Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2024 (page 2/2 : Parties III et IV)

a) Schéma du système optique et marche d'un rayon

La source ponctuelle S est au foyer objet de la première lentille L_1 : elle produit un faisceau parallèle (onde plane en incidence normale sur le réseau). La lentille L_2 focalise les rayons diffractés sous un même angle \theta en un point M(x,y,f') de son plan focal image, avec \theta \approx x/f' dans l'approximation paraxiale.

b) Établissement de la fonction intensité I(\varphi)

Chaque fente se comporte comme une source secondaire émettant une onde synchrone d'amplitude s_0. Pour un point M d'abscisse x, deux fentes successives distantes de a présentent une différence de marche \delta = a\sin\theta \approx \frac{ax}{f'}, d'où un déphasage uniforme :

L'amplitude complexe résultante au point M s'écrit comme la somme d'une suite géométrique de raison \mathrm{e}^{-j\varphi} :

L'intensité étant proportionnelle au carré du module de l'amplitude (I_0 \propto s_0^2), on obtient :

c) Zéros et maxima de la fonction intensité

• Annulation du numérateur : Le numérateur s'annule lorsque :

  \sin\left(N\frac{\varphi}{2}\right) = 0 \iff N\frac{\varphi}{2} = p\pi \iff \varphi = \frac{2p\pi}{N}, \quad p \in \mathbb{Z}

• Maxima principaux d'intensité : Lorsque le dénominateur s'annule également, c'est-à-dire pour \sin(\varphi/2) = 0, soit \varphi = 2m\pi avec m \in \mathbb{Z} (ce qui correspond à p = mN) :

  \lim_{\varphi \to 2m\pi} \frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)} = \pm N \implies I(2m\pi) = N^2 I_0

  Les maxima principaux d'intensité sont donc obtenus pour :

  \boxed{\varphi_{\max} = 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}}

• Zéros d'intensité : Les zéros d'intensité correspondent aux zéros du numérateur qui ne sont pas des zéros du dénominateur, c'est-à-dire pour p non multiple de N :

  \boxed{\varphi_{\text{zéro}} = \frac{2p\pi}{N}, \quad p \in \mathbb{Z} \setminus N\mathbb{Z}}

• Nombre de zéros entre deux maxima successifs : Entre le maximum d'ordre m=0 (\varphi=0) et le maximum d'ordre m=1 (\varphi=2\pi), l'entier p prend les valeurs 1, 2, \dots, N-1. Il existe donc :

  \boxed{N-1 \text{ zéros d'intensité entre deux maxima successifs}}

d) Rapport d'intensité H

L'intensité d'une frange principale la plus brillante vaut I_{\max} = N^2 I_0, alors qu'une fente seule produit au même point l'intensité I_0. Le rapport demandé vaut donc :

e) Largeur \delta\varphi des franges brillantes

La largeur d'une frange brillante principale est classiquement définie par l'écart angulaire en phase entre les deux premiers zéros d'intensité qui l'encadrent (autour de \varphi=0, ces zéros sont en \varphi = \pm \frac{2\pi}{N}) :

(Remarque : si l'on définit la demi-largeur au premier zéro, on obtient \delta\varphi/2 = \frac{2\pi}{N}.)

f) Commentaire et généralisation de la question Q9.e

À la question Q9.e, le passage de N=2 à N=3 fentes montrait un rehaussement de la brillance (I_{\max} = 9I_0 au lieu de 4I_0) et un rétrécissement des franges. Pour N fentes quelconques :

• La brillance de crête des maxima principaux varie en N^2 : la lumière est fortement concentrée.
• La largeur des pics varie en 1/N : plus N est grand, plus les franges d'interférence sont fines et piquées.

Pour un réseau comportant plusieurs milliers de traits (N \gg 1), les franges brillantes deviennent des raies spectrales extrêmement lumineuses et étroites, séparées par de larges plages sombres, ce qui confère au réseau un pouvoir de résolution spectral exceptionnel.

1. Justification de la formule du réseau sans calcul d'intensité

En incidence normale, le front d'onde incident est parallèle au plan du réseau : toutes les fentes sont donc éclairées en phase.

Considérons deux fentes consécutives distantes de a. Dans une direction faisant un angle \theta avec l'axe optique normal au réseau (Oz), le front d'onde émergent est orthogonal aux rayons diffractés. La différence de marche géométrique entre les rayons émis par deux fentes adjacentes vaut :

Toutes les ondes issues des différentes fentes interfèrent de manière totalement constructive si et seulement si les vibrations lumineuses sont en phase, soit :

On en déduit directement la relation :

2. Dénomination de l'entier n

L'entier relatif n est appelé l'ordre d'interférence (ou ordre de diffraction).

3. Modification en incidence oblique

Si l'onde incidente arrive sur le réseau sous un angle d'incidence i par rapport à la normale (mesuré dans le plan (xOz) avec la même convention d'orientation algébrique que \theta), les fentes ne sont plus éclairées en phase :

• la différence de marche en amont du réseau vaut -a \sin i ;
• la différence de marche en aval vaut +a \sin\theta.

La différence de marche totale entre deux fentes consécutives est donc :

La condition de maxima principaux d'interférence s'écrit alors :

a) Caractéristiques de l'onde incidente :

• Caractère harmonique : la dépendance temporelle est purement sinusoïdale de pulsation \omega constante, l'onde est donc monochromatique de fréquence \nu = \frac{\omega}{2\pi}.
• Planéité : la phase \varphi(M,t) = \omega t - \vec{k}_i \cdot \vec{OM} est uniforme sur tout plan orthogonal à \vec{k}_i, et l'amplitude E_0 est spatialement constante. Il s'agit d'une onde plane progressive.
• Polarisation : le champ électrique est colinéaire au vecteur unitaire fixe \vec{e}_y en tout point et à tout instant : l'onde présente une polarisation rectiligne selon l'axe Oy.
• Expression du vecteur d'onde : le faisceau se propage selon les z croissants dans l'air (assimilé au vide d'indice n=1), avec la relation de dispersion k_i = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}. Le vecteur d'onde s'écrit donc :

b) Champ magnétique complexe associé :

Dans le vide, pour une onde plane progressive harmonique de vecteur d'onde \vec{k}_i, l'équation de Maxwell-Faraday \vec{\nabla}\wedge\underline{\vec{E}}_i = -\frac{\partial \underline{\vec{B}}_i}{\partial t} conduit à :

Compte tenu de \vec{e}_z \wedge \vec{e}_y = -\vec{e}_x, on obtient :

c) Vecteur de Poynting moyen :

Le vecteur de Poynting moyen pour des champs en notation complexe s'exprime par :

Le produit vectoriel des amplitudes complexes vaut :

Sachant que \frac{1}{\mu_0 c} = \varepsilon_0 c, on en déduit :

Le flux d'énergie moyen est uniforme et dirigé dans le sens de propagation \vec{e}_z.

a) Comparaison des caractéristiques des ondes diffractées :

• Direction (polarisation) : Le champ incident étant polarisé rectilignement selon \vec{e}_y, les ondes diffractées par les fentes, identiques et invariantes par translation selon l'axe Oy, conservent la même polarisation rectiligne suivant \vec{e}_y.
• Amplitude : Toutes les fentes étant identiques et éclairées uniformément par la même onde plane incidente d'amplitude E_0, l'amplitude complexe diffractée par chaque fente dans la direction \theta_n est identique et vaut |\underline{\alpha}(\theta_n)| E_0.

• Phase : La différence de marche entre les rayons diffractés par deux fentes successives séparées de la distance a dans la direction \theta_n s'écrit \delta = a \sin\theta_n. Le déphasage correspondant vaut :

  \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta = \frac{2\pi}{\lambda} a \sin\theta_n

  Or, dans la direction considérée, la condition du réseau est vérifiée : \sin\theta_n = n\frac{\lambda}{a} avec n \in \mathbb{Z}. D'où :

  \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda} a \left(n\frac{\lambda}{a}\right) = 2n\pi \equiv 0 \pmod{2\pi}

  Le déphasage entre deux fentes consécutives est un multiple entier de 2\pi : les ondes issues des différentes fentes parviennent donc rigoureusement en phase en tout point situé à l'infini dans la direction \theta_n.

b) Champ électrique complexe résultant :

D'après le principe de superposition, le champ électrique diffracté total \underline{\vec{E}_{dT}} est la somme des champs issus des N fentes. Puisque les N ondes possèdent la même polarisation, la même amplitude et sont en phase (interférence totalement constructive) :

Soit explicitement :

a) D'après la question Q13.b, le champ électrique complexe résultant en un point M à l'infini dans la direction \theta_n s'écrit :

L'onde diffractée à l'infini est une onde plane progressive harmonique se propageant selon le vecteur unitaire \vec{u}_n = \frac{\vec{k}_d}{k} = \sin\theta_n \vec{e}_x + \cos\theta_n \vec{e}_z. Son champ magnétique associé est :

Le vecteur de Poynting moyen vaut ainsi :

Or \|\underline{\vec{E}_{dT}}\|^2 = N^2 |\underline{\alpha}|^2 E_0^2 et d'après Q12.c, \vec{\Pi}_0(M) = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}\,\vec{e}_z, dont la norme est \Pi_0 = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}. On en déduit :

En identifiant la norme de \vec{\Pi}_0(M), ou dans l'approximation paraxiale où \vec{u}_n \approx \vec{e}_z, cette relation s'écrit :

b) L'intensité lumineuse d'une direction de diffraction est directement proportionnelle à la norme du vecteur de Poynting moyen. Pour une seule fente (N=1), on a \Pi_1 = |\underline{\alpha}|^2 \Pi_0. Pour N fentes en interférence constructive (direction d'un maximum principal \theta_n), on a \Pi_N = N^2 |\underline{\alpha}|^2 \Pi_0. Le rapport de surintensité H introduit en Q10.d est donc :

c) Le faisceau cylindrique incident possède un rayon r = 1{,}0\text{ mm}, soit un diamètre (largeur éclairée sur le réseau) :

Le pas du réseau est a = \frac{1}{p} = \frac{1}{100\text{ mm}^{-1}} = 10\ \mu\text{m}. Le nombre de fentes éclairées est donc :

On en déduit la valeur du rapport H :

d) La formule du réseau en incidence normale s'écrit :

Avec \lambda = 632{,}8\text{ nm} = 6{,}328 \cdot 10^{-7}\text{ m} et p = 100\text{ mm}^{-1} = 10^5\text{ m}^{-1} :

Calculons les angles pour les différents ordres :

• Ordre n=0 : \sin\theta_0 = 0 \implies \theta_0 = 0^\circ
• Ordre n=1 : \sin\theta_1 = 0{,}06328 \implies \theta_1 = \arcsin(0{,}06328) \approx 3{,}63^\circ
• Ordre n=2 : \sin\theta_2 = 2 \times 0{,}06328 = 0{,}12656 \implies \theta_2 = \arcsin(0{,}12656) \approx 7{,}27^\circ
• Ordre n=3 : \sin\theta_3 = 3 \times 0{,}06328 = 0{,}18984 \implies \theta_3 = \arcsin(0{,}18984) \approx 10{,}94^\circ

On complète le tableau demandé :

Dans l'air d'indice n_{\text{air}} = 1, la pulsation \omega et le vecteur d'onde \vec{k} d'une onde plane monochromatique sont reliés par la relation de dispersion :

D'après la figure 4, l'axe Oz correspond à l'axe normal au réseau et les fentes sont parallèles à Oy. Les ondes diffractées se propagent donc dans le plan (xOz). Pour la direction diffractée d'ordre n, l'angle \theta_n est repéré par rapport à l'axe Oz, de sorte que :

D'après la formule du réseau établie à la question précédente (Q11) pour une onde incidente normale, les directions associées aux maxima d'intensité vérifient :

On en déduit l'expression de la composante selon Ox :

Pour la composante selon Oz, en tenant compte du fait que l'onde se propage vers les z > 0 (\cos\theta_n > 0) :

On obtient finalement :

1. Commentaire de la forme proposée

• Superposition d'ondes planes : Chaque terme de la somme, pondéré par le coefficient C_n, est de la forme \exp j(\omega t - \vec{k}_n \cdot \vec{r}) avec \vec{k}_n = k_{n,x}\vec{e}_x + k_{n,z}\vec{e}_z. Il représente une onde plane progressive harmonique monochromatique de pulsation \omega, se propageant dans la direction de diffraction \theta_n d'ordre n.

• Décomposition en série de Fourier : Le réseau étant spatialement périodique de période a selon Ox, sa fonction de transmission en amplitude se décompose en série de Fourier. Les coefficients C_n sont précisément les coefficients de Fourier d'un peigne de fentes créneaux de période a et d'ouverture \varepsilon :

  C_0 = \frac{\varepsilon}{a} \quad \text{et} \quad C_n = \frac{\sin\left(\frac{n\pi\varepsilon}{a}\right)}{n\pi} \quad (n \neq 0)
• Interférences constructives : Seules les ondes planes se propageant dans les directions discrètes fixées par la condition de réseau interfèrent de façon constructive et transportent l'énergie à grande distance ; l'amplitude totale résulte donc de la superposition cohérente de ces différents ordres.

2. Expression de l'amplitude complexe

D'après la question Q15, les composantes du vecteur d'onde s'écrivent :

En substituant ces expressions dans celle de \underline{A}(x,z,t), il vient :

L'amplitude complexe s'écrit, en développant le terme dans l'exponentielle sous la somme :

a) Expressions des amplitudes aux différentes cotes z :

• Pour z=0 :

  \boxed{\underline{A}(x,0,t) = \alpha_0 \exp(j\omega t) \sum_{n=-q}^{q} C_n \exp\left(-j\frac{2\pi n x}{a}\right)}

  Cette amplitude correspond, à un facteur près, au profil de transmission du réseau tronqué aux ordres |n| \leqslant q.

• Pour z = \frac{1}{2}z_T = \frac{a^2}{\lambda} :
  Le terme de phase longitudinal interne vaut \pi \frac{\lambda n^2}{a^2} \left(\frac{a^2}{\lambda}\right) = \pi n^2. D'après l'indication de l'énoncé, pour tout entier n :

  \exp\left(j\pi n^2\right) = \exp\left(-j\pi n^2\right) = \exp(-j\pi n) = (-1)^n.

  On a donc :

  \underline{A}\left(x, \frac{a^2}{\lambda}, t\right) = \alpha_0 \exp j\left(\omega t - \frac{2\pi a^2}{\lambda^2}\right) \sum_{n=-q}^{q} C_n \exp(-j\pi n)\exp\left(-j\frac{2\pi n x}{a}\right).

  En factorisant -j\frac{2\pi n}{a}, le terme sous la somme s'écrit \exp\left[-j\frac{2\pi n}{a}\left(x + \frac{a}{2}\right)\right] (ou de manière équivalente avec x - \frac{a}{2} car \exp(j\pi n) = \exp(-j\pi n)) :

  \boxed{\underline{A}\left(x, z = \frac{1}{2}z_T = \frac{a^2}{\lambda}, t\right) = \alpha_0 \exp j\left(\omega t - \frac{2\pi a^2}{\lambda^2}\right) \sum_{n=-q}^{q} C_n \exp\left[-j\frac{2\pi n}{a}\left(x - \frac{a}{2}\right)\right]}

• Pour z = z_T = \frac{2a^2}{\lambda} :
  Le terme de phase interne vaut \pi \frac{\lambda n^2}{a^2} \left(\frac{2a^2}{\lambda}\right) = 2\pi n^2. Puisque n est entier, n^2 \in \mathbb{Z}, donc :

  \exp\left(j 2\pi n^2\right) = 1.

  On obtient ainsi :

  \boxed{\underline{A}(x, z = z_T, t) = \alpha_0 \exp j\left(\omega t - \frac{4\pi a^2}{\lambda^2}\right) \sum_{n=-q}^{q} C_n \exp\left(-j\frac{2\pi n x}{a}\right)}

b) Justification de l'effet Talbot : L'intensité lumineuse observée est proportionnelle au carré du module de l'amplitude complexe : I(x,z) \propto |\underline{A}(x,z,t)|^2.

• À la distance z = z_T, la distribution spatiale transverse de l'amplitude est rigoureusement identique à celle en z=0, à une phase globale uniforme indépendante de x près :

  \underline{A}(x, z_T, t) = \exp\left(-j\frac{4\pi a^2}{\lambda^2}\right) \underline{A}(x, 0, t) \implies I(x, z_T) = I(x, 0).

  Le profil d'intensité du réseau est donc parfaitement reproduit sans aucun système optique d'imagerie : c'est l'auto-image non décalée.

• À la distance z = z_T/2, l'amplitude correspond à celle observée en z=0 translatée spatialement de a/2 selon x :

  I\left(x, \frac{z_T}{2}\right) = I\left(x - \frac{a}{2}, 0\right).

  On retrouve ainsi l'image du réseau décalée d'un demi-pas \Delta x = \frac{a}{2} (les maxima et minima d'intensité sont inversés par rapport au motif d'origine).

1. Commentaire de la photo 1 (Tapis de Talbot) :

• À la distance z = z_T (située au sommet du graphe), on retrouve la distribution d'intensité initiale du réseau en z = 0 : c'est le phénomène d'auto-imagerie (effet Talbot direct).
• À mi-distance z = z_T/2, on observe une réplique exacte du réseau, mais décalée spatialement de a/2 selon x, conformément au résultat de la question Q17.b.
• À des distances sous-multiples (z_T/4, z_T/8, etc.), on observe l'effet Talbot fractionnaire : le nombre d'images est multiplié (par exemple, la période spatiale apparente est divisée par 2 en z_T/4).
• Le champ d'interférence présente une structure fractale auto-similaire très riche formée par l'entrecroisement des différents faisceaux diffractés.

2. Détermination du pas a et vérification de la longueur de Talbot z_T :

• Sur l'axe horizontal, pour x/\lambda variant de 0 à 250, on dénombre 4 périodes complètes du réseau. Le pas spatial réduit vaut donc :

  \frac{a}{\lambda} \approx \frac{250}{4} \approx 62,5 \quad (\text{soit } a \approx 63\,\lambda)

• D'après la formule théorique obtenue à la question Q17 :

  z_T = \frac{2a^2}{\lambda} \implies \frac{z_T}{\lambda} = 2\left(\frac{a}{\lambda}\right)^2

  En injectant la valeur de a/\lambda estimée :

  \frac{z_T}{\lambda} \approx 2 \times (62,5)^2 = 7\,812 \approx 8\,000

  (avec la valeur exacte a/\lambda = \sqrt{4\,000} \approx 63,2, on trouve rigoureusement z_T/\lambda = 8\,000).

• Sur la photo 1, l'ordonnée de la ligne repérée z_T correspond bien au sommet de l'échelle à \frac{z}{\lambda} \approx 8\,000 (avec \frac{z_T/2}{\lambda} \approx 4\,000 et \frac{z_T/4}{\lambda} \approx 2\,000). La longueur de Talbot simulée est donc pleinement conforme à la formule théorique.

3. Déduction du rapport \frac{\varepsilon}{a} :

• À la base (z = 0) ou au sommet (z = z_T), la largeur à la base d'un pic d'intensité lumineuse (largeur d'une fente) mesure environ \frac{\varepsilon}{\lambda} \approx 6 à 12 unités d'abscisse.

• On en déduit le rapport :

  \boxed{\frac{\varepsilon}{a} \approx \frac{10}{62,5} \approx 0,15 \text{ à } 0,2 \quad \left(\text{soit } \frac{\varepsilon}{a} \sim \frac{1}{6} \text{ à } \frac{1}{5}\right)}
• Ce rapport est bien petit devant 1, ce qui valide l'hypothèse \varepsilon \ll a formulée en Q17 (le nombre d'ordres diffractés significatifs est q = \lfloor a/\varepsilon \rfloor \approx 5 à 7) et explique que les sous-images formées à z_T/4 soient nettement séparées sans se recouvrir.

1. Commentaire de l'expression de l'intensité

L'expression donnée s'écrit comme le produit de deux termes distincts :

• Le terme d'interférences : il dépend du pas du réseau a et du nombre de fentes N. Il produit des pics d'interférence très fins et intenses espacés d'un interfrange i = \frac{\lambda D}{a}, caractéristiques de la distribution périodique des motifs.
• Le terme lié à la dimension du motif : il dépend de la largeur \varepsilon de chaque fente. Il correspond à la diffraction par une fente unique et constitue une courbe enveloppe d'extension angulaire caractéristique \Delta\theta \sim \frac{2\lambda}{\varepsilon} (soit une largeur spatiale \Delta x \sim \frac{2\lambda D}{\varepsilon}), qui module l'intensité des pics d'interférence et en éteint certains lorsque leurs positions coïncident avec les zéros du sinus cardinal.

2. Observation sur un écran éloigné (diffraction de Fraunhofer)

Les hématies sont réparties selon un réseau bidimensionnel périodique à symétrie hexagonale de pas a = 12\ \mu\text{m}, chaque globule constituant un diffuseur d'extension 2r = 8\ \mu\text{m}. Sur un écran éloigné, on observe donc :

• Un réseau de points de diffraction discrets disposés selon une symétrie hexagonale (réseau réciproque du réseau direct des hématies), d'écartement angulaire \theta_i \sim \frac{\lambda}{a}.
• Une modulation globale de cette trame de points par la figure de diffraction d'un globule individuel (enveloppe circulaire proche d'une tache d'Airy de rayon angulaire \theta_{\text{diff}} \sim 1,22\,\frac{\lambda}{2r}).

3. Distance d'observation de l'image de Talbot

Pour obtenir une image en vraie grandeur sans dispositif optique d'imagerie (lentille), il faut se placer à une distance où se produit l'effet Talbot (champ proche de Fresnel). D'après la question Q17, la première auto-image identique (non décalée) est observée à la longueur de Talbot :

Application numérique : Avec a = 12\ \mu\text{m} = 12 \cdot 10^{-6}\text{ m} et \lambda = 633\text{ nm} = 633 \cdot 10^{-9}\text{ m} :

Une image décalée d'un demi-pas (également en vraie grandeur) apparaît à la demi-distance z_T / 2 \approx 0,23\text{ mm}.

1. Formule de De Broglie et longueur d'onde associée :

   D'après l'hypothèse de Louis de Broglie (1924), à toute particule matérielle possédant une quantité de mouvement p est associée une onde de matière de longueur d'onde :

   \lambda = \frac{h}{p}

   Considérons un électron de masse m et de charge -e, initialement au repos, accéléré par une différence de potentiel U. Le théorème de l'énergie cinétique donne l'énergie cinétique acquise :

   E_c = e U

   Cette énergie (E_c = 100\text{ eV}) étant très inférieure à l'énergie de masse de l'électron (m c^2 \approx 511\text{ keV}), un traitement non relativiste est pleinement justifié :

   E_c = \frac{p^2}{2m} \implies p = \sqrt{2m E_c} = \sqrt{2m e U}

   La longueur d'onde associée au faisceau d'électrons s'exprime donc par :

   \boxed{\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m e U}}}

   Application numérique :

   \begin{aligned} h &= 6,63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} \\ m &= 9,11 \cdot 10^{-31}\text{ kg} \\ e &= 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ C} \\ U &= 100\text{ V} \end{aligned}
   \begin{aligned} p &= \sqrt{2 \times 9,11 \cdot 10^{-31} \times 1,6 \cdot 10^{-19} \times 100} \approx 5,40 \cdot 10^{-24}\text{ kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1} \\ \lambda &= \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{5,40 \cdot 10^{-24}} \approx 1,23 \cdot 10^{-10}\text{ m} \end{aligned}
   \boxed{\lambda \approx 0,123\text{ nm} = 1,23\text{ \AA}}

2. Pouvoir de résolution comparé :

   La résolution spatiale ultime d'un instrument d'optique est limitée par le phénomène de diffraction. D'après le critère de Rayleigh (ou la limite d'Abbe), le plus petit détail résoluble d_{\min} est proportionnel à la longueur d'onde utilisée :

   d_{\min} \sim \frac{\lambda}{2\,\text{O.N.}}

   où \text{O.N.} est l'ouverture numérique du système optique.

   • Pour un microscope optique conventionnel fonctionnant dans le domaine visible, \lambda_{\text{opt}} \sim 400\text{ à }700\text{ nm}, ce qui limite la résolution spatiale à environ 0,2\ \mu\text{m}.
   • Pour un microscope électronique, les électrons accélérés sous des tensions de quelques dizaines de volts à quelques centaines de kilovolts possèdent des longueurs d'onde de De Broglie \lambda_e de l'ordre de 10^{-10}\text{ m} (ici \lambda \approx 0,12\text{ nm}) voire 10^{-12}\text{ m} (quelques picomètres en microscopie électronique en transmission).

   La longueur d'onde associée aux électrons étant de trois à cinq ordres de grandeur plus courte que celle des photons visibles, la limite de diffraction est considérablement repoussée, conférant au microscope électronique un pouvoir de résolution bien supérieur (pouvant atteindre l'échelle atomique).

1. Théorème d'équipartition de l'énergie

À l'équilibre thermodynamique à la température T, pour un système classique, chaque terme quadratique indépendant intervenant dans l'expression de l'énergie microscopique (degré de liberté quadratique) possède une énergie moyenne égale à :

2. Établissement de la vitesse quadratique moyenne u

Un atome de masse m est assimilé à un point matériel possédant 3 degrés de liberté de translation. Son énergie cinétique microscopique s'écrit :

D'après le théorème d'équipartition de l'énergie, chacun des trois termes quadratiques indépendants contribue pour \frac{1}{2} k_B T :

La vitesse quadratique moyenne étant définie par u = \sqrt{\langle v^2 \rangle}, on obtient :

En introduisant la constante des gaz parfaits R = N_A k_B et la masse molaire M = N_A m :

3. Calcul des valeurs manquantes

• Néon à T_3 = 2,5\text{ mK} : Avec M = 20\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 20 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et T_3 = 2,5 \cdot 10^{-3}\text{ K} :

  u(\text{Ne}, T_3) = \sqrt{\frac{3 \times 8,31 \times 2,5 \cdot 10^{-3}}{20 \cdot 10^{-3}}} \approx 1,77\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
  \boxed{u(\text{Ne}, T_3) \approx 1,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

• Hélium à T_1 = 295\text{ K} : Le calcul direct à l'aide de la formule théorique, avec M = 4 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et T_1 = 295\text{ K}, donne :

  u(\text{He}, T_1) = \sqrt{\frac{3 \times 8,31 \times 295}{4 \cdot 10^{-3}}} \approx 1\,356\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
  \boxed{u(\text{He}, T_1) \approx 1,36 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

Remarque sur la valeur du tableau : L'application de la formule pour l'hélium à T_2 = 83\text{ K} donne u_{\text{th}} = \sqrt{\frac{3 \times 8,31 \times 83}{4 \cdot 10^{-3}}} \approx 719\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, valeur différente des 225\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} indiqués dans l'énoncé. Si l'on déduit la vitesse à T_1 par proportionnalité en \sqrt{T} à partir de la valeur fournie pour T_2 :

Le tableau complété est donc :

a) Recouvrement spatial et existence de deux chemins

La masse d'un atome d'hélium (M = 4\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}) vaut :

Pour T_2 = 83\text{ K}, la vitesse quadratique moyenne donnée est u_2 = 225\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, d'où la longueur d'onde de De Broglie associée :

• Éclairage cohérent des deux fentes F_1 et F_2 : au passage par la fente source F de largeur \varepsilon_F = 2\,\mu\text{m}, l'ouverture angulaire du faisceau par diffraction est \theta_F \approx \frac{2\lambda}{\varepsilon_F}. À la distance L = 64\text{ cm}, la largeur de la tache de diffraction vaut :

  W_F \approx L \, \theta_F = \frac{2\lambda L}{\varepsilon_F} = \frac{2 \times 4,44 \cdot 10^{-10} \times 0,64}{2 \cdot 10^{-6}} \approx 2,8 \cdot 10^{-4}\text{ m} = 280\,\mu\text{m}

  Cette largeur est très supérieure à la distance entre les fentes a = 8\,\mu\text{m} (W_F \gg a). L'onde diffractée par F illumine donc simultanément et de façon cohérente les deux fentes F_1 et F_2.

• Recouvrement sur le détecteur : après la traversée des fentes F_1 et F_2 de largeur \varepsilon = 1\,\mu\text{m}, chaque faisceau s'ouvre d'un angle \theta \approx \frac{2\lambda}{\varepsilon}. À la distance L' = 64\text{ cm}, l'étalement de chaque faisceau sur le détecteur est :

  W' \approx L' \, \theta = \frac{2\lambda L'}{\varepsilon} \approx 570\,\mu\text{m} \gg a = 8\,\mu\text{m}

Les deux faisceaux diffractés se recouvrent largement sur le détecteur. Un atome détecté en un point M peut donc emprunter de manière indiscernable le chemin F \to F_1 \to M ou le chemin F \to F_2 \to M : il y a bien superposition de deux chemins d'amplitude de probabilité distincts.

b) Interprétation physique des franges

Les atomes arrivent un à un sur le détecteur et y laissent un impact ponctuel et localisé (aspect corpusculaire). Cependant, les deux chemins possibles étant indiscernables, l'amplitude de probabilité totale en un point M est la somme des amplitudes associées à chaque chemin :

La densité de probabilité de présence sur le détecteur s'écrit alors :

Le terme croisé est un terme d'interférences quantiques d'ondes de matière :

• les droites riches en impacts correspondent à des interférences constructives (les amplitudes sont en phase) ;
• les zones sombres sans impact correspondent à des interférences destructives (les amplitudes sont en opposition de phase).

Après accumulation d'un grand nombre d'atomes indépendants, la répartition spatiale des impacts reproduit fidèlement la figure d'interférences à deux ondes, illustrant le comportement ondulatoire de la matière prédit par Louis de Broglie.

c) Estimation de l'interfrange pour T_1 et T_2

D'après le formulaire de l'énoncé, l'interfrange produit par deux fentes distantes de a à une distance L' du détecteur est :

• À la température T_2 = 83\text{ K}, avec \lambda_2 \approx 4,44 \cdot 10^{-10}\text{ m} :

  i(T_2) = \frac{4,44 \cdot 10^{-10} \times 0,64}{8 \cdot 10^{-6}} \approx 3,55 \cdot 10^{-5}\text{ m}
  \boxed{i(T_2) \approx 36\,\mu\text{m}}

• À la température T_1 = 295\text{ K}, la vitesse thermique variant en \sqrt{T} (u \propto \sqrt{T}), la longueur d'onde de De Broglie varie en 1/\sqrt{T} :

  \lambda_1 = \lambda_2 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 0,444 \times \sqrt{\frac{83}{295}} \approx 0,235\text{ nm}

  L'interfrange à T_1 vaut par conséquent :

  i(T_1) = i(T_2)\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 35,5 \times \sqrt{\frac{83}{295}} \approx 18,8\,\mu\text{m}
  \boxed{i(T_1) \approx 19\,\mu\text{m}}

a) Longueur d'onde et vitesse déduite

L'expression de l'interfrange pour un dispositif de fentes d'Young à la distance D s'écrit :

Avec a = 6\,\mu\text{m} = 6 \cdot 10^{-6}\text{ m}, i = 1,1\text{ mm} = 1,1 \cdot 10^{-3}\text{ m} et D = 85\text{ cm} = 0,85\text{ m} :

D'après la relation de De Broglie, la quantité de mouvement s'écrit p = m v = \frac{h}{\lambda}. La masse d'un atome de néon vaut m = \frac{M}{N_A} avec M = 20\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 20 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} :

La vitesse déduite au niveau du détecteur vaut alors :

b) Vitesses classiques de chute libre

Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, le néon en chute libre sans vitesse initiale est soumis uniquement à son poids. Par conservation de l'énergie mécanique :

• Au niveau des fentes, après une chute de hauteur d = 3,5\text{ cm} = 0,035\text{ m} :

  v_{\text{fentes}} = \sqrt{2 g d} = \sqrt{2 \times 9,8 \times 0,035} = \sqrt{0,686} \approx 0,83\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
  \boxed{v_{\text{fentes}} \approx 0,83\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

• Au niveau du détecteur, après une chute totale de hauteur H = d + D = 0,035 + 0,85 = 0,885\text{ m} :

  v_{\text{det}} = \sqrt{2 g (d + D)} = \sqrt{2 \times 9,8 \times 0,885} = \sqrt{17,35} \approx 4,2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
  \boxed{v_{\text{det}} \approx 4,2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

Commentaire : La vitesse calculée en a) (v \approx 2,6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) ne coïncide pas avec la vitesse instantanée d'impact sur le détecteur (4,2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). En réalité, les atomes accélèrent constamment sous l'effet de la pesanteur le long de la distance D, de sorte que leur longueur d'onde de De Broglie varie au cours du vol. La vitesse déduite de la formule d'Young (établie pour une onde monochromatique à vitesse constante) représente la vitesse moyenne de parcours entre les fentes et l'écran :

ce qui est en excellent accord avec les 2,6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} obtenus.

c) Rôle des atomes ultra-froids

L'utilisation d'atomes ultra-froids (T_3 = 2,5\text{ mK}) est indispensable pour deux raisons :

1. Obtenir un interfrange mesurable : à température ambiante (T \sim 300\text{ K}), la vitesse thermique moyenne vaut plusieurs centaines de mètres par seconde (u \sim 600\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), ce qui conduirait à \lambda \sim 30\text{ pm} et à un interfrange nanométrique (i \sim 4\text{ nm}), impossible à résoudre spatialement. Une vitesse initiale quasi-nulle permet d'obtenir des vitesses de quelques mètres par seconde et un interfrange millimétrique.
2. Éviter le brouillage des franges : la dispersion thermique des vitesses \Delta v introduit une dispersion sur la longueur d'onde \Delta \lambda. À température ambiante, cette dispersion est telle que le nombre de franges visibles N \sim \lambda / \Delta \lambda tend vers zéro (brouillage complet). Le refroidissement extrême garantit une excellente monochromaticité de l'onde de matière incidente.