Corrigé détaillé Mines Physique 1 MP 2021 (page 2/2 : Parties III et IV)

On étudie un grain de masse m_b assimilé à un point matériel dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. D'après le modèle de Langevin, la pesanteur et la poussée d'Archimède sont négligées (ou s'équilibrent le long de la verticale dans un plan horizontal), et le grain est soumis à :

• la force de frottement fluide visqueux : \vec{f} = -\alpha \vec{v} ;
• la force aléatoire due aux chocs microscopiques des molécules du fluide : \vec{F}_c = F_c \widehat{e}_x.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

soit, sous forme vectorielle :

En projection sur l'axe (Ox) où \vec{v} = v(t)\widehat{e}_x et \vec{F}_c = F_c(t)\widehat{e}_x, cette équation scalaire devient :

En l'absence de force aléatoire (\vec{F}_c = \vec{0}), l'équation devient :

La solution est :

Avec les valeurs numériques fournies (m_b = 4,1 \times 10^{-17}\text{ kg} et \alpha = 4,5 \times 10^{-9}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}), le temps caractéristique de relaxation vaut :

Le temps caractéristique est de l'ordre de dix nanosecondes : en l'absence de force d'agitation \vec{F}_c, la vitesse du grain s'annulerait donc de manière quasi instantanée à l'échelle macroscopique (dix ordres de grandeur en dessous de la seconde). L'observation d'un mouvement perpétuel prouve ainsi la nécessité d'une force motrice permanente issue des chocs moléculaires.

La vitesse selon l'axe (Ox) est reliée à la position par v = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}. En dérivant le produit xv par rapport au temps, on obtient :

On en déduit immédiatement :

La vitesse quadratique moyenne u est définie comme la racine carrée de la moyenne temporelle (ou statistique) du carré de la vitesse :

L'étude étant restreinte au mouvement unidimensionnel le long de l'axe (Ox), le grain de masse m_b ne possède qu'un seul degré de liberté de translation, associé à l'énergie cinétique :

D'après le théorème d'équipartition de l'énergie, à l'équilibre thermodynamique à la température T_0, la valeur moyenne de chaque terme quadratique indépendant intervenant dans l'énergie du système vaut \frac{1}{2} k_B T_0 :

On en déduit :

soit l'expression de la vitesse quadratique moyenne :

L'équation de Langevin (E_L) projetée sur l'axe (Ox) s'écrit :

En multipliant cette relation par la position x(t) et en utilisant l'identité cinématique démontrée à la question Q16 (x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(xv)}{\mathrm{d}t} - v^2), on obtient :

Prenons la moyenne de cette équation :

En appliquant les propriétés et résultats précédents :

• L'hypothèse ergodique permet d'intervertir dérivation temporelle et moyenne : \left\langle \frac{\mathrm{d}(xv)}{\mathrm{d}t} \right\rangle = \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} avec \varphi(t) = \langle xv \rangle ;
• Le théorème d'équipartition donne (question Q17) : m_b \langle v^2 \rangle = k_B T_0 ;
• La force de collision fluctuante est décorrélée de la position : \langle x F_c \rangle = 0.

L'équation devient ainsi :

Soit sous forme canonique :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Sa solution générale s'écrit comme la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière constante :

où C est une constante d'intégration déterminée par la condition initiale \varphi(0) = 0 :

D'où l'expression de \varphi(t) :

La dérivation de x^2(t) par rapport au temps donne immédiatement :

En prenant la moyenne temporelle et en appliquant l'hypothèse ergodique précisée dans le texte, \left\langle \frac{\mathrm{d}(x^2)}{\mathrm{d}t} \right\rangle = \frac{\mathrm{d}\langle x^2 \rangle}{\mathrm{d}t}, on obtient :

Puisque le grain se trouve en O à t = 0, on a x(0) = 0, d'où \psi(0) = \langle x(0)^2 \rangle = 0. En intégrant entre 0 et t avec l'expression de \varphi(t') établie à la question Q18, \varphi(t') = \frac{k_B T_0}{\alpha}\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{\alpha}{m_b}t'}\right) :

En posant le temps caractéristique \tau = \frac{m_b}{\alpha}, il vient l'expression générale :

D'après les questions Q9 et Q15, le temps caractéristique de relaxation vaut :

Les observations de Jean Perrin se font à des intervalles de temps de l'ordre de t \sim 30\text{ s} à 120\text{ s}. À cette échelle macroscopique, on a très largement t \gg \tau (le rapport \frac{t}{\tau} \sim 10^9 est gigantesque). Le terme exponentiel est donc rigoureusement nul (\mathrm{e}^{-t/\tau} \approx 0) et le décalage temporel \tau est totalement négligeable devant t (\tau \ll t). Il reste alors :

Cette relation est bien de la forme \psi(t) \simeq D_x t, avec :

D'après la question Q19, le déplacement quadratique moyen suit en régime diffusif une loi linéaire :

Sur la figure 2, la droite passe par l'origine et coupe le point (t = 120\text{ s},\, \langle x^2 \rangle \approx 180\text{ }\mu\mathrm{m}^2) (ou de façon équivalente t = 100\text{ s} pour \langle x^2 \rangle \approx 150\text{ }\mu\mathrm{m}^2). La pente de cette droite vaut donc :

En utilisant l'expression théorique D_x = \dfrac{2 k_B T_0}{\alpha}, on en déduit :

Avec \alpha = 4{,}5 \times 10^{-9}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} et T_0 = 20^\circ\mathrm{C} = 293\text{ K} :

Avec un chiffre significatif :

Comparaison et commentaire :

• À la question Q14, l'expérience de sédimentation conduisait à k_B \approx 1 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} (environ 1{,}0 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}). Les deux valeurs sont remarquablement cohérentes entre elles et très proches de la valeur admise (k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}).
• Cette concordance est d'une portée conceptuelle majeure : elle montre que deux méthodes physiques de natures totalement différentes — l'une statique et macroscopique à l'équilibre thermique (sédimentation sous champ de pesanteur), l'autre dynamique hors équilibre (diffusion temporelle par agitation thermique) — conduisent à la même constante universelle k_B, et donc au même nombre d'Avogadro N_A = R / k_B \approx 7 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}.
• Cette convergence d'expériences indépendantes a apporté la preuve irréfutable de la réalité physique des atomes et molécules, emportant l'adhésion définitive de la communauté scientifique (Ostwald) et valant à Jean Perrin le prix Nobel de physique en 1926.

Les conditions de Gauss définissent le cadre de l'optique paraxiale. Elles stipulent que les rayons lumineux doivent être :

1. paraxiaux, c'est-à-dire peu inclinés par rapport à l'axe optique principal (angles d'incidence et d'émergence petits devant 1\text{ rad}, ce qui permet d'écrire \sin\theta \simeq \tan\theta \simeq \theta) ;
2. proches de l'axe optique, c'est-à-dire frappant les dioptres ou la lentille à une distance faible de son sommet ou de son centre optique par rapport aux rayons de courbure.

Dans ces conditions, le système optique (ici la lentille mince) vérifie deux propriétés fondamentales :

• le stigmatisme approché : à tout point objet A correspond un unique point image A' (l'ensemble des rayons issus de A et traversant la lentille convergent en un même point A' ou semblent en provenir) ;
• l'aplanétisme approché : l'image d'un petit élément objet plan et perpendiculaire à l'axe optique est également un élément image plan et perpendiculaire à l'axe optique (pas de distorsion ni de courbure de champ).

Pour qu'un observateur emmétrope observe sans accommoder, l'image finale A_2 B_2 donnée par l'instrument doit se former à l'infini :

L'image intermédiaire A_1 B_1 est donc réelle, inversée, et située dans le plan focal objet de l'oculaire L_2.

Construction des rayons lumineux :

• Le rayon issu de B parallèle à l'axe optique émerge de l'objectif L_1 en passant par son foyer image F'_1.
• Le rayon issu de B passant par le centre optique O_1 émerge sans déviation.
• Ces deux rayons se croisent en B_1, situé dans le plan focal objet de L_2 (à l'abscisse de F_2).
• En traversant l'oculaire L_2, ces rayons émergent parallèles entre eux selon une direction faisant un angle \alpha' avec l'axe optique, direction donnée par la droite joignant B_1 au centre optique O_2.

L'oculaire L_2 donne d'un objet une image à l'infini si et seulement si cet objet se trouve dans son plan focal objet. L'image intermédiaire A_1B_1 est donc nécessairement située dans le plan focal objet de l'oculaire L_2 :

Par définition de l'intervalle optique, on a \overline{F'_1 A_1} = \overline{F'_1 F_2} = \Delta > 0.

Appliquons la relation de conjugaison de Newton à l'objectif L_1 :

Comme \overline{F_1 A} = -\overline{AF_1}, il vient :

Avec f'_1 = 1\text{ mm} et \Delta = 15\text{ cm} = 150\text{ mm}, on obtient :

On constate d'une part que \overline{AF_1} > 0 (l'objet AB est bien situé en amont du foyer F_1), et d'autre part que :

L'objet AB se trouve donc quasiment confondu avec le foyer objet F_1 de l'objectif.

Intérêt pour l'observateur : Pour un œil emmétrope (vision sans défaut), le punctum remotum est situé à l'infini. Observer une image finale rejetée à l'infini permet à l'œil d'observer sans accommoder (le cristallin est au repos), ce qui évite la fatigue oculaire lors d'observations prolongées.

Cas où \overline{AF_1} < 0 : Si \overline{AF_1} < 0, alors \overline{F_1 A} > 0 (l'objet A se trouve entre F_1 et O_1). D'après la relation de Newton :

L'image intermédiaire A_1 se formerait en amont du foyer image F'_1. De plus, comme |\overline{F_1 A}| \ll f'_1, on aurait |\overline{F'_1 A_1}| \gg f'_1 : l'image intermédiaire A_1 B_1 serait virtuelle et rejetée loin en amont de l'objectif L_1.

L'oculaire L_2 forme l'image finale d'un objet situé dans son plan focal objet (A_1 \equiv F_2, question Q23). Dans les conditions d'approximation paraxiale de Gauss, un faisceau issu de B_1 émerge de L_2 incliné d'un angle \alpha' par rapport à l'axe optique (figure 4) vérifiant :

Par ailleurs, le grandissement transversal de l'objectif L_1 s'exprime grâce à la formule de Newton (origines aux foyers) :

Comme A_1 \equiv F_2, on a \overline{F'_1 A_1} = \overline{F'_1 F_2} = \Delta, et \overline{F'_1 O_1} = -f'_1. Il vient :

On en déduit l'expression de la puissance intrinsèque P_i = \frac{\alpha'}{AB} :

Application numérique pour un microscope usuel : Avec \Delta = 15\text{ cm} = 0{,}15\text{ m}, f'_1 = 1\text{ mm} = 1\times 10^{-3}\text{ m} et f'_2 = 2\text{ cm} = 2\times 10^{-2}\text{ m} :

Possibilité d'observation pour un œ il emmétrope : Pour un grain sphérique de gomme-gutte de diamètre d = 2 R_b = 0{,}4\ \mu\mathrm{m} = 4\times 10^{-7}\text{ m}, l'angle sous lequel il est vu à la sortie du microscope usuel vaut :

Or, le pouvoir séparateur d'un œ il humain normal (emmétrope) est de l'ordre d'une minute d'arc :

La puissance minimale requise pour résoudre un grain est donc :

Comme P_i \approx 8\times 10^3\ \delta \gg P_{i,\min} (l'angle \alpha' \approx 10\,\varepsilon_{\text{œ il}} dépasse d'un ordre de grandeur la limite de résolution), un microscope usuel permet parfaitement à un œ il emmétrope d'observer les grains de gomme-gutte.