Corrigé détaillé Mines Physique 1 PC 2024

L'enveloppe gonflable du spa a la forme d'un cylindre creux (un anneau cylindrique) délimité par les diamètres extérieur d_{\text{ext}} et intérieur d_{\text{int}}, sur une hauteur H. Le tapis de fond en plastique n'étant pas gonflable, le volume d'air nécessaire pour gonfler la structure à sa forme définitive sous la pression atmosphérique est :

D'après le formulaire, on prend \dfrac{\pi}{4} = 0,8. Avec d_{\text{ext}} = 2,0\text{ m}, d_{\text{int}} = \sqrt{2}\text{ m} et H = 1,0\text{ m} :

Le temps de gonflage étant t_{\text{g}} = 10\text{ min} = 600\text{ s}, le débit volumique moyen de la pompe s'écrit :

Soit numériquement :

À l'instant t_{\text{g}}, l'enveloppe a atteint son volume définitif V à la pression atmosphérique P_0 = 1\text{ bar}. La quantité d'air emprisonnée est, d'après l'équation d'état des gaz parfaits :

Pour t > t_{\text{g}}, le volume V et la température T restent constants. La pompe continue d'injecter de l'air prélevé dans l'atmosphère extérieure à la pression P_0 et à la température T. Le débit molaire d'air entrant s'écrit :

Pendant une durée supplémentaire \Delta t après t_{\text{g}}, la quantité de matière ajoutée est :

La valve s'ouvre lorsque la surpression atteint le seuil \delta p = 0{,}1\text{ bar}, soit à la pression intérieure P = P_0 + \delta p. La quantité de matière correspondante vaut :

En égalant les deux expressions de \Delta n, et sachant d'après la question 1 que V = D_{\text{p}} t_{\text{g}}, on obtient :

L'application numérique donne :

La valve s'ouvre donc au bout d'un temps total t = t_{\text{g}} + \Delta t depuis la mise en marche de la pompe :

À la fin du temps de gonflage t_{\mathrm{g}}, la pompe est arrêtée. L'air enfermé dans l'enveloppe constitue un système fermé de quantité de matière n constante, occupant un volume fixé V.

Dans l'état initial (le matin), l'air est à l'équilibre mécanique et thermique avec l'extérieur :

Au cours de la journée, la température extérieure augmente et l'air intérieur s'équilibre thermiquement avec le milieu extérieur (T_{\mathrm{int}} = T). La transformation étant isochore pour le gaz parfait contenu dans l'enveloppe :

La valve de surpression s'ouvre dès que la surpression atteint le seuil \delta p = 0{,}1\text{ bar}, soit pour une pression intérieure :

La température T_2 correspondante s'exprime donc par :

L'élévation de température nécessaire est :

D'où la température d'ouverture :

Avec deux chiffres significatifs :

La vitesse de chauffage annoncée par le constructeur étant constante et égale à v_{\mathrm{c}} = 2^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}^{-1}, la durée nécessaire pour élever la température de T_{\mathrm{i}} = 20^\circ\mathrm{C} à T_{\mathrm{f}} = 40^\circ\mathrm{C} est donnée par :

Application numérique :

Pour évaluer la cohérence avec la puissance annoncée \mathscr{P}_{\mathrm{c}} = 2{,}5\text{ kW}, calculons la puissance thermique théorique \mathscr{P}_{\text{th}} requise pour chauffer l'eau à ce rythme, en l'absence de pertes thermiques.

L'eau occupe le cylindre intérieur de diamètre d_{\text{int}} sur une hauteur h_{\mathrm{e}}. Son volume vaut :

Avec les données de l'énoncé et la convention \frac{\pi}{4} = 0{,}8 :

La masse d'eau correspondante est donc :

L'énergie thermique nécessaire pour augmenter la température de l'eau de \Delta T = 20\text{ K} vaut :

La puissance thermique moyenne minimale à fournir au cours de la durée \Delta t_{\mathrm{c}} est alors :

En convertissant la vitesse de chauffage en \text{K}\cdot\text{s}^{-1} (v_{\mathrm{c}} = \frac{2}{3600}\text{ K}\cdot\text{s}^{-1} = \frac{1}{1800}\text{ K}\cdot\text{s}^{-1}) :

Cette valeur théorique de 2{,}8\text{ kW} est du même ordre de grandeur et très proche de la valeur nominale de l'unité de contrôle \mathscr{P}_{\mathrm{c}} = 2{,}5\text{ kW} (écart relatif d'environ 10\%, parfaitement imputable à l'approximation sur \pi et aux pertes thermiques non nulles lors de l'essai constructeur). Le résultat est donc tout à fait cohérent.

Le chauffage par le Soleil est le plus efficace au midi solaire (vers 13 h ou 14 h selon l'heure légale en France), pour deux raisons physiques complémentaires :

1. Effet géométrique (loi du cosinus de Lambert) : à midi solaire, le Soleil atteint sa hauteur angulaire maximale au-dessus de l'horizon. L'angle d'incidence \theta des rayons par rapport à la normale de la surface horizontale de l'eau est minimal. La puissance surfacique reçue par cette surface horizontale, proportionnelle à \cos\theta, est donc maximale.
2. Atténuation atmosphérique minimale : l'épaisseur d'atmosphère traversée par les rayons solaires est minimale lorsque le Soleil est au plus haut dans le ciel. L'atténuation du rayonnement par diffusion (notamment la diffusion Rayleigh par les molécules d'air étudiée dans les questions suivantes) et par absorption atmosphérique est alors la plus faible.

1. Forme de l'onde électromagnétique

Le rayonnement solaire provient d'une source située à une très grande distance de la Terre (d \approx 1{,}5\times 10^{8}\text{ km}). À l'échelle de l'atmosphère locale, les surfaces d'onde sphériques sont assimilables à des plans : l'onde incidente est donc localement modélisable par une onde plane.

• Bien que le rayonnement solaire soit polychromatique, la linéarité des équations de Maxwell permet une décomposition spectrale de Fourier : on étudie séparément chaque composante monochromatique de pulsation \omega.
• L'onde se propage dans l'air (milieu assimilé au vide, d'indice n \approx 1) à la célérité c selon l'axe (Ox).
• Du fait de la transversalité des ondes électromagnétiques dans le vide (\mathrm{div}\,\vec{E} = 0), le champ électrique est orthogonal à la direction de propagation (Ox), par exemple selon \widehat{e}_z pour une composante de polarisation rectiligne donnée.

L'expression \vec{E}(x,t) = E_0 \cos[\omega(t - x/c)]\,\widehat{e}_z est donc bien celle d'une onde plane progressive monochromatique (OPPM) polarisée rectilignement.

2. Apparition de la polarisation

Sous l'effet du champ électrique incident \vec{E}, les électrons des molécules d'air (\mathrm{N}_2, \mathrm{O}_2) subissent une force électrique \vec{F}_{\mathrm{e}} = -e\vec{E}. Les noyaux, plusieurs milliers de fois plus massiques que les électrons, restent pratiquement immobiles. Il en résulte un déplacement relatif \vec{r} du barycentre des charges négatives par rapport à celui des charges positives, ce qui induit un moment dipolaire instantané :

Ce moment dipolaire oscille à la même pulsation \omega que le champ excitateur et est orienté selon la même direction \widehat{e}_z.

3. Signification de \omega_0

Dans le cadre du modèle de l'électron élastiquement lié (modèle de Lorentz), \omega_0 représente la pulsation propre (ou pulsation de résonance) d'oscillation des électrons au sein de la molécule.

L'onde plane progressive monochromatique se propage selon l'axe (Ox) dans le sens des x croissants. Le vecteur de Poynting s'écrit :

L'éclairement \mathcal{E}_\omega, assimilé à la puissance surfacique moyenne temporelle du rayonnement incident, vaut :

La puissance moyenne rayonnée (diffusée) par chaque molécule d'air est donnée par :

En injectant E_0^2 = \dfrac{2\mathcal{E}_\omega}{\varepsilon_0 c} et en utilisant la relation de Maxwell \varepsilon_0\mu_0 c^2 = 1, soit \dfrac{1}{\varepsilon_0^2 c^4} = \mu_0^2 :

En introduisant le paramètre sans dimension \kappa = \dfrac{\omega_0}{\omega}, le facteur fréquentiel se simplifie :

D'où l'expression de la puissance rayonnée par molécule :

Considérons une tranche d'atmosphère d'épaisseur \mathrm{d}x et de section droite transverse S, située entre x et x+\mathrm{d}x. Le volume S\,\mathrm{d}x contient \mathrm{d}N = n\,S\,\mathrm{d}x molécules.

En régime permanent, le flux d'énergie entrant est S\,\mathcal{E}_\omega(x) et le flux sortant est S\,\mathcal{E}_\omega(x+\mathrm{d}x). La perte d'énergie correspondante est intégralement diffusée par les molécules présentes dans la tranche :

En divisant par S\,\mathrm{d}x :

Cette équation différentielle linéaire du premier ordre s'écrit sous la forme :

dont la solution est :

avec la longueur caractéristique :

Vérification dimensionnelle : Les dimensions des grandeurs intervenant dans H_\omega sont :

• [m] = \mathrm{M} ;
• [e] = \mathrm{I}\cdot\mathrm{T} ;
• [n] = \mathrm{L}^{-3} ;
• [\kappa] = 1 (rapport de pulsations) ;
• D'après l'unité fournie pour \mu_0 (\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{A}^{-2}\cdot\mathrm{s}^{-2}), [\mu_0] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{I}^{-2}\cdot\mathrm{T}^{-2}.

La dimension du dénominateur vaut :

On en déduit la dimension de H_\omega :

H_\omega a bien la dimension d'une longueur, ce qui valide la cohérence dimensionnelle de l'expression.

D'après la loi du déplacement de Wien fournie :

Pour T_{\mathrm{S}} = 5\,800\text{ K} :

La pulsation correspondante s'écrit :

Avec c \approx 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et l'approximation \pi \approx 3 (cohérente avec \pi/3 = 1{,}0) :

Le rapport sans dimension \kappa = \omega_0 / \omega vaut donc :

Comme \kappa^2 \approx 37 \gg 1, on a (\kappa^2 - 1)^2 \approx \kappa^4 \approx 1{,}4 \times 10^3.

La densité volumique de molécules n au niveau du sol (P_0 = 1{,}0\text{ bar} = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}, T \approx 288\text{ K}) est obtenue par la loi des gaz parfaits :

En injectant ces grandeurs dans l'expression de H_\omega établie à la question 7 :

L'épaisseur totale de l'atmosphère étant L_{\text{atm}} \sim 100\text{ km}, on a L_{\text{atm}} \ll H_\omega : l'atténuation totale par diffusion Rayleigh à travers toute l'épaisseur de l'atmosphère n'est que de l'ordre de 1 - \mathrm{e}^{-100/800} \approx 12\%.

Une variation d'altitude accessible à un utilisateur de spa (typiquement \Delta z \sim 1 \text{ à } 2\text{ km}) correspond à une variation relative de chemin optique dans l'atmosphère extrêmement faible :

Conclusion : L'effet d'une augmentation d'altitude sur le flux solaire reçu par l'eau du spa du fait de la moindre diffusion Rayleigh est minime (gain inférieur à 1\%) et donc tout à fait négligeable sur le chauffage naturel du spa.