en sortie de l'instrument, comme indiqué sur la figure 4 .
• 24. Compte tenu des données numériques précédentes, exprimer P_i en fonction de Δ, f_1^′ et f_2^′.
      Evaluer la puissance d'un microscope permettant d'observer les grains de gomme-gutte étudiés par Jean Perrin. Un microscope usuel peut-il permettre d'observer les grains avec un œil supposé emmétrope?

Figure 4 - Angle α^′

Formulaire d'optique géométrique pour une lentille mince

Formules d'optique géométrique de Newton (origines aux foyers)

Formules d'optique géométrique de DESCARTES (origines au centre optique)

FIN DE L'ÉPREUVE