Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2023

1. Laser en anneau

Représentation par schéma-blocs et justification : Dans un laser en anneau, l'onde électromagnétique parcourt la cavité dans un sens unique (unidirectionnel).

• La chaîne directe est constituée du milieu amplificateur, caractérisé par une fonction de transfert (ou transmittance complexe) \underline{A}(\omega).
• Le faisceau amplifié rencontre le miroir de couplage \mathrm{M_c} : une fraction de l'onde est transmise vers l'extérieur (signal de sortie), tandis que la fraction réfléchie continue son trajet.
• La chaîne de retour modélise la propagation le long du reste de l'anneau (déphasage de propagation sur la longueur L-\ell_a et réflexions sur les miroirs \mathrm{M}'), de transmittance de retour notée \underline{B}(\omega), qui réinjecte l'onde à l'entrée de l'amplificateur.

Nature physique des signaux :

• Signal de sortie : Il s'agit du champ électrique de l'onde lumineuse transmise par le miroir de couplage \mathrm{M_c}, E_{\text{out}}(t) (ou de manière équivalente, l'intensité ou la puissance optique rayonnée).
• Signal d'entrée : En régime autonome permanent (oscillateur libre), il n'y a aucun signal d'entrée extérieur injecté (E_{\text{in}} = 0). En revanche, au démarrage du laser, l'oscillation est amorcée par une entrée de type bruit : l'émission spontanée des atomes du milieu actif (fluctuations du vide quantique).

2. Laser linéaire

Représentation par schéma-blocs et adaptation : Dans une cavité linéaire à deux miroirs parallèles, l'onde effectue des allers-retours :

• Au cours d'un cycle complet (aller-retour de longueur développée L), l'onde traverse deux fois le milieu amplificateur.
• Le bloc direct peut regrouper le parcours complet aller-retour (deux traversées de l'amplificateur et réflexion sur le miroir de fond \mathrm{M}'), tandis que le bloc de réaction représente la réflexion sur le miroir de couplage \mathrm{M_c} qui reboucle le champ à l'intérieur.

Les grandeurs d'entrée et de sortie sont de même nature que pour le laser en anneau : émission spontanée pour l'entrée d'amorçage, et faisceau électromagnétique transmis en sortie.

2-a) La longueur d'onde dans le vide \lambda_{\ell}, la période temporelle T_0 et la fréquence \nu sont reliées à la célérité de la lumière dans le vide c \simeq 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} par :

Application numérique pour \lambda_{\ell} \simeq 600\text{ nm} = 6 \times 10^{-7}\text{ m} :

2-b) Pour l'onde plane progressive monochromatique se propageant selon +\vec{u}_z dans le vide, le champ électrique réel s'écrit :

D'après la structure de l'OPPH dans le vide, le champ magnétique associé est :

Le vecteur de Poynting s'en déduit :

La valeur moyenne sur une période T_0, en notant \langle \cos^2 \rangle_{T_0} = \frac{1}{2}, a pour norme :

D'autre part, la représentation complexe donnée par l'énoncé est :

L'intensité I est donc directement proportionnelle à \langle \Pi \rangle_{T_0} :

Signification physique :

• Le vecteur de Poynting \vec{\Pi} représente la densité surfacique de flux de puissance électromagnétique instantanée (en \text{W}\cdot\text{m}^{-2}). Sa direction et son sens indiquent la direction et le sens de propagation de l'énergie électromagnétique.
• Sa valeur moyenne temporelle \langle \Pi \rangle_{T_0} représente la puissance surfacique moyenne transportée par l'onde (appelée éclairement ou irradiance énergétique). C'est la grandeur effectivement mesurée par les détecteurs usuels (photodiodes, œil) dont le temps de réponse est très grand devant T_0.

3-a) Quantification des fréquences résonnantes La cavité s'étend entre les miroirs plans situés en z = 0 et z = L/2. Le champ électrique est polarisé selon \vec{u}_x, direction orthogonale à la normale aux miroirs (\vec{u}_z) : il est donc entièrement tangentiel aux interfaces.

Les miroirs étant modélisés comme des conducteurs parfaits, la composante tangentielle du champ électrique total s'y annule :

Dans le vide séparant les deux miroirs, l'onde à la pulsation \omega = 2\pi\nu = kc est la superposition d'une onde progressive dans le sens +z et d'une onde régressive dans le sens -z :

La condition en z = 0 impose :

Le champ spatial s'écrit donc :

La seconde condition aux limites en z = L/2 donne :

Pour obtenir une solution non identiquement nulle (\mathcal{E}_+ \neq 0), l'argument du sinus doit être un multiple entier de \pi :

Comme k_N = \frac{2\pi\nu_N}{c}, on en déduit :

Les ondes électromagnétiques stationnaires permises sont donc quantifiées, avec des fréquences propres :

3-b) Dépendance spatiale et tracés des modes Pour le mode d'ordre N, l'amplitude complexe spatiale s'écrit :

En choisissant l'amplitude \mathcal{E}_+ sous la forme \mathcal{E}_+ = -\frac{\mathrm{i}}{2}E_N où E_N \in \mathbb{R}, l'amplitude complexe devient purement réelle :

Le champ réel associé s'écrit alors :

Il s'agit d'une onde stationnaire, où les variables d'espace et de temps sont découplées. Les nœuds de vibration correspondent aux zéros de \sin(k_N z), soit z_p = p \frac{L}{2N} (p \in \{0, \dots, N\}), et les ventres sont situés aux extrema en z'_p = (2p+1)\frac{L}{4N}.

Représentons l'allure de \mathcal{E}(z) pour les modes N = 1, N = 2 et N = 3 sur l'intervalle [0, L/2] :

Considérons un rayon lumineux se propageant dans la cavité avec un angle non nul \theta par rapport à l'axe optique \mathrm{O}z.

À chaque parcours d'une distance L/2 entre les deux miroirs, le rayon subit un déplacement latéral d'amplitude \delta x \simeq \frac{L}{2} \theta (dans l'approximation paraxiale \theta \ll 1). Lors d'un aller-retour complet sur la longueur développée L, le décalage transverse total s'accumule :

Après p allers-retours, le rayon s'est écarté de l'axe d'une distance p L \theta. Les miroirs ayant une dimension transverse finie, le faisceau finit inévitablement par sortir de la cavité au bout d'un nombre fini d'allers-retours. La cavité à miroirs plans parallèles est donc instable latéralement (ou à la limite de stabilité) vis-à-vis des désalignements angulaires et des effets de diffraction.

Pour remédier à ce problème et confiner latéralement le faisceau lumineux, on remplace les miroirs plans par des miroirs sphériques concaves (miroirs convergents), ou l'on associe un miroir plan et un miroir concave. Les miroirs concaves refocalisent les rayons vers l'axe optique à chaque réflexion, assurant la stabilité transversale du faisceau dans la cavité (à condition de respecter le critère usuel de stabilité géométrique des cavités optiques).

1. Relation entre \mathcal{E}, \mathcal{E}' et \mathcal{E}_{\text{in}} au miroir de couplage \mathrm{M}_c (z = 0)

L'onde d'amplitude \mathcal{E}, se propageant dans le sens +z juste après le miroir \mathrm{M}_c (en z = 0^+), résulte de la superposition :

• de l'onde incidente extérieure transmise à travers \mathrm{M}_c, d'amplitude t\,\mathcal{E}_{\text{in}} ;
• de l'onde intra-cavité de retour \mathcal{E}' réfléchie par la face interne de \mathrm{M}_c, d'amplitude r\,\mathcal{E}'.

On a donc immédiatement :

soit encore, avec t = \sqrt{T} et r = -\sqrt{R} :

2. Calcul de \mathcal{E}' en fonction de \mathcal{E}, kL et r'

La cavité linéaire possède une distance entre miroirs égale à L/2.

• Avec la convention temporelle adoptée \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, l'onde se propageant selon +z présente une dépendance spatiale en \mathrm{e}^{+\mathrm{i}kz}. En arrivant sur le miroir \mathrm{M}' situé en z = L/2, son amplitude complexe est :

  \mathcal{E}\left(\frac{L}{2}\right) = \mathcal{E}\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}k \frac{L}{2}}

• Lors de la réflexion sur \mathrm{M}', le champ subit une multiplication par le coefficient de réflexion en amplitude r' :

  \mathcal{E}'_{\text{réfléchie}}\left(\frac{L}{2}\right) = r'\,\mathcal{E}\left(\frac{L}{2}\right) = r'\,\mathcal{E}\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}k \frac{L}{2}}

• Cette onde se propage ensuite en sens inverse (selon -z) sur une distance L/2 pour revenir en z = 0. Le retard de propagation associé à ce parcours d'une distance L/2 introduit à nouveau un facteur de phase \mathrm{e}^{+\mathrm{i}k \frac{L}{2}}. L'amplitude \mathcal{E}' en z = 0 vaut donc :

  \mathcal{E}' = \mathcal{E}'_{\text{réfléchie}}\left(\frac{L}{2}\right)\mathrm{e}^{+\mathrm{i}k \frac{L}{2}} = r'\,\mathcal{E}\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}k \frac{L}{2}}\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}k \frac{L}{2}}

On obtient ainsi :

3. Expression de la fonction de transfert \frac{\mathcal{E}}{\mathcal{E}_{\text{in}}}

En injectant l'expression de \mathcal{E}' dans la relation liant \mathcal{E}, \mathcal{E}' et \mathcal{E}_{\text{in}}, on trouve :

En factorisant par \mathcal{E} :

D'après les données de l'énoncé :

D'où l'expression de la fonction de transfert de la cavité avec pertes :

6-a) Expression de l'intensité relative et étude du paramètre \sqrt{RR'}

D'après le résultat de la question Q5, la fonction de transfert en amplitude s'écrit :

L'intensité relative est le carré du module de ce rapport :

En utilisant l'identité trigonométrique \cos(kL) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{kL}{2}\right), le dénominateur se réécrit :

On obtient ainsi :

Calcul de \sqrt{RR'} en fonction de T :

D'après les données de l'énoncé :

• R + T = 1 - A \implies R = 1 - T - A, avec A \simeq 2 \times 10^{-4} ;
• R' = 1 - A', avec A' \simeq 2 \times 10^{-4} ;
• T = 4 \times 10^{-2}.

Puisque A \simeq A' = 2 \times 10^{-4} \ll T = 4 \times 10^{-2} (les pertes par absorption sont deux ordres de grandeur plus faibles que la transmission), on peut négliger A et A' devant T :

Il vient alors :

Comme T \ll 1, un développement limité au premier ordre donne :

Numériquement, \sqrt{RR'} \simeq 1 - 0{,}02 = 0{,}98.

Signification physique de RR' :

Le produit R R' représente le coefficient de réflexion global en intensité pour un aller-retour complet dans la cavité (une réflexion sur le miroir \mathrm{M}_c et une réflexion sur le miroir \mathrm{M}'). C'est la fraction de la puissance lumineuse qui reste confinée dans la cavité après un aller-retour (la fraction 1 - RR' \simeq T correspondant aux pertes subies par tour).

6-b) Allure des variations de I / I_{\text{in}} en fonction de kL

La fonction I/I_{\text{in}} est 2\pi-périodique en kL (fonction d'Airy) :

• Elle est maximale pour \sin\left(\frac{kL}{2}\right) = 0, soit kL = 2\pi N (N \in \mathbb{N}) :

  \left(\frac{I}{I_{\text{in}}}\right)_{\max} = \frac{T}{(1 - \sqrt{RR'})^2} \simeq \frac{T}{(T/2)^2} = \frac{4}{T} = \frac{4}{4 \times 10^{-2}} = 100

• Elle est minimale pour \sin^2\left(\frac{kL}{2}\right) = 1, soit kL = (2N + 1)\pi :

  \left(\frac{I}{I_{\text{in}}}\right)_{\min} = \frac{T}{(1 + \sqrt{RR'})^2} \simeq \frac{T}{4} = 10^{-2} \ll 1

Comme T \ll 1, le facteur m = \frac{4\sqrt{RR'}}{(1-\sqrt{RR'})^2} \simeq \frac{16}{T^2} = 10^4 \gg 1 est très élevé : la résonance se traduit par des pics extrêmement étroits et de forte amplitude.

7-a) Comparaison des fréquences de résonance

D'après le résultat de la question Q6, l'intensité intra-cavité relative s'écrit :

Elle est maximale lorsque le dénominateur est minimal, c'est-à-dire pour :

Avec k = \frac{2\pi\nu}{c}, cette condition de résonance conduit aux fréquences :

On constate que ces fréquences sont rigoureusement identiques aux fréquences des modes propres de la cavité sans pertes établies à la question Q3-a. L'introduction de pertes par transmission et absorption (sans déphasage additionnel aux réflexions) n'affecte donc pas la position des résonances, mais seulement leur largeur.

7-b) Intervalle spectral libre et interprétation

Par définition, l'intervalle spectral libre \nu_{\text{ISL}} est l'écart entre deux fréquences de résonance successives :

Le temps associé est :

Interprétation physique :

• La cavité ayant une longueur développée L (la distance entre les deux miroirs plans étant L/2), un aller-retour correspond à une distance parcourue de 2 \times (L/2) = L. Le temps \tau = \frac{L}{c} représente donc le temps de vol d'un aller-retour de l'onde lumineuse dans la cavité à la célérité c.
• La fréquence \nu_{\text{ISL}} = \frac{1}{\tau} est la fréquence de répétition associée à ce trajet aller-retour (taux de récurrence de l'onde dans la cavité).

7-c) Applications numériques

À la longueur d'onde \lambda_\ell \simeq 600\text{ nm}, la fréquence de l'onde est \nu \simeq \frac{c}{\lambda_\ell}. La condition de résonance \nu_N \simeq \nu donne :

Avec L = 1{,}5\text{ m} et \lambda_\ell = 600\text{ nm} = 6{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} :

Pour l'intervalle spectral libre, avec c \simeq 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Enfin, pour le temps d'aller-retour \tau :

D'après la question 6-a, le rapport des intensités s'écrit :

La résonance est atteinte pour \frac{kL}{2} = N\pi (avec N \in \mathbb{N}^*), où \sin\left(\frac{kL}{2}\right) = 0, et l'intensité maximale vaut :

Les pulsations \omega correspondant à la mi-hauteur vérifient :

Posons \omega = \omega_N \pm \frac{\Delta\omega_c}{2}, ce qui donne pour le vecteur d'onde k = \frac{\omega}{c} = k_N \pm \frac{\Delta\omega_c}{2c}. L'argument du sinus devient :

Comme les pertes sont faibles (T \ll 1, A \ll 1, donc \sqrt{RR'} \approx 1), le pic de résonance est très étroit : \frac{\Delta\omega_c L}{4c} \ll 1. On effectue un développement limité au premier ordre :

La condition de mi-hauteur devient alors :

Puisque \sqrt{RR'} \simeq 1, on a (RR')^{1/4} \simeq 1, d'où :

En utilisant l'approximation établie à la question 6-a, \sqrt{RR'} \simeq 1 - \frac{T}{2}, on obtient :

D'où l'expression de la largeur à mi-hauteur en pulsation :

La largeur à mi-hauteur exprimée en fréquence est donnée par \Delta\nu_c = \frac{\Delta\omega_c}{2\pi} :

9-a) Expression de la finesse F
Par définition, la finesse de la cavité est le rapport :

D'après les résultats des questions Q7 et Q8 :

• l'intervalle spectral libre s'écrit \nu_{\text{ISL}} = \dfrac{c}{L} ;
• la largeur à mi-hauteur en fréquence s'écrit \Delta\nu_c = \dfrac{\Delta\omega_c}{2\pi} \simeq \dfrac{cT}{2\pi L}.

En effectuant le quotient, on constate que la longueur développée L se simplifie :

9-b) Évaluations numériques
Avec le coefficient de transmission en intensité T = 4 \times 10^{-2} :

En ne retenant qu'un seul chiffre significatif (selon la consigne de l'énoncé) :

La largeur de résonance en fréquence s'en déduit par \Delta\nu_c = \dfrac{\nu_{\text{ISL}}}{F}, avec \nu_{\text{ISL}} = 2{,}0 \times 10^8\text{ Hz} = 200\text{ MHz} (obtenu à la question Q7-c) :

Soit, avec un chiffre significatif :

10-a) Énergie électromagnétique W contenue dans la cavité

La cavité, de longueur géométrique d = L/2, est le siège à la résonance d'une onde stationnaire résultant de la superposition de l'onde aller d'amplitude \mathcal{E} et de l'onde retour d'amplitude \mathcal{E}'. Comme R' \simeq 1 et que la condition de résonance impose un aller-retour en phase (kL = 2\pi N), les deux ondes progressives ont même amplitude en module : |\mathcal{E}'| \simeq |\mathcal{E}|.

La densité volumique d'énergie électromagnétique moyenne associée à chacune de ces ondes planes progressives dans le vide s'écrit :

La longueur de la cavité L/2 étant un nombre entier de demi-longueurs d'onde (L/2 = N \lambda_\ell / 2), le terme d'interférence spatiale entre les deux ondes a une intégrale nulle sur la longueur de la cavité. L'énergie électromagnétique totale contenue dans le volume V = S \times (L/2) est donc égale à la somme des énergies des deux ondes progressives :

10-b) Énergie \delta W sortant pendant la durée \tau

Le faisceau sortant par le miroir de couplage M_{\text{c}} a pour amplitude complexe \mathcal{E}_{\text{out}} et transporte une intensité lumineuse I_{\text{out}} = |\mathcal{E}_{\text{out}}|^2. D'après la question Q2-b, la puissance lumineuse moyenne transmise à travers la section S est :

Pendant le temps d'aller-retour \tau = L/c, l'énergie qui s'échappe de la cavité est :

Comme |\mathcal{E}_{\text{out}}|^2 = T |\mathcal{E}'|^2 \simeq T |\mathcal{E}|^2, on a directement \delta W = T W. En fonction de \mathcal{E}_{\text{out}} :

10-c) Équation différentielle sur W(t)

À chaque aller-retour de durée \tau, la cavité perd l'énergie \delta W. La variation d'énergie sur cet intervalle s'écrit :

Puisque T = 4\times 10^{-2} \ll 1, la perte relative par tour est très faible (\delta W \ll W). On peut donc effectuer l'approximation des milieux continus en assimilant le taux de variation discret à une dérivée temporelle :

D'où l'équation différentielle régissant l'évolution de l'énergie :

10-d) Temps caractéristique \tau_W et application numérique

L'énergie décroît exponentiellement selon W(t) = W(0)\mathrm{e}^{-t/\tau_W}, avec un temps caractéristique :

D'après la question Q9-a, la finesse est donnée par F = \frac{2\pi}{T}, soit T = \frac{2\pi}{F}. On en déduit :

Avec \tau = 5\text{ ns} (question Q7-c) et T = 4\times 10^{-2} :

Avec un chiffre significatif :

Un état stationnaire d'un système quantique isolé est un état propre de l'hamiltonien \hat{H}, associé à une énergie bien définie E_a. Pour un tel état, toutes les grandeurs physiques mesurables ainsi que la densité de probabilité de présence |\psi(x,t)|^2 sont indépendantes du temps.

(i) Forme de la fonction d'onde et dépendance temporelle

Pour un système isolé à une dimension dont le potentiel V(x) est indépendant du temps, la recherche de solutions par séparation des variables spatiales et temporelles conduit à l'expression :

La dépendance temporelle est entièrement contenue dans le facteur de phase harmonique :

(ii) Équation différentielle vérifiée par \varphi_a

En injectant cette forme factorisée dans l'équation de Schrödinger dépendante du temps (3) :

et en calculant la dérivée temporelle \mathrm{i}\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = E_a \psi(x,t), on peut simplifier de part et d'autre par le facteur \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{E_a}{\hbar}t}, ce qui donne l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

qui s'écrit également :

(iii) Variables et condition de normalisation

• La fonction \varphi_a dépend uniquement de la variable spatiale x de l'électron actif ; elle est strictement indépendante du temps t.

• La probabilité totale de présence de l'électron sur tout l'espace étant égale à 1, la fonction d'onde doit être de carré sommable et normalisée à l'unité :

  \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x,t)|^2\,\mathrm{d}x = 1

  Comme |\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{E_a}{\hbar}t}|^2 = 1, la condition de normalisation imposée à \varphi_a s'écrit :

  \boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} |\varphi_a(x)|^2\,\mathrm{d}x = 1}

12-a) Détermination des états stationnaires et de leurs énergies

À l'extérieur du puits (|x| > \ell/2), le potentiel étant infini, la probabilité de présence de l'électron est strictement nulle, d'où :

La continuité de la fonction d'onde en x = \pm \ell/2 impose alors les conditions aux limites :

À l'intérieur du puits (-\ell/2 < x < \ell/2), V(x) = 0. L'équation de Schrödinger indépendante du temps s'écrit :

La solution générale est de la forme :

Les conditions aux limites mènent au système :

Une solution non triviale correspond à deux familles de modes disjointes :

• Modes pairs (B = 0) : \cos\left(\frac{k\ell}{2}\right) = 0 \implies \frac{k\ell}{2} = n \frac{\pi}{2} avec n \in \{1, 3, 5, \dots\} impair.
• Modes impairs (A = 0) : \sin\left(\frac{k\ell}{2}\right) = 0 \implies \frac{k\ell}{2} = n \frac{\pi}{2} avec n \in \{2, 4, 6, \dots\} pair.

En regroupant sous un indice unique n \in \mathbb{N}^*, le vecteur d'onde est quantifié selon k_n = \frac{n\pi}{\ell}. Les niveaux d'énergie quantifiés valent donc :

La condition de normalisation \int_{-\ell/2}^{\ell/2} |\varphi_n(x)|^2\,\mathrm{d}x = 1 fixe la constante de normalisation à \sqrt{2/\ell} (à un facteur de phase global près). Les états stationnaires s'écrivent :

et \varphi_n(x) = 0 en dehors de cet intervalle.

12-b) Réalité et parité des fonctions propres

• Choix réel : L'équation différentielle régissant \varphi_n(x) étant linéaire à coefficients réels, les parties réelle et imaginaire d'une solution complexe sont chacune solution indépendante pour la même valeur propre E_n. Les états liés à une dimension étant non dégénérés, toute solution est proportionnelle à une fonction réelle à une phase globale près : on peut donc toujours choisir \varphi_n(x) réelle.

• Parité définie : Le potentiel étant pair (V(-x) = V(x)), si \varphi_n(x) est solution de valeur propre E_n, alors \tilde{\varphi}_n(x) = \varphi_n(-x) est également solution associée à la même valeur propre E_n. En raison de la non-dégénérescence, \varphi_n(-x) est nécessairement colinéaire à \varphi_n(x) :

  \varphi_n(-x) = \lambda \varphi_n(x) \implies \varphi_n(x) = \lambda^2 \varphi_n(x) \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1

  Chaque état stationnaire est donc soit pair (\lambda = +1), soit impair (\lambda = -1).

Interprétation : La densité volumique de présence |\varphi_n(x)|^2 = |\varphi_n(-x)|^2 respecte la symétrie miroir du système physique : l'électron a une probabilité identique de se trouver à gauche ou à droite du noyau situé en x = 0.

12-c) Orthogonalité des états stationnaires

Soient deux entiers n \neq p. L'intégrale du produit scalaire est restreinte à l'intervalle [-\ell/2, +\ell/2] :

• Si n et p ont des parités distinctes (l'un pair, l'autre impair), le produit \varphi_n(x)\varphi_p(x) est une fonction impaire intégrée sur un intervalle symétrique autour de 0, d'où :

  (\varphi_n, \varphi_p) = 0

• Si n et p sont tous deux impairs (n \neq p), on utilise l'identité 2\cos a \cos b = \cos(a+b) + \cos(a-b) :

  \begin{aligned} (\varphi_n, \varphi_p) &= \frac{1}{\ell} \int_{-\ell/2}^{+\ell/2} \left[\cos\left(\frac{(n+p)\pi x}{\ell}\right) + \cos\left(\frac{(n-p)\pi x}{\ell}\right)\right]\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\ell} \left[ \frac{\ell}{(n+p)\pi}\sin\left(\frac{(n+p)\pi x}{\ell}\right) + \frac{\ell}{(n-p)\pi}\sin\left(\frac{(n-p)\pi x}{\ell}\right) \right]_{-\ell/2}^{+\ell/2} \end{aligned}

  Comme n et p sont de même parité, n+p et n-p sont des entiers pairs non nuls. Par conséquent, \sin\left(\frac{(n\pm p)\pi}{2}\right) = 0, ce qui annule les deux termes.

• Si n et p sont tous deux pairs (n \neq p), l'identité 2\sin a \sin b = \cos(a-b) - \cos(a+b) conduit au même résultat nul pour les mêmes raisons.

On a donc bien dans tous les cas pour n \neq p :

13-a) Structure algébrique de l'espace des états

L'atome étant restreint à l'interaction entre deux niveaux d'énergie, l'ensemble des fonctions d'onde accessibles est l'ensemble des combinaisons linéaires complexes de \varphi_a(x) et \varphi_b(x) :

• \mathcal{E} est par construction un sous-espace vectoriel sur \mathbb{C} de l'espace des fonctions de carré intégrable L^2(\mathbb{R}).

• La famille \{\varphi_a, \varphi_b\} est génératrice de cet espace. D'après le préambule de l'énoncé, les deux états stationnaires sont orthonormés pour le produit scalaire :

  (\varphi_a, \varphi_b) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_a(x)\,\varphi_b(x)\,\mathrm{d}x = 0 \quad \text{et} \quad \|\varphi_a\|^2 = \|\varphi_b\|^2 = 1

  Cette famille est donc orthogonale avec des vecteurs non nuls, ce qui implique qu'elle est libre.

La famille \{\varphi_a, \varphi_b\} constitue donc une base orthonormée de l'espace des états, qui est ainsi un espace vectoriel de dimension 2 sur \mathbb{C}.

Il est muni de la norme hermitienne issue du produit scalaire :

ce qui lui confère une structure d'espace vectoriel normé.

13-b) Évolution temporelle de la superposition

L'atome étant supposé isolé, l'équation de Schrödinger s'écrit avec l'opérateur hamiltonien \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) :

Par définition des états stationnaires \varphi_a et \varphi_b, ceux-ci vérifient :

En injectant \psi(x,t) = a(t)\,\varphi_a(x) + b(t)\,\varphi_b(x) dans l'équation de Schrödinger, il vient :

Par unicité de la décomposition d'un vecteur dans la base \{\varphi_a, \varphi_b\} (ou en projetant successivement selon le produit scalaire avec \varphi_a puis \varphi_b), on identifie terme à terme les composantes :

Ce système découplé se met immédiatement sous la forme matricielle requise :

L'intégration des deux équations scalaires du premier ordre donne directement :

13-c) Signification physique et relation de normalisation

• Signification physique de a(t) et b(t) : Ce sont les amplitudes de probabilité associées respectivement aux états propres \varphi_a (d'énergie E_a) et \varphi_b (d'énergie E_b).
• Signification physique de p_a et p_b : D'après le postulat de la mesure (règle de Born), p_a = |a(t)|^2 représente la probabilité de trouver l'atome dans le niveau d'énergie E_a lors d'une mesure de son énergie à l'instant t. De même, p_b = |b(t)|^2 représente la probabilité de le trouver dans le niveau d'énergie E_b.

La fonction d'onde totale \psi(x,t) décrivant l'état physique de l'électron doit être normée à l'unité à tout instant t :

Compte tenu de l'orthonormalité (\varphi_a,\varphi_b) = 0 et (\varphi_a,\varphi_a) = (\varphi_b,\varphi_b) = 1, il vient la relation de conservation de la probabilité totale :

Cette relation exprime la certitude de trouver l'atome dans l'un des deux états stationnaires accessibles lors d'une mesure. De plus, pour un système isolé, |a(t)|^2 = |a(0)|^2 et |b(t)|^2 = |b(0)|^2 : ces probabilités sont indépendantes du temps.

14-a) Matrice du dipôle atomique et règle de sélection de parité

D'après la question Q12, le puits de potentiel est centré en x = 0 et symétrique :

• \varphi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{\ell}} \cos\left(\frac{\pi x}{\ell}\right) est une fonction paire ;
• \varphi_2(x) = \sqrt{\frac{2}{\ell}} \sin\left(\frac{2\pi x}{\ell}\right) est une fonction impaire.

L'opérateur dipôle électrique selon l'axe \mathrm{O}x est D_x = -ex, qui est une fonction impaire de la variable x.

Examinons les éléments de matrice donnés par la relation (9), sachant que les fonctions d'onde sont réelles :

• Éléments diagonaux :

  D_{aa} = -e \int_{-\ell/2}^{+\ell/2} x\,\varphi_a(x)^2\,\mathrm{d}x \quad \text{et} \quad D_{bb} = -e \int_{-\ell/2}^{+\ell/2} x\,\varphi_b(x)^2\,\mathrm{d}x

  Pour tout état \varphi_a (paire ou impaire), \varphi_a(x)^2 est paire. Par suite, l'intégrande x\,\varphi_a(x)^2 est le produit d'une fonction impaire et d'une fonction paire, donc est une fonction impaire. L'intégrale d'une fonction impaire sur l'intervalle symétrique [-\ell/2, +\ell/2] est identiquement nulle :

  D_{aa} = 0 \quad \text{et} \quad D_{bb} = 0

• Éléments non diagonaux :

  D_{ab} = -e \int_{-\ell/2}^{+\ell/2} x\,\varphi_a(x)\,\varphi_b(x)\,\mathrm{d}x

  Pour \varphi_a = \varphi_1 (paire) et \varphi_b = \varphi_2 (impaire), le produit \varphi_a(x)\varphi_b(x) est une fonction impaire. Ainsi, l'intégrande x\,\varphi_a(x)\varphi_b(x) est le produit de deux fonctions impaires, donc une fonction paire. Son intégrale sur [-\ell/2, +\ell/2] est en général non nulle. En posant d = D_{ab}, on a bien d \in \mathbb{R}.
  Comme les fonctions d'onde sont réelles, l'opérateur D_x est symétrique :

  D_{ba} = -e \int_{-\ell/2}^{+\ell/2} x\,\varphi_b(x)\,\varphi_a(x)\,\mathrm{d}x = D_{ab} = d

On obtient donc la matrice annoncée :

Condition sur le choix des états \varphi_a et \varphi_b : Pour que d = D_{ab} \neq 0, l'intégrande ne doit pas être impair. Puisque x est impair, il est nécessaire que le produit \varphi_a(x)\varphi_b(x) soit impair. Par conséquent :

14-b) Matrice d'interaction et pulsation de Rabi

L'énergie d'interaction dipolaire s'écrit, en z = 0 avec \varphi_0 = 0 :

Puisque le facteur -E_0\cos(\omega t) est purement temporel et scalaire vis-à-vis des coordonnées d'espace, la matrice représentant V_{\text{int}} dans la base \{\varphi_a, \varphi_b\} est proportionnelle à la matrice de D_x :

On identifie la forme demandée \begin{pmatrix} 0 & f(t) \\ f(t) & 0 \end{pmatrix} = f(t) \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} en posant :

En introduisant la pulsation de Rabi \Omega_R = \frac{d E_0}{\hbar}, il vient :

14-c) Équation de Schrödinger et système différentiel sur a(t) et b(t)

L'hamiltonien total du système en présence de l'onde lumineuse est :

Dans la base orthonormée \{\varphi_a, \varphi_b\}, l'hamiltonien non perturbé \hat{H}_0 est diagonal (question Q13-b), et le terme d'interaction est donné par la matrice obtenue au 14-b. La matrice de l'hamiltonien total est donc :

L'équation de Schrödinger \mathrm{i}\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle se traduit matriciellement par :

En développant ce produit matriciel :

En divisant chaque équation par \mathrm{i}\hbar et en utilisant \frac{1}{\mathrm{i}} = -\mathrm{i} (soit -\frac{1}{\mathrm{i}} = +\mathrm{i}), on obtient :

D'après les relations (11), on a :

1. Équation vérifiée par \alpha(t) :

En dérivant l'expression de \alpha(t) = a(t)\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\frac{E_a}{\hbar}t} par rapport au temps :

En utilisant la première équation du système (10), \dfrac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t} + \mathrm{i}\dfrac{E_a}{\hbar}a(t) = \mathrm{i}\Omega_R\cos(\omega t)b(t), il vient :

En développant le cosinus sous forme d'exponentielles complexes, \cos(\omega t) = \dfrac{\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\omega t} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}}{2} :

D'où l'équation pour \alpha(t) :

2. Équation vérifiée par \beta(t) :

De même, en dérivant \beta(t) = b(t)\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\left(\frac{E_a}{\hbar}+\omega\right)t} :

En substituant la seconde équation du système (10), \dfrac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}t} = -\mathrm{i}\dfrac{E_b}{\hbar}b(t) + \mathrm{i}\Omega_R\cos(\omega t)a(t) :

Sachant que \delta\omega = \omega - \omega_0 et \cos(\omega t)\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\omega t} = \dfrac{1 + \mathrm{e}^{+2\mathrm{i}\omega t}}{2}, on obtient :

3. Identification des termes lents et rapides :

• Les termes en facteur de 1 dans les crochets ainsi que le terme en \mathrm{i}\delta\omega oscillent à des pulsations nulles ou de l'ordre de |\delta\omega| \ll \omega, et de \Omega_R \ll \omega : ce sont les termes à variation lente.
• Les termes en \mathrm{e}^{\pm 2\mathrm{i}\omega t} oscillent à la pulsation 2\omega (de l'ordre de 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}) : ce sont les termes à variation rapide (antirésonnants).

16-a) D'après les postulats de la mécanique quantique à une dimension :

• La densité volumique (ici linéique) de probabilité de présence de l'électron en x à l'instant t s'exprime par le module au carré de la fonction d'onde :

  \boxed{\rho(x, t) = |\psi(x, t)|^2 = \psi^*(x, t)\psi(x, t)}

• La probabilité élémentaire \mathrm{d}\mathcal{P} de trouver l'électron dans l'intervalle [x, x + \mathrm{d}x] à l'instant t est donc :

  \boxed{\mathrm{d}\mathcal{P} = |\psi(x, t)|^2\,\mathrm{d}x}

• La valeur moyenne \langle D_x \rangle de la composante du dipôle électrique atomique D_x = -ex s'obtient en intégrant sur toutes les positions possibles :

  \boxed{\langle D_x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*(x, t)\,(-ex)\,\psi(x, t)\,\mathrm{d}x}

16-b) En injectant la décomposition \psi(x, t) = a(t)\varphi_a(x) + b(t)\varphi_b(x) dans l'expression de \langle D_x \rangle, on développe :

En identifiant les éléments de matrice D_{ij} définis par la relation (9), on obtient :

16-c) D'après les définitions (11) des variables \alpha(t) et \beta(t) :

• Interprétation physique : \alpha^*\alpha = p_a et \beta^*\beta = p_b représentent respectivement les probabilités de présence (ou populations) de trouver l'atome dans l'état stationnaire \varphi_a et dans l'état stationnaire \varphi_b.

• Relation : Le système étant modélisé par un système à deux niveaux normalisé (p_a + p_b = 1, d'après la question 13-c), on a :

  \boxed{\alpha^*\alpha + \beta^*\beta = 1}

16-d) D'après la question 14-a, la parité des états impose des moments dipolaires permanents nuls (D_{aa} = D_{bb} = 0), et le dipôle de transition est réel et symétrique : D_{ab} = D_{ba} = d \in \mathbb{R}. Il vient :

En inversant les relations (11) :

On calcule les produits croisés :

L'expression de \langle D_x \rangle devient :

Les termes de population \alpha^*\alpha et \beta^*\beta n'intervenant pas, la valeur moyenne \langle D_x \rangle du dipôle est uniquement reliée à la cohérence C = \beta^*\alpha (et à son conjugué C^*).

16-e) En posant C = \frac{1}{2}(u + \mathrm{i}v) avec (u, v) \in \mathbb{R}^2, on exprime la somme :

En multipliant par d, on retrouve bien la relation (13) :

17-a) Équations en régime permanent pour p_a, p_b et C

L'évolution temporelle de l'état quantique résulte de la somme de trois contributions :

• l'interaction dipolaire avec le champ électromagnétique (relations (14)) :

  \left.\frac{\mathrm{d}p_a}{\mathrm{d}t}\right|_{\text{int}} = -\mathrm{i}\frac{\Omega_R}{2}(C - C^*), \quad \left.\frac{\mathrm{d}p_b}{\mathrm{d}t}\right|_{\text{int}} = +\mathrm{i}\frac{\Omega_R}{2}(C - C^*), \quad \left.\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}\right|_{\text{int}} = -\mathrm{i}\delta\omega C - \mathrm{i}\frac{\Omega_R}{2}(p_a - p_b)

• la relaxation due à l'émission spontanée et aux collisions (relations (15)) :

  \left.\frac{\mathrm{d}p_a}{\mathrm{d}t}\right|_R = -\gamma_1 p_a, \quad \left.\frac{\mathrm{d}p_b}{\mathrm{d}t}\right|_R = -\gamma_1 p_b, \quad \left.\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}\right|_R = -\gamma_2 C

• les termes sources d'apport d'atomes :

  \left.\frac{\mathrm{d}p_a}{\mathrm{d}t}\right|_S = +\Lambda_a, \quad \left.\frac{\mathrm{d}p_b}{\mathrm{d}t}\right|_S = +\Lambda_b, \quad \left.\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}\right|_S = 0

En régime permanent (stationnaire), toutes les dérivées temporelles sont nulles (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} = 0), ce qui conduit au système :

17-b) Solution stationnaire sans onde électromagnétique (\Omega_R = 0)

En posant \Omega_R = 0 dans le système précédent, les termes de couplage s'annulent :

Justification physique : Les atomes alimentés par les termes sources sont créés indépendamment dans les états propres d'énergie \varphi_a ou \varphi_b, sans relation de phase mutuelle (mélange statistique incohérent). La cohérence C = \beta^* \alpha, qui mesure l'existence d'une superposition quantique cohérente avec cohérence de phase entre les deux états, n'est donc induite que par l'interaction dipolaire avec le champ électrique oscillant de l'onde lumineuse (\Omega_R \neq 0).

17-c) Valeur moyenne du dipôle en régime stationnaire

En reportant les expressions de u et v données par l'énoncé dans la relation (13) :

on obtient directement :

17-d) Polarisation du milieu et susceptibilité complexe

Le moment dipolaire par unité de volume est :

P(t) est une combinaison linéaire de \cos(\omega t) et \sin(\omega t), elle est donc sinusoïdale et oscille bien à la pulsation \omega.

Pour déterminer la représentation complexe \underline{P}, rappelons la convention adoptée dans le sujet (équation (2)) : une grandeur réelle A(t) = A_1 \cos(\omega t) + A_2 \sin(\omega t) est associée à l'amplitude complexe \underline{A} telle que A(t) = \mathrm{Re}\left( \underline{A}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \right). Puisque \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} = \cos(\omega t) - \mathrm{i}\sin(\omega t), on a :

Ici, avec P(t) = n d [u \cos(\omega t) - v \sin(\omega t)], l'amplitude complexe associée s'écrit :

Comme C = \frac{1}{2}(u + \mathrm{i}v), on remarque que u - \mathrm{i}v = 2 C^*.

On cherche à identifier sous la forme :

Or au point z=0 et pour \varphi_0 = 0, le champ électrique s'écrit :

Il vient donc :

En utilisant la définition de la pulsation de Rabi \Omega_R = \dfrac{d E_0}{\hbar}, on a \dfrac{n d}{\epsilon_0 E_0} = \dfrac{n d^2}{\epsilon_0 \hbar \Omega_R}.

En séparant parties réelle et imaginaire \underline{\chi} = \chi' + \mathrm{i}\chi'', on a :

En substituant les expressions de u et v :