Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2024

On repère le point \mathrm{M} en coordonnées cylindriques (r, \theta, z) d'axe (\mathrm{O}z) confondu avec le fil.

Symétries et invariances :

• Le fil infini uniformément chargé est invariant par translation selon l'axe (\mathrm{O}z) et par rotation autour de cet axe. Le champ électrostatique ne dépend donc que de la coordonnée radiale : \vec{E}(\mathrm{M}) = \vec{E}(r).
• Tout plan contenant l'axe (\mathrm{O}z), en particulier le plan méridien (\mathrm{M}, \vec{e}_r, \vec{e}_z), est un plan de symétrie de la distribution de charges.
• Le plan orthogonal au fil passant par \mathrm{M}, (\mathrm{M}, \vec{e}_r, \vec{e}_\theta), est également un plan de symétrie de la distribution de charges.

Le champ électrique en \mathrm{M} appartient à l'intersection de ces deux plans de symétrie, ce qui impose :

Théorème de Gauss : On choisit comme surface de Gauss \Sigma un cylindre fermé d'axe (\mathrm{O}z), de rayon r et de hauteur h. Le flux sortant de \vec{E} à travers \Sigma se décompose en le flux à travers la surface latérale \Sigma_{\text{lat}} et celui à travers les deux bases \Sigma_{\text{bases}} :

La charge électrique intérieure à la surface de Gauss est :

D'après le théorème de Gauss, \Phi = \frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}, soit :

On en déduit l'expression du champ électrostatique :

Le champ électrostatique dérive d'un potentiel scalaire selon la relation :

D'après la question 1, le champ électrostatique est purement radial et ne dépend que de la distance axiale r : \vec{E}(\mathrm{M}) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\vec{e}_r.

En coordonnées cylindriques, l'opérateur gradient s'écrit \vec{\nabla} V = \frac{\partial V}{\partial r}\vec{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta}\vec{e}_\theta + \frac{\partial V}{\partial z}\vec{e}_z. Par identification :

Par intégration par rapport à r, on obtient, à une constante additive près :

On étudie la goutte d'eau, assimilée à un point matériel \mathrm{M} de masse m et de charge q, dans le référentiel de l'ISS supposé galiléen (situation de microgravité, frottements négligés). Elle est uniquement soumise à la force électrostatique :

1. Caractère plan du mouvement :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la goutte s'écrit :

En projetant sur l'axe \vec{e}_z, on obtient :

La trajectoire de la goutte est donc rigoureusement plane et contenue dans le plan (x\mathrm{O}y) défini par z=0.

2. Théorème du moment cinétique et expression de \dot{\theta} :

Dans le plan z=0, le vecteur position s'écrit \overrightarrow{\mathrm{OM}} = r\vec{e}_r. Le moment de la force \vec{F} par rapport à l'origine \mathrm{O} vaut :

D'après le théorème du moment cinétique en \mathrm{O} :

En coordonnées cylindriques planes, la vitesse s'écrit \vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta, d'où :

À la date initiale t=0, r(0) = r_0 et \vec{v}(0) = v_0\vec{e}_\theta, ce qui donne :

Par conservation du moment cinétique, pour tout instant t :

d'où l'expression de \dot{\theta} :

Le mouvement de la goutte s'effectuant dans le plan z=0 (d'après la question Q3), la vitesse s'écrit en coordonnées cylindriques :

L'énergie cinétique de la goutte de masse m est donc :

En utilisant la relation établie à la question Q3, \dot{\theta} = \dfrac{r_0 v_0}{r^2}, le terme orthoradial se réécrit :

Par ailleurs, la force électrostatique étant conservative (\vec{F}_{\mathrm{e}} = -\vec{\nabla} E_{\mathrm{p}}), l'énergie potentielle électrostatique de la charge q dans le potentiel V(r) (question Q2) s'écrit, à une constante additive près arbitrairement choisie nulle :

L'énergie mécanique de la goutte s'exprime donc sous la forme :

Elle se met bien sous la forme demandée :

avec :

où les constantes s'identifient par :

Les grandeurs m, r_0 et v_0 étant non nulles, on a bien \alpha > 0. De plus, q > 0 et \lambda < 0, ce qui assure \beta > 0.

D'après la question Q4, l'énergie potentielle effective s'écrit pour r > 0 :

1. Limites aux bornes :

• En 0^+ : le terme centrifuge diverge en r^{-2} plus vite que le terme logarithmique, soit

  E_{\mathrm{p,eff}}(r) = \frac{1}{r^2} \left(\alpha + \beta r^2 \ln r\right) \xrightarrow[r \to 0^+]{} +\infty \quad (\text{car } \lim_{r \to 0^+} r^2 \ln r = 0).

• En +\infty : le terme centrifuge tend vers 0 et \ln r \to +\infty, donc

  \lim_{r \to +\infty} E_{\mathrm{p,eff}}(r) = +\infty.

2. Dérivée et extremum : La fonction est dérivable sur ]0, +\infty[ et sa dérivée vaut :

Comme \alpha > 0 et \beta > 0, la dérivée s'annule en un unique point :

La dérivée est strictement négative pour r < r_{\mathrm{min}} et strictement positive pour r > r_{\mathrm{min}}. La fonction admet donc un minimum absolu en r_{\mathrm{min}}, où l'énergie potentielle effective vaut :

3. Nature des mouvements possibles : L'énergie mécanique étant conservative, on a :

• Si E_{\mathrm{m}} < E_{\mathrm{p,min}}, aucun mouvement n'est possible.
• Si E_{\mathrm{m}} = E_{\mathrm{p,min}}, le rayon est constant : r(t) = r_{\mathrm{min}}. Il s'agit d'une orbite circulaire uniforme.
• Si E_{\mathrm{m}} > E_{\mathrm{p,min}}, le domaine spatial accessible est un intervalle borné et fermé [r_1, r_2] avec 0 < r_1 < r_{\mathrm{min}} < r_2 < +\infty. La coordonnée radiale oscille périodiquement entre une distance minimale r_1 (périapse) et une distance maximale r_2 (apoapse).

Comme E_{\mathrm{p,eff}}(r) \to +\infty lorsque r \to +\infty, le domaine accessible est borné pour toute valeur finie de E_{\mathrm{m}} :

Considérons la goutte en mouvement circulaire uniforme de rayon r_0 à la vitesse v dans le plan z = 0. Son accélération est purement centripète :

Elle est soumise à la seule force électrostatique exercée par l'aiguille :

En projetant le principe fondamental de la dynamique m\vec{a} = \vec{F} sur l'axe radial \vec{e}_r :

Le rayon r_0 se simplifie, et sachant que \lambda < 0 et q > 0, on obtient une vitesse strictement positive et indépendante de r_0 :

Stabilité de la trajectoire : Le mouvement circulaire de rayon r_0 correspond à la position d'équilibre pour le degré de liberté radial, c'est-à-dire au minimum de l'énergie potentielle effective E_{\mathrm{p,eff}}(r) (question Q5) :

car r_0^2 = 2\alpha/\beta. La dérivée seconde étant strictement positive, le puits de potentiel effectif est stable : une perturbation radiale de la trajectoire engendre des oscillations bornées autour de r_0. La trajectoire circulaire est donc stable.

1. Description du mouvement le long de l'aiguille :

Tant que la goutte est suffisamment éloignée des extrémités, le champ électrostatique créé par l'aiguille reste invariant par translation axiale et purement radial : \vec{E}(\mathrm{M}) = E_r(r)\,\vec{e}_r. La force exercée par l'aiguille n'a donc pas de composante selon \vec{e}_z :

Le mouvement dans le plan transverse (r,\theta) reste découplé du mouvement selon z. Si le mouvement radial est circulaire (r = r_0), la goutte s'enroule autour de l'aiguille avec une vitesse axiale constante : la trajectoire est une hélice circulaire d'axe \mathrm{O}z et de pas p = \dot{z}(0)\,\frac{2\pi r_0}{v_0}.

2. Effet des extrémités et allers-retours :

L'aiguille a une longueur finie. Au voisinage de chaque extrémité, les lignes de champ électrostatique s'incurvent (effet de bord). Puisque l'aiguille porte une charge négative (\lambda < 0), le champ électrique est dirigé vers celle-ci ; la force électrostatique \vec{F} = q\vec{E} exercée sur la goutte chargée positivement (q > 0) présente donc une composante axiale F_z orientée vers l'intérieur de l'aiguille.

Cette force axiale constitue une force de rappel qui décélère la goutte lorsqu'elle dépasse ou s'approche du bout de l'aiguille. Si la goutte parvient à s'arrêter selon z (\dot{z} = 0), elle rebrousse chemin sous l'effet de ce rappel et repart vers l'autre extrémité : elle effectue ainsi des allers-retours axiaux tout en continuant d'orbiter autour de l'aiguille.

3. Signification de « pas trop grand » :

Pour que la goutte rebrousse chemin, son énergie cinétique axiale initiale doit être inférieure à la hauteur du puits de potentiel électrostatique axial \Delta E_{\mathrm{p},z} qui la retient à l'extrémité de l'aiguille :

où \Delta E_{\mathrm{p},\mathrm{bord}\to\infty} est l'énergie minimale à fournir pour que la goutte s'échappe définitivement de l'attraction axiale du fil. Si \dot{z}(0) dépasse cette valeur critique, la goutte quitte l'aiguille sans rebrousser chemin.

1. Définition et interprétation du nombre de Reynolds

Pour l'écoulement d'un fluide de masse volumique \rho_{\mathrm{a}} et de viscosité dynamique \eta autour d'un obstacle de dimension caractéristique L à une vitesse relative v, le nombre de Reynolds est une grandeur sans dimension définie par :

Physiquement, le nombre de Reynolds quantifie le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses au sein du fluide :

• Si Re \ll 1 (ou de l'ordre de l'unité), les forces visqueuses prédominent : l'écoulement est laminaire (régime de Stokes), et la traînée est proportionnelle à la vitesse (\vec{F}_1).
• Si Re \gg 1 (Re \gtrsim 10^3), les effets inertiels prédominent avec formation d'un sillage turbulent, et la force de frottement devient proportionnelle au carré de la vitesse (\vec{F}_2).

2. Estimation de la vitesse de la goutte

D'après le préambule de la partie I, la goutte décrit une orbite de rayon r \approx 1\text{ cm} = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} avec une pseudo-période T \approx 3\text{ s}. En assimilant la trajectoire à un cercle sur un tour, la vitesse vaut en ordre de grandeur :

3. Calcul d'ordre de grandeur de Re et choix de la force

Pour une goutte sphérique de rayon R = 2\text{ mm} = 2 \times 10^{-3}\text{ m}, la dimension caractéristique est le diamètre L = 2R = 4 \times 10^{-3}\text{ m} (ou le rayon R). Avec les données de l'énoncé (\rho_{\mathrm{a}} = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \eta = 1{,}8 \times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s}) :

(ou Re \approx 2{,}8 \sim 3 si l'on prend L = R).

Le nombre de Reynolds obtenu est de l'ordre de quelques unités (Re \sim 1 \text{ à } 5) : il est très éloigné du domaine fortement turbulent/inertiel (Re \gtrsim 10^3) requis pour l'application d'une loi de traînée purement quadratique. L'écoulement reste dominé par la dissipation visqueuse (régime proche de celui de Stokes).

On étudie la goutte d'eau (de masse m, de charge q) dans le référentiel d'étude supposé galiléen, repérée en coordonnées cylindriques dans le plan z = 0.

La goutte est soumise à la force électrostatique \vec{F}_e et à la force de frottement fluide \vec{F}_1 :

L'approximation d'une trajectoire localement circulaire signifie que sur un tour, le rayon varie très lentement :

L'accélération radiale se réduit donc à l'accélération centripète usuelle :

Par ailleurs, la composante radiale de frottement -k_1 \dot{r} est d'ordre supérieur et tout à fait négligeable devant la force électrostatique attractive.

La projection du principe fondamental de la dynamique selon le vecteur unitaire radial \vec{e}_r s'écrit alors :

Sachant que \lambda < 0 et q > 0, on en déduit l'expression de la vitesse :

Cette grandeur ne dépend que de constantes caractéristiques du système (q, \lambda, \varepsilon_0, m) et est en particulier totalement indépendante du rayon r(t).

La norme de la vitesse v est donc rigoureusement constante au cours de l'évolution quasi-circulaire :

La puissance instantanée cédée par la force de frottement \vec{F} à la goutte d'eau est donnée par le produit scalaire :

(Si l'on retenait le modèle quadratique \vec{F}_2, on aurait \mathcal{P} = \vec{F}_2 \cdot \vec{v} = -k_2 v^3.)

Pour une trajectoire quasi-circulaire de rayon r(t), l'énergie mécanique de la goutte s'écrit :

D'après la question 9, la vitesse orbitale v = \sqrt{-\frac{q\lambda}{2\pi\varepsilon_0 m}} est constante au cours du mouvement, si bien que l'énergie cinétique est constante : \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t} = 0.

Avec le potentiel électrostatique obtenu à la question 2, l'énergie potentielle s'écrit (à une constante près) :

Sa dérivée temporelle vaut donc :

D'après le théorème de l'énergie mécanique appliqué à la goutte dans le référentiel d'étude galiléen :

En simplifiant par v^2 \neq 0, on obtient l'équation différentielle :

(Dans l'hypothèse de la force quadratique \vec{F}_2, on aboutirait de même à \tau = \frac{m}{k_2 v}.)

L'équation différentielle établie à la question 10 s'écrit :

Sachant qu'à t=0, r(0) = r_0, l'intégration immédiate conduit à la loi d'évolution :

La masse d'une goutte sphérique d'eau de rayon R et de masse volumique \rho vaut m = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho. Avec k_1 = 6\pi \eta R, la constante de temps \tau s'exprime par :

Application numérique :

L'aiguille étant assimilée à un fil infiniment fin le long de l'axe Oz, la goutte sphérique de rayon R s'écrase sur l'aiguille à l'instant t_{\mathrm{chute}} où la distance de son centre à l'axe atteint le rayon de la goutte, soit r(t_{\mathrm{chute}}) = R :

D'après l'énoncé, la distance initiale est de l'ordre de r_0 \approx 1\text{ cm} = 10\text{ mm} et le rayon vaut R \approx 2\text{ mm}, soit \frac{r_0}{R} \approx 5 :

Commentaire : La durée caractéristique de chute trouvée (de l'ordre de la minute, soit quelques dizaines de secondes) est en parfait accord avec les observations expérimentales mentionnées dans le préambule de la partie I.C (« la goutte finit par s'écraser sur l'aiguille au bout de plusieurs dizaines de secondes »).

D'après l'énoncé, la goutte effectue une révolution en une durée correspondant à la pseudo-période initiale :

D'après la loi d'évolution établie à la question Q11, le rayon à l'instant t vaut r(t) = r_0 \mathrm{e}^{-t/\tau}.

La variation relative du rayon au cours du premier tour s'écrit donc :

Comme la durée d'un tour T est très inférieure au temps caractéristique d'amortissement \tau \approx 50\text{ s} (T/\tau \ll 1), on peut effectuer un développement limité à l'ordre 1 :

Numériquement, avec T \approx 3\text{ s} et \tau \approx 50\text{ s} :

Commentaire : La diminution relative du rayon sur un tour complet n'est que d'environ 6\,\%, ce qui reste très petit devant l'unité (|\Delta r / r_0| \ll 1). Sur l'échelle de temps d'une orbite, le rayon peut donc être considéré comme constant en première approximation (r(t) \approx \text{cste}). L'hypothèse d'une trajectoire localement circulaire adoptée à la question Q9 est donc pleinement validée.

Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon r_0 et de période T \approx 3\text{ s}, la vitesse orbitale s'écrit :

D'après la relation fondamentale de la dynamique projetée sur le vecteur normal de Frenet \vec{e}_r, la force électrostatique attractive compense l'accélération centripète :

Le poids de la goutte sur Terre vaut :

Le rapport de la force électrostatique au poids s'exprime ainsi indépendamment de la masse m :

Avec r_0 \approx 1\text{ cm} = 1,0 \times 10^{-2}\text{ m}, T \approx 3\text{ s} et g = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

À titre indicatif, pour une goutte d'eau de rayon R \approx 2\text{ mm}, la masse vaut :

ce qui conduit à un poids P \approx 3,3 \times 10^{-4}\text{ N} et une force électrostatique F_e \approx 1,5 \times 10^{-6}\text{ N}.

Sur Terre, le poids est plus de deux cents fois supérieur à la force d'attraction électrostatique. La goutte tomberait donc immédiatement sous l'effet de la gravité sans pouvoir maintenir une orbite fermée autour de l'aiguille. L'expérience est irréalisable sur Terre : l'environnement de microgravité de l'ISS est strictement indispensable.

Dans un réseau cubique de paramètre r_0, une section transverse perpendiculaire à l'une des directions principales présente un réseau carré de liaisons espacées de r_0. L'aire occupée par chaque liaison dans cette section droite est égale à r_0^2.

Le nombre \delta N de liaisons traversant la surface élémentaire \mathrm{d}S s'écrit donc :

Chaque liaison étant modélisée par un ressort de raideur k étiré d'une longueur r - r_0, la force de rappel microscopique exercée par une liaison est f = k(r - r_0). Les \delta N liaisons agissant en parallèle, la force totale \delta F traversant la surface \mathrm{d}S vaut :

L'allongement relatif mésoscopique d'une cellule de taille initiale r_0 dans la direction de traction s'identifie à la dérivée spatiale du déplacement :

En injectant cette relation dans l'expression de \delta F, on obtient :

Par comparaison directe avec la loi mésoscopique de Hooke \delta F = E \frac{\partial \xi}{\partial x}\mathrm{d}S (équation 3), on en déduit l'expression du module de Young :

Le rayon atomique typique étant donné par R = 10^{-10}\text{ m} = 0,1\text{ nm}, deux atomes voisins au repos sont séparés d'une distance interatomique de l'ordre du diamètre atomique, soit un paramètre de réseau :

D'après le résultat de la question Q14, le module de Young s'exprime par :

Avec la plage de raideurs k \in [15, 40]\;\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1} et un ordre de grandeur de r_0 \approx 3 \times 10^{-10}\text{ m} :

• pour k = 15\;\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1} : E \approx \frac{15}{3 \times 10^{-10}} = 5 \times 10^{10}\text{ Pa} = 50\text{ GPa} ;
• pour k = 40\;\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1} : E \approx \frac{40}{3 \times 10^{-10}} \approx 1,3 \times 10^{11}\text{ Pa} \approx 130\text{ GPa}.

On obtient ainsi une estimation de l'ordre de grandeur de E :

La valeur tabulée pour l'aluminium est :

L'estimation issue du modèle microscopique est en excellent accord avec la valeur tabulée, ce qui valide la pertinence de cette modélisation à l'échelle du réseau cristallin.

1. Largeur de la tranche à l'instant t :

À l'instant t, les faces délimitant la tranche, initialement situées en x et x+\mathrm{d}x, se trouvent respectivement aux abscisses :

La largeur de la tranche à l'instant t est donc :

Dans le cadre de l'approximation des petites déformations, l'allongement relatif vérifie :

ce qui justifie que :

2. Résultante des forces exercées sur la tranche :

D'après la loi de Hooke (relation 3 de l'énoncé), la contrainte de traction normale s'exerçant sur une section S est F = E S \frac{\partial \xi}{\partial x}. La tranche considérée est soumise aux efforts surfaciques exercés par les parties adjacentes du solide à travers ses deux faces :

• En x+\mathrm{d}x, la partie du solide située à droite (abscisses supérieures) exerce sur la tranche une force orientée vers les x croissants (effort de traction pour \frac{\partial \xi}{\partial x} > 0) :

  \vec{F}_{\mathrm{droite} \to \text{tranche}} = +\, E S \frac{\partial \xi}{\partial x}(x+\mathrm{d}x, t)\,\vec{e}_x.

• En x, la partie du solide située à gauche (abscisses inférieures) exerce sur la tranche une force opposée :

  \vec{F}_{\mathrm{gauche} \to \text{tranche}} = -\, E S \frac{\partial \xi}{\partial x}(x, t)\,\vec{e}_x.

La résultante des forces exercées par les tranches adjacentes est la somme de ces deux contributions :

Au premier ordre non nul en \mathrm{d}x, le développement de Taylor donne :

On en déduit l'expression de la résultante :

On applique le principe fondamental de la dynamique à la tranche de solide de section S, de masse \mathrm{d}m = \rho S\,\mathrm{d}x, dans le référentiel d'étude galiléen. En négligeant la pesanteur devant les forces élastiques, l'accélération de la tranche selon la direction longitudinale s'écrit à l'ordre le plus bas :

D'après le résultat de la question Q16 pour la résultante des forces élastiques \mathrm{d}\vec{F}, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En divisant par la quantité non nulle \rho S\,\mathrm{d}x, on obtient :

La perturbation \xi(x,t) vérifie donc l'équation de d'Alembert :

où la célérité c des ondes acoustiques longitudinales est donnée par :

Vérification dimensionnelle :

• Le module de Young E a la dimension d'une pression :

  [E] = \frac{[\text{Force}]}{[\text{Surface}]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{L}^2} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-2}

• La masse volumique \rho a pour dimension :

  [\rho] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3}

Le rapport vérifie donc :

La grandeur c est bien homogène à une vitesse.

D'après le résultat établi à la question Q17, la célérité des ondes élastiques longitudinales s'exprime par :

D'après les données fournies en tête de sujet pour l'aluminium :

• E = 6,9 \times 10^1\text{ GPa} = 6,9 \times 10^{10}\text{ Pa} ;
• \rho = 2,7 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}.

On calcule le rapport :

En prenant la racine carrée, avec deux chiffres significatifs :

Soit un cube initial de côté \ell et de volume initial V = \ell^3. Choisissons un repère cartésien dont les axes coïncident avec les arêtes du cube, la traction étant exercée selon la direction Ox.

• Selon la direction de l'effort (Ox), l'allongement relatif vaut :

  \frac{\delta \ell_x}{\ell} = \varepsilon \implies \ell_x = \ell(1 + \varepsilon).

• Le matériau étant isotrope, les deux directions transverses Oy et Oz sont équivalentes. D'après la définition du coefficient de Poisson \nu, le rétrécissement relatif transverse s'écrit :

  -\frac{\delta \ell_y}{\ell} = -\frac{\delta \ell_z}{\ell} = \nu \varepsilon \implies \ell_y = \ell_z = \ell(1 - \nu\varepsilon).

Le nouveau volume V' = V + \delta V s'exprime ainsi :

Dans le cadre de l'approximation des petites déformations (|\varepsilon| \ll 1), un développement limité au premier ordre en \varepsilon conduit à :

On en déduit immédiatement la variation relative de volume :

Un matériau parfaitement incompressible conserve son volume lors de toute déformation, soit \delta V = 0 quel que soit l'allongement \varepsilon \neq 0. Cela impose 1 - 2\nu = 0, soit :

On recherche une onde plane progressive harmonique sous forme complexe :

où \vec{r} = x \vec{e}_x + y \vec{e}_y et \vec{K} = K \vec{u} est un vecteur d'onde réel dans le plan (xy) avec \|\vec{K}\| = K.

L'action de l'opérateur laplacien spatial \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} sur l'onde s'écrit :

En lui appliquant à nouveau le laplacien, on obtient :

Par ailleurs, la dérivée temporelle seconde donne :

En reportant ces expressions dans l'équation de Kirchhoff-Love (4), on obtient :

Pour une solution non triviale (\underline{z} \neq 0), la relation de dispersion reliant \omega et K (grandeurs réelles positives) est :

On en déduit l'expression de la vitesse de phase v_\varphi :

Comme K = \left(\frac{\rho h}{D}\right)^{1/4} \omega^{1/2}, on obtient en fonction de \omega, D, \rho et h :

La vitesse de groupe s'obtient par différentiation de la relation de dispersion :

Soit en fonction des paramètres demandés :

Caractère dispersif et atténuation :

• La vitesse de phase dépend de la pulsation \omega (ou de façon équivalente, v_\varphi \neq v_{\mathrm{g}} et la relation \omega(K) est non linéaire) : la propagation s'effectue avec dispersion.
• Pour toute pulsation \omega réelle, le vecteur d'onde K est purement réel (aucun terme d'amortissement visqueux n'apparaît dans l'équation de mouvement). L'amplitude de l'onde reste donc constante au cours de la propagation : la propagation s'effectue sans atténuation.

La plaque carrée occupe le domaine x \in [0, a] et y \in [0, a]. Les conditions aux limites pour une plaque simplement supportée sur ses quatre bords s'écrivent, pour tout instant t :

En injectant la forme proposée :

les conditions en x = 0 et y = 0 imposent, pour une amplitude A \neq 0 :

Un éventuel déphasage multiple de \pi peut être absorbé dans le signe de l'amplitude A. On choisit donc \varphi_x = 0 et \varphi_y = 0.

Les conditions aux limites en x = a et y = a imposent alors :

où m et n sont des entiers naturels non nuls (les valeurs nulles conduiraient à une solution identiquement nulle). Les composantes du vecteur d'onde sont donc quantifiées :

Calculons l'action de l'opérateur laplacien sur z(x,y,t) :

ce qui donne pour le double laplacien :

L'équation du mouvement (4) se réécrit donc sous forme scalaire :

ce qui correspond bien à la relation de dispersion \omega = \sqrt{\frac{D}{\rho h}} K^2 issue de la question Q20.

En remplaçant l'expression de la rigidité en flexion D = \frac{E h^3}{12(1-\nu^2)} donnée par l'équation (5), on obtient :

On en déduit l'expression des pulsations propres \omega_{mn} :

Une onde stationnaire harmonique à une dimension, solution de l'équation de d'Alembert, s'écrit sous la forme séparée :

Les nœuds de vibration correspondent aux points d'annulation permanente du déplacement, c'est-à-dire tels que \sin(K x_n + \varphi) = 0, soit K x_n + \varphi = n\pi avec n \in \mathbb{Z}. La distance d entre deux nœuds consécutifs vaut donc :

D'après la question Q18, la célérité des ondes longitudinales selon le modèle de la sous-partie II.A est :

Testons ce modèle sur le premier mode (i = 1) à la fréquence f_1 \approx 630\text{ Hz} :

Même pour le mode de plus haute fréquence présenté, f_{12} \approx 4\,253\text{ Hz} :

Dans tous les cas, la distance nodale prédite par le modèle II.A est supérieure ou très largement supérieure aux dimensions de la plaque (a = 24{,}0\text{ cm} = 0{,}24\text{ m}).

Or, sur les photographies de la figure 4, on observe clairement plusieurs lignes nodales réparties sur la plaque de côté a = 24{,}0\text{ cm}. Par exemple :

• Pour le mode 1, l'anneau nodal central présente un diamètre de l'ordre de 10\text{ cm}, soit un écart moyen aux bords de l'ordre de d_{\text{exp}} \sim 5\text{ cm} ;

• Pour le mode 12, on dénombre environ 5 à 6 motifs sur la largeur a, ce qui donne un espacement moyen entre lignes nodales voisines :

  d_{\text{exp}} \sim \frac{a}{5} \approx 5\text{ cm} \ll d_{\text{th}} = 60\text{ cm}

Comme d_{\text{exp}} \ll d_{\text{th}} (d'au moins un ordre de grandeur), le modèle de propagation d'ondes acoustiques longitudinales (II.A) est à exclure pour interpréter les figures de Chladni.

D'après la relation de dispersion établie à la question Q20, la pulsation propre s'écrit :

En introduisant l'expression de la rigidité en flexion D = \dfrac{E h^3}{12(1-\nu^2)}, il vient :

La fréquence f = \dfrac{\omega}{2\pi} associée à un mode fixé (donc à un nombre d'onde K fixé) est par conséquent directement proportionnelle à l'épaisseur h de la plaque :

Calculons le rapport f/h pour chacune des trois plaques testées dans le tableau 1 :

Les valeurs de ce rapport sont remarquablement stables : la valeur moyenne est d'environ 640\text{ Hz}\cdot\text{mm}^{-1}, avec des écarts relatifs n'excédant pas 2\,\% :

Les origines des légers écarts observés peuvent s'expliquer par :

• La limite du modèle des plaques minces : la théorie de Kirchhoff-Love suppose h \ll a. Pour la plaque la plus épaisse (h_3 = 5\text{ mm} pour a = 24\text{ cm}, soit h/a \approx 1/48), les effets de cisaillement transverse et d'inertie de rotation (pris en compte par exemple dans la théorie de Mindlin-Reissner) commencent à induire de légères corrections.
• Les conditions aux limites expérimentales : la fixation de la plaque en son centre par une vis reliée à une tige métallique impose localement un déplacement et un couple non nuls, ainsi qu'une masse ajoutée, ce qui perturbe le mode propre idéal.
• La charge massique des billes de silice : le saupoudrage de billes modifie localement la densité surfacique de masse de la plaque.
• Les incertitudes expérimentales : tolérances d'usinage sur l'épaisseur h, inhomogénéités ou anisotropies éventuelles du matériau, et imprécision sur la détermination de la fréquence de résonance optimale.

D'après la relation de dispersion obtenue à la question Q20 :

Or \omega = 2\pi f, ce qui donne pour la fréquence :

En injectant l'expression de la rigidité en flexion D = \dfrac{E h^3}{12(1-\nu^2)}, on a :

La fréquence s'écrit donc :

Pour la plaque d'épaisseur h = h_1 = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}, avec les valeurs numériques fournies :

Calculons le terme sous la racine :

On en déduit la valeur théorique du coefficient :

L'ajustement expérimental en traits pleins sur la figure 6 donne :

L'écart relatif entre le modèle théorique et l'expérience vaut :

Conclusion : L'accord entre le modèle théorique de vibration en flexion pure et les résultats expérimentaux est remarquable :

• La loi de puissance en K^2 prédite par la relation de dispersion est fidèlement suivie par l'ensemble des points expérimentaux ;
• L'écart modéré (environ 10\,\%) sur la valeur numérique du préfacteur s'explique par les hypothèses simplificatrices du modèle (approximation des plaques très minces, absence d'amortissement, fixation par vissage de la tige au centre qui modifie localement les conditions aux limites).

Le modèle de Kirchhoff-Love décrit donc parfaitement la physique des figures de Chladni.

Pour que l'agitation thermique du gaz ne perturbe pas l'onde acoustique stationnaire et le piégeage des billes aux nœuds de vibration, on formule l'hypothèse suivante :

De façon équivalente, on suppose que :

• les transferts thermiques par conduction au sein du fluide sont négligeables à l'échelle d'une période acoustique T = 1/f (le temps caractéristique de diffusion thermique sur une longueur d'onde \lambda est très grand devant T) ;
• en l'absence de convection naturelle (garantie par la situation de microgravité à bord de l'ISS), aucun mouvement d'ensemble d'origine thermique ne vient perturber l'air du tube ni déplacer les billes piégées.

L'onde sonore ne subit ainsi aucun amortissement thermique notable et l'onde stationnaire reste parfaitement établie.

Dans les conditions usuelles de température et de pression (T \approx 293\text{ K}, P \approx 1\text{ bar}), la célérité du son dans l'air est :

L'onde ultrasonore imposée possède une fréquence f = 40\text{ kHz} = 4{,}0 \times 10^4\text{ Hz}, ce qui correspond à :

• une période acoustique :

  T = \frac{1}{f} = \frac{1}{4{,}0 \times 10^4} = 2{,}5 \times 10^{-5}\text{ s} = 25\ \mu\text{s}

• une longueur d'onde acoustique :

  \lambda = \frac{c}{f} = \frac{340}{4{,}0 \times 10^4} = 8{,}5 \times 10^{-3}\text{ m} = 8{,}5\text{ mm}

Sous l'hypothèse de transferts thermiques purement conductifs, l'équation de la chaleur régit l'évolution spatiotemporelle de la température avec une diffusivité thermique donnée par :

Avec \kappa = 2{,}4 \times 10^{-2}\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-1}, \rho_{\mathrm{a}} = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et c_p = 1{,}0 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} :

Le temps caractéristique nécessaire à la conduction thermique pour homogénéiser la température sur une échelle spatiale de l'ordre de la longueur d'onde \lambda est :

Même en considérant la distance séparant un ventre et un nœud consécutifs (\Delta x \sim \lambda / 4 \approx 2{,}1\text{ mm}), le temps caractéristique reste de l'ordre de :

Ce temps caractéristique est immensément plus grand que la période acoustique de l'onde :

De façon équivalente, la distance sur laquelle s'effectue la diffusion thermique au cours d'une période T s'écrit :

Sur la durée d'une oscillation acoustique, les échanges thermiques par conduction sont négligeables : les compressions et détendues du gaz sont adiabatiques. Le profil d'onde stationnaire de pression n'est pas lissé thermiquement, ce qui valide pleinement l'hypothèse de la question précédente.

La distribution de charges positives est une boule homogène de centre \mathrm{O}, de rayon R, de charge totale q = e, et de densité volumique :

1. Champ électrostatique \vec{E}(\mathrm{M}) pour r < R

• Invariances et symétries : La distribution est invariante par rotation autour de tout axe passant par \mathrm{O}. Tout plan passant par \mathrm{O} et \mathrm{M} est un plan de symétrie de la distribution. Le champ électrostatique en \mathrm{M} est donc purement radial et ne dépend que de la distance r = \mathrm{OM} :

  \vec{E}(\mathrm{M}) = E(r)\,\vec{e}_r.

• Application du théorème de Gauss : Choisissons comme surface de Gauss fermée \Sigma la sphère de centre \mathrm{O} et de rayon r (r < R). Le flux du champ électrique à travers \Sigma orientée vers l'extérieur vaut :

  \Phi = \oiint_\Sigma \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = E(r) \oiint_\Sigma \mathrm{d}S = 4\pi r^2 E(r).

  La charge intérieure à la surface \Sigma est donnée par :

  Q_{\text{int}} = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3 = e\left(\frac{r}{R}\right)^3.

  D'après le théorème de Gauss, \Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}, soit :

  4\pi r^2 E(r) = \frac{e\,r^3}{\varepsilon_0 R^3} \implies E(r) = \frac{e\,r}{4\pi\varepsilon_0 R^3}.

En introduisant le vecteur position \vec{r} = \overrightarrow{\mathrm{OM}} = r\vec{e}_r, on obtient :

2. Force subie par l'électron L'électron, de charge q_e = -e, est soumis à la force électrostatique :

Cette force est centrale, dirigée vers le centre \mathrm{O}, et proportionnelle au déplacement \vec{r}. Elle est donc de la forme d'une force de rappel élastique de longueur à vide nulle \vec{F} = -k\vec{r}, avec :

On applique le principe fondamental de la dynamique à l'électron de masse m dans le référentiel d'étude galiléen.

En l'absence de toute autre force que l'interaction électrostatique établie à la question précédente, le bilan des forces se réduit à la force de rappel élastique :

où k = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R^3} d'après la question Q27. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit alors :

en posant la pulsation propre :

À l'instant t=0, l'électron est situé en \vec{r}(0) = r_0 \vec{u} (avec \vec{u} un vecteur unitaire fixe issu de \mathrm{O}) et sa vitesse initiale est nulle : \vec{v}(0) = \vec{0}.

La force étant constamment colinéaire à \vec{r} et la vitesse initiale étant nulle, le moment cinétique initial en \mathrm{O} est nul (\vec{L}_{\mathrm{O}}(0) = \vec{0}), ce qui impose un mouvement purement rectiligne le long de l'axe porté par \vec{u}.

En repérant la position algébrique de l'électron sur cet axe par r(t) telle que \vec{r}(t) = r(t)\vec{u}, l'équation vectorielle se projette selon :

La solution générale de cette équation différentielle harmonique s'écrit :

avec A et B deux constantes réelles déterminées par les conditions initiales :

On obtient ainsi directement l'évolution temporelle de la position :

L'électron oscillant à la pulsation \omega_0 engendre un rayonnement électromagnétique de même pulsation \omega_0. La longueur d'onde associée dans le vide est reliée à la pulsation propre par :

D'après la question Q28, la pulsation propre est donnée par \omega_0 = \sqrt{k/m}, d'où l'expression de la constante de raideur :

Pour une radiation située au milieu du spectre visible, on prend typiquement \lambda \approx 600\text{ nm} = 6{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}. Avec les valeurs fournies par l'énoncé :

• m = 9{,}1 \times 10^{-31}\text{ kg} ;
• c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

On obtient numériquement :

En ordre de grandeur à un seul chiffre significatif :

L'électron n'étant soumis qu'à la force de rappel élastique conservative \vec{F} = -k\vec{r}, l'énergie potentielle dont dérive cette force s'écrit, en choisissant l'origine \mathrm{O} comme état de référence (E_{\mathrm{p}}(0) = 0) :

Le mouvement étant rectiligne le long de la direction initiale, l'énergie cinétique de l'électron de masse m est :

L'énergie mécanique du système est donc la somme de ces deux termes :

• À la date t = 0 :
  D'après les conditions initiales données à la question Q28, r(0) = r_0 et \dot{r}(0) = 0. Il vient immédiatement :

  \boxed{E_{\mathrm{m}}(0) = \frac{1}{2} k r_0^2 = \frac{1}{2} m \omega_0^2 r_0^2}

• À une date quelconque t :
  D'après la loi horaire établie à la question Q28, r(t) = r_0 \cos(\omega_0 t), d'où la vitesse :

  \dot{r}(t) = -\omega_0 r_0 \sin(\omega_0 t).

  En injectant ces grandeurs dans l'expression de l'énergie mécanique et en utilisant k = m\omega_0^2 :

  \begin{aligned} E_{\mathrm{m}}(t) &= \frac{1}{2} m \left(-\omega_0 r_0 \sin(\omega_0 t)\right)^2 + \frac{1}{2} k \left(r_0 \cos(\omega_0 t)\right)^2 \\ &= \frac{1}{2} m \omega_0^2 r_0^2 \sin^2(\omega_0 t) + \frac{1}{2} m \omega_0^2 r_0^2 \cos^2(\omega_0 t) \\ &= \frac{1}{2} m \omega_0^2 r_0^2 \left(\sin^2(\omega_0 t) + \cos^2(\omega_0 t)\right). \end{aligned}

  Comme \cos^2(\omega_0 t) + \sin^2(\omega_0 t) = 1, l'énergie mécanique est constante au cours du mouvement :

  \boxed{E_{\mathrm{m}}(t) = \frac{1}{2} k r_0^2 = \frac{1}{2} m \omega_0^2 r_0^2}

Puisque la durée caractéristique de variation de r_0(t) est très grande devant la période d'oscillation T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}, la dérivée temporelle de r(t) = r_0(t)\cos(\omega_0 t) est dominée par l'oscillation rapide :

En élevant au carré et en effectuant la moyenne temporelle sur une période T_0, sur laquelle r_0(t) est quasi-constante :

D'après la question Q30, l'énergie mécanique de l'oscillateur s'exprime à chaque instant par :

On en déduit :

En injectant cette relation dans la formule de Larmor (8), la puissance instantanée perdue par rayonnement s'écrit :

La puissance \mathcal{P}(t) étant évacuée du système sous forme d'ondes électromagnétiques, le bilan d'énergie mécanique sur une période s'écrit :

On aboutit ainsi à l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de E_{\mathrm{m}}(t) :

L'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de l'énergie mécanique E_{\mathrm{m}}(t), établie à la question précédente, s'écrit :

Sous la forme canonique \dfrac{\mathrm{d}E_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d}t} + \dfrac{E_{\mathrm{m}}}{\tau_0} = 0, la durée caractéristique de décroissance de l'énergie mécanique est donc :

Interprétation de \tau_0 comme « temps de vie de l'état excité » :
La solution de l'équation différentielle est :

Au cours du temps, l'électron perd son énergie d'oscillation par émission d'ondes électromagnétiques et retourne à sa position d'équilibre au repos au centre \mathrm{O} (qui modélise ici l'état fondamental).

En physique quantique, un atome préparé dans un niveau excité se désexcite spontanément vers le niveau fondamental par émission d'un photon. La probabilité de trouver l'atome dans l'état excité décroît exponentiellement selon \mathrm{e}^{-t/\tau_0} : \tau_0 représente donc la durée de vie moyenne de l'atome dans son état excité avant émission spontanée.

Ordre de grandeur numérique :
En exprimant la pulsation en fonction de la longueur d'onde de transition dans le vide \lambda_0 = 2\pi c / \omega_0, l'expression de \tau_0 devient :

Pour une transition optique dans le domaine visible ou proche infrarouge (comme la raie du rubidium à \lambda_0 \approx 8{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}, avec \omega_0 \approx 2{,}4 \times 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}) :

On retient donc comme ordre de grandeur :

1. Négligence de la composante magnétique de la force de Lorentz

La force de Lorentz subie par l'électron de charge -e et de vitesse \vec{v} s'écrit :

Pour une onde électromagnétique plane progressive se propageant dans le vide à la célérité c, les amplitudes des champs électrique et magnétique sont reliées par la relation de structure :

L'ordre de grandeur du rapport des normes des composantes magnétique et électrique est donc majoré par :

La condition pour pouvoir négliger la composante magnétique devant la composante électrique est que le mouvement de l'électron soit non relativiste :

2. Justification de l'approximation dipolaire électrique

Pour une onde plane progressive monochromatique, le champ électrique dépend de la position par le terme de phase spatiale \vec{k}\cdot\vec{r} :

où \|\vec{k}\| = \frac{2\pi}{\lambda}. L'électron étant confiné au sein de l'atome de rayon R, sa position vérifie à tout instant \|\vec{r}\| \le R. La variation spatiale maximale de phase s'évalue par :

D'après les données de l'énoncé, le rayon atomique vaut R \sim 10^{-10}\text{ m} et la longueur d'onde du laser vaut \lambda = 8,0 \times 10^2\text{ nm} = 8,0 \times 10^{-7}\text{ m}, soit :

La dimension de l'atome étant négligeable devant la longueur d'onde du rayonnement (R \ll \lambda), le champ électrique est spatialement quasi-uniforme à l'échelle atomique. En choisissant l'origine des temps telle que la phase à l'origine soit nulle (\varphi_0 = 0), on a bien :

On applique le principe fondamental de la dynamique à l'électron (masse m, charge -e) dans le référentiel galiléen du laboratoire. Le noyau (barycentre O des charges positives) est supposé fixe à l'origine en raison de son inertie (M \gg m).

D'après les questions précédentes et l'énoncé, les forces exercées sur l'électron sont :

• la force électrique du laser (la composante magnétique étant négligée et l'approximation dipolaire étant vérifiée d'après la question Q33) :

  \vec{F}_e = -e \vec{E}(\vec{0}, t) \,;

• la force de rappel élastique :

  \vec{F}_{\mathrm{rap}} = -k \vec{r} = -m\omega_0^2 \vec{r} \,;

• la force d'amortissement radiatif :

  \vec{f} = -\frac{m}{\tau_0} \dot{\vec{r}} \,.

L'équation du mouvement s'écrit donc :

soit :

En projetant sur la direction du champ électrique, notée selon le vecteur unitaire \vec{u} tel que \vec{E}_0 = E_0 \vec{u} et \vec{r}(t) = r(t)\vec{u}, on obtient l'équation différentielle scalaire :

En régime sinusoïdal permanent, en adoptant la représentation complexe \underline{E}(t) = E_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} et \underline{r}(t) = r_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, les dérivées temporelles se traduisent par la multiplication par \mathrm{i}\omega :

On en déduit l'expression complexe de la position :

avec \underline{E}(t) = E_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}.

Le moment dipolaire induit s'écrit \vec{p} = -e\vec{r}, soit en grandeur complexe vectorielle :

En réinjectant \vec{\underline{E}} = \underline{E}(t) \vec{u}, on obtient :

D'après la question Q34, le moment dipolaire induit complexe s'écrit :

Par identification avec la relation de définition (10), \vec{\underline{p}} = \varepsilon_0 \underline{\alpha}(\omega) \vec{\underline{E}}, on en déduit immédiatement l'expression de la polarisabilité complexe :

Plaçons-nous au voisinage de la résonance, où le désaccord \delta = \omega - \omega_0 vérifie |\delta| \ll \omega_0. On a :

Le dénominateur de \underline{\alpha}(\omega) se réécrit donc :

En posant \Gamma = \dfrac{1}{\tau_0}, il vient :

En réinjectant cette forme dans l'expression de la polarisabilité :

En introduisant la grandeur \alpha_0 définie par :

on obtient :

Puisque l'énoncé pose \underline{\alpha}(\omega) = \alpha'(\omega) - \mathrm{i}\alpha''(\omega), l'identification des parties réelle et imaginaire donne directement :

D'après l'équation (10) de l'énoncé, en régime statique (\omega \to 0), le moment dipolaire induit s'écrit :

Or :

• le moment dipolaire \vec{p} = -e\vec{r} a pour dimension [p] = \mathrm{I}\cdot\mathrm{T}\cdot\mathrm{L} (ou en unités usuelles \mathrm{C}\cdot\mathrm{m}) ;
• le champ électrique a pour dimension [E] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-3}\cdot\mathrm{I}^{-1} (en \mathrm{V}\cdot\mathrm{m}^{-1}) ;
• la permittivité du vide \varepsilon_0 a pour unité le \mathrm{F}\cdot\mathrm{m}^{-1} = \mathrm{C}\cdot\mathrm{V}^{-1}\cdot\mathrm{m}^{-1}, d'où [\varepsilon_0 E] = \mathrm{C}\cdot\mathrm{m}^{-2} = \mathrm{I}\cdot\mathrm{T}\cdot\mathrm{L}^{-2}.

On en déduit immédiatement la dimension de la polarisabilité statique :

La grandeur \alpha_0 est donc homogène à un volume (exprimée en \mathrm{m}^3).

En réinjectant dans l'expression de \alpha_0 (question Q35) la pulsation propre \omega_0^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m R^3} établie à la question Q28, on obtient :

où V_{\text{atome}} = \frac{4}{3}\pi R^3 est le volume de la sphère atomique dans le modèle de Thomson.

Interprétation physique :

• \alpha_0 est la polarisabilité statique de l'atome. Elle mesure la facilité avec laquelle le nuage électronique se déforme (se translate) sous l'action d'un champ électrique extérieur pour créer un dipôle induit.
• \alpha_0 est proportionnelle au volume atomique : plus un atome est volumineux, plus ses électrons périphériques sont éloignés du noyau et faiblement liés, et plus sa polarisabilité est grande.

D'après l'équation (12) fournie par l'énoncé, la force radiative s'écrit :

En prenant la norme de cette force, sachant que \|\vec{k}\| = k, on obtient :

en posant la valeur maximale atteinte à résonance (\delta = 0) :

Cette fonction présente les caractéristiques remarquables suivantes :

• Symétrie : la fonction est paire en \delta, le profil est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (\delta = 0) ;
• Maximum : elle atteint son maximum F_{\mathrm{max}} à la résonance, c'est-à-dire pour \delta = \omega - \omega_0 = 0 ;

• Profil lorentzien : il s'agit d'une lorentzienne de largeur à mi-hauteur (FWHM) égale à \Gamma, puisque pour \delta = \pm\,\dfrac{\Gamma}{2} :

  F\left(\pm\,\frac{\Gamma}{2}\right) = \frac{F_{\mathrm{max}}}{2}
• Comportement asymptotique : F(\delta) tend vers 0 lorsque |\delta| \gg \Gamma selon une décroissance en 1/\delta^2.

D'après l'expression de la force radiative (12) admise par l'énoncé et réécrite à la question Q37 en fonction du désaccord \delta = \omega - \omega_0, la norme de la force s'écrit :

Les pulsations de coupure à mi-hauteur \omega_\pm vérifient par définition :

Il vient immédiatement :

soit :

L'intervalle de pulsation à mi-hauteur vaut donc :

Or, d'après la question Q35, la largeur radiative \Gamma est reliée au temps de vie \tau_0 de l'état excité par la relation \Gamma = \frac{1}{\tau_0}. On en déduit l'expression demandée :

À la résonance, le désaccord est nul (\delta = 0). Pour une intensité égale à l'intensité de saturation (I = I_{\mathrm{sat}}), la norme de la force radiative s'écrit d'après l'équation (12) :

Sachant que \hbar = \dfrac{h}{2\pi} et que la norme du vecteur d'onde vaut k = \dfrac{2\pi}{\lambda}, la quantité d'impulsion associée à un photon est \hbar k = \dfrac{h}{\lambda}. On obtient ainsi :

Effectuons l'application numérique avec les données du sujet :

• h = 6{,}6 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} ;
• \lambda = 8{,}0 \times 10^2\text{ nm} = 8{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} ;
• \dfrac{\Gamma}{2\pi} = 6{,}0\text{ MHz} = 6{,}0 \times 10^6\text{ s}^{-1}.

D'autre part, la norme du poids exercé sur un atome de Rubidium dans le champ de pesanteur terrestre vaut :

Avec M = 1{,}4 \times 10^{-25}\text{ kg} et g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Comparons ces deux grandeurs par leur rapport :

La force radiative exercée par le laser est environ 10^4 fois plus intense que le poids de l'atome.

Le gaz d'atomes de rubidium (atomes neutres sans liaisons chimiques) est assimilé à un gaz parfait monoatomique à la température T. Dans le référentiel du laboratoire, chaque atome de masse M possède trois degrés de liberté de translation indépendants, associés aux composantes cartésiennes de sa vitesse \vec{v} = (v_x, v_y, v_z).

D'après le théorème d'équipartition de l'énergie, chaque terme quadratique indépendant de l'énergie cinétique contribue en moyenne pour \frac{1}{2}k_{\mathrm{B}}T à l'énergie thermique :

Par définition, la vitesse quadratique moyenne des atomes est la racine carrée de la moyenne du carré de la vitesse :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• k_{\mathrm{B}} = 1{,}4 \times 10^{-23}\;\mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1},
• T = 1\,000\;\mathrm{K} = 10^3\;\mathrm{K},
• M = 1{,}4 \times 10^{-25}\;\mathrm{kg}.