Feuille d'entraînement : Cinématique et dynamique du point

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Modelisation PC 2026, Q8

   Par définition de la distance internucléaire, x(t) = x_B(t) - x_A(t). En dérivant deux fois par rapport au temps, on obtient :

   \ddot{x} = \ddot{x}_B - \ddot{x}_A

   D'après les relations (1) et (2) établies aux questions Q6 et Q7 :

   \ddot{x}_A = \frac{k}{m_A}(x - x_e) \quad \text{et} \quad \ddot{x}_B = -\frac{k}{m_B}(x - x_e)

   En injectant ces deux expressions dans celle de \ddot{x} :

   \begin{aligned} \ddot{x} &= -\frac{k}{m_B}(x - x_e) - \frac{k}{m_A}(x - x_e) \\ \ddot{x} &= -k\left(\frac{1}{m_A} + \frac{1}{m_B}\right)(x - x_e) \end{aligned}

   En introduisant la masse réduite \mu définie par :

   \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_A} + \frac{1}{m_B} \iff \mu = \frac{m_A m_B}{m_A + m_B}

   l'équation s'écrit :

   \ddot{x} = -\frac{k}{\mu}(x - x_e)

   soit, en multipliant par \mu et en regroupant les termes :

   \boxed{\mu \ddot{x} + kx = kx_e}

   avec :

   \boxed{\mu = \frac{m_A m_B}{m_A + m_B}}

   Résultat

   $$\mu \ddot{x}+kx=k{x}_e$$

   $$\mu =\frac{m_A{m}_B}{m_A+m_B}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q16

   On étudie la masse ponctuelle \mu dans le référentiel d'étude galiléen lié au support fixe du ressort.

   En prenant l'origine de l'axe (Ox) au point d'attache fixe du ressort et le vecteur unitaire \vec{e}_x orienté selon l'axe du ressort vers la masse, la position de la masse est repérée par :

   \vec{OM}(t) = \ell(t)\,\vec{e}_x

   Son vecteur accélération s'écrit alors :

   \vec{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^2\ell}{\mathrm{d}t^2}\,\vec{e}_x

   D'après l'énoncé, la masse n'est soumise qu'à la force de rappel élastique exercée par le ressort :

   \vec{F} = -k(\ell(t) - \ell_0)\,\vec{e}_x

   La deuxième loi de Newton appliquée à la masse \mu s'écrit :

   \mu \frac{\mathrm{d}^2\ell}{\mathrm{d}t^2}\,\vec{e}_x = -k(\ell(t) - \ell_0)\,\vec{e}_x

   Par projection selon \vec{e}_x, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}^2\ell}{\mathrm{d}t^2} + \frac{k}{\mu}(\ell(t) - \ell_0) = 0

   En introduisant la pulsation propre :

   \boxed{\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{\mu}}}

   l'équation différentielle vérifiée par la longueur \ell(t) s'écrit :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2\ell}{\mathrm{d}t^2} + \omega_0^2(\ell(t) - \ell_0) = 0}

   Résultat

   $${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{\mu }}$$

   $$\frac{{\mathrm{d}}^2\ell }{\mathrm{d}{t}^2}+{\omega }_0^2(\ell (t)-{\ell }_0)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q17

   On étudie le mouvement des atomes \mathrm{A} (masse m_{\mathrm{A}}, position x_{\mathrm{A}}) et \mathrm{B} (masse m_{\mathrm{B}}, position x_{\mathrm{B}}) dans le référentiel d'étude supposé galiléen. La longueur instantanée du ressort reliant les deux atomes est \ell(t) = x_{\mathrm{B}}(t) - x_{\mathrm{A}}(t).

   Chaque atome n'est soumis qu'à la force de rappel élastique exercée par le ressort selon l'axe horizontal (\mathrm{O}, \vec{e}_x) :

   • sur l'atome \mathrm{B} situé en x_{\mathrm{B}} :

     \vec{F}_{\mathrm{ressort}\to \mathrm{B}} = -k\bigl(\ell(t) - \ell_0\bigr)\,\vec{e}_x

   • sur l'atome \mathrm{A} situé en x_{\mathrm{A}} (en vertu du principe des actions réciproques) :

     \vec{F}_{\mathrm{ressort}\to \mathrm{A}} = +k\bigl(\ell(t) - \ell_0\bigr)\,\vec{e}_x

   L'application de la seconde loi de Newton à chaque particule donne en projection sur \vec{e}_x :

   \begin{aligned} m_{\mathrm{A}}\,\frac{\mathrm{d}^2 x_{\mathrm{A}}}{\mathrm{d}t^2} &= k\bigl(\ell(t) - \ell_0\bigr) \implies \frac{\mathrm{d}^2 x_{\mathrm{A}}}{\mathrm{d}t^2} = \frac{k}{m_{\mathrm{A}}}\bigl(\ell(t) - \ell_0\bigr) \\ m_{\mathrm{B}}\,\frac{\mathrm{d}^2 x_{\mathrm{B}}}{\mathrm{d}t^2} &= -k\bigl(\ell(t) - \ell_0\bigr) \implies \frac{\mathrm{d}^2 x_{\mathrm{B}}}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{k}{m_{\mathrm{B}}}\bigl(\ell(t) - \ell_0\bigr) \end{aligned}

   En dérivant deux fois par rapport au temps la relation \ell(t) = x_{\mathrm{B}}(t) - x_{\mathrm{A}}(t) :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2 \ell}{\mathrm{d}t^2} &= \frac{\mathrm{d}^2 x_{\mathrm{B}}}{\mathrm{d}t^2} - \frac{\mathrm{d}^2 x_{\mathrm{A}}}{\mathrm{d}t^2} \\ &= -\left(\frac{k}{m_{\mathrm{B}}} + \frac{k}{m_{\mathrm{A}}}\right)\bigl(\ell(t) - \ell_0\bigr) \\ &= -k\left(\frac{1}{m_{\mathrm{A}}} + \frac{1}{m_{\mathrm{B}}}\right)\bigl(\ell(t) - \ell_0\bigr) \end{aligned}

   En posant la masse réduite \mu définie par :

   \boxed{\mu = \frac{m_{\mathrm{A}}m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}} + m_{\mathrm{B}}}}

   soit \dfrac{1}{\mu} = \dfrac{1}{m_{\mathrm{A}}} + \dfrac{1}{m_{\mathrm{B}}}, l'équation s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}^2 \ell}{\mathrm{d}t^2} + \frac{k}{\mu}\bigl(\ell(t) - \ell_0\bigr) = 0

   Avec la même pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{\mu}} qu'à la question Q16, on retrouve bien l'équation différentielle :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2\ell}{\mathrm{d}t^2} + \omega_0^2\bigl(\ell(t) - \ell_0\bigr) = 0}

   Résultat

   $$\mu =\frac{m_{\mathrm{A}}{m}_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}$$

   $$\frac{{\mathrm{d}}^2\ell }{\mathrm{d}{t}^2}+{\omega }_0^2(\ell (t)-{\ell }_0)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 PC 2026, Q1

   L'électron, assimilé à une charge ponctuelle -e, est situé à l'origine O du repère cartésien muni de la base orthonormée directe (\widehat{e}_{x}, \widehat{e}_{y}, \widehat{e}_{z}).

   Le point M est repéré par ses coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) définies par :

   • le rayon vecteur : r = OM = \|\overrightarrow{OM}\| > 0 ;
   • la colatitude (ou angle zénithal) : \theta = (\widehat{e}_{z}, \overrightarrow{OM}) \in [0, \pi/2] ;
   • la longitude (ou azimut) : \varphi = (\widehat{e}_{x}, \overrightarrow{OH}) \in [0, \pi/2[, où H désigne le projeté orthogonal de M dans le plan (xOy).

   La base sphérique locale (\widehat{e}_{r}, \widehat{e}_{\theta}, \widehat{e}_{\varphi}) associée au point M est orthonormée directe :

   • \widehat{e}_{r} = \dfrac{\overrightarrow{OM}}{r} est dirigé selon le rayon vecteur, dans le sens des r croissants ;
   • \widehat{e}_{\theta} = \dfrac{\partial \widehat{e}_{r}}{\partial \theta} est orthogonal à \widehat{e}_{r}, contenu dans le demi-plan méridien défini par (Oz, M), et orienté dans le sens des \theta croissants ;
   • \widehat{e}_{\varphi} = \dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial \widehat{e}_{r}}{\partial \varphi} = \widehat{e}_{r} \wedge \widehat{e}_{\theta} est orthogonal au plan méridien, contenu dans un plan parallèle à (xOy) et orienté dans le sens des \varphi croissants.

   Les relations de passage liant la base sphérique (\widehat{e}_{r}, \widehat{e}_{\theta}, \widehat{e}_{\varphi}) à la base cartésienne (\widehat{e}_{x}, \widehat{e}_{y}, \widehat{e}_{z}) s'écrivent :

   \left\{ \begin{aligned} \widehat{e}_{r} &= \sin\theta\cos\varphi\,\widehat{e}_{x} + \sin\theta\sin\varphi\,\widehat{e}_{y} + \cos\theta\,\widehat{e}_{z} \\ \widehat{e}_{\theta} &= \cos\theta\cos\varphi\,\widehat{e}_{x} + \cos\theta\sin\varphi\,\widehat{e}_{y} - \sin\theta\,\widehat{e}_{z} \\ \widehat{e}_{\varphi} &= -\sin\varphi\,\widehat{e}_{x} + \cos\varphi\,\widehat{e}_{y} \end{aligned} \right.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5X-ENS Physique B PC 2026, Q1

   On étudie la n-ième masse de la chaîne, assimilée à un point matériel de masse m, dans un référentiel galiléen muni de l'axe (Ox) orienté vers la droite. Sa position à l'instant t est repérée par :

   x_n(t) = n a + u_n(t)

   La masse n est soumise à l'action des deux ressorts adjacents de raideur \beta et de longueur à vide supposée égale à la distance d'équilibre a :

   • la force exercée par le ressort situé à sa gauche (reliant la masse n-1 à la masse n) :

     \vec{F}_{\text{gauche}\to n} = -\beta \left[(x_n - x_{n-1}) - a\right] \vec{e}_x = -\beta(u_n - u_{n-1}) \vec{e}_x

   • la force exercée par le ressort situé à sa droite (reliant la masse n à la masse n+1) :

     \vec{F}_{\text{droite}\to n} = \beta \left[(x_{n+1} - x_n) - a\right] \vec{e}_x = \beta(u_{n+1} - u_n) \vec{e}_x

   D'après la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe (Ox), le déplacement u_n(t) vérifie :

   m \frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2} = \beta(u_{n+1} - u_n) - \beta(u_n - u_{n-1})

   soit finalement :

   \boxed{m \frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2} = \beta (u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n)}

   Résultat

   $$m\frac{{\mathrm{d}}^2{u}_n}{\mathrm{d}{t}^2}=\beta (u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique B PC 2025, Q17

   D'après l'équation du mouvement établie à la question 14, en négligeant la force d'attraction coulombienne exercée par le noyau, le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron selon l'axe Ox s'écrit :

   m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = e E_0 \sin(\omega t)

   soit pour l'accélération :

   \ddot{x}(t) = \frac{e E_0}{m} \sin(\omega t)

   Une première intégration par rapport au temps donne la vitesse :

   \dot{x}(t) = -\frac{e E_0}{m\omega} \cos(\omega t) + v_0

   où v_0 est une constante d'intégration homogène à une vitesse.

   Une seconde intégration par rapport au temps fournit la position générale :

   x(t) = -\frac{e E_0}{m\omega^2} \sin(\omega t) + v_0 t + x_0

   où x_0 est une seconde constante d'intégration homogène à une position.

   La solution générale de l'équation du mouvement est donc :

   \boxed{x(t) = -\frac{e E_0}{m\omega^2} \sin(\omega t) + C_1 t + C_2 \quad (C_1, C_2 \in \mathbb{R})}

   Résultat

   $$x(t)=-\frac{e{E}_0}{m{\omega }^2}\sin (\omega t)+C_{1}t+C_2(C_1,C_2\in \mathbb{R})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique C PC 2024, Q1.a

   On étudie un atome de masse m dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. L'atome est repéré par son vecteur position :

   \vec{r}(t) = x(t)\,\vec{u}_x + y(t)\,\vec{u}_y + z(t)\,\vec{u}_z

   de sorte que r^2 = x^2 + y^2 + z^2. L'énergie potentielle s'écrit :

   U(x, y, z) = U_0 + \frac{1}{2}k\left(x^2 + y^2 + z^2\right)

   La force \vec{F} étant conservative et la gravité étant négligée, elle dérive du potentiel U :

   \vec{F} = -\vec{\operatorname{grad}} U = -\left( \frac{\partial U}{\partial x}\vec{u}_x + \frac{\partial U}{\partial y}\vec{u}_y + \frac{\partial U}{\partial z}\vec{u}_z \right) = -k\left(x\,\vec{u}_x + y\,\vec{u}_y + z\,\vec{u}_z\right) = -k\vec{r}

   D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'atome :

   m\,\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} = \vec{F} = -k\vec{r}

   En projetant cette relation vectorielle sur chacun des trois axes orthonormés et fixes (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) et en introduisant la pulsation \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, on obtient trois équations différentielles découplées :

   \boxed{\ddot{x} + \omega^2 x = 0 \quad ; \quad \ddot{y} + \omega^2 y = 0 \quad ; \quad \ddot{z} + \omega^2 z = 0}

   Chacune des composantes x(t), y(t) et z(t) vérifie donc l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation \omega.

   Résultat

   $$\ddot{x}+{\omega }^{2}x=0;\ddot{y}+{\omega }^{2}y=0;\ddot{z}+{\omega }^{2}z=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique C PC 2024, Q15

   Par définition, la force \vec{F}_{j \to i} exercée par la particule j sur la particule i vérifie les trois propriétés imposées par l'énoncé :

   • sa droite d'action est la droite joignant la particule j à la particule i ;
   • le caractère répulsif signifie que la particule i est repoussée par la particule j : le vecteur force \vec{F}_{j \to i} est donc dirigé de j vers i, c'est-à-dire dans le sens du vecteur \vec{r}_i - \vec{r}_j ;
   • sa norme vaut \|\vec{F}_{j \to i}\| = \dfrac{\alpha}{r_{ij}^3}.

   Le vecteur unitaire orienté de j vers i s'écrit :

   \vec{u}_{j \to i} = \frac{\vec{r}_i - \vec{r}_j}{\|\vec{r}_i - \vec{r}_j\|} = \frac{\vec{r}_i - \vec{r}_j}{r_{ij}}

   On en déduit l'expression vectorielle de la force d'interaction :

   \vec{F}_{j \to i} = \|\vec{F}_{j \to i}\| \, \vec{u}_{j \to i} = \frac{\alpha}{r_{ij}^3} \, \frac{\vec{r}_i - \vec{r}_j}{r_{ij}}

   Soit finalement :

   \boxed{\vec{F}_{j \to i} = \alpha \frac{\vec{r}_i - \vec{r}_j}{r_{ij}^4}}

   Résultat

   $${\vec{F}}_{j\to i}=\alpha \frac{{\vec{r}}_i-{\vec{r}}_j}{r_{ij}^4}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 1 PC 2023, Q2

   On étudie le système constitué du \{cycliste + vélo\}, assimilé à un point matériel M de masse m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

   D'après la figure 3, l'axe (Ox) est dirigé vers le bas le long de la pente, et l'axe (Oy) est orthogonal à la route dirigé vers le haut. Le vecteur vitesse s'écrit \vec{v} = v\,\vec{e}_x avec v \ge 0. Les forces appliquées au système sont :

   • le poids :

     \vec{P} = m g \sin\alpha\,\vec{e}_x - m g \cos\alpha\,\vec{e}_y

   • la réaction normale de la route :

     \vec{N} = N\,\vec{e}_y

   • la force de résistance au roulement :

     \vec{F}_r = -\mu_r N\,\vec{e}_x

   • la force de traînée aérodynamique :

     \vec{F}_T = -\frac{1}{2}\rho S C_x v^2\,\vec{e}_x

   D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué au système :

   m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{P} + \vec{N} + \vec{F}_r + \vec{F}_T

   Le mouvement s'effectuant uniquement le long de la route (y = 0), la projection selon \vec{e}_y donne :

   0 = N - m g \cos\alpha \implies N = m g \cos\alpha

   La projection selon \vec{e}_x s'écrit alors :

   m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = m g \sin\alpha - \mu_r m g \cos\alpha - \frac{1}{2}\rho S C_x v^2

   En divisant par la masse m, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + \frac{\rho S C_x}{2m} v^2 = g(\sin\alpha - \mu_r \cos\alpha)

   Cette équation différentielle est bien de la forme (I.1) :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} + a v^2(t) = b}

   avec les expressions littérales :

   \boxed{a = \frac{\rho S C_x}{2m}} \quad \text{et} \quad \boxed{b = g(\sin\alpha - \mu_r \cos\alpha)}

   Applications numériques : Avec \rho = 1{,}225\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, S C_x = 0{,}30\text{ m}^2, m = 80\text{ kg}, g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, \alpha = 0{,}10\text{ rad} et \mu_r = 6{,}4 \times 10^{-3} :

   \begin{aligned} a &= \frac{1{,}225 \times 0{,}30}{2 \times 80} \approx 2{,}30 \times 10^{-3}\text{ m}^{-1} \\ b &= 9{,}8 \times (\sin(0{,}10) - 6{,}4 \times 10^{-3} \cos(0{,}10)) \\ &= 9{,}8 \times (0{,}09983 - 0{,}00637) \approx 0{,}916\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \end{aligned}

   On retient avec deux chiffres significatifs :

   \boxed{a = 2{,}3 \times 10^{-3}\text{ m}^{-1}} \quad \text{et} \quad \boxed{b = 0{,}92\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}+a{v}^2(t)=b$$

   $$a=\frac{\rho S{C}_x}{2m}$$

   $$b=g(\sin \alpha -{\mu }_r\cos \alpha )$$

   $$a=2,3\times 10^{-3}{\text{ m}}^{-1}$$

   $$b=0,92\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique 1 PC 2023, Q5

    Le programme de la figure 4 utilise la méthode d'Euler explicite pour résoudre numériquement une équation différentielle du premier ordre de la forme \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g(v).

    Le rôle et le principe des différentes parties du code sont les suivants :

    • Lignes 8 et 9 : la fonction g(u) implémente la dérivée temporelle \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} issue de l'équation différentielle (I.1) :

      \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = b - a v^2 = 0{,}92 - 2{,}3\times 10^{-3} v^2

      les coefficients correspondant exactement aux valeurs de a et b établies à la question Q2.

    • Lignes 3 à 7 : la fonction r(f, v, t) réalise l'intégration numérique par la méthode d'Euler :

      • Ligne 4 : initialisation de la liste des vitesses avec la condition initiale v(t_0) = v (V = [v]).

      • Lignes 5 et 6 : boucle temporelle itérative discrétisant la dérivée sous la forme \dfrac{v_{i+1} - v_i}{t_{i+1} - t_i} \approx f(v_i), ce qui donne la relation de récurrence du schéma d'Euler explicite :

        v_{i+1} = v_i + (t_{i+1} - t_i)\, f(v_i)
      • Ligne 7 : renvoi de la liste des vitesses approchées aux différents instants.
    • Lignes 10 à 13 : discrétisation du domaine temporel [0\text{ s}, 120\text{ s}] en 1000 points avec np.linspace, calcul de la trajectoire pour une vitesse initiale nulle v(0)=0 (y = r(g, 0, x)), puis tracé de la courbe v(t).

    \boxed{\text{Le programme utilise la méthode d'Euler explicite.}}

    Résultat

    $$\text{Le programme utilise la meˊthode d’Euler explicite.}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question