Feuille d'entraînement : Ondes électromagnétiques dans les milieux

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Modelisation PC 2026, Q27

   Appliquons l'opérateur rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday :

   \overrightarrow{\operatorname{rot}}\big(\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\underline{\vec{E}})\big) = \overrightarrow{\operatorname{rot}}\left(-\frac{\partial \underline{\vec{B}}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\big(\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\underline{\vec{B}})\big)

   En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère dans la solution chimique, \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\underline{\vec{B}}) = \underline{\varepsilon}\mu_0 \frac{\partial \underline{\vec{E}}}{\partial t}, il vient :

   \overrightarrow{\operatorname{rot}}\big(\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\underline{\vec{E}})\big) = -\underline{\varepsilon}\mu_0 \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2}

   D'autre part, d'après l'identité vectorielle rappelée en annexe :

   \overrightarrow{\operatorname{rot}}\big(\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\underline{\vec{E}})\big) = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\big(\operatorname{div}(\underline{\vec{E}})\big) - \vec{\Delta}\underline{\vec{E}}

   Puisque le milieu est globalement neutre en charges libres, l'équation de Maxwell-Gauss donne \operatorname{div}\underline{\vec{E}} = 0. Il en résulte :

   -\vec{\Delta}\underline{\vec{E}} = -\underline{\varepsilon}\mu_0 \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2}

   Le champ électrique \underline{\vec{E}} vérifie donc l'équation de propagation de d'Alembert généralisée à un milieu diélectrique :

   \boxed{\vec{\Delta}\underline{\vec{E}} - \underline{\varepsilon}\mu_0 \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} = \vec{0}}

   Pour une onde ne dépendant que de la coordonnée spatiale x, cette équation se réduit à :

   \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial x^2} - \underline{\varepsilon}\mu_0 \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} = \vec{0}

   Résultat

   $$\vec{\Delta }\underline{\vec{E}}-\underline{\epsilon }{\mu }_0\frac{{\partial }^2\underline{\vec{E}}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Modelisation PC 2026, Q28

   D'après la question Q27, le champ électrique vérifie l'équation de propagation :

   \vec{\Delta}\underline{\vec{E}} - \underline{\varepsilon}\mu_0 \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} = \vec{0}

   Le champ électrique s'écrit \underline{\vec{E}}(x,t) = E_0 \mathrm{e}^{j(\omega t - \underline{k}x)} \vec{u}_y. En calculant ses dérivées temporelle et spatiale :

   \begin{aligned} \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} &= (j\omega)^2 \underline{\vec{E}} = -\omega^2 \underline{\vec{E}} \\ \vec{\Delta}\underline{\vec{E}} &= \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial x^2} = (-j\underline{k})^2 \underline{\vec{E}} = -\underline{k}^2 \underline{\vec{E}} \end{aligned}

   En réinjectant ces expressions dans l'équation de propagation :

   -\underline{k}^2 \underline{\vec{E}} + \underline{\varepsilon}\mu_0 \omega^2 \underline{\vec{E}} = \vec{0}

   Cette égalité devant être vérifiée pour tout (x,t) et pour une onde non identiquement nulle (\underline{\vec{E}} \neq \vec{0}), il vient :

   \underline{k}^2 = \underline{\varepsilon}\mu_0 \omega^2

   Avec \underline{\varepsilon} = \varepsilon_r - j\varepsilon_i, on en déduit la relation de dispersion cherchée :

   \boxed{\underline{k}^2 = \mu_0\omega^2(\varepsilon_r - j\varepsilon_i)}

   Résultat

   $${\underline{k}}^2={\mu }_0{\omega }^2({\epsilon }_r-j{\epsilon }_i)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Modelisation PC 2026, Q33

   D'après la formule rappelée en annexe, la moyenne temporelle du vecteur de Poynting s'exprime en notation complexe par :

   \langle\vec{\Pi}(x, t)\rangle = \frac{1}{2} \operatorname{Re}\left(\frac{\underline{\vec{E}} \wedge \underline{\vec{B}}^*}{\mu_0}\right)

   En utilisant les expressions du champ électrique et du champ magnétique obtenues aux questions Q29 et Q32 :

   \begin{aligned} \underline{\vec{E}}(x, t) &= E_0 \mathrm{e}^{-k'' x} \mathrm{e}^{j(\omega t - k' x)} \vec{u}_y \\ \underline{\vec{B}}(x, t) &= \frac{k' - j k''}{\omega} E_0 \mathrm{e}^{-k'' x} \mathrm{e}^{j(\omega t - k' x)} \vec{u}_z \end{aligned}

   Le conjugué du champ magnétique s'écrit :

   \underline{\vec{B}}^*(x, t) = \frac{k' + j k''}{\omega} E_0 \mathrm{e}^{-k'' x} \mathrm{e}^{-j(\omega t - k' x)} \vec{u}_z

   Le produit vectoriel \underline{\vec{E}} \wedge \underline{\vec{B}}^* vaut donc, avec \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_x :

   \begin{aligned} \underline{\vec{E}} \wedge \underline{\vec{B}}^* &= E_0^2 \mathrm{e}^{-2k'' x} \frac{k' + j k''}{\omega} \mathrm{e}^{j(\omega t - k' x)} \mathrm{e}^{-j(\omega t - k' x)} \vec{u}_x \\ &= \frac{E_0^2}{\omega}(k' + j k'') \mathrm{e}^{-2k'' x} \vec{u}_x \end{aligned}

   En prenant la partie réelle :

   \langle\vec{\Pi}(x, t)\rangle = \frac{k' E_0^2}{2\mu_0 \omega} \mathrm{e}^{-2k'' x} \vec{u}_x

   L'intensité lumineuse I(x) = \|\langle\vec{\Pi}(x, t)\rangle\| s'identifie à la forme I = I_0 \exp\left(-\frac{x}{\delta}\right) avec :

   \boxed{I_0 = \frac{k' E_0^2}{2\mu_0 \omega}} \quad \text{et} \quad \boxed{\delta = \frac{1}{2k''}}

   Résultat

   $$I_0=\frac{k^{\prime }{E}_0^2}{2{\mu }_0\omega }$$

   $$\delta =\frac{1}{2k^{\prime \prime }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 PC 2025, Q32

   1. Négligeabilité du courant ionique

   Dans le modèle du plasma froid sans collisions, chaque espèce chargée i de masse m_i et de charge q_i répond au champ électrique de l'onde selon la relation établie à la question Q31 :

   \underline{\vec{v}}_i = \frac{q_i}{\mathrm{i} m_i \omega} \underline{\vec{E}}

   La densité volumique de courant associée s'écrit donc :

   \underline{\vec{j}}_i = n_i q_i \underline{\vec{v}}_i = -\mathrm{i} \frac{n_i q_i^2}{m_i \omega} \underline{\vec{E}}

   En vertu de la quasi-neutralité locale globale du plasma, les densités volumiques de charges sont du même ordre de grandeur (n_{\text{ion}} |q_{\text{ion}}| \sim n_e e). Les amplitudes des densités de courant sont donc inversement proportionnelles aux masses :

   \frac{\|\underline{\vec{j}}_{\text{ion}}\|}{\|\underline{\vec{j}}_e\|} \sim \frac{m_e}{m_{\text{ion}}}

   Les ions les plus légers sont au moins des protons (m_p \simeq 1836\,m_e) et, dans l'ionosphère (essentiellement \mathrm{O}^+, \mathrm{NO}^+, \mathrm{O}_2^+), m_{\text{ion}} \gtrsim 30\,000\,m_e. Du fait de leur inertie considérablement plus grande, les ions oscillent avec une amplitude négligeable devant celle des électrons. On a donc :

   \|\underline{\vec{j}}_{\text{ion}}\| \ll \|\underline{\vec{j}}_e\| \implies \underline{\vec{j}} \simeq \underline{\vec{j}}_e

   2. Relation de dispersion

   Dans l'ionosphère, les équations de Maxwell s'écrivent :

   \begin{aligned} \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} &= \mu_0 \vec{j}_e + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}

   En appliquant le rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant la relation vectorielle rappelée en fin d'énoncé :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \vec{\Delta}\vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B})

   Pour une onde plane transversale transverse, ou par neutralité volumique moyenne en régime linéaire (\operatorname{div}\vec{E} = 0), il reste :

   -\vec{\Delta}\vec{E} = -\mu_0 \frac{\partial \vec{j}_e}{\partial t} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   En notation complexe, pour \underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp[\mathrm{i}(\omega t + k z)] :

   \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} &\longrightarrow \mathrm{i}\omega \\ \vec{\Delta}\underline{\vec{E}} &= \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial z^2} = (\mathrm{i}k)^2 \underline{\vec{E}} = -k^2 \underline{\vec{E}} \end{aligned}

   D'après la question Q31, \underline{\vec{j}}_e = -\mathrm{i}\dfrac{n_e e^2}{m_e \omega} \underline{\vec{E}}, de sorte que :

   \mu_0 \frac{\partial \underline{\vec{j}}_e}{\partial t} = \mu_0 (\mathrm{i}\omega) \underline{\vec{j}}_e = \frac{\mu_0 n_e e^2}{m_e} \underline{\vec{E}} = \frac{n_e e^2}{\varepsilon_0 m_e c^2} \underline{\vec{E}}

   L'équation de propagation devient :

   k^2 \underline{\vec{E}} = -\frac{n_e e^2}{\varepsilon_0 m_e c^2} \underline{\vec{E}} + \frac{\omega^2}{c^2} \underline{\vec{E}}

   En multipliant par c^2, on obtient la relation de dispersion sous la forme demandée :

   \boxed{k^2 c^2 = \omega^2 - \omega_p^2}

   avec la pulsation de plasma :

   \boxed{\omega_p = \sqrt{\frac{n_e e^2}{\varepsilon_0 m_e}}}

   Résultat

   $$k^2{c}^2={\omega }^2-{\omega }_p^2$$

   $${\omega }_p=\sqrt{\frac{n_e{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 1 PC 2024, Q14

   On étudie un électron de masse m et de charge q = -e dans le référentiel du conducteur supposé galiléen. L'électron est soumis à :

   • la force électrique : \vec{F}_{\mathrm{e}} = -e\vec{E} ;
   • la force de frottement fluide modélisant les collisions : \vec{F}_{\mathrm{d}} = -\dfrac{m}{\tau_{\mathrm{d}}}\vec{v}.

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron s'écrit :

   \begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} &= -e\vec{E} - \frac{m}{\tau_{\mathrm{d}}}\vec{v} \end{aligned}

   soit sous forme canonique :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{\vec{v}}{\tau_{\mathrm{d}}} &= -\frac{e}{m}\vec{E} \end{aligned}

   Le champ électrique \vec{E} étant supposé constant, l'équation admet pour solution générale :

   \begin{aligned} \vec{v}(t) &= \vec{v}_{\mathrm{lim}} + \left(\vec{v}(0) - \vec{v}_{\mathrm{lim}}\right)\mathrm{e}^{-t/\tau_{\mathrm{d}}} \quad \text{avec} \quad \vec{v}_{\mathrm{lim}} = -\frac{e\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E} \end{aligned}

   Au bout d'un temps grand devant le temps caractéristique \tau_{\mathrm{d}} (t \gg \tau_{\mathrm{d}}), le terme exponentiel s'annule : la vitesse de l'électron devient constante, égale à sa vitesse limite de dérive \vec{v}_{\mathrm{lim}}.

   Le vecteur densité de courant volumique associé à l'ensemble des électrons mobiles (de densité volumique n_{\mathrm{e}}) s'écrit :

   \begin{aligned} \vec{\jmath} &= n_{\mathrm{e}} (-e) \vec{v}_{\mathrm{lim}} = n_{\mathrm{e}} (-e) \left(-\frac{e\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}\right) = \frac{n_{\mathrm{e}}e^2\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E} \end{aligned}

   Par identification avec la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \sigma \vec{E}, on en déduit l'expression de la conductivité électrique selon le modèle de Drude :

   \boxed{\sigma = \frac{n_{\mathrm{e}} e^2 \tau_{\mathrm{d}}}{m}}

   Résultat

   $$\sigma =\frac{n_{\mathrm{e}}{e}^2{\tau }_{\mathrm{d}}}{m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 PC 2024, Q30

   On étudie un électron de charge q = -e et de masse m_e dans le référentiel d'étude supposé galiléen (lié aux ions immobiles). En négligeant le champ magnétique ainsi que le poids de l'électron devant la force électrique, la seconde loi de Newton s'écrit :

   m_e \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = -e\vec{E}

   En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, en notation complexe avec la convention adoptée \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, l'opérateur de dérivation temporelle devient \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \equiv \mathrm{i}\omega :

   \mathrm{i}m_e\omega\,\vec{v} = -e\vec{E} \implies \vec{v} = -\frac{e}{\mathrm{i}m_e\omega}\vec{E} = \frac{\mathrm{i}e}{m_e\omega}\vec{E}

   Les ions étant immobiles, seuls les électrons de densité volumique n_0 contribuent au courant électrique. La densité volumique de courant s'écrit :

   \vec{j} = -n_0 e \vec{v}

   En remplaçant l'expression de la vitesse, on obtient :

   \vec{j} = \frac{n_0 e^2}{\mathrm{i}m_e\omega}\vec{E}

   Cette relation est bien de la forme de la loi d'Ohm locale \vec{j} = \underline{\gamma}(\omega)\vec{E}, avec :

   \boxed{\underline{\gamma}(\omega) = \frac{n_0 e^2}{\mathrm{i}m_e\omega} = -\mathrm{i}\frac{n_0 e^2}{m_e\omega}}

   Résultat

   $$\underline{\gamma }(\omega )=\frac{n_0{e}^2}{\mathrm{i}{m}_e\omega }=-\mathrm{i}\frac{n_0{e}^2}{m_e\omega }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 PC 2024, Q31

   L'équation de Maxwell–Ampère locale s'écrit :

   \overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

   D'après la question Q29, le champ magnétique \vec{B} est négligé dans cette partie, ce qui implique \overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{B} = \vec{0}. L'équation de Maxwell–Ampère impose donc l'annulation de la densité de courant totale (courant de conduction et courant de déplacement) :

   \vec{j} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{0}

   En adoptant la notation complexe avec une dépendance temporelle en \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, la dérivée temporelle se traduit par \frac{\partial}{\partial t} \rightarrow \mathrm{i}\omega. En utilisant l'expression de la loi d'Ohm locale obtenue à la question Q30, \vec{j} = \underline{\gamma}(\omega)\vec{E}, il vient :

   \begin{aligned} \left(\underline{\gamma}(\omega) + \mathrm{i}\varepsilon_0\omega\right)\vec{E} &= \vec{0} \\ \left(\frac{n_0 e^2}{\mathrm{i}m_e\omega} + \mathrm{i}\varepsilon_0\omega\right)\vec{E} &= \vec{0} \\ \mathrm{i}\left(\varepsilon_0\omega - \frac{n_0 e^2}{m_e\omega}\right)\vec{E} &= \vec{0} \end{aligned}

   Pour obtenir une oscillation spontanée non triviale du champ électrique et des électrons (\vec{E} \neq \vec{0} et \vec{v} \neq \vec{0}), le terme entre parenthèses doit s'annuler, soit :

   \varepsilon_0\omega^2 - \frac{n_0 e^2}{m_e} = 0

   On en déduit la pulsation propre des oscillations, notée \omega_p et appelée pulsation plasma :

   \boxed{\omega_p = \sqrt{\frac{n_0 e^2}{\varepsilon_0 m_e}}}

   Résultat

   $${\omega }_p=\sqrt{\frac{n_0{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 PC 2024, Q36

   En posant \omega_0 = 0 dans l'équation de dispersion établie à la question Q34, on obtient immédiatement l'équation de dispersion d'un plasma non magnétisé et sans collisions :

   k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}\left(1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}\right)

   soit sous la forme canonique :

   \boxed{\omega^2 = \omega_p^2 + k^2 c^2}

   • Domaine de transparence : Le milieu est transparent si l'onde se propage sans atténuation, ce qui correspond à un vecteur d'onde k réel non nul, soit k^2 > 0. Cela impose :

     \omega^2 > \omega_p^2 \iff \omega > \omega_p

     En termes de fréquence f = \omega / (2\pi), le domaine de transparence est donc :

     \boxed{f > f_p = \frac{\omega_p}{2\pi}}

     Pour f < f_p, k^2 < 0 : le vecteur d'onde est imaginaire pur (k = -\mathrm{i}\alpha), l'onde est évanescente et le milieu est opaque (réflexion totale).

   • Caractère dispersif : Dans le domaine de transparence, la vitesse de phase s'écrit :

     v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{\sqrt{1 - \dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}}}

     La vitesse de phase dépend explicitement de la pulsation \omega (ou de façon équivalente, la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = c \sqrt{1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}} \neq v_\varphi). La propagation est donc dispersive.

   Résultat

   $${\omega }^2={\omega }_p^2+k^2{c}^2$$

   $$f>f_p=\frac{{\omega }_p}{2\pi }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 1 PC 2023, Q14

   Soit un électron du plasma, de masse m_e et de charge q = -e.

   Il est soumis à la force de Lorentz \vec{F}_L = -e(\vec{E} + \vec{V} \wedge \vec{B}). En formulant l'hypothèse que la partie magnétique est négligeable devant la partie électrique (\|\vec{V} \wedge \vec{B}\| \ll \|\vec{E}\|), la force de Lorentz se réduit à la force électrique :

   \vec{F}_L \approx -e\vec{E}

   Les interactions entre particules étant supposées négligeables et le poids négligé d'après l'énoncé, le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron dans le référentiel terrestre (supposé galiléen) s'écrit :

   m_e \frac{\mathrm{d}\vec{V}}{\mathrm{d}t} = -e\vec{E}

   En notation complexe associée à la dépendance temporelle en \exp(\mathrm{i}\omega t), la dérivation temporelle équivaut au produit par \mathrm{i}\omega :

   \mathrm{i}\omega m_e \underline{\vec{V}} = -e\underline{\vec{E}} \implies \underline{\vec{V}} = -\frac{e}{\mathrm{i}\omega m_e}\underline{\vec{E}} = \frac{\mathrm{i}e}{\omega m_e}\underline{\vec{E}}

   Les cations étant immobiles, seuls les électrons de densité volumique n participent au transport de charge. Le vecteur densité de courant volumique s'écrit donc :

   \underline{\vec{j}} = -n e \underline{\vec{V}} = \frac{n e^2}{\mathrm{i}\omega m_e}\underline{\vec{E}} = -\mathrm{i}\frac{n e^2}{m_e \omega}\underline{\vec{E}}

   Par définition de la conductivité complexe dans la loi d'Ohm locale \underline{\vec{j}} = \underline{\sigma}\underline{\vec{E}}, on identifie :

   \underline{\sigma} = -\mathrm{i}\frac{n e^2}{m_e \omega}

   Sous la forme demandée :

   \underline{\sigma} = -\mathrm{i}\varepsilon_0 \frac{\omega_p^2}{\omega}

   on obtient, par identification de \varepsilon_0 \omega_p^2 = \frac{n e^2}{m_e} :

   \boxed{\omega_p = \sqrt{\frac{n e^2}{\varepsilon_0 m_e}}}

   Résultat

   $${\omega }_p=\sqrt{\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique 1 PC 2023, Q15

    Le plasma est supposé localement neutre, de sorte que la densité volumique de charge macroscopique est nulle : \rho_{\text{vol}} = 0. Les équations de Maxwell s'écrivent donc :

    \begin{aligned} \mathrm{div}\,\underline{\vec{E}} &= 0 \\ \vec{\mathrm{rot}}\,\underline{\vec{E}} &= -\frac{\partial \underline{\vec{B}}}{\partial t} \\ \vec{\mathrm{rot}}\,\underline{\vec{B}} &= \mu_0 \underline{\vec{j}} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \underline{\vec{E}}}{\partial t} \end{aligned}

    En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant l'identité vectorielle fournie par le formulaire :

    \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\underline{\vec{E}}) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\underline{\vec{E}}) - \Delta \underline{\vec{E}} = -\Delta \underline{\vec{E}}

    Par permutation des opérateurs spatiaux et temporels :

    \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\underline{\vec{E}}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\mathrm{rot}}\,\underline{\vec{B}}) = -\mu_0 \frac{\partial \underline{\vec{j}}}{\partial t} - \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2}

    D'après la question Q14, en régime sinusoïdal de pulsation \omega, \underline{\vec{j}} = \underline{\sigma}\,\underline{\vec{E}} = -\mathrm{i}\varepsilon_0 \frac{\omega_p^2}{\omega}\underline{\vec{E}}. La dérivée temporelle de la densité de courant s'exprime alors simplement :

    \frac{\partial \underline{\vec{j}}}{\partial t} = \mathrm{i}\omega \underline{\vec{j}} = \mathrm{i}\omega \left(-\mathrm{i}\varepsilon_0 \frac{\omega_p^2}{\omega}\underline{\vec{E}}\right) = \varepsilon_0 \omega_p^2 \underline{\vec{E}}

    En introduisant la célérité de la lumière dans le vide c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}, il vient :

    \mu_0 \frac{\partial \underline{\vec{j}}}{\partial t} = \mu_0\varepsilon_0 \omega_p^2 \underline{\vec{E}} = \frac{\omega_p^2}{c^2}\underline{\vec{E}}

    On en déduit l'équation vectorielle de propagation :

    \Delta \underline{\vec{E}} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} - \frac{\omega_p^2}{c^2}\underline{\vec{E}} = \vec{0}

    Le champ électrique étant polarisé selon \vec{e}_x et ne dépendant que de la coordonnée spatiale z, le laplacien vectoriel se réduit à :

    \Delta \underline{\vec{E}} = \frac{\partial^2 \underline{E}_x}{\partial z^2}\,\vec{e}_x

    On obtient ainsi l'équation aux dérivées partielles régissant \underline{E}_x(z, t) :

    \boxed{\frac{\partial^2 \underline{E}_x}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \underline{E}_x}{\partial t^2} - \frac{\omega_p^2}{c^2}\underline{E}_x = 0}

    Résultat

    $$\frac{{\partial }^2{\underline{E}}_x}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2{\underline{E}}_x}{\partial t^2}-\frac{{\omega }_p^2}{c^2}{\underline{E}}_x=0$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question