Ondes électromagnétiques dans les milieux : 513 questions de concours corrigées

Écrire l'équation du mouvement des électrons du métal dans un champ électrique uniforme oscillant à la pulsation ω. En déduire l'expression de la conductivité complexe γ en fonction de N, e, m et ω…

On s'intéresse à la seule solution k de partie réelle positive ; elle s'écrit k = 2π/λ - i/δ où λ > 0 et δ > 0. Quelles sont les interprétations de ces deux grandeurs ?

L'air étant assimilé au vide, démontrer l'équation de propagation à laquelle E_i obéit et en déduire la relation entre k_i, q_i et ω.

Identifier la direction de propagation éventuelle et la polarisation de l'onde.

Déterminer la condition pour laquelle la composante magnétique de la force de Lorentz exercée par l'onde sur les charges peut être négligée devant la composante électrique. On supposera cette…

En utilisant le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron puis à un cation, exprimer en notation complexe les vitesses vₑ et v_c dont sont respectivement animés les électrons et…

En déduire que le plasma se comporte comme un filtre pour la propagation des ondes électromagnétiques, en précisant sa nature et l'expression littérale de sa pulsation de coupure.

Indiquer si l'ionosphère est dispersive pour les ondes électromagnétiques. Justifier.

Écrire les équations de Maxwell dans le conducteur ohmique. On va travailler en régime lentement variable (aussi appelé ARQS). Quel terme des équations de Maxwell est alors négligé dans le…

Écrire les équations de Maxwell dans le conducteur ohmique. On va travailler en régime lentement variable (aussi appelé ARQS). Quel terme des équations de Maxwell est alors négligé dans le…

Écrire les équations de Maxwell, sous leurs formes locales, dans le plasma.

Cette vitesse radiale v atteint la valeur 2 × 10³ m⁻¹ près de l'équateur du Soleil. Que vaut alors le déplacement δλ de la raie du nickel résultant de l'effet Doppler ? On rappelle que la vitesse de…

Donner l'équation à laquelle obéit le champ électromagnétique entre les deux parois. En déduire une équation différentielle vérifiée par E₀(x). On note k = ω/c la norme du vecteur d'onde.

Exprimer le champ magnétique B(M) associé en admettant que localement l'onde rayonnée a une structure d'onde plane se propageant dans la direction de OM.

Pour quelle raison peut-on faire l'hypothèse que les ions du plasma ont une contribution négligeable devant celle des électrons dans l'expression de ? Par la suite, on n'envisagera que la…

Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ E. On rappelle que rot(rot E) = grad(div E) - Δ E, où Δ est l'opérateur laplacien vectoriel.

Calculer la valeur moyenne de cette force sur une période temporelle T de l'onde. En déduire que l'on peut lui associer une pression p, dite pression de radiation, dont l'expression est p = ε₀ E₀².

Donner la relation reliant les courants induits J en fonction du champ électrique E en prenant soin de d'étailler la constante introduite et ses unités.

Justifier que, dans le cas d'une onde électromagnétique plane dans le vide de vecteur d'onde k, les plans équiphases (ou "fronts d'onde") sont des plans perpendiculaires à k.

On considère alors le cas général d'une onde électromagnétique de pulsation ω et de phase φ(r) - ω t. Justifier que grad φ(r) est localement orthogonal aux surfaces d'ondes.

Le Soleil est constitué en majorité d'hydrogène et d'hélium. L'intérieur du Soleil est si chaud que les atomes sont entièrement ionisés. Comment appelle-t-on cet état de la matière ?

Montrer que la contribution magnétique de la force de Lorentz sur l'électron est négligeable devant la contribution électrique de cette même force.

Exprimer la vitesse de phase V_φ.

Rappeler la signification de la vitesse de groupe V_g à une pulsation ω et l'exprimer.

Tracer l'allure de V_φ et de V_g en fonction de ω. Commenter au regard des fréquences utilisées pour les signaux GPS.

Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par le vecteur vitesse v(t) des électrons.

Déterminer, en régime forcé, une expression de la vitesse sous la forme v = v₀ exp (iω t) où v₀ est l'amplitude vectorielle complexe de la vitesse que l'on exprimera en fonction des données du…

On note n* la densité volumique, supposée constante, d'électrons libres. Déterminer l'expression, en notation complexe, du vecteur densité de courant volumique .

Montrer alors que l'on peut établir une loi d'ohm locale complexe en considérant que la conductivité électrique du milieu γ peut s'écrire, en notation complexe, sous la forme γ = γ₀/(1 + ig(ω)) où…

Montrer alors que la relation de dispersion, pour le milieu considéré, s'écrit kₜ² = -iωµ₀γ₀.

Montrer alors que le champ électrique, en notation réelle, dans le conducteur peut se mettre sous la forme E_c(z, t) = E_0,c exp (-z/δ) cos (ω t - z/δ) eₓ. Exprimer δ en fonction des données de…

Comment appelle-t-on δ ? Quelle est sa signification physique ? Donner la valeur de δ pour les ondes électromagnétiques de communication NFC-RFID.

Citer les approximations associées aux deux inégalités r ≫ a et λ ≫ a.

Exprimer le moment dipolaire p = p(t) e_z associé au doublet (-q, +q).

Déterminer I₀, l'amplitude du courant I(t).

En déduire l'expression du champ électrique résultant Eₜₒₜ. Comment qualifie-t-on ce type d'onde ?

Rappeler la définition d'un conducteur parfait. Que peut-on alors dire du champ E(M, t) dans un tel milieu ?

À quelle condition sur ω l'onde peut-elle se propager dans le plasma ?

En déduire l'expression des fréquences f_mnℓ des modes propres possibles dans la cavité.

Comment se simplifie l'équation de Maxwell-Ampère si ε₀ f ≪ σ ? Cette condition est-elle vérifiée dans le cadre du four à micro-ondes ?

Commenter l'expression du champ B(x, t) dans le conducteur. Donner l'interprétation de δ.

Montrer que l'énergie totale W(t) décroît avec un temps caractéristique τ que l'on exprimera en fonction de ω et Q.

On suppose que k'' est strictement positif. Décrire l'évolution de l'amplitude de l'onde lors de sa propagation. Que peut-on en déduire énergétiquement ?

Expliquer comment la présence des miroirs fixe les conditions aux limites que doit satisfaire le champ électromagnétique.

Exprimer les champs magnétiques des trois ondes, en notation complexe, en précisant leurs amplitudes B_0i, B_0r et B₀ₜ en fonction de E_0i, E_0r, E₀ₜ, n_v, n_s, c et e_z (vecteur unitaire de l'axe…

Exprimer le coefficient de réflexion énergétique. Calculer et commenter sa valeur numérique.

L'indice optique du phosphure de gallium GaP est n_GaP = 3,32. Calculer la longueur d'onde λ du laser dans le phosphure de gallium en fonction de λ₀.

Qu'est-ce qu'un conducteur parfait ?

Lors du déplacement de l'aimant, le bloc de cuivre est soumis à un champ magnétique variable. Nous notons τ_B le temps caractéristique de sa variation. Donner alors l'expression d'une longueur…

Exprimer le vecteur densité volumique de courant ₑ en fonction de la densité volumique n d'électrons libres du métal, de la charge de l'électron -e et de sa vitesse v.

Expliquer pourquoi, compte tenu des hypothèses retenues, la composante magnétique de la force exercée par l'onde électromagnétique sur les électrons n'apparaît pas dans l'équation du mouvement…

Justifier que l'onde électromagnétique considérée peut être qualifiée de plane, progressive, transverse et que son état de polarisation est rectiligne.

On note δ = √(2/(µ₀ σ ω)). Quelle est la dimension de δ ? Justifier.

Rappeler la relation donnant le nombre d'onde k en fonction de la pulsation ω, de l'indice du milieu n et la vitesse de la lumière c.

Indiquer à quelle condition le milieu peut être considéré comme non dispersif.

Justifier que les amplitudes E(r) et B(r) peuvent être effectivement considérées comme uniformes à l'échelle de l'atome.

L'influence du champ magnétique de l'onde sur l'électron peut-elle être négligée ?

Établir l'équation différentielle à laquelle obéit le vecteur position rₑ(t) de l'électron.

Quelle est la signification physique de σ₀ ?

En déduire l'expression de la résistance R₀ = U/I.

Rappeler la formulation locale de la loi d'Ohm en faisant intervenir d'abord le champ électrique E puis le potentiel électrique V. Donner un ordre de grandeur de la conductivité électrique du cuivre…

Donner les différents qualificatifs qui caractérisent cette onde.

Que représente δ ? Calculer sa valeur.

On cherche un champ sous la forme E(x,t) = g(x) cos (2π ft) u_y. A quel type d'onde cela correspond-il ?

Que peut-on dire du champ électrique dans un conducteur parfait. Pourquoi ?

On admet la continuité du champ tangent aux interfaces conducteur/vide. Quelles sont alors les conditions aux limites vérifiées par le champ dans la cavité ?

Établir la relation de dispersion reliant ω au vecteur d'onde k pour une onde plane transverse électrique monochromatique se propageant dans le métal. On note c la vitesse de la lumière dans le…

En utilisant le résultat de la question 29 et la relation de dispersion dans le vide, éliminer k_z1 et exprimer kₓ² en fonction de ω/c et ε. Montrer que le plasmon de surface peut exister pour toute…

Tracer l'allure de ω en fonction de kₓ (on pourra d'abord tracer kₓ en fonction de ω). Que vaut la vitesse de groupe du plasmon de surface dans les limites ω ≪ ω_sp et ω → ω_sp ?

Montrer que la densité volumique de courant jₓ(r,t) vérifie l'équation suivante : Δ jₓ = µ₀ γ₀ (∂ jₓ)/(∂ t) On justifiera notamment pourquoi on peut négliger le courant de déplacement j_d = ε₀ (∂…

Montrer l'absence de charge surfacique sur le métal et expliciter complètement le champ électrique de l'onde réfléchie.

Pour quelle raison peut-on négliger les contributions ioniques au courant total induit par le passage de l'onde dans le plasma ? En déduire la relation de dispersion des ondes dans un tel plasma…

En utilisant le fait que la masse des cations est bien plus grande que celle des électrons, montrer à partir de la question précédente que la conductivité complexe γ(ω) du plasma peut s'écrire de…

Écrire les équations de Maxwell dans le plasma sous forme complexe. Montrer que la relation de dispersion peut s'écrire : k² = (ω² - ω_p²)/c² (5)

Donner l'expression de k en fonction de ω, ω_p et de c, en justifiant soigneusement le choix de la solution de l'équation 5. Établir les expressions des champs réels E(M, t) et B(M, t), en faisant…

Déterminer la moyenne du vecteur de Poynting de cette onde. Commenter.

Établir les expressions des champs réels E(M, t) et B(M, t) en fonction notamment de k dont on donnera l'expression, en justifiant soigneusement le choix de la solution de l'équation 5. Préciser…

Exprimer la vitesse de phase v_φ et la vitesse de groupe v_g en fonction de ω, ω_p et de c. Représenter v_φ/c et v_g/c en fonction de ω.

La voile donne naissance à une onde réfléchie de même pulsation ω que celle de l'onde incidente. On cherche cette onde réfléchie sous la forme d'une OPPH se propageant en sens inverse de l'onde…

Après avoir déterminé le champ magnétique complexe total régnant au voisinage extérieur de la surface de la voile (en x = 0⁻), établir l'expression de la densité surfacique de courant réelle j_s(t)…

En déduire la force électromagnétique surfacique moyennée temporellement et montrer qu'elle peut s'écrire de la façon suivante : = Pₘ eₓ où Pₘ est une grandeur, appelée pression de radiation, que…

En déduire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique dans le conducteur ohmique. Préciser le nom de ce type d'équation.

On considère une onde électromagnétique sinusoïdale dont le champ électrique s'écrit : E(x,t) = E₀ exp (i(ω t - k x))u_z, avec un vecteur d'onde k complexe. Déterminer l'expression de k² en fonction…

En déduire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique dans le conducteur ohmique. Préciser le nom de ce type d'équation.

On considère une onde électromagnétique sinusoïdale dont le champ électrique s'écrit : E(x,t) = E₀ exp (i(ω t - kx)) u_z, avec un vecteur d'onde k complexe. Déterminer l'expression de k² en fonction…

Montrer que le vecteur densité de courant vérifie en notation complexe la relation : j = γE. On donnera l'expression de γ en fonction de mₑ, ω, n et de la charge élémentaire e.

À partir des équations de Maxwell, établir la relation de dispersion. On donnera l'expression de la pulsation plasma ω_P.

Montrer que l'onde ne peut pas se propager dans le plasma si la pulsation est inférieure à ω_P. Quelle est l'expression du champ électrique dans ce cas ? On introduira la distance δ définie par δ =…

On modifie le dispositif en collant sur chacun des deux miroirs de l'interféromètre une lame quart d'onde dont la ligne neutre fait un angle π/4 par rapport au plan Π. Cette lame quart d'onde est…

On place devant l'entrée de l'interféromètre de Michelson un polariseur dont l'axe forme un angle de π/4 avec le plan Π. Quel est alors l'état de polarisation de l'onde à la sortie de…

En précisant les conditions aux limites en x = 0 et x = L sur E₀ et en expliquant leur origine, déterminer l'expression de E₀(x). Montrer que les conditions aux limites conduisent à une…

Déterminer l'expression du nombre de modes D(ω) par unité de pulsation ω. En déduire l'expression du nombre de modes D(ν) par unité de fréquence ν D(ν) = (8π V)/c³ν², où V est le volume de la cavité.

Établir l'expression complexe de r(t) en fonction de ω, ω₀, e, m et τ₀ notamment. En déduire l'expression complexe du moment dipolaire induit p.

La vitesse de déplacement v de l'atome par rapport à la source étant petite par rapport à la célérité c de la lumière (v ≪ c), les impulsions reçues par le récepteur sont infiniment rapprochées. À…

Expliciter la seconde loi de Newton pour un des électrons mobiles. En déduire que la densité volumique de courant j vérifie la relation j = γ(ω)E et exprimer la conductivité électronique γ(ω) en…

Rappeler l'équation de Maxwell–Ampère ; on notera ε₀ la permittivité électronique du vide et µ₀ sa perméabilité magnétique. En déduire que les électrons et le champ électrique oscillent spontanément…

Décrire en quelques mots l'origine de chacun des termes de l'équation (3). Pourquoi n'y a-t-il aucun terme lié au champ magnétique B ? Quelle est la signification physique de la constante τ ? Quelle…

Que devient ici l'équation de dispersion ? Dans quel domaine de fréquence le milieu est-il transparent ? La propagation est-elle dispersive ?

Exprimer les champs magnétiques B_i, B_r et Bₜ associés respectivement à chacune des ondes incidente, réfléchie et transmise en fonction, suivant les cas, de E₀, c, ω, t, z, k, ρ ou β. En déduire…

Quelle est la signification de la grandeur R = |ρ|² ? Sans étudier la fonction, tracer l'allure qualitative de la courbe ω R(ω), en distinguant les deux cas ω < ω_p et ω > ω_p. Dans quel cas…

Montrer que la relation de passage pour le champ électrique en x = L impose à k et à ω des valeurs discrètes. En déduire la relation L = nλ/2 où n est un entier naturel non nul et λ = 2π/k est la…

a) Préciser la direction de propagation et la polarisation de l'onde. b) Exprimer k² en fonction de µ₀, c, γ et de la longueur d'onde dans le vide λ = (2π c)/ω. En déduire, en justifiant…

Déterminer l'expression du champ électrique réfléchi E_r(M, t) en un point M à l'instant de date t. On supposera que l'onde électrique réfléchie conserve la même polarisation que l'onde incidente.

Déterminer l'expression du champ magnétique réfléchi B_r(M, t) en un point M à l'instant de date t.

Que vaut le champ magnétique total en z = 0⁻ (dans le vide au voisinage du conducteur) ? En déduire l'expression du vecteur densité de courant de surface j_s(t) sur la surface du conducteur, à la…

Définir les symétries et invariances du système afin de réduire le nombre de composantes non nulles et leurs dépendances.

Établir l'équation vérifiée par l'unique composante non nulle du champ B lorsque l'excitation est sinusoïdale à la pulsation ω (on choisira la convention B(r, t) = B(r)e⁻jω t).

Déterminer la solution de cette équation (en introduisant B_s la valeur de B en z = 0). On prendra soin d'introduire une épaisseur de peau δ à définir.

Nous allons d'abord étudier la cavité optique la plus simple qu'on puisse imaginer : cette cavité est formée de deux miroirs plans parallèles, et parfaitement réfléchissants, séparés par du vide…

Nous considérons maintenant un milieu amplificateur occupant un volume cylindrique, d'axe Oz, de longueur ℓₐ et de section S qui est traversé par un faisceau lumineux se propageant dans le sens de…

Justifier le fait que la contribution des ions au courant électrique est négligeable devant celle des électrons. Déterminer la relation qui existe entre la représentation complexe du champ…

Établir l'équation de propagation du champ électrique E. En déduire la relation de dispersion vérifiée par le vecteur d'onde k.

Pour quelle fréquence limite f_p, une onde envoyée depuis la surface de la Terre ne peut plus se propager lorsqu'elle rencontre un milieu où la densité volumique d'électrons est n ? On d'étaillera…

En déduire l'expression du champ électrique résultant E et du champ magnétique résultant B dans la cavité. Commenter le résultat obtenu en terme d'amplitude, de phase et de tout autre caractère…

Justifier que la forme du champ électromagnétique ne permet pas d'utiliser la cavité pour obtenir n'importe quelle fréquence laser. Déterminer l'expression des fréquences possibles en fonction…

En formulant une hypothèse sur l'une des composantes de la force de Lorentz, sans la discuter à ce stade, montrer que la conductivité complexe du plasma peut se mettre sous la forme σ = -iε₀ ω_p²/ω…

Établir l'équation aux dérivées partielles portant sur Eₓ(z, t) caractérisant la propagation de l'onde dans le plasma.

En déduire la relation de dispersion caractéristique du plasma sous la forme k² = f(ω). Indiquer dans quel cas et pourquoi on parle de domaine de transparence du plasma.

Pour les communications NFC-RFID, estimer numériquement le rapport entre la norme du vecteur densité de courant volumique et celle du vecteur densité de courant de déplacement _D = ε₀ (∂ E)/(∂ t)…

En supposant que les valeurs des fréquences utilisées permettent d'utiliser les versions simplifiées des équations de Maxwell identifiées dans les questions 8 et 10, établir l'équation suivante pour…

Déterminer l'expression des grandeurs α et β en choisissant α > 0, c'est-à-dire en considérant une propagation vers les z croissants.

En exploitant les relations de continuité du champ électrique à la surface d'un dioptre, déterminer une relation reliant les coefficients complexes de transmission t = E_0,c/E_0,i et de réflexion r…

Déterminer l'expression des champs magnétiques incident B_i(z, t), réfléchi B_r(z, t) et transmis B_c(z, t).

Déterminer P_r, la puissance moyenne totale rayonnée par ce dipôle à travers une sphère de centre O et de rayon r ≫ λ, appelée zone de rayonnement.

En utilisant les relations de passage en z = L pour le champ électrique et en modélisant l'obstacle par un métal conducteur parfait, déterminer l'expression complexe du champ électrique de l'onde…

Le champ électrique de l'onde décrite par l'équation (I.1) vérifie-t-il la relation de passage (I.2) ? Dans le demi-espace x < 0, règne aussi une onde de la forme E_r(M, t) = E_0r cos (ω' t + k' x)…

Dans le milieu x < 0, établir l'expression des champs électrique E(M, t) et magnétique B(M, t) résultants. Comment qualifier l'onde correspondante ?

En considérant que les électrons ne sont soumis qu'à la seule force électrique (on néglige l'effet du champ magnétique), montrer que la densité volumique de courant dans le plasma est reliée au…

À partir des équations de Maxwell, établir la relation de dispersion sous la forme k² = (ω² - ω_p²)/c² où l'on exprimera la pulsation plasma ω_p en fonction de n, m, e et ε₀.

Établir alors l'expression de la vitesse de groupe v_g en fonction de ω, ω_p et c.

Montrer que seules des valeurs discrètes de kₓ, k_y et k_z sont possibles, repérées respectivement par des entiers m, n et ℓ.

Établir alors l'équation vérifiée par B(M, t) dans le conducteur. Qu'est-ce qui permet de dire qu'elle traduit un phénomène irréversible ? Citer un phénomène décrit par une équation analogue dans un…

Établir et résoudre l'équation différentielle vérifiée par la fonction complexe f(x), sachant que l'on impose en x = 0 le champ B = B₀ cos (ω t) u_y. On posera une longueur caractéristique δ que…

On admet que l'expression du vecteur de Poynting est la même que celle dans le vide avec des notations réelles. Déterminer la valeur moyenne dans le temps du vecteur de Poynting.

En effectuant un bilan de puissance moyenne sur un cylindre élémentaire d'axe de révolution (Ox) compris entre x et x + dx, montrer que la puissance volumique moyenne cédée par le laser au pigment…

À partir des équations de Maxwell, établir une équation aux dérivées partielles dont E(M,t) est solution.

Établir la relation de dispersion de l'OPPH dans l'eau de mer. Montrer que l'on retrouve la relation de dispersion dans le vide si la conductivité est nulle et si ε = ε₀.

Montrer que pour ω ≪ γ/ε, k = ± (1-j)/δ. Exprimer la grandeur δ. Comment varie l'atténuation par unité de longueur dans ce cas ? Calculer numériquement δ pour des ondes dites VLF (Very Low…

a) En supposant que les faisceaux sont gaussiens, donner le rayon typique minimal w_min des faisceaux au niveau du point de focalisation. Ce rayon typique correspond à la résolution spatiale de…

En traduisant les conditions aux limites, exprimer le coefficient de réflexion pour l'amplitude du champ électrique en fonction de r_vs.

Établir l'équation de propagation du champ E(M, t) dans le plasma.

En déduire l'expression de k² dans le plasma. Mettre en évidence une pulsation caractéristique, dite pulsation plasma, notée ω_p dont on fournira l'expression en fonction des grandeurs utiles parmi…

Déterminer l'expression de la vitesse de phase v_φ ainsi que celle de la vitesse de groupe v_g en fonction de ω_p, ω et c. Tracer v_g et v_φ en fonction de ω. Le milieu est-il dispersif ? Comparer…

On suppose ω ≪ ω_c. Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ électrique E. De quel type d'équation s'agit-il ?

Exprimer le nombre d'onde complexe k en fonction de δ=2/(µ₀ γ ω). Évaluer numériquement δ pour une fréquence f=1,0 MHz.

On suppose que la base de contrôle envoie des ondes électromagnétiques planes dans tout le demi-espace au-dessus de la Terre. On s'intéresse à une composante du spectre émis caractérisé par le champ…

Donner l'expression de cette onde réfléchie en fonction des caractéristiques de l'onde incidente.

Donner l'expression du champ électrique total (superposition du champ électrique incident et du champ électrique réfléchi). On rappelle que cos (a-b) - cos (a+b) = 2sin a sin b.

Comment se nomme cet effet ? Calculer numériquement δ en prenant pour la fréquence f la valeur obtenue à la question Q6. En comparant cette taille à l'épaisseur typique d'une poêle, cet effet vous…

Expliciter ω' et les composantes k'ₓ = eₓ · k' et k'_y = e_y · k' en fonction de ω, c et θ.

En déduire k'²_z en fonction de ω, ω_p, c et cos θ et en déduire que l'onde transmise ne peut pas se propager dans le plasma si ω < ω_ℓ et exprimer la pulsation limite ω_ℓ en fonction de ω_p et θ.

Dans le cadre non relativiste, en justifiant les simplifications, expliciter l'équation du mouvement des électrons et en déduire la densité volumique de courant dans ce milieu sous la forme J =…

Montrer que cette expression de J permet d'obtenir une équation de dispersion (ED) ; préciser en particulier l'expression de la grandeur ω_p.

Écrire, dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires, la loi d'Ohm locale dans le conducteur ainsi que les quatre équations de Maxwell dans le conducteur. En déduire l'équation…

Déterminer la relation de dispersion dans le conducteur. En déduire le vecteur d'onde complexe k en fonction de l'épaisseur de peau δ = √(2/(µ₀ σ₀ ω)).

Exprimer le champ E(z, t) en notation réelle dans le conducteur et tracer son allure en fonction de z à t fixé. Expliquer, en s'appuyant sur ce tracé, ce qu'est l'effet de peau en donnant une…

Exprimer la conductivité électrique complexe σ en fonction de n, e, ε₀ et ω et de la pulsation ω_p = √((n e²)/mε₀) appelée pulsation plasma.

On définit la constante diélectrique du métal par ε = 1 - iσ/ωε₀. Exprimer ε en fonction de ω et de la pulsation ω_p, dans le cas où les pertes sont négligeables.

Exprimer, dans l'approximation linéaire, la densité volumique de courant électrique ₁(M, t) dans le métal en fonction, entre autres, de la vitesse moyenne des électrons v₁(M, t), puis établir…

Établir l'équation aux dérivées partielles qui régit l'évolution spatiale et temporelle du champ électrique E₁(M, t) dans le métal. On fera apparaître la pulsation plasma définie par la relation ω_p…

Établir que le champ électrique (III.2) est solution de l'équation aux dérivées partielles précédente à condition que : n² = 1 - ω_p²/(ω² - iω/τ) .

Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par B(x,t).

Dériver le nombre d'onde par rapport à la pulsation, puis exprimer la vitesse de groupe v_g de l'impulsion en fonction de ω, c, de la partie réelle de n(ω) notée n_r(ω), et de sa dérivée n'_r(ω).

Représenter l'allure graphique de la fonction ω = ω(k). On précisera ses comportements limite et asymptotique.

Montrer que la force électrique F_el exercée sur l'électron peut s'écrire comme une force élastique linéaire, c'est-à-dire F_el = -k_elrₑ, avec k_el la constante de raideur associée. Introduire dans…

On cherche la solution de cette équation en régime établi (régime sinusoïdal forcé) sous la forme rₑ(t) = r_e,0exp (-iω t). Déterminer l'expression de r_e,0. En déduire l'expression du moment…

Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron, et montrer que la solution en régime permanent peut se mettre sous la forme matricielle : j_Sx j_Sy = σₓₓ & σ_xy σ_yx & σ_yy Eₓ…

Effectuer un bilan unidimensionnel de puissance électromagnétique moyenne pour une tranche d'air limitée par les plans d'abscisse x et x+dx ; en déduire la relation liant l'intensité I(x+dx) de…

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à q, dans le référentiel de l'échantillon supposé galiléen, montrer que le mouvement de q est décrit par la fonction : x(t) = x₁(t) = (qE₀eiω…

Exprimer le vecteur d’onde complexe kₘ en fonction d’une longueur δ dont on donnera l’expression et la signification.

Rappeler l'expression de la puissance volumique instantanée dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique. L'intégration de cette grandeur sur le volume du conducteur, non demandée ici, permet…

Écrire l'équation du mouvement d'un électron libre de vitesse (complexe) vₑ soumis à la seule influence du champ électrique E(x,t) de l'onde. En déduire que le plasma possède une conductivité…

Écrire les équations de Maxwell dans un milieu localement neutre et de conductivité γ. En déduire l'équation de propagation pour le champ électrique E(x,t) puis l'équation de dispersion : k² = (ω² -…

Évaluer la fréquence plasma f_p déduite de la pulsation plasma ω_p pour la densité maximale d'électrons libres. Quelle est la bande de fréquence utilisable pour les communications entre un satellite…

Exprimer la vitesse de phase v_φ des ondes électromagnétiques dans le plasma en fonction de f, c et f_p. En déduire l'expression de l'indice optique n = c/v_φ en fonction de f et de f_p. Quelle est…

Montrer que τ₁ = 1/c ∫₀H₀ (c/v_g - 1) dz où v_g est la vitesse de groupe de l'onde. Sachant que v_g = c √(1 - f_p²/f₁²), montrer que L₁ ≈ a/f₁² C_ET où C_ET = ∫₀H₀ nₑ dz est appelé « Contenu…

Quel effet est responsable de la dépendance de R₀ avec ω ? Proposer une modélisation simple permettant de retrouver, aux facteurs numériques près, l'expression de R₀.

Ecrire l'équation de Maxwell Ampère dans le conducteur. Montrer que le courant de conduction est très supérieur à l'autre terme (courant de déplacement).

Déterminer l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique dans le conducteur.

Déterminer l'équation de dispersion (complexe). On posera δ = √(2/(µ₀ γ ω)).

Ecrire la solution harmonique plane de l'équation de propagation en supposant le métal illimité vers les x>0. On notera Eₒₜ son amplitude complexe et on fera apparaître δ.

Etablir l'équation différentielle vérifiée par g(x) et la résoudre.

En déduire qu'un champ électromagnétique harmonique ne peut exister dans la cavité que pour certaines fréquences. On exprimera ces fréquences ainsi que leur longueur d'onde associée.

Montrer que les ondes électromagnétiques dans un tel milieu sont transverses puis établir leur équation de dispersion exprimant k² en fonction de la célérité c de la lumière dans le vide, ω, ω₀ et…

En déduire que : φ(x, y, z) = kz + r²/(w(z)²)z/z_R - arctan (z/z_R) avec r² = x² + y², z_R = w₀² k/2 et w(z) = w₀√(1 + (z/z_R)²).

Après avoir déterminé le champ B(M,t), donner l'expression de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting Π en fonction de µ₀, ω, k_r, k_i, |E₀| et de z.

On admet que le résultat obtenu à la question 1 reste valable lorsque la densité de charges dépend du temps. Écrire l'équation du mouvement d'un électron de la plaque, de masse m, sous l'effet du…

Comme pour la plaque, on admet que le résultat obtenu reste valable lorsque x dépend du temps. Écrire l'équation du mouvement des électrons sous l'effet du champ électrique, et en déduire que…

On choisit une onde telle que le champ magnétique B soit dirigé suivant y en tout point. Que peut-on alors dire des directions du vecteur d'onde k et du champ électrique E, dans le vide et dans le…

On note Eₓ et E_z les amplitudes complexes de E suivant x et z, et on suppose k_z non nul. Exprimer E_z en fonction de Eₓ, kₓ et k_z, dans le vide et dans le métal.

On admet que les composantes de E parallèles à la surface du métal sont continues de part et d'autre de l'interface z = 0, et on cherche des solutions telles que ces composantes ne soient pas…

En utilisant l'expression de la conductivité complexe obtenue à la question 17, en déduire la relation entre l'amplitude complexe de la densité surfacique de charge σ et l'amplitude complexe E_z2 de…

En utilisant le résultat de la question 22, montrer qu'on obtient la même expression du rapport k_z2/k_z1 si on suppose que B_y est continu en z = 0.

Pour un radar émettant à 12,3 MHz, trouver numériquement la longueur d'onde des vagues sélectionnées.

Le rayonnement synchrotron est anisotrope et polarisé. Définir ces 2 mots.

Le rayonnement synchrotron est anisotrope et polarisé. Définir ces 2 mots.

On note d = qₑ r le moment dipôlaire électrique de l'atome. Montrer qu'en régime forcé on a d(t) = ε₀ α(ω) E(0, t) où α désigne la polarisabilité de l'atome.

Pour un champ électrique dont l'expression serait E(M, t) = E₀(x)eiω te_z, montrer que la condition obtenue précédemment est la même. En déduire que pour une pulsation ωₙ donnée respectant cette…

Déterminer la dimension de α₀. Proposer une interprétation physique de cette grandeur.

Dans la suite, on adoptera la formulation numérique ω_p = α√(n₀) où α = 56 SI. Quel est le domaine de fréquence maximal de ces oscillations de plasma dans la haute atmosphère terrestre ?

Rappeler le qualificatif donné à l'onde associée à l'expression II.3.

Montrer que cette solution vérifie la relation de passage pour le champ électrique en x = 0 à tout instant t.

On montre en électromagnétisme classique (c'est-à-dire à partir des équations de Maxwell) qu'une charge animée d'un mouvement périodique de fréquence f rayonne une onde électromagnétique de même…

Calculer la vitesse de phase v_φ. Y a-t-il dispersion ?

À quelle condition sur le terme ω_c τ* peut-on affirmer que le plasma est magnétisé ? À quelle condition est-il non magnétisé ?

Calculer la pulsation plasma ω_p au sein du tokamak ITER dans lequel n₀ = 1 · 10²⁰ m⁻³.

La figure 11 donne les courbes d'absorbance de TiO₂ et de ZnO en fonction de la longueur d'onde pour des tailles de particules de l'ordre de 100 nm. Expliquer les formulations combinées en TiO₂ et…

Calculer numériquement la pression de radiation pour la lumière venant du soleil (I₁ = 1 kW⁻²) et pour celle d'un laser de haute intensité (I₂ = 1 GW⁻²).

Tracer l'évolution du module |B(z)| et discuter de l'influence de la fréquence et de la perméabilité relative µ_r du matériau.

On considère une onde plane de vecteur d'onde k formant un angle θ avec l'axe (Oz). Exprimer δ k_rel en fonction de θ. Donner un ordre de grandeur de la limite supérieure de |θ| pour que |δ k_rel|…

Déduire l'expression p_z en fonction de φ(r).

On fait l'approximation w₀ ≫ λ, avec λ la longueur d'onde du laser. Montrer que k_z ≃ k - (kₓ² + k_y²)/2k. (On rappelle k = 2π/λ).

Quelles sont les caractéristiques du champ électrique E_i introduit dans la cavité optique ? On précisera le nom et l'unité des grandeurs E₀, ω et k.

Le laser utilisé pour la télémétrie Terre-Lune est un laser YAG-Nd de longueur d'onde λ = 1 064 nm auquel on a adjoint un doubleur de fréquence. Quelle est la longueur d'onde utilisée pour cette…

Montrer que les deux bandes spectrales utilisées par le GPS se situent dans le domaine de transparence du plasma.

Justifier que ne pas tenir compte de la différence entre V_g et c dans le plasma induit un décalage de positionnement au sol.

Déterminer la valeur de la fréquence limite f_lim en dessous de laquelle on peut considérer que la loi d'ohm en notation réelle peut s'écrire sous la forme = γ₀ E.

Peut-on écrire la loi d'Ohm sous la forme = γ₀ E pour les communications NFC-RFID ?

Proposer une expression du champ électrique réfléchi d'amplitude complexe E_0,r.

Que deviennent les expressions de t et r dans le cas où l'aluminium est considéré comme un conducteur parfait ? Que dire de l'efficacité de la protection de données avec un conducteur parfait ?

Quel est l'intérêt de définir ce type de grandeur ?

Déterminer la résistance de rayonnement R_r pour les deux types de réseau.

À quel dispositif rencontré en travaux pratiques cette grille fait-elle penser ?

Établir l'expression de t(∞). Quelle est son interprétation physique ?

Quel est le signe de τ(ω) = t(ω) - t(∞) et quel sens concret donner à cette grandeur ?

Calculer la valeur de A.

Cette relation est-elle qualitativement en accord avec l'enregistrement de la figure 6 ?

Calculer la valeur de Q pour un four à micro-ondes, avec a = 36 cm.

Montrer que si ε_r R⁺, alors k'' = 0. Comment se comporte alors le milieu de propagation ?

Quelle est la difficulté pour retirer un tatouage multicolore ?

Lorsque γ est confondue avec l'équateur de la sphère, qu'observe-t-on sur le plan de polarisation ?

Exprimer les vecteurs d'onde k_i, k_r et kₜ à l'aide de ω, c, n_v, n_s et e_z.

En admettant que le rapport des amplitudes du champ électrique et du champ magnétique dans le plasma soit assimilable à celui dans le vide, montrer que les effets de la partie magnétique de la force…

Calculer la valeur numérique de la fréquence minimale que doit posséder l'onde pour atteindre un satellite relais géostationnaire à partir de la surface de la Terre. À quel domaine du spectre…

Évaluer le rapport (|Π(z+L, t)|)/(|Π(z, t)|) pour L=10 m.

Est-il réaliste d'envisager une communication par ondes électromagnétiques (de cette gamme de fréquences) entre le bateau et le sous-marin ?

On appelle fenêtre de transparence biologique le domaine de longueurs d'onde pour lequel on peut imager les tissus biologiques en profondeur sans absorption. À l'aide du graphe de la figure 2…

Ainsi décrite, l'onde se propageant le long du réseau cristallin peut être assimilée à une quasi-particule, appelée phonon, matérialisant la propagation d'un mode de vibration au sein du cristal…

Rappeler l'expression de la relation de dispersion k(ω) pour des ondes électromagnétiques dans le vide, ici assimilées à des photons.

Exprimer la représentation complexe du champ électrique E de l'onde incidente d'amplitude E₀ ; on prendra l'origine des phases au point origine O.

Citez l'ordre de grandeur des fréquences utilisées actuellement pour ce type de signaux. Quels sont les avantages et les inconvénients d'une transmission à haute fréquence ?

Sachant que l'expérience est menée avec un laser opérant en lumière visible (jaune du sodium), quel est l'ordre de grandeur de ω₁ ?

On donne pour cette expérience les valeurs γ₁ = 6,3 × 10⁷ rad/s et Ω_r = 0,2 γ₁. Vérifier que l'on est bien dans les conditions de la question 13.

Quelle est la vitesse de phase en ω = ω₁ ?

Grâce à la figure 3b, indiquer précisément dans quel intervalle de pulsation la lumière est le plus ralentie.

À quelle condition sur α, γ est-il réel ? On écrit alors γ = γ avec γ > 0. Donner l'expression générale de E(α,z). Dans quel cas, γ est-il imaginaire pur ? On pose alors γ = iδ avec δ > 0. Donner…

Donner à une constante multiplicative près l'expression de l'intensité I_L(x,z) et en déduire que le faisceau a toujours un profil gaussien dans un plan z = Cste. Tracer la répartition spatiale…

Dans le modèle d'atome adopté initialement, montrer que dans le domaine des fréquences optiques (ω comprise entre 2· 10¹⁵ et 5· 10¹⁵ rad⁻¹) l'indice dépend peu de la pulsation.

Sur une durée infinitésimale dt, déterminer l'énergie dE de la lumière diffusée par la bille. En déduire le nombre de photons dN qui ont été diffusés par la bille pendant cette durée.

Montrer qu'il est possible d'écrire I(x) sous la forme suivante : I(x) = I(0) exp [-dₒ(x)] où dₒ(x) est un facteur, appelé « densité optique », que l'on exprimera en fonction des quantités…

En utilisant la relation liant la largeur spectrale Δν (en Hertz) à la durée du train d'onde τ_c (en seconde) d'une source lumineuse : τ_cΔν ∼ 1, proposer un ordre de grandeur de la durée τ_c des…

Exprimer δ z' en fonction de W₀' et λ puis estimer sa valeur numérique.

Proposer simplement une loi analogue appartenant à un autre domaine de la physique et préciser les unités de toutes les grandeurs qui interviennent.

Comment nomme-t-on ce type d'équation ? Préciser l'unité de D.

En comparant le rayon a à une distance caractéristique du phénomène, justifier que l'effet invoqué à la question précédente doive être pris en compte à la fréquence donnée.

Ces relations sont-elles vérifiées dans le cas d'une onde optique se propageant vers une interface entre un milieu d'indice n₁ et un milieu d'indice n₂ ?

En utilisant la même méthode que pour la sphère, déterminer la pulsation ω_c de l'oscillation des électrons dans un cylindre métallique de révolution infiniment long, en supposant leur déplacement x…

Des expériences réalisées sur des nanoparticules d'or montrent que leurs fréquences d'oscillation dépendent faiblement de leur taille, mais fortement de leur forme. Pour des nanotiges d'or, la…

Les nanoparticules métalliques peuvent notamment être utilisées pour le traitement des cancers. Elles sont suffisamment petites pour pénétrer dans les cellules de l'organisme, et il se trouve…

Le chauffage est-il plus efficace si la direction de propagation du laser est parallèle ou perpendiculaire à l'axe du cylindre ?

On note B_y l'amplitude complexe du champ magnétique en projection sur l'axe y. Exprimer B_y en fonction de Eₓ, kₓ, k_z et ω, dans le vide et dans le métal.

En utilisant la relation de dispersion entre ω et k, éliminer kₓ dans l'expression obtenue, et exprimer B_y en fonction de Eₓ, k_z, et ω. On distinguera les cas du vide et du métal, et on fera…

En utilisant les lois de l'électrostatique, dont on supposera qu'elles restent valables bien que le champ dépende du temps, exprimer E_z1 - E_z2 en fonction de σ et ε₀. En utilisant l'expression de…

En utilisant le résultat de la question 20, en déduire le rapport k_z2/k_z1 en fonction de ω et ω_p.

On pose ε = 1 - ω_p²/ω². Les relations de dispersion dans le vide et dans le métal, ajoutées au résultat de la question 27 ou 28, donnent trois relations entre kₓ, k_z1, k_z2 et ω, dans lesquelles…

Le plasmon de surface est une solution dont le champ électrique se propage dans la direction x (kₓ est donc réel), tout en décroissant exponentiellement dans la direction z, dans le vide comme dans…

Montrer qu'une telle solution ne peut exister que si ω < ω_p. On supposera cette condition satisfaite jusqu'à la fin du problème.

En prenant la partie réelle de l'amplitude complexe, écrire les composantes suivant x et z du champ électrique en fonction de x, z, et t, pour z > 0 et pour z < 0.

Retrouver l'expression de γ(ω) dans le cas d'une sollicitation du barreau métallique par un champ électrique sinusoïdal.

En exploitant les équations locales de l'électromagnétisme en notation complexe, montrer que la densité volumique de charge ρ(M, t) en un point M du conducteur vérifie l'équation suivante : (∂²…

Donner un ordre de grandeur du paramètre de maille dans un métal. En supposant que chaque atome du réseau cristallin donne un électron de conduction, en déduire une estimation numérique de la…

Déterminer alors l'expression du facteur de qualité Q de l'oscillateur amorti décrit par l'équation (2) et une valeur numérique de ce dernier. Représenter graphiquement l'allure de la densité…

En cherchant une solution des équation obtenues aux questions 13 et 14 sous la forme V(x,t) = V₀ ei⁽ω t ⁻ kx⁾, déterminer les relations de dispersion associées à ces équations.

Commenter l'expression mathématique de la relation de dispersion obtenue à partir de l'équation de la question 13 et comparer à la relation de dispersion obtenue pour une équation de D'Alembert…

Justifier l'affirmation : « un bon conducteur électrique est un bon conducteur thermique ». En utilisant la loi de Wiedemann-Franz et sur la base d'arguments physiques numériques, justifier que…

Préciser la dimension de la grandeur γ₀ (on utilisera les notations L, M, T et I pour les dimensions des longueur, masse, durée et intensité de courant) et la signification physique de τ. Établir la…

À quelles conditions (que l'on traduira par des inégalités faisant intervenir ω, c, µ₀, γ₀, τ et ω) correspondent les 3 régimes de fréquences que l'on peut lire sur la figure 5 ?

Ici et dans toute la suite on se limitera au domaine radar (f ∼ 25 GHz). Justifier par le calcul la forme limite des deux courbes ; préciser leur décalage. On notera ici d = √(2/(µ₀ γ₀ ω)). Peut-on…

En négligeant toute force autre qu'électromagnétique, expliciter l'équation différentielle qui régit la vitesse d'un électron de l'ionosphère en fonction du champ électromagnétique E, B du signal…

Les signaux GPS sont émis aux fréquences f₁ = 1,2 GHz et f₂ = 1,6 GHz ; Exprimer v_φ pour ces fréquences. Exprimer l'erreur relative de l'approximation consistant à supposer que v_φ est égale à c…

Quel est l'intérêt d'utiliser deux fréquences si on veut corriger l'imprécision liée à la traversée de l'ionosphère ?

Écrire et commenter l'expression de v_M/R' en fonction de v_M/R et vₑ. Que devient la loi d'addition relativiste si v_M/R = ± c₀ ? Commenter.

On considère maintenant que v_M/R' = c₀/n tandis que vₑ = ± v avec v ≪ c₀. Déterminer les vitesses c₁ et c₂ correspondantes dans R.

En déduire les expressions de Δ c et cₘ. Est-il possible, dans l'expérience de Fizeau, de distinguer le modèle relativiste du modèle d'entraînement partiel de Fresnel ?

Décrire, en quelques phrases, la manière dont la distribution d'électrons évolue lors de la traversée de l'ondulateur, sous l'influence de l'onde électromagnétique émise.

En comparant les ordres de grandeur de plusieurs grandeurs pertinentes, analyser l'acceptabilité de cette simplification pour les ondes de la bande HF.

Trouver le coefficient de réflexion r₀ et exprimer k₀ en fonction de k_i. Justifier enfin l'égalité q₀ = q_i.

Exprimer r₁ en fonction de q_i et h₀, et k_r en fonction de k_i et k_v. Indiquer quel intérêt la mesure de r₁ présente en ce qui concerne l'étude de l'état de la mer.

À partir du résultat de la question précédente, retrouver la loi de Bragg (1) rencontrée dans la question Q2, pour un ordre p à préciser.

Trouver, d'une part, l'expression de ω_r en fonction de ω et ω_v et, d'autre part, celle de k_r en fonction de k_i et k_v.

En utilisant les deux relations établies dans la question précédente, montrer que f_r est donnée par l'un des deux cas de la relation (6). Fournir ensuite l'expression de f_r pour une onde…

À l'aide de ces deux graphiques, proposer une valeur expérimentale pour f_B. Discuter, à l'aide d'un critère quantitatif, la compatibilité de la valeur obtenue avec l'expression établie en Q14. Dans…

Donner l'expression de τ. Pour d = 10 km, vérifier qu'il est très inférieur à Tₘ, puis représenter sur un même graphique les variations de f(t) et f_r(t). Les deux courbes seront légendées et…

Le plasma est localement neutre avant le passage de l'onde. Expliquer quelle caractéristique de l'onde électromagnétique permet d'écrire que la densité volumique de charge ρ reste nulle même en…

Le profil de la densité particulaire, qui dépend de l'alternance des jours et des nuits, est représenté figure 9. En déduire le domaine de fréquences que l'on doit choisir pour que l'onde puisse…

Déterminer, en fonction de ℓ, n, e, ε₀, mₑ et de ω₀, l'erreur que l'on commettrait sur la mesure, faite à partir de l'impulsion de fréquence centrale f₀, si l'on considérait la vitesse de groupe…

Évaluer l'ordre de grandeur de la surface S nécessaire pour donner à un vaisseau de masse m = 2 000 kg une accélération environ égale au millième de l'intensité de la pesanteur g régnant à la…

La puissance incidente P₀ est la même pour les deux longueurs d'onde, mais elle est inconnue. On mesure la puissance qui traverse l'os P_Li, avec i = 1 ou 2. Proposer une méthode permettant de…

Déterminer l'expression de l'onde électromagnétique, E_vide et B_vide, dans le demi-espace x<0.

Montrer que la force totale qui s'exerce sur un pavé de conducteur de section d'aire dydz et de longueur infinie s'écrit d F_pavé=2 B₀²/µ₀ cos ²(ω t) dz dy eₓ. Calculer alors la valeur moyenne…

(*) Donner une estimation de la surface du volet cornéen à découper. Quelle est le nombre d'impulsions nécessaires pour effectuer cette découpe ? En prenant une durée de découpe de 10 secondes pour…

Pour chacun des trois faisceaux, indiquer la direction et le sens de propagation ainsi que la polarisation de la lumière correspondants.

Exprimer U(r) en fonction de x, y, z, γ, E et σ.

Dans toute cette question, on considère une situation où les polarisations des faisceaux ne sont pas parfaitement contrôlées, tandis que les phases φ₁, φ₂ et φ₃ sont toujours fixées. Citer un effet…

Quelle est la dimension de α ? Exprimer la en fonction de ω, ω₀ et du volume V₀ de l'atome de Thomson. Tracer son allure en fonction de ω et interpréter son comportement au voisinage de ω = ω₀.

On suppose que l'atome de rubidium peut être décrit par le modèle précédent. Sachant qu'il possède une raie d'absorption à une longueur d'onde λ₀ = 780 nm, déterminez dans ce modèle le volume de…

On introduit le désaccord à résonance Δ = ω - ω₀. Donner une expression approchée de α pour |Δ| ≪ ω₀.

Par analogie avec la première partie, α_c dépend a priori de la pulsation ω du champ électrique. En comparant les temps caractéristiques d'évolution des électrons de cœur et de l'électron…

Dessiner la trajectoire du rayon lumineux dans l'interféromètre pour une onde S, puis pour une onde P. Expliquer pourquoi un tel dispositif est sans intérêt.

Dessiner la trajectoire du rayon lumineux dans ce nouveau dispositif pour une onde polarisée S en entrée, puis pour une onde polarisée P en entrée. À chaque étape de la trajectoire, vous préciserez…

On place enfin, à la suite du dispositif précédent, un polariseur linéaire. Expliquer comment, en variant l'orientation de ce polariseur, on peut obtenir le résultat cherché, et varier la longueur…

Chaque pixel du capteur mesure successivement l'intensité lumineuse autour de 5 longueurs d'onde λ équidistantes. On note F₁, F₃, F₀, F₂, F₄ ces intensités, par ordre croissant de λ. Le dispositif…

Dans ce modèle, on admet que le mouvement de l'électron engendre une onde électromagnétique, à l'origine des raies spectrales de l'atome. Donner un ordre de grandeur numérique de la constante de…

Représenter l'allure de la norme de F en fonction du désaccord δ.

On définit l'intervalle de pulsation Δ ω = ω₊ - ω₋ tel que F(ω_±) = Fₘₐₓ /2. Déterminer l'expression de Δ ω en fonction de τ₀.

Comparer la norme de la force F à l'action de la pesanteur sur un atome de Rubidium, pour I = I_sat et à la résonance.

On se place à une dimension. Quels atomes sont susceptibles d'être ralentis par le laser ? Ce processus de ralentissement permet-il de les immobiliser complètement ?

Justifier qualitativement le fait que l'on puisse écrire l'onde électromagnétique issue du rayonnement solaire sous cette forme. Justifier qualitativement l'apparition de cette polarisation. Que…

Le Soleil est un corps noir (voir formulaire) dont la température de surface est T_S = 5800 K. Estimer la valeur de H_ω. Sachant que l'épaisseur caractéristique de l'atmosphère est de l'ordre de 100…