Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2023

Le nombre de Reynolds associé à l'écoulement de l'air autour de l'obstacle s'écrit :

où \rho est la masse volumique du fluide, v la vitesse de l'écoulement non perturbé, L une longueur caractéristique de l'obstacle, \eta la viscosité dynamique et \nu = \eta / \rho la viscosité cinématique.

Le nombre de Reynolds caractérise le rapport entre les forces d'inertie (terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}) et les forces de viscosité (\nu \Delta \vec{v}) au sein de l'écoulement. Il permet de déterminer le régime de l'écoulement (laminaire ou turbulent).

Pour un cycliste, une dimension caractéristique globale (hauteur du buste ou largeur frontale) est de l'ordre de L \sim 1\text{ m}.
La vitesse de déplacement vaut :

Avec les données de l'énoncé (\rho = 1{,}225\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \eta = 1{,}8\times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s}) :

La valeur obtenue vérifie la condition :

Le modèle de force de traînée quadratique en vitesse proposé est donc parfaitement adapté.

On étudie le système constitué du \{cycliste + vélo\}, assimilé à un point matériel M de masse m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

D'après la figure 3, l'axe (Ox) est dirigé vers le bas le long de la pente, et l'axe (Oy) est orthogonal à la route dirigé vers le haut. Le vecteur vitesse s'écrit \vec{v} = v\,\vec{e}_x avec v \ge 0. Les forces appliquées au système sont :

• le poids :

  \vec{P} = m g \sin\alpha\,\vec{e}_x - m g \cos\alpha\,\vec{e}_y

• la réaction normale de la route :

  \vec{N} = N\,\vec{e}_y

• la force de résistance au roulement :

  \vec{F}_r = -\mu_r N\,\vec{e}_x

• la force de traînée aérodynamique :

  \vec{F}_T = -\frac{1}{2}\rho S C_x v^2\,\vec{e}_x

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué au système :

Le mouvement s'effectuant uniquement le long de la route (y = 0), la projection selon \vec{e}_y donne :

La projection selon \vec{e}_x s'écrit alors :

En divisant par la masse m, on obtient :

Cette équation différentielle est bien de la forme (I.1) :

avec les expressions littérales :

Applications numériques : Avec \rho = 1{,}225\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, S C_x = 0{,}30\text{ m}^2, m = 80\text{ kg}, g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, \alpha = 0{,}10\text{ rad} et \mu_r = 6{,}4 \times 10^{-3} :

On retient avec deux chiffres significatifs :

Lorsque le régime permanent est atteint, la vitesse tend vers une valeur constante notée v_{\lim}, de sorte que :

L'équation différentielle (I.1) établie à la question Q2, \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + a v^2 = b, conduit alors à :

En rappelant les expressions de a et b établies à la question Q2 :

on obtient :

Par identification avec la forme proposée v_{\lim} = \sqrt{\dfrac{K}{S C_x}}, il vient :

D'après la question Q3, la vitesse limite s'écrit :

En utilisant les valeurs numériques des paramètres de l'énoncé :

• m = 80\text{ kg},
• g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2},
• \alpha = 0{,}10\text{ rad},
• \mu_r = 6{,}4 \times 10^{-3},
• \rho = 1{,}225\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• S C_x = 0{,}30\text{ m}^2,

on obtient :

D'où l'application numérique :

Soit, en kilomètres par heure :

Commentaires :

• Une vitesse d'environ 72\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} est tout à fait réaliste pour un cycliste en position de recherche de vitesse descendant une pente raide de 10\,\% sans pédaler.
• À cette vitesse, le nombre de Reynolds vaut environ 1{,}5 \times 10^6, ce qui confirme que l'écoulement se situe bien dans le régime où la traînée aérodynamique est quadratique en vitesse (validant l'hypothèse de la question Q1).
• Cette valeur asymptotique coïncide parfaitement avec le palier atteint à 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} sur les courbes 1 et 2 de la figure 5.

Le programme de la figure 4 utilise la méthode d'Euler explicite pour résoudre numériquement une équation différentielle du premier ordre de la forme \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g(v).

Le rôle et le principe des différentes parties du code sont les suivants :

• Lignes 8 et 9 : la fonction g(u) implémente la dérivée temporelle \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} issue de l'équation différentielle (I.1) :

  \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = b - a v^2 = 0{,}92 - 2{,}3\times 10^{-3} v^2

  les coefficients correspondant exactement aux valeurs de a et b établies à la question Q2.

• Lignes 3 à 7 : la fonction r(f, v, t) réalise l'intégration numérique par la méthode d'Euler :

  • Ligne 4 : initialisation de la liste des vitesses avec la condition initiale v(t_0) = v (V = [v]).

  • Lignes 5 et 6 : boucle temporelle itérative discrétisant la dérivée sous la forme \dfrac{v_{i+1} - v_i}{t_{i+1} - t_i} \approx f(v_i), ce qui donne la relation de récurrence du schéma d'Euler explicite :

    v_{i+1} = v_i + (t_{i+1} - t_i)\, f(v_i)
  • Ligne 7 : renvoi de la liste des vitesses approchées aux différents instants.
• Lignes 10 à 13 : discrétisation du domaine temporel [0\text{ s}, 120\text{ s}] en 1000 points avec np.linspace, calcul de la trajectoire pour une vitesse initiale nulle v(0)=0 (y = r(g, 0, x)), puis tracé de la courbe v(t).

Dans l'instruction x = np.linspace(t_min, t_max, N), le vecteur x représente le maillage temporel de l'intégration numérique :

• 0 correspond à l'instant initial t_0 = 0\text{ s}, instant où le cycliste part sans vitesse initiale ;
• la deuxième valeur correspond à l'instant final t_f (en secondes) de la simulation (respectivement 120\text{ s}, 12\text{ s} ou 300\text{ s}) ;

• la troisième valeur N est le nombre de points d'échantillonnage temporel, qui définit le pas d'intégration du schéma d'Euler :

  \Delta t = \frac{t_f - t_0}{N - 1}.

Le temps caractéristique associé à la phase de démarrage peut être estimé par :

Commentaire de l'allure des quatre courbes de la figure 5 :

• Courbe 1 (x = np.linspace(0, 120, 1000)) : on a t_f = 120\text{ s} > 3\tau et un pas de temps très petit \Delta t \approx 0{,}12\text{ s} \ll \tau. La condition de stabilité et de précision d'Euler explicite est vérifiée : la courbe est lisse et décrit fidèlement le régime transitoire puis l'établissement du régime permanent vers v_{\lim} = 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.
• Courbe 2 (x = np.linspace(0, 120, 10)) : la durée t_f = 120\text{ s} est suffisante, mais avec seulement N = 10 points, le pas de temps est grand (\Delta t \approx 13{,}3\text{ s}). La courbe est formée de segments grossiers : le manque d'échantillonnage dégrade fortement la précision.
• Courbe 3 (x = np.linspace(0, 12, 1000)) : le pas est très fin (\Delta t \approx 0{,}012\text{ s}), assurant une excellente précision locale, mais la durée totale simulée t_f = 12\text{ s} est inférieure au temps caractéristique \tau. On n'observe que le début du mouvement (accélération presque constante v(t) \approx b t), sans atteindre le régime permanent.
• Courbe 4 (x = np.linspace(0, 300, 10)) : le pas de temps est excessif (\Delta t \approx 33{,}3\text{ s} > \tau). La méthode d'Euler explicite devient instable : la solution subit une divergence numérique oscillante avec des valeurs aberrantes (vitesses négatives).

La distance parcourue par le cycliste entre l'instant initial t=0 et l'instant t_{RP} où le régime permanent est établi s'écrit :

Cette grandeur correspond géométriquement à l'aire sous la courbe v(t) entre t=0 et t=t_{RP}.

On utilise la Courbe 1 de la figure 5, qui correspond à la discrétisation temporelle la plus fine (\Delta t = 0{,}12\text{ s}, avec 1000 points sur [0, 120\text{ s}]).

1. Estimation du temps d'établissement t_{RP} : La vitesse limite vaut v_{\lim} \approx 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. On constate graphiquement que :

• à t = 20\text{ s}, la vitesse vaut environ 15{,}5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• à t = 40\text{ s}, la vitesse atteint environ 19\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (soit 95\,\% de v_{\lim}) ;
• pour t \gtrsim 50\text{ s}, la courbe se confond visuellement avec son asymptote horizontale à 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

On peut ainsi estimer le temps d'atteinte du régime permanent à t_{RP} \approx 50\text{ s} (ou dans la plage 40\text{ à }60\text{ s}).

2. Estimation de l'aire sous la courbe : Sur la figure 5 (Courbe 1), chaque carreau élémentaire de dimensions \Delta t = 20\text{ s} et \Delta v = 5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} représente une distance de :

On décompose l'intervalle [0, 50\text{ s}] en trois zones :

• Sur [0, 20\text{ s}] : la vitesse croît de 0 à 15{,}5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. L'aire sous la courbe concave correspond à environ 2 carreaux, soit :

  d_1 \approx 200\text{ m}

• Sur [20\text{ s}, 40\text{ s}] : la vitesse moyenne est d'environ 17{,}5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ce qui donne :

  d_2 \approx 17{,}5 \times 20 \approx 350\text{ m}

• Sur [40\text{ s}, 50\text{ s}] : la vitesse est quasi-constante, très proche de 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, soit :

  d_3 \approx 20 \times 10 \approx 200\text{ m}

En sommant ces contributions, on obtient :

Un encadrement simple confirme cet ordre de grandeur : la courbe étant concave, l'aire est comprise entre celle du triangle de base t_{RP} et de hauteur v_{\lim} (\frac{1}{2} \times 50 \times 20 = 500\text{ m}) et celle du rectangle circonscrit (50 \times 20 = 1000\text{ m}).

À partir des données temporelles x (contenant les instants t_i) et du profil de vitesse y (contenant les vitesses v_i), on définit le régime permanent comme l'instant où la vitesse atteint une fraction fixée (par exemple 95\,\%) de sa valeur asymptotique v_{\lim} \approx y[-1].

La distance parcourue est ensuite obtenue par intégration numérique discrète selon la méthode des trapèzes :

La fonction Python correspondante s'écrit :

def distance_RP(x, y, seuil=0.95):
    """
    Calcule la distance parcourue L_RP avant d'atteindre le regime permanent.
    x : tableau des instants t (s)
    y : tableau ou liste des vitesses v (m/s)
    seuil : fraction de la vitesse limite definissant le regime permanent (ex. 0.95)
    """
    v_lim = y[-1]
    v_seuil = seuil * v_lim

    L_RP = 0.0
    for i in range(len(x) - 1):
        if y[i] >= v_seuil:
            break
        dt = x[i+1] - x[i]
        # Methode des trapezes
        L_RP += 0.5 * (y[i] + y[i+1]) * dt

    return L_RP

Pour obtenir la valeur numérique à l'aide des données de la courbe 1, il suffit d'exécuter :

# x et y etant issus du programme de la figure 4 (courbe 1) :
# x = np.linspace(0, 120, 1000)
# y = r(g, 0, x)
L = distance_RP(x, y, 0.95)

Le cycliste parcourt la distance L' = 5{,}00\text{ km} = 5000\text{ m} à vitesse constante (régime permanent établi). Pour chacun des N = 10 essais avec le casque classique, la vitesse s'exprime par v_{c,i} = \frac{L'}{t_{c,i}} :

La valeur moyenne de la vitesse est :

L'écart-type expérimental (incertitude-type sur une mesure individuelle) vaut :

L'incertitude-type de type A sur la moyenne est alors :

L'écart entre les vitesses moyennes mesurées vaut :

L'incertitude-type associée à cette différence de moyennes indépendantes s'écrit :

L'écart mesuré représente ainsi plus de 13 fois l'incertitude-type associée :

Par ailleurs, l'observation des histogrammes de la figure 7 montre que même pour des mesures individuelles, les deux distributions sont très nettement disjointes, le recouvrement n'intervenant que de manière très marginale (autour de 18{,}8\text{ à }18{,}9\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, dans les ailes des distributions).

D'après l'équation (I.2) établie à la question Q3, la vitesse limite en régime permanent vérifie :

Pour évaluer l'incertitude sur SC_x par la méthode de Monte-Carlo, on tire un échantillon de N vitesses distribuées selon une loi normale d'espérance vitesseMoyenne et d'écart-type incertitudeType. Pour chaque vitesse tirée, on calcule la valeur de SC_x correspondante, puis on en déduit l'estimation (moyenne empirique) et son incertitude-type (écart-type empirique).

Voici le code proposé :

import numpy as np
import numpy.random as rd

def MonteCarlo2(vitesseMoyenne, incertitudeType, N, K):
    generateur = rd.default_rng()
    # Tirage de N vitesses selon une loi normale
    v = generateur.normal(vitesseMoyenne, incertitudeType, N)
    # Calcul vectoriel de SCx pour chaque vitesse simulee
    scx = K / (v**2)
    # Evaluation de SCx et de l'incertitude-type associee
    scx_moyen = np.mean(scx)
    u_scx = np.std(scx, ddof=1)
    return scx_moyen, u_scx

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le système \{\text{cycliste} + \text{vélo}\}, assimilé au point matériel M, a pour vecteur vitesse \vec{v} = v\,\vec{e}_x le long de la pente descendante inclinée de l'angle \alpha par rapport à l'horizontale.

D'après le bilan des actions extérieures établi à la question Q2 :

1. Puissance du poids \vec{P} : Le poids s'écrit \vec{P} = m g \sin\alpha\,\vec{e}_x - m g \cos\alpha\,\vec{e}_y. Sa puissance développée est :

   \boxed{\mathcal{P}(\vec{P}) = \vec{P} \cdot \vec{v} = m g v \sin\alpha}

   Cette puissance est motrice (\mathcal{P}(\vec{P}) > 0).

2. Puissance de la réaction normale de la route \vec{N} : La réaction normale est orthogonale au déplacement, \vec{N} = N\,\vec{e}_y = m g \cos\alpha\,\vec{e}_y, d'où :

   \boxed{\mathcal{P}(\vec{N}) = \vec{N} \cdot \vec{v} = 0}

3. Puissance de la résistance au roulement \vec{F}_r : Avec \vec{F}_r = -\mu_r N\,\vec{e}_x = -\mu_r m g \cos\alpha\,\vec{e}_x, il vient :

   \boxed{\mathcal{P}(\vec{F}_r) = \vec{F}_r \cdot \vec{v} = -\mu_r m g v \cos\alpha}

   Cette puissance est résistante (\mathcal{P}(\vec{F}_r) < 0).

4. Puissance de la force de traînée aérodynamique \vec{F}_T : Avec \vec{F}_T = -\frac{1}{2}\rho S C_x v\,\vec{v} = -\frac{1}{2}\rho S C_x v^2\,\vec{e}_x, on obtient :

   \boxed{\mathcal{P}(\vec{F}_T) = \vec{F}_T \cdot \vec{v} = -\frac{1}{2}\rho S C_x v^3}

   Cette puissance est résistante (\mathcal{P}(\vec{F}_T) < 0).

À une vitesse donnée v, les forces de pesanteur et de résistance au roulement sont identiques pour les deux configurations. Le gain en puissance \Delta \mathcal{P} apporté par le casque profilé correspond donc à la réduction de puissance requise pour vaincre la traînée aérodynamique :

Convertissons la vitesse en unités SI :

D'après le tableau 2 :

L'application numérique donne :

Les séries de mesures avec le casque classique et le casque profilé étant indépendantes, les variances s'ajoutent :

La vitesse v et la masse volumique de l'air \rho étant des grandeurs données supposées sans incertitude, l'incertitude-type sur le gain de puissance s'écrit :