Corrigé détaillé Mines Physique 1 MP 2021

Dans les conditions usuelles de température et de pression, on choisit :

Pour un gaz modélisé par un gaz parfait, l'équation d'état s'écrit P_0 V_m = R T_0, d'où le volume molaire :

Avec R = 8{,}3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, on obtient :

Soit n la quantité de matière contenue dans le récipient de volume V, de sorte que V = n V_m. Le nombre total de molécules est N_{\text{tot}} = n N_A. Chaque molécule est assimilée à une sphère de rayon R_m \sim 100\text{ pm} = 10^{-10}\text{ m}, occupant un volume propre :

Le volume total occupé par l'ensemble des sphères associées aux molécules est donc V_{\text{sphères}} = N_{\text{tot}} v_m = n N_A v_m. Le rapport demandé s'exprime ainsi :

En effectuant l'application numérique avec un chiffre significatif :

Un gaz parfait est un modèle thermodynamique microscopique caractérisé par deux hypothèses :

1. les particules (atomes ou molécules) sont assimilées à des points matériels, de volume propre (ou covolume) nul ou négligeable devant le volume accessible par le gaz ;
2. les particules sont sans interaction mutuelle à distance : les seules interactions admises sont des chocs élastiques, ponctuels et instantanés entre particules ainsi qu'avec les parois du récipient.

D'après le résultat de la question 1, le rapport du volume des molécules sur le volume total du récipient vaut :

Le volume propre des particules est donc parfaitement négligeable devant le volume du fluide.

De plus, la distance moyenne entre deux molécules voisines s'estime par :

Cette distance est nettement supérieure au diamètre moléculaire 2R_m \sim 0{,}2\text{ nm} ainsi qu'à la portée des interactions attractives de Van der Waals (de l'ordre du nanomètre). L'énergie potentielle moyenne d'interaction entre molécules est donc tout à fait négligeable devant l'énergie cinétique d'agitation thermique.

Pour une molécule de masse m_{\mathrm{m}}, animée d'une vitesse v et située à l'altitude z repérée par un axe vertical ascendant (dont l'origine z = 0 est prise au fond du récipient) :

• son énergie cinétique s'écrit :

  \boxed{E_{c\mathrm{m}} = \frac{1}{2}m_{\mathrm{m}}v^2}

• son énergie potentielle de pesanteur s'écrit, en choisissant l'origine des énergies potentielles en z=0 :

  \boxed{E_{p\mathrm{m}} = m_{\mathrm{m}}gz}

La masse d'une molécule vaut :

Sur la hauteur h \sim 1\text{ m} du récipient, la variation d'énergie potentielle de pesanteur d'une molécule est de l'ordre de :

À la température ambiante T_0 \simeq 300\text{ K}, l'énergie caractéristique associée à l'agitation thermique par particule est :

On constate ainsi que :

L'agitation thermique domine très largement l'effet de la pesanteur à l'échelle du récipient. Les chocs incessants entre molécules et contre les parois redistribuent en permanence l'énergie et la quantité de mouvement, ce qui empêche les molécules de sédimenter au fond et assure une répartition quasi-uniforme du gaz dans tout le volume.

À l'équilibre thermodynamique local, la température est uniforme et égale à T_0. Le gaz étant modélisé par un gaz parfait, l'équation d'état s'écrit pour un volume V contenant une masse m :

La masse volumique \rho(z) = \frac{m}{V} s'exprime donc en fonction de la pression locale P(z) par :

Puisque la pression P(z) dépend de z, la masse volumique \rho(z) dépend également de l'altitude z.

Considérons une tranche de gaz au repos comprise entre les altitudes z et z + \mathrm{d}z, de section horizontale S. Le système est à l'équilibre mécanique dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Il est soumis aux forces extérieures suivantes :

• les forces pressantes sur la face inférieure en z : \vec{F}_p(z) = P(z) S \, \widehat{e}_z ;
• les forces pressantes sur la face supérieure en z + \mathrm{d}z : \vec{F}_p(z + \mathrm{d}z) = - P(z + \mathrm{d}z) S \, \widehat{e}_z ;
• le poids de la tranche de masse \mathrm{d}m = \rho(z) S \, \mathrm{d}z : \mathrm{d}\vec{P} = - \rho(z) S g \, \mathrm{d}z \, \widehat{e}_z ;
• les forces de pression latérales qui se compensent par symétrie horizontale.

La condition d'équilibre mécanique s'écrit :

En développant au premier ordre P(z + \mathrm{d}z) = P(z) + \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} \mathrm{d}z, on obtient la loi de l'hydrostatique :

En substituant l'expression de \rho(z), on aboutit à l'équation différentielle vérifiée par P(z) :

D'après l'équation différentielle obtenue à la question Q4 :

En intégrant avec la condition à la limite P(0) = P_0, on obtient directement la loi du nivellement barométrique :

En introduisant la fonction A(z) = \exp(-z/H), le rapport s'écrit sous la forme simple :

avec pour distance caractéristique :

Application numérique : Avec T_0 \simeq 300\text{ K}, R = 8{,}3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, M = 30\times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Soit, avec un chiffre significatif :

Détectabilité de la variation de pression pour le gaz : Pour une hauteur h \sim 2\text{ m}, comme h \ll H, la variation relative de pression vaut :

La variation absolue correspondante est \Delta P \simeq \rho g h \sim 1{,}2 \times 9{,}8 \times 2 \approx 20\text{ Pa} \sim 0{,}2\text{ mbar}. Une telle variation (de l'ordre de 0{,}02\,\%) est non détectable avec un manomètre usuel, dont la précision relative est typiquement de l'ordre de 1\,\%.

Cas de l'eau liquide : Pour un récipient de même hauteur rempli d'eau (\mu_e = 1{,}0\times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}), la loi de l'hydrostatique donne :

Cette variation représente 20\,\% de la pression atmosphérique : elle est parfaitement mesurable avec un manomètre usuel.

D'après l'expression de la hauteur caractéristique H = \frac{k_B T_0}{m_m g} établie à la question Q5, la fonction A(z) s'écrit :

Par identification directe avec A(z) = \exp\left[-\frac{E(z)}{k_B T_0}\right], on en déduit :

La fonction E(z) représente l'énergie potentielle de pesanteur d'une molécule de masse m_m à l'altitude z, avec pour origine des énergies potentielles choisie au niveau du sol (E(0) = 0).

Interprétation physique :

Le terme \exp\left(-\frac{E(z)}{k_B T_0}\right) est le facteur de Boltzmann. Il illustre la compétition fondamentale à l'équilibre thermodynamique entre deux effets antagonistes :

• l'effet mécanique du champ de pesanteur, qui tend à minimiser l'énergie potentielle en accumulant les particules dans les états de plus basse altitude (z=0) ;
• l'effet du désordre lié à l'agitation thermique, caractérisée par l'énergie moyenne k_B T_0, qui tend à homogénéiser la répartition spatiale des molécules dans tout le volume disponible.

Généralisée par Boltzmann en physique statistique (loi canonique), cette expression indique que la probabilité d'occupation (ou la densité de particules) d'un état d'énergie E à la température T_0 est proportionnelle au facteur de Boltzmann \exp\left(-\frac{E}{k_B T_0}\right).

La concentration molaire du gaz à l'altitude z, définie comme le rapport de la quantité de matière sur le volume d'une tranche mésoscopique, s'écrit :

Sous l'hypothèse de l'équilibre thermodynamique local à la température uniforme T_0, l'équation d'état des gaz parfaits s'applique localement dans cette tranche :

On en déduit que la concentration est directement proportionnelle à la pression :

En utilisant le profil de pression établi à la question Q5, P(z) = P_0\,A(z), il vient :

Cette relation s'écrit bien sous la forme :

avec pour concentration au niveau du sol (z = 0) :

On étudie un grain de gomme-gutte, assimilé à un point matériel de masse m_b, de volume V_b et de rayon R_b, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'axe vertical ascendant est orienté par le vecteur unitaire \widehat{e}_z, de sorte que le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = -g\,\widehat{e}_z.

Lors de sa chute dans l'eau légèrement sucrée à la vitesse \vec{v}, le grain est soumis à trois forces :

1. Son poids, résultante de l'action attractive de la Terre :

   \vec{P} = m_b \vec{g} = \mu_b V_b \vec{g} = -m_b g\,\widehat{e}_z

2. La poussée d'Archimède, résultante des forces de pression exercées par le fluide environnant :

   \vec{\Pi} = -\mu_e V_b \vec{g} = \mu_e V_b g\,\widehat{e}_z

3. La force de frottement visqueux exercée par le fluide, donnée dans le régime des écoulements lents par la formule de Stokes :

   \vec{f} = -\alpha \vec{v} = -6\pi\eta R_b \vec{v}

Le bilan des forces s'écrit donc :

On étudie un grain de masse m_b dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. D'après le bilan des forces établi à la question précédente (Q8), le grain est soumis à son poids \vec{P} = -m_b g \widehat{e}_z, à la poussée d'Archimède \vec{\Pi} = \mu_e V_b g \widehat{e}_z et à la force de frottement visqueux \vec{f} = -\alpha \vec{v}.

Avec la vitesse de chute orientée vers le bas \vec{v}(t) = -v(t)\widehat{e}_z (avec v(t) > 0), la force de frottement s'écrit \vec{f} = \alpha v(t)\widehat{e}_z. La deuxième loi de Newton donne :

En projetant sur l'axe ascendant \widehat{e}_z, il vient :

soit, en posant m_b = \mu_b V_b :

En introduisant la masse apparente :

cette quantité est qualifiée de « masse apparente » car la résultante des forces volumiques (poids et poussée d'Archimède) agissant sur la particule s'écrit \vec{P} + \vec{\Pi} = -m^* g \widehat{e}_z : tout se passe mécaniquement comme si le grain possédait une masse effective m^* soumis au seul champ de pesanteur.

L'équation différentielle se met sous la forme canonique :

avec une durée caractéristique :

et une vitesse limite :

Le grain étant lâché sans vitesse initiale à t = 0, la condition initiale est v(0) = 0. La solution de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est :

Une fois le régime permanent établi (t \gg \tau), le terme dérivé s'annule et la vitesse tend bien vers v_\ell = \frac{m^* g}{\alpha}.

Applications numériques :

Unités et dimensions : La densité volumique de grains c(z) s'exprime en \mathrm{m^{-3}}. Le premier vecteur densité de flux de particules s'écrit :

Sa dimension est :

L'unité commune aux deux vecteurs \vec{j}_c et \vec{j}_n dans le Système International est donc le \mathrm{m^{-2} \cdot s^{-1}} (nombre de grains par unité de surface et par unité de temps).

D'après la loi de Fick, \vec{j}_n(z) = -D \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z}\widehat{e}_z, on en déduit la dimension du coefficient de diffusion :

L'unité de D dans le Système International est donc le \mathrm{m^2 \cdot s^{-1}}.

Équilibre macroscopique et équation différentielle : À l'équilibre stationnaire macroscopique, dans un récipient fermé, le flux net de particules à travers toute section plane horizontale est nul, ce qui impose en tout point :

En projetant sur l'axe vertical ascendant \widehat{e}_z :

On obtient ainsi l'équation différentielle du premier ordre :

Expression du profil de concentration : En intégrant cette équation différentielle avec la condition initiale c(z = 0) = c_0 :

On identifie cette forme à c(z) = c_0 A(z) avec A(z) = \exp(-z/H_b), où :

D'après la question Q9, la vitesse limite de chute est v_\ell = \frac{m^* g}{\alpha}, avec le coefficient de frottement de Stokes \alpha = 6\pi\eta R_b. Il vient :

On en déduit l'expression de la hauteur caractéristique :

et la concentration s'écrit :

Les forces conservatives appliquées au grain sont le poids \vec{P} = -m_b g \widehat{e}_z et la poussée d'Archimède \vec{\Pi} = \mu_e V_b g \widehat{e}_z. Leur résultante est le poids effectif (ou apparent) :

Cette force dérive de l'énergie potentielle E_p^*(z) selon \vec{F}_{\text{cons}} = -\dfrac{\mathrm{d}E_p^*}{\mathrm{d}z}\widehat{e}_z, d'où :

En choisissant la référence d'énergie potentielle au niveau du sol (E_p^*(0) = 0), on obtient :

L'énoncé stipule que le profil spatial suit la statistique de Boltzmann :

Par identification avec l'expression de A(z) = \exp(-z/H_b), on en déduit la hauteur d'échelle :

D'après la question Q10, la distance caractéristique issue du bilan macroscopique de diffusion-sédimentation s'écrit :

En égalant ces deux expressions de H_b, on aboutit à :

d'où l'expression du coefficient de diffusion :

Le nombre total de grains N dans le récipient de section uniforme S s'obtient en intégrant la concentration volumique de particules c(z) sur tout le volume :

D'après la question Q10, le profil de concentration s'écrit c(z) = c_0 \exp\left(-\frac{z}{H_b}\right). La hauteur h_1 étant considérée comme infinie devant la hauteur caractéristique H_b (h_1 \gg H_b), l'intégrale devient :

On en déduit l'expression de la concentration au fond du récipient c_0 :

Considérons une tranche de liquide d'épaisseur e constante, située à la hauteur z et de section observée S_{\text{obs}}. Comme l'épaisseur e est très faible devant la hauteur caractéristique de variation de la concentration (e \ll H_b), la concentration c(z) peut être considérée comme uniforme au sein de cette tranche. Le nombre moyen de grains n(z) s'écrit alors :

soit :

D'après la loi établie à la question 10, c(z) = c_0 \exp(-z/H_b), d'où :

En prenant le logarithme népérien :

La figure 1 donne l'ajustement linéaire suivant (avec z exprimé en \mu\mathrm{m}) :

Par identification de la pente :

Avec un seul chiffre significatif comme demandé par l'énoncé :

Validité de l'hypothèse de cuve infinie (h_1 = 100\text{ }\mu\mathrm{m}) : L'hypothèse d'une hauteur infinie formulée à la question 12 nécessite h_1 \gg H_b. Ici :

• D'une part, h_1 \approx 2{,}4\, H_b est suffisant pour observer une décroissance nette de la concentration sur plus de deux décadaires en échelle naturelle (\mathrm{e}^{-2{,}4} \approx 0{,}09, soit une division par un facteur \approx 11 du nombre de grains).
• D'autre part, la fraction de grains négligée par rapport à une cuve réellement infinie vaut \mathrm{e}^{-h_1/H_b} \approx 9\,\%. La condition h_1 \gg H_b n'est donc que très modérément vérifiée : l'approximation de hauteur infinie constitue une simplification convenable au premier ordre, mais reste limite pour des mesures de haute précision.

D'après la question Q11, la hauteur caractéristique de sédimentation s'écrit :

On en déduit l'expression littérale de la constante de Boltzmann :

Application numérique :

• \mu_b - \mu_e = (1{,}2 - 1{,}0) \times 10^3 = 2{,}0 \times 10^2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• V_b = 3{,}4 \times 10^{-20}\text{ m}^3, d'où m^* = 6{,}8 \times 10^{-18}\text{ kg} ;
• g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• H_b = \frac{1000}{24}\text{ }\mu\text{m} \approx 4{,}17 \times 10^{-5}\text{ m} (d'après la régression linéaire de la question Q13) ;
• T_0 = 20^\circ\text{C} = 293\text{ K}.

Avec un chiffre significatif conformément à l'énoncé :

Causes d'erreurs expérimentales :

• Polydispersité des grains : les grains de gomme-gutte ne sont pas rigoureusement identiques en taille. Comme la masse dépend du cube du rayon (V_b \propto R_b^3), une incertitude même modérée sur le rayon affecte lourdement la masse m^*.
• Incertitude sur la masse apparente : m^* fait intervenir la différence \mu_b - \mu_e. Les deux masses volumiques étant très proches, la soustraction amplifie l'incertitude relative sur \mu_b - \mu_e.
• Comptage microscopique et fluctuations : les grains sont en perpétuel mouvement brownien, ce qui rend le comptage dans une tranche de mise au point d'épaisseur e délicat, avec des incertitudes statistiques sur n(z) inhérentes aux faibles effectifs.
• Stabilité thermique et convection : un gradient thermique minime dans la cellule suffit à induire des mouvements de convection macroscopiques perturbant la répartition barométrique d'équilibre.

On étudie un grain de masse m_b assimilé à un point matériel dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. D'après le modèle de Langevin, la pesanteur et la poussée d'Archimède sont négligées (ou s'équilibrent le long de la verticale dans un plan horizontal), et le grain est soumis à :

• la force de frottement fluide visqueux : \vec{f} = -\alpha \vec{v} ;
• la force aléatoire due aux chocs microscopiques des molécules du fluide : \vec{F}_c = F_c \widehat{e}_x.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

soit, sous forme vectorielle :

En projection sur l'axe (Ox) où \vec{v} = v(t)\widehat{e}_x et \vec{F}_c = F_c(t)\widehat{e}_x, cette équation scalaire devient :

En l'absence de force aléatoire (\vec{F}_c = \vec{0}), l'équation devient :

La solution est :

Avec les valeurs numériques fournies (m_b = 4,1 \times 10^{-17}\text{ kg} et \alpha = 4,5 \times 10^{-9}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}), le temps caractéristique de relaxation vaut :

Le temps caractéristique est de l'ordre de dix nanosecondes : en l'absence de force d'agitation \vec{F}_c, la vitesse du grain s'annulerait donc de manière quasi instantanée à l'échelle macroscopique (dix ordres de grandeur en dessous de la seconde). L'observation d'un mouvement perpétuel prouve ainsi la nécessité d'une force motrice permanente issue des chocs moléculaires.

La vitesse selon l'axe (Ox) est reliée à la position par v = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}. En dérivant le produit xv par rapport au temps, on obtient :

On en déduit immédiatement :

La vitesse quadratique moyenne u est définie comme la racine carrée de la moyenne temporelle (ou statistique) du carré de la vitesse :

L'étude étant restreinte au mouvement unidimensionnel le long de l'axe (Ox), le grain de masse m_b ne possède qu'un seul degré de liberté de translation, associé à l'énergie cinétique :

D'après le théorème d'équipartition de l'énergie, à l'équilibre thermodynamique à la température T_0, la valeur moyenne de chaque terme quadratique indépendant intervenant dans l'énergie du système vaut \frac{1}{2} k_B T_0 :

On en déduit :

soit l'expression de la vitesse quadratique moyenne :

L'équation de Langevin (E_L) projetée sur l'axe (Ox) s'écrit :

En multipliant cette relation par la position x(t) et en utilisant l'identité cinématique démontrée à la question Q16 (x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(xv)}{\mathrm{d}t} - v^2), on obtient :

Prenons la moyenne de cette équation :

En appliquant les propriétés et résultats précédents :

• L'hypothèse ergodique permet d'intervertir dérivation temporelle et moyenne : \left\langle \frac{\mathrm{d}(xv)}{\mathrm{d}t} \right\rangle = \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} avec \varphi(t) = \langle xv \rangle ;
• Le théorème d'équipartition donne (question Q17) : m_b \langle v^2 \rangle = k_B T_0 ;
• La force de collision fluctuante est décorrélée de la position : \langle x F_c \rangle = 0.

L'équation devient ainsi :

Soit sous forme canonique :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Sa solution générale s'écrit comme la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière constante :

où C est une constante d'intégration déterminée par la condition initiale \varphi(0) = 0 :

D'où l'expression de \varphi(t) :

La dérivation de x^2(t) par rapport au temps donne immédiatement :

En prenant la moyenne temporelle et en appliquant l'hypothèse ergodique précisée dans le texte, \left\langle \frac{\mathrm{d}(x^2)}{\mathrm{d}t} \right\rangle = \frac{\mathrm{d}\langle x^2 \rangle}{\mathrm{d}t}, on obtient :

Puisque le grain se trouve en O à t = 0, on a x(0) = 0, d'où \psi(0) = \langle x(0)^2 \rangle = 0. En intégrant entre 0 et t avec l'expression de \varphi(t') établie à la question Q18, \varphi(t') = \frac{k_B T_0}{\alpha}\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{\alpha}{m_b}t'}\right) :

En posant le temps caractéristique \tau = \frac{m_b}{\alpha}, il vient l'expression générale :

D'après les questions Q9 et Q15, le temps caractéristique de relaxation vaut :

Les observations de Jean Perrin se font à des intervalles de temps de l'ordre de t \sim 30\text{ s} à 120\text{ s}. À cette échelle macroscopique, on a très largement t \gg \tau (le rapport \frac{t}{\tau} \sim 10^9 est gigantesque). Le terme exponentiel est donc rigoureusement nul (\mathrm{e}^{-t/\tau} \approx 0) et le décalage temporel \tau est totalement négligeable devant t (\tau \ll t). Il reste alors :

Cette relation est bien de la forme \psi(t) \simeq D_x t, avec :

D'après la question Q19, le déplacement quadratique moyen suit en régime diffusif une loi linéaire :

Sur la figure 2, la droite passe par l'origine et coupe le point (t = 120\text{ s},\, \langle x^2 \rangle \approx 180\text{ }\mu\mathrm{m}^2) (ou de façon équivalente t = 100\text{ s} pour \langle x^2 \rangle \approx 150\text{ }\mu\mathrm{m}^2). La pente de cette droite vaut donc :

En utilisant l'expression théorique D_x = \dfrac{2 k_B T_0}{\alpha}, on en déduit :

Avec \alpha = 4{,}5 \times 10^{-9}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} et T_0 = 20^\circ\mathrm{C} = 293\text{ K} :

Avec un chiffre significatif :

Comparaison et commentaire :

• À la question Q14, l'expérience de sédimentation conduisait à k_B \approx 1 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} (environ 1{,}0 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}). Les deux valeurs sont remarquablement cohérentes entre elles et très proches de la valeur admise (k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}).
• Cette concordance est d'une portée conceptuelle majeure : elle montre que deux méthodes physiques de natures totalement différentes — l'une statique et macroscopique à l'équilibre thermique (sédimentation sous champ de pesanteur), l'autre dynamique hors équilibre (diffusion temporelle par agitation thermique) — conduisent à la même constante universelle k_B, et donc au même nombre d'Avogadro N_A = R / k_B \approx 7 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}.
• Cette convergence d'expériences indépendantes a apporté la preuve irréfutable de la réalité physique des atomes et molécules, emportant l'adhésion définitive de la communauté scientifique (Ostwald) et valant à Jean Perrin le prix Nobel de physique en 1926.

Les conditions de Gauss définissent le cadre de l'optique paraxiale. Elles stipulent que les rayons lumineux doivent être :

1. paraxiaux, c'est-à-dire peu inclinés par rapport à l'axe optique principal (angles d'incidence et d'émergence petits devant 1\text{ rad}, ce qui permet d'écrire \sin\theta \simeq \tan\theta \simeq \theta) ;
2. proches de l'axe optique, c'est-à-dire frappant les dioptres ou la lentille à une distance faible de son sommet ou de son centre optique par rapport aux rayons de courbure.

Dans ces conditions, le système optique (ici la lentille mince) vérifie deux propriétés fondamentales :

• le stigmatisme approché : à tout point objet A correspond un unique point image A' (l'ensemble des rayons issus de A et traversant la lentille convergent en un même point A' ou semblent en provenir) ;
• l'aplanétisme approché : l'image d'un petit élément objet plan et perpendiculaire à l'axe optique est également un élément image plan et perpendiculaire à l'axe optique (pas de distorsion ni de courbure de champ).

Pour qu'un observateur emmétrope observe sans accommoder, l'image finale A_2 B_2 donnée par l'instrument doit se former à l'infini :

L'image intermédiaire A_1 B_1 est donc réelle, inversée, et située dans le plan focal objet de l'oculaire L_2.

Construction des rayons lumineux :

• Le rayon issu de B parallèle à l'axe optique émerge de l'objectif L_1 en passant par son foyer image F'_1.
• Le rayon issu de B passant par le centre optique O_1 émerge sans déviation.
• Ces deux rayons se croisent en B_1, situé dans le plan focal objet de L_2 (à l'abscisse de F_2).
• En traversant l'oculaire L_2, ces rayons émergent parallèles entre eux selon une direction faisant un angle \alpha' avec l'axe optique, direction donnée par la droite joignant B_1 au centre optique O_2.

L'oculaire L_2 donne d'un objet une image à l'infini si et seulement si cet objet se trouve dans son plan focal objet. L'image intermédiaire A_1B_1 est donc nécessairement située dans le plan focal objet de l'oculaire L_2 :

Par définition de l'intervalle optique, on a \overline{F'_1 A_1} = \overline{F'_1 F_2} = \Delta > 0.

Appliquons la relation de conjugaison de Newton à l'objectif L_1 :

Comme \overline{F_1 A} = -\overline{AF_1}, il vient :

Avec f'_1 = 1\text{ mm} et \Delta = 15\text{ cm} = 150\text{ mm}, on obtient :

On constate d'une part que \overline{AF_1} > 0 (l'objet AB est bien situé en amont du foyer F_1), et d'autre part que :

L'objet AB se trouve donc quasiment confondu avec le foyer objet F_1 de l'objectif.

Intérêt pour l'observateur : Pour un œil emmétrope (vision sans défaut), le punctum remotum est situé à l'infini. Observer une image finale rejetée à l'infini permet à l'œil d'observer sans accommoder (le cristallin est au repos), ce qui évite la fatigue oculaire lors d'observations prolongées.

Cas où \overline{AF_1} < 0 : Si \overline{AF_1} < 0, alors \overline{F_1 A} > 0 (l'objet A se trouve entre F_1 et O_1). D'après la relation de Newton :

L'image intermédiaire A_1 se formerait en amont du foyer image F'_1. De plus, comme |\overline{F_1 A}| \ll f'_1, on aurait |\overline{F'_1 A_1}| \gg f'_1 : l'image intermédiaire A_1 B_1 serait virtuelle et rejetée loin en amont de l'objectif L_1.

L'oculaire L_2 forme l'image finale d'un objet situé dans son plan focal objet (A_1 \equiv F_2, question Q23). Dans les conditions d'approximation paraxiale de Gauss, un faisceau issu de B_1 émerge de L_2 incliné d'un angle \alpha' par rapport à l'axe optique (figure 4) vérifiant :

Par ailleurs, le grandissement transversal de l'objectif L_1 s'exprime grâce à la formule de Newton (origines aux foyers) :

Comme A_1 \equiv F_2, on a \overline{F'_1 A_1} = \overline{F'_1 F_2} = \Delta, et \overline{F'_1 O_1} = -f'_1. Il vient :

On en déduit l'expression de la puissance intrinsèque P_i = \frac{\alpha'}{AB} :

Application numérique pour un microscope usuel : Avec \Delta = 15\text{ cm} = 0{,}15\text{ m}, f'_1 = 1\text{ mm} = 1\times 10^{-3}\text{ m} et f'_2 = 2\text{ cm} = 2\times 10^{-2}\text{ m} :

Possibilité d'observation pour un œ il emmétrope : Pour un grain sphérique de gomme-gutte de diamètre d = 2 R_b = 0{,}4\ \mu\mathrm{m} = 4\times 10^{-7}\text{ m}, l'angle sous lequel il est vu à la sortie du microscope usuel vaut :

Or, le pouvoir séparateur d'un œ il humain normal (emmétrope) est de l'ordre d'une minute d'arc :

La puissance minimale requise pour résoudre un grain est donc :

Comme P_i \approx 8\times 10^3\ \delta \gg P_{i,\min} (l'angle \alpha' \approx 10\,\varepsilon_{\text{œ il}} dépasse d'un ordre de grandeur la limite de résolution), un microscope usuel permet parfaitement à un œ il emmétrope d'observer les grains de gomme-gutte.