Corrigé détaillé CCINP Modélisation PC 2026

L'énergie potentielle d'interaction s'écrit :

• La grandeur x est une distance internucléaire ([x] = \mathrm{L}). Par homogénéité de la différence x - x_e, la constante x_e a la dimension d'une longueur :

  [x_e] = \mathrm{L}

  Son unité dans le Système International est le mètre (\mathrm{m}).

• L'argument de l'exponentielle, \alpha(x - x_e), est nécessairement sans dimension :

  [\alpha(x - x_e)] = 1 \implies [\alpha] = \frac{1}{[x - x_e]} = \mathrm{L}^{-1}

  Son unité dans le Système International est donc le mètre à la puissance moins un (\mathrm{m^{-1}}).

• Le terme adimensionné \left(1 - \mathrm{e}^{-\alpha(x - x_e)}\right)^2 n'a pas d'unité, si bien que la constante D a la même dimension que l'énergie potentielle E_p(x) :

  [D] = [E_p] = \mathrm{M\cdot L^2\cdot T^{-2}}

  Son unité dans le Système International est le joule (\mathrm{J}, ou \mathrm{kg\cdot m^2\cdot s^{-2}}).

D'après la courbe de la figure 3, l'énergie potentielle E_p(x) présente un minimum (tangente horizontale) en :

Le système possède donc bien une position d'équilibre en x = x_e, et cet équilibre est stable car il correspond à un minimum d'énergie potentielle.

D'après l'expression du potentiel de Morse :

Lorsque la distance internucléaire x tend vers l'infini, le terme exponentiel s'annule :

La constante D correspond donc à l'asymptote horizontale de l'énergie potentielle à l'infini. Elle représente l'énergie de dissociation de la liaison (en prenant l'énergie minimale comme référence E_p(x_e) = 0).

L'énergie cinétique du système vérifie E_c = E_m - E_p(x) \ge 0, ce qui impose que le mouvement ne s'effectue que dans le domaine spatial où E_p(x) \le E_m :

• Pour E_m < D (avec E_m \ge 0) : le domaine spatial accessible à la molécule est un intervalle fermé et borné [x_{\min}, x_{\max}]. La distance internucléaire oscille périodiquement entre deux points de rebroussement : le système se trouve dans un état lié.
• Pour E_m > D : la condition E_p(x) \le E_m est vérifiée pour tout x \ge x_{\min}. Le domaine accessible [x_{\min}, +\infty[ n'est pas borné supérieurement : les atomes peuvent s'éloigner indéfiniment l'un de l'autre (dissociation). Le système se trouve dans un état libre.

L'énergie potentielle de Morse s'écrit :

1. En x = x_e, on a :

   E_p(x_e) = D\left(1 - \mathrm{e}^0\right)^2 = 0

2. La dérivée première s'exprime par :

   \begin{aligned} E_p'(x) &= 2D\left(1 - \mathrm{e}^{-\alpha(x - x_e)}\right)\times \left(\alpha\,\mathrm{e}^{-\alpha(x - x_e)}\right) \\ &= 2D\alpha\left(\mathrm{e}^{-\alpha(x - x_e)} - \mathrm{e}^{-2\alpha(x - x_e)}\right) \end{aligned}

   En x = x_e :

   E_p'(x_e) = 2D\alpha(1 - 1) = 0

   Ce résultat confirme que x_e est une position d'équilibre.

3. La dérivée seconde vaut :

   E_p''(x) = 2D\alpha\left(-\alpha\,\mathrm{e}^{-\alpha(x - x_e)} + 2\alpha\,\mathrm{e}^{-2\alpha(x - x_e)}\right)

   En x = x_e :

   E_p''(x_e) = 2D\alpha(-\alpha + 2\alpha) = 2D\alpha^2

En injectant ces résultats dans le développement de Taylor à l'ordre deux autour de x_e, on obtient :

soit :

D'après le résultat de la question Q4, le développement limité à l'ordre deux de l'énergie potentielle au voisinage de x_e s'écrit :

Par identification avec l'expression de l'énergie potentielle élastique E_p(x) = \frac{1}{2} k (x - x_e)^2, on obtient directement :

L'énoncé précise que D et \alpha sont des constantes réelles strictement positives, par conséquent :

On étudie l'atome A, assimilé à un point matériel de masse m_A et de position x_A \vec{u}_x, dans le référentiel d'étude supposé galiléen.

La molécule étant isolée, l'atome A n'est soumis qu'à l'action modélisée par le ressort reliant A à B, de raideur k et de longueur à vide x_e. L'énergie potentielle d'interaction s'écrit :

La force conservative exercée sur l'atome A s'en déduit par :

En appliquant la deuxième loi de Newton à l'atome A :

On obtient, en projection selon l'axe Ox :

On étudie le système constitué de l'atome B, assimilé à un point matériel de masse m_B, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

La seule force s'exerçant sur B est l'action mécanique exercée par l'atome A, notée \vec{F}_{A \to B}. D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton) :

Puisque le ressort modélisant la liaison a pour allongement x - x_e, la force de rappel exercée sur B tend à le ramener vers A (sens des x décroissants si x > x_e) :

On peut également retrouver cette expression via l'énergie potentielle :

En appliquant la deuxième loi de Newton à l'atome B :

En projetant selon le vecteur unitaire \vec{u}_x, on obtient la relation (2) :

Par définition de la distance internucléaire, x(t) = x_B(t) - x_A(t). En dérivant deux fois par rapport au temps, on obtient :

D'après les relations (1) et (2) établies aux questions Q6 et Q7 :

En injectant ces deux expressions dans celle de \ddot{x} :

En introduisant la masse réduite \mu définie par :

l'équation s'écrit :

soit, en multipliant par \mu et en regroupant les termes :

avec :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q8 :

En posant l'écart à l'équilibre X(t) = x(t) - x_e, l'équation s'écrit sous la forme canonique de l'oscillateur harmonique non amorti :

où la pulsation propre des oscillations est :

La fréquence f_0 des petites oscillations s'en déduit par la relation f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} :

Dans le vide, la longueur d'onde \lambda_0 d'une onde électromagnétique se propageant à la célérité c est reliée à sa fréquence f_0 par la relation :

Par définition du nombre d'onde \sigma_0 = \dfrac{1}{\lambda_0}, on obtient :

En utilisant l'expression de la fréquence propre de vibration f_0 établie à la question Q9 :

on en déduit l'expression du nombre d'onde d'absorption (loi de Hooke) :

Le solide ponctuel de masse \mu est repéré par son abscisse x sur l'axe horizontal orienté par le vecteur unitaire \vec{u}_x, l'extrémité fixe des ressorts étant située en x = 0.

Chacun des deux ressorts a pour longueur x et pour longueur à vide x_e. La force de rappel exercée par chaque ressort sur le solide s'écrit donc :

La force totale exercée par les deux ressorts en parallèle est la résultante :

Par définition, un ressort unique équivalent de raideur k_{\text{eq}} et de même longueur à vide x_e exercerait une force :

Par identification, on en déduit :

Par généralisation du résultat obtenu pour deux ressorts en parallèle (question Q11), les raideurs de ressorts disposés en parallèle s'additionnent. Pour trois ressorts identiques de raideur k placés en parallèle, la constante de raideur équivalente est :

D'après la question Q10, le nombre d'onde d'absorption associé à une liaison de raideur équivalente k_{\text{eq}} et de masse réduite \mu s'écrit :

a) Cas d'une liaison double :

D'après la question Q11, deux ressorts identiques en parallèle présentent une raideur équivalente k_{\text{eq}} = 2k. En substituant cette raideur dans la loi de Hooke, on obtient :

b) Cas d'une liaison triple :

D'après la question Q12, trois ressorts identiques en parallèle présentent une raideur équivalente k_{\text{eq}} = 3k. Le nombre d'onde d'absorption s'écrit donc :

Conclusion :

Pour des atomes donnés (donc à masse réduite \mu fixée), le nombre d'onde d'absorption augmente avec la multiplicité de la liaison :

avec \sigma_{0,\text{double}} = \sqrt{2}\,\sigma_{0,\text{simple}} et \sigma_{0,\text{triple}} = \sqrt{3}\,\sigma_{0,\text{simple}}. Plus une liaison covalente possède un ordre de liaison élevé, plus elle est rigide (constante de force plus grande), ce qui déplace sa bande d'absorption vers les plus hauts nombres d'onde en spectroscopie infrarouge.

Les trois liaisons sont formées par les mêmes atomes de carbone et d'azote, elles possèdent donc la même masse réduite \mu.

D'après les résultats des questions Q10 et Q13, le nombre d'onde d'absorption s'écrit en fonction de la multiplicité de la liaison :

• pour la liaison simple \mathrm{C}-\mathrm{N} : \sigma_0 = \dfrac{1}{2\pi c}\sqrt{\dfrac{k}{\mu}} ;
• pour la liaison double \mathrm{C}=\mathrm{N} : \sigma_{0,\text{double}} = \sqrt{2}\,\sigma_0 ;
• pour la liaison triple \mathrm{C}\equiv\mathrm{N} : \sigma_{0,\text{triple}} = \sqrt{3}\,\sigma_0.

Le nombre d'onde d'absorption est donc une fonction strictement croissante de l'ordre de liaison :

En classant par ordre croissant les trois valeurs données :

on en déduit immédiatement l'attribution :

On injecte la forme de l'état stationnaire \psi(x,t) = \varphi(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E}{\hbar}t} dans l'équation de Schrödinger dépendante du temps :

Calculons les dérivées partielles de la fonction d'onde :

Le membre de gauche s'écrit donc :

En reportant dans l'équation de Schrödinger et en simplifiant par le terme temporel non nul \mathrm{e}^{-i\frac{E}{\hbar}t}, on obtient l'équation de Schrödinger stationnaire :

soit, en réarrangeant les termes :

En multipliant par le facteur \dfrac{2\mu}{\hbar^2}, il vient :

Sachant que le potentiel harmonique est donné par V(x) = \dfrac{1}{2}\mu\omega_0^2 x^2, on a :

On aboutit bien à l'équation différentielle recherchée :

D'après le rappel fourni en annexe, le développement limité à l'ordre deux d'une fonction f deux fois dérivable au voisinage d'un point a s'écrit :

En appliquant cette formule à la fonction d'onde spatiale \varphi au voisinage de x, pour un accroissement spatial infinitésimal \pm \mathrm{d}x, on obtient :

D'où les expressions recherchées au second ordre en \mathrm{d}x :

D'après les développements limités à l'ordre deux établis à la question Q16 :

En sommant ces deux égalités membre à membre, le terme d'ordre un disparaît :

On en déduit l'approximation de la dérivée seconde :

Les points de discrétisation de l'abscisse étant régulièrement espacés du pas \mathrm{d}x, on a :

Ainsi, en évaluant la fonction d'onde spatiale en ces points avec les notations introduites :

En injectant ces grandeurs discrétisées dans la relation établie à la question Q17 au point x = x_i, on obtient :

soit, sous une forme isolant le terme au rang i+1 :

D'après la question Q15, la fonction d'onde spatiale vérifie :

L'énoncé indique que l'énergie vibrationnelle est quantifiée selon E = \hbar\omega_0\left(v + \frac{1}{2}\right). En substituant E dans l'expression précédente, on obtient :

Au point d'abscisse x_i, en posant \varphi_i = \varphi(x_i), la dérivée seconde s'écrit :

D'après la relation de récurrence établie à la question Q18 :

En y remplaçant la dérivée seconde, il vient :

En factorisant par \varphi_i, on aboutit à la relation demandée :

D'après l'énoncé, la demi-largeur L correspond à l'abscisse positive d'intersection entre l'énergie potentielle V(x) et l'énergie vibrationnelle pour v = 5 :

Or, pour un oscillateur harmonique quantique :

L'égalité conduit à :

En utilisant la fonction np.sqrt() de la bibliothèque NumPy et les variables définies dans l'en-tête du programme (hbar, mu, omega0), l'instruction 1.1 s'écrit :

L = np.sqrt(11 * hbar / (mu * omega0))

D'après l'annexe, la fonction np.linspace(start, stop, N_points) de la bibliothèque numpy permet de générer un tableau unidimensionnel de N_points valeurs régulièrement espacées entre la borne initiale start et la borne finale stop incluses.

Pour discrétiser l'intervalle [-L, L] en N points, l'instruction 1.2 s'écrit :

X = np.linspace(-L, L, N)

Le tableau X contenant des points régulièrement espacés, le pas d'espace \mathrm{d}x correspond à la distance séparant deux points consécutifs de ce maillage. On peut donc l'obtenir directement par la différence entre les deux premiers éléments :

dx = X[1] - X[0]

Une autre écriture équivalente consiste à diviser l'étendue totale du vecteur par le nombre d'intervalles :

dx = (X[-1] - X[0]) / (N - 1)

Pour construire le tableau des valeurs discrètes de la fonction d'onde spatiale, on procède ainsi :

• On alloue le tableau avec la fonction np.zeros :

  \texttt{phi = np.zeros(N)}

• On affecte les conditions initiales prescrites :

  \texttt{phi[0] = 0} \quad \text{et} \quad \texttt{phi[1] = 1}
• On propage la relation de récurrence de la question Q19 pour i \in [\![1, N-2]\!], ce qui permet de déterminer successivement les composantes \texttt{phi[i+1]} jusqu'au dernier élément d'indice N-1 :

phi = np.zeros(N)
phi[0] = 0
phi[1] = 1
for i in range(1, N - 1):
    facteur = 2 + (2 * mu * omega0 / hbar**2) * dx**2 * (0.5 * mu * omega0 * X[i]**2 - hbar * (v + 0.5))
    phi[i+1] = facteur * phi[i] - phi[i-1]

D'après le rappel sur la méthode des rectangles à gauche, l'intégrale sur l'intervalle [-L, L] subdivisé par les abscisses (x_i)_{0 \le i \le N-1} s'approxime par la somme des aires des N-1 rectangles de largeur \mathrm{d}x et de hauteur f(x_i) = \varphi(x_i)^2 = \varphi_i^2 :

Dans le tableau phi de dimension N, les valeurs \varphi_0, \dots, \varphi_{N-2} correspondent à la tranche phi[:-1]. En utilisant la fonction np.sum décrite en annexe, l'instruction 3.1 s'écrit en une seule ligne :

norm = np.sum(phi[:-1]**2) * dx

Remarque : Compte tenu de la grande valeur de N (N = 10\,000), le dernier terme \varphi_{N-1}^2 est négligeable devant la somme, de sorte que l'écriture norm = np.sum(phi**2) * dx est également tout à fait recevable.

Pour que la fonction d'onde discrétisée vérifie la condition de normalisation, chaque composante du tableau phi doit être divisée par la racine carrée de l'intégrale calculée à la question précédente et stockée dans la variable norm.

Grâce à la vectorisation offerte par la bibliothèque numpy, l'opération arithmétique de division s'applique directement à l'ensemble des éléments du tableau. La fonction np.sqrt() (rappelée en annexe) permet de calculer la racine carrée de norm.

L'instruction 3.2 s'écrit donc :

phi = phi / np.sqrt(norm)

ou de manière équivalente avec l'opérateur d'assignation augmentée :

phi /= np.sqrt(norm)

Pour tracer les trois courbes sur un même graphique, on appelle la fonction fonction_onde(v) pour chaque valeur de v \in \{0, 1, 2\} et on trace le profil spatial correspondant à l'aide de la commande plt.plot documentée en annexe, avant de demander l'affichage avec plt.show() :

for v in [0, 1, 2]:
    phi = fonction_onde(v)
    plt.plot(X, phi)
plt.show()

Une écriture explicite sans boucle est également envisageable :

plt.plot(X, fonction_onde(0))
plt.plot(X, fonction_onde(1))
plt.plot(X, fonction_onde(2))
plt.show()

Appliquons l'opérateur rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday :

En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère dans la solution chimique, \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\underline{\vec{B}}) = \underline{\varepsilon}\mu_0 \frac{\partial \underline{\vec{E}}}{\partial t}, il vient :

D'autre part, d'après l'identité vectorielle rappelée en annexe :

Puisque le milieu est globalement neutre en charges libres, l'équation de Maxwell-Gauss donne \operatorname{div}\underline{\vec{E}} = 0. Il en résulte :

Le champ électrique \underline{\vec{E}} vérifie donc l'équation de propagation de d'Alembert généralisée à un milieu diélectrique :

Pour une onde ne dépendant que de la coordonnée spatiale x, cette équation se réduit à :

D'après la question Q27, le champ électrique vérifie l'équation de propagation :

Le champ électrique s'écrit \underline{\vec{E}}(x,t) = E_0 \mathrm{e}^{j(\omega t - \underline{k}x)} \vec{u}_y. En calculant ses dérivées temporelle et spatiale :

En réinjectant ces expressions dans l'équation de propagation :

Cette égalité devant être vérifiée pour tout (x,t) et pour une onde non identiquement nulle (\underline{\vec{E}} \neq \vec{0}), il vient :

Avec \underline{\varepsilon} = \varepsilon_r - j\varepsilon_i, on en déduit la relation de dispersion cherchée :

D'après la relation de dispersion établie à la question Q28 :

Comme 0 < \varepsilon_i \ll \varepsilon_r, on peut poser le paramètre infiniment petit u = j\frac{\varepsilon_i}{\varepsilon_r} \ll 1. En utilisant le développement limité (1 - u)^{1/2} = 1 - \frac{1}{2}u + o(u), on en déduit :

L'onde se propageant selon les x croissants, sa partie spatiale s'écrit :

La condition imposée k'' > 0 correspond à une onde atténuée lors de sa progression dans le milieu absorbant (x \ge 0). Il convient donc de retenir le signe +.

On identifie directement les parties réelle et imaginaire :

Le champ électrique s'écrit en notation complexe sous la forme :

En injectant l'expression de \underline{k} = k' - j k'' établie à la question précédente (avec j^2 = -1) :

Le champ électrique complexe devient ainsi :

En prenant la partie réelle de cette expression (avec E_0 choisi réel) :

L'amplitude de l'onde, donnée par E_0 \mathrm{e}^{-k'' x}, décroît exponentiellement au fur et à mesure de sa propagation dans le sens des x croissants car k'' > 0. L'onde perd donc de la puissance au cours de sa traversée : le milieu est absorbant.

Par définition, la vitesse de phase des surfaces d'onde (surfaces d'égale phase vérifiant \omega t - k'x = \mathrm{cte}) s'écrit :

D'après la question Q29, on a k' = \omega \sqrt{\mu_0 \varepsilon_r}. Il vient donc :

Dans le cadre du modèle proposé, \varepsilon_r est une constante indépendante de la pulsation \omega. La vitesse de phase v_{\varphi} ne dépend donc pas de la pulsation de l'onde :

Dans la solution chimique, l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit en régime harmonique (dérivation temporelle correspondant à la multiplication par j\omega) :

Le champ électrique s'écrit \underline{\vec{E}} = E_0 \mathrm{e}^{j(\omega t - \underline{k}x)} \vec{u}_y. Son rotationnel en coordonnées cartésiennes vaut :

On en déduit l'expression du champ magnétique complexe :

En introduisant l'expression établie à la question Q29, \underline{k} = k' - j k'', et en séparant l'atténuation spatiale de la phase propagative :

L'expression de \underline{\vec{B}}(x, t) en fonction de k' et k'' est donc :

D'après la formule rappelée en annexe, la moyenne temporelle du vecteur de Poynting s'exprime en notation complexe par :

En utilisant les expressions du champ électrique et du champ magnétique obtenues aux questions Q29 et Q32 :

Le conjugué du champ magnétique s'écrit :

Le produit vectoriel \underline{\vec{E}} \wedge \underline{\vec{B}}^* vaut donc, avec \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_x :

En prenant la partie réelle :

L'intensité lumineuse I(x) = \|\langle\vec{\Pi}(x, t)\rangle\| s'identifie à la forme I = I_0 \exp\left(-\frac{x}{\delta}\right) avec :

La cuve contenant la solution chimique absorbante s'étend sur l'intervalle spatial x \in [0,\, e].

En négligeant les réflexions aux interfaces conformément à l'énoncé, l'intensité lumineuse I_s juste en sortie de la cuve correspond à l'intensité de l'onde parvenue en x = e :

D'après le résultat de la question Q33, le profil d'intensité s'écrit :

En substituant x = e et l'expression donnée \delta = \dfrac{1}{\alpha c_0}, il vient :

On en déduit l'expression de l'intensité lumineuse transmise en sortie de cuve :

D'après le résultat de la question Q34, l'intensité transmise en sortie de cuve s'écrit :

Expression de la transmittance T : Par définition de la transmittance :

On obtient directement :

Expression de l'absorbance A : Par définition de l'absorbance et en utilisant la relation fournie dans l'annexe \log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)} :

D'où l'expression de l'absorbance :

D'après le résultat de la question Q35, l'absorbance A s'écrit :

En introduisant le coefficient d'extinction molaire \epsilon_{em} = \dfrac{\alpha}{\ln(10)}, on en déduit immédiatement :

Cette relation de proportionnalité entre l'absorbance, la concentration de l'espèce absorbante et le trajet optique traversé est la loi de Beer-Lambert.

Pour l'atome de nickel dans son état fondamental (Z = 28), le remplissage des sous-couches électroniques selon la règle de Klechkowski (par ordre d'énergie croissante : 1\mathrm{s}, 2\mathrm{s}, 2\mathrm{p}, 3\mathrm{s}, 3\mathrm{p}, 4\mathrm{s}, 3\mathrm{d}) s'écrit :

La position du nickel dans le tableau périodique se déduit de sa structure électronique de valence :

• Ligne (période) : le nombre quantique principal le plus élevé pour les électrons occupés est n = 4. Le nickel se situe donc sur la 4e ligne (ou 4e période).
• Colonne (groupe) : les électrons de valence correspondent aux orbitales externes non totalement remplies plus l'orbitale de valence la plus externe, soit ici la couche de valence 3\mathrm{d}^8 4\mathrm{s}^2, comptant 8 + 2 = 10 électrons. Selon la nomenclature internationale (UICPA), le nickel appartient à la colonne 10.

Dans une maille cubique :

• un atome situé sur un sommet est partagé entre 8 mailles adjacentes et compte pour une fraction \frac{1}{8} ;
• un atome situé au centre d'une face est partagé entre 2 mailles adjacentes et compte pour une fraction \frac{1}{2}.

D'après le descriptif de la maille :

• Atomes de nickel : ils occupent les 8 sommets du cube et le centre de 4 faces. Le nombre d'atomes de nickel appartenant en propre à la maille est donc :

  N(\mathrm{Ni}) = 8 \times \frac{1}{8} + 4 \times \frac{1}{2} = 1 + 2 = 3

• Atomes de chrome : ils occupent le centre des 2 autres faces opposées. Le nombre d'atomes de chrome appartenant en propre à la maille est donc :

  N(\mathrm{Cr}) = 2 \times \frac{1}{2} = 1

D'après la question Q38, chaque maille cubique contient N(\mathrm{Ni}) = 3 atomes de nickel et N(\mathrm{Cr}) = 1 atome de chrome.

La masse d'une maille élémentaire s'écrit alors :

où \mathcal{N}_A désigne la constante d'Avogadro.

La maille étant cubique d'arête a, son volume est :

Par définition, la masse volumique de l'alliage s'exprime par le rapport :

On en déduit l'expression littérale du paramètre de maille a :

Dans une maille cubique d'arête a, la diagonale d'une face mesure a\sqrt{2}. Dans un réseau cubique à faces centrées (CFC), les atomes les plus proches voisins sont situés à mi-diagonale d'une face (entre un atome situé à un sommet et un atome situé au centre d'une face adjacente).

La distance d entre deux plus proches voisins vaut donc :

D'après les données et l'aide aux calculs fournie en annexe :

• a = 350\text{ pm} ;
• \sqrt{2} \approx 1{,}4 ;
• \dfrac{350}{1{,}4} = 250.

On en déduit :

La tige conductrice de résistance R, parcourue par un courant électrique continu d'intensité i, reçoit par effet Joule une puissance électrique donnée par la loi de Joule :

En utilisant l'expression de la résistance électrique fournie par l'énoncé, R = \dfrac{L}{\gamma \pi a^2}, on obtient :

La surface d'échange thermique de la tige cylindrique avec le gaz environnant est sa surface latérale (les surfaces des bases aux extrémités sont négligées ou occupées par les contacts électriques) :

D'après la loi de Stefan rappelée par l'énoncé, la tige se comportant comme un corps noir à la température T_s, elle rayonne vers l'extérieur une puissance :

De même, le gaz environnant se comportant comme un corps noir à la température T_a, il émet un rayonnement thermique isotrope. La tige absorbe intégralement la fraction de ce rayonnement incident, ce qui correspond à une puissance reçue par rayonnement :

En comptant positivement la puissance thermique nette cédée par la tige au gaz environnant par rayonnement, on obtient :

Soit finalement :

D'après la loi de Newton rappelée dans l'énoncé, la puissance thermique surfacique cédée par conducto-convection par un solide à la température T_s vers un fluide à la température T_a s'écrit :

Pour la tige cylindrique de longueur L et de rayon a, en négligeant les échanges thermiques aux deux extrémités planes devant ceux sur la surface latérale (hypothèse de la tige élancée L \gg a), la surface d'échange vaut :

La puissance thermique P_{\text{cc}} perdue par conducto-convection par la tige vers le gaz environnant s'exprime donc par :

soit :

On choisit pour système la tige cylindrique. En régime permanent, l'énergie interne de la tige est constante :

Le bilan des puissances échangées par la tige avec l'extérieur s'écrit donc :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q41, Q42 et Q43 :

En divisant cette relation par la surface latérale de la tige S = 2\pi a L, on obtient :

En développant et en regroupant les termes dépendant de la température ambiante T_a dans le membre de gauche :

D'après le bilan énergétique établi à la question Q44, la température T_a est solution de l'équation :

On définit donc la fonction f(x) dont on cherche à annuler la valeur sous la forme :

Comme la fonction x \mapsto \sigma x^4 + H x est strictement croissante sur \mathbb{R}^+, la fonction f est strictement croissante. Avec la solution numérique attendue T_a \approx 986\text{ K}, on a bien f(298) < 0 et f(1000) > 0, ce qui assure le changement de signe sur l'intervalle [298\text{ K}, 1000\text{ K}].

L'instruction 4 s'écrit donc en Python :

return sigma * x**4 + H * x - sigma * Ts**4 - H * Ts + i**2 / (2 * np.pi**2 * gamma * a**3)

Conformément au principe exposé par l'énoncé, la recherche s'effectue tant que la largeur de l'intervalle de recherche excède la précision p.

Le code des instructions 5 s'écrit (en respectant la majuscule employée dans l'instruction d'affichage ultérieure) :

def Dichotomie(f, b, c, p):
    while abs(c - b) > p:
        m = (b + c) / 2
        if f(b) * f(m) > 0:
            b = m
        else:
            c = m
    return (b + c) / 2

# Alias pour concorder strictement avec l'intitule de la question
dichotomie = Dichotomie

La valeur obtenue pour la température du gaz environnant est :

On peut formuler plusieurs commentaires physiques sur ce résultat :

• Proximité avec la température de la source : la température T_a est très proche de celle de la surface de la tige (T_s = 1000\text{ K}), l'écart n'étant que de \Delta T = T_s - T_a = 14\text{ K}.
• Origine physique : la puissance volumique dissipée par effet Joule dans la tige correspond à une densité surfacique de flux modérée (\varphi_{\text{Joule}} \approx 3{,}2\cdot 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}) devant la puissance surfacique brute émise par rayonnement (\sigma T_s^4 \approx 5{,}67\cdot 10^4\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}). Pour équilibrer l'apport électrique, le gaz doit réémettre vers la tige un rayonnement presque aussi intense que celui reçu, ce qui impose T_a \approx T_s.
• Limite du modèle : dans ce modèle, le gaz environnant est supposé isolé et n'évacue aucune énergie vers l'extérieur. Dans un spectrophotomètre réel, une telle température (713\text{ }^\circ\text{C}) endommagerait les composants optiques et électroniques ; un système de refroidissement (dissipateur thermique, convection avec l'air ambiant renouvelé ou ventilation) est indispensable pour maintenir l'enceinte à une température proche de l'ambiante (T_{\text{amb}} \approx 298\text{ K}).