Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2026

La pression de vapeur saturante p_{\text{sat}}(T) d'un corps pur à la température T est la pression partielle sous laquelle sa phase gazeuse est en équilibre thermodynamique avec sa phase condensée (ici le liquide). C'est aussi la pression partielle maximale que peut atteindre la vapeur dans un mélange gazeux à la température T sans apparition d'une phase liquide.

La pression de vapeur saturante est une fonction strictement croissante de la température :

Cette propriété découle directement de la relation de Clapeyron :

où \Delta h_{\text{vap}} > 0 (l'évaporation est endothermique) et v_{\text{gaz}} \gg v_{\text{liq}} (le volume massique de la vapeur est largement supérieur à celui du liquide).

On choisit l'origine O du repère au centre de la goutte d'eau et on utilise les coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) associées à la base (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi) :

• Invariances spatiales : La goutte est modélisée par une sphère de centre O. La pesanteur est négligée et l'air ambiant est infini, isotrope et au repos : il n'existe aucune direction privilégiée dans l'espace.

• Conditions aux limites :

  • À la surface de la goutte (r = r_{\mathrm{g}}(t)), l'équilibre liquide-vapeur impose une concentration de vapeur saturante uniforme sur toute la sphère.
  • À l'infini (r \to \infty), la pression partielle p_\infty et la concentration c_\infty sont également uniformes.

Le problème est donc invariant par toute rotation autour du centre O (invariance selon les angles \theta et \varphi).

Concentration massique : Le champ de concentration en masse c(\vec{r}, t) étant un champ scalaire, il hérite des invariances du système : il est indépendant des coordonnées angulaires \theta et \varphi. Ainsi :

Flux diffusif : Tout plan contenant le centre O et le point M(r, \theta, \varphi) d'observation est un plan de symétrie de la distribution de vapeur d'eau.

Le vecteur densité de courant diffusif de masse \vec{j}_{\mathrm{m}} étant un vrai vecteur (polaire), il doit appartenir à tous les plans de symétrie passant par M. L'intersection de tous ces plans étant la droite radiale (OM), le vecteur est nécessairement colinéaire à \vec{e}_r :

Le flux diffusif de molécules d'eau à travers une sphère quelconque de rayon r centrée en O est donc purement radial, homogène sur toute la surface de la sphère et à symétrie sphérique.

La loi phénoménologique de Fick stipule que le flux diffusif de matière s'effectue dans le sens des concentrations décroissantes, proportionnellement au gradient spatial de la concentration. Sous forme locale vectorielle, elle s'écrit :

Compte tenu de la symétrie sphérique établie à la question Q2, le gradient s'exprime uniquement selon le rayon r, ce qui donne :

Les grandeurs intervenant dans cette loi ont pour unités dans le Système International (SI) :

• c(r, t) : concentration massique (ou masse volumique de vapeur d'eau), en \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3} ;
• \vec{j}_{\mathrm{m}} : vecteur densité de courant volumique de masse (ou densité de flux massique), en \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{s}^{-1} ;
• D : coefficient de diffusion massique de l'eau dans l'air, en \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1} ;
• r : distance radiale au centre de la goutte, en \mathrm{m}.

La vapeur d'eau est modélisée par un gaz parfait à la température uniforme T. Dans un volume V, la quantité de matière n_{\mathrm{eau}} de vapeur d'eau sous la pression partielle p(r, t) vérifie :

La concentration en masse (ou masse volumique partielle) de vapeur d'eau est c(r, t) = \frac{m_{\mathrm{eau}}}{V} = \frac{n_{\mathrm{eau}} M_{\mathrm{eau}}}{V}. On en déduit directement :

Les conditions aux limites sur la pression partielle s'écrivent :

• À la surface de la goutte (r = r_{\mathrm{g}}(t)) : l'eau liquide est en équilibre physico-chimique avec sa vapeur saturante à la température T, donc p(r_{\mathrm{g}}, t) = p_{\mathrm{sat}}(T).
• Loin de la goutte (r \to \infty) : la pression partielle de vapeur d'eau rejoint celle de l'air ambiant, soit p(r \to \infty, t) = p_{\infty}.

On en déduit les conditions aux limites pour la concentration en masse :

L'équation de diffusion régissant le transport de la vapeur d'eau hors de la goutte s'écrit :

L'échelle spatiale caractéristique sur laquelle le gradient de concentration s'établit autour de la goutte est son rayon initial r_{\mathrm{g}0} (ou son rayon instantané r_{\mathrm{g}}(t)). Le temps caractéristique d'établissement du profil diffusif dans l'air ambiant s'obtient par analyse dimensionnelle :

Par ailleurs, la source (la goutte) évolue sur une échelle de temps macroscopique donnée par son temps d'évaporation totale, c'est-à-dire sa durée de vie t_0 (ou \tau_{\text{évap}}).

L'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) est donc légitime si le temps de réponse diffusif est très court devant le temps d'évolution du rayon de la goutte, ce qui se traduit par le critère quantitatif :

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires, le vecteur densité de courant de masse \vec{j}_{\mathrm{m}} est à flux conservatif. Le flux de masse sortant à travers une sphère concentrique de rayon r \ge r_{\mathrm{g}}, orientée vers l'extérieur par \mathrm{d}\vec{S} = r^2 \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{e}_r, est donc indépendant de r :

D'après la loi de Fick établie à la question Q3, la composante radiale s'écrit j_{\mathrm{m}}(r, t) = -D \dfrac{\partial c}{\partial r}(r, t), ce qui conduit à :

À chaque instant t, on sépare les variables pour intégrer le profil de concentration entre la surface de la goutte (r = r_{\mathrm{g}}) et l'infini (r \to \infty) :

On en déduit l'expression du flux massique en fonction des concentrations limites :

En utilisant les conditions aux limites obtenues à la question Q4, c(r_{\mathrm{g}}, t) = \dfrac{M_{\mathrm{eau}} p_{\mathrm{sat}}(T)}{RT} et c(\infty, t) = \dfrac{M_{\mathrm{eau}} p_\infty(T)}{RT} :

Comme l'humidité relative est définie par \mathcal{R}_H = \dfrac{p_\infty(T)}{p_{\mathrm{sat}}(T)}, on obtient bien :

La goutte étant supposée sphérique de rayon r_{\mathrm{g}}(t) et incompressible de masse volumique \mu_{\mathrm{eau}}, sa masse à l'instant t s'écrit :

La variation de masse entre t et t + \mathrm{d}t s'exprime donc géométriquement par différentiation :

D'autre part, la diminution de masse de la goutte provient du flux diffusif de masse \phi_{\mathrm{m}} sortant de sa surface à travers l'interface liquide-vapeur. Le bilan de masse s'écrit donc :

En égalant ces deux expressions, il vient :

En remplaçant \phi_{\mathrm{m}} par son expression établie à la question Q6 :

l'équation devient :

En simplifiant par 4\pi \mu_{\mathrm{eau}} r_{\mathrm{g}}(t), on obtient bien :

D'après la question Q7, l'évolution du rayon de la goutte vérifie :

En remarquant que r_{\mathrm{g}}\,\frac{\mathrm{d}r_{\mathrm{g}}}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}(r_{\mathrm{g}}^2)}{\mathrm{d}t}, l'équation différentielle devient :

Le second membre étant constant au cours du temps dans l'hypothèse isotherme, on intègre entre t=0 (où r_{\mathrm{g}}(0) = r_{\mathrm{g}0}) et un instant t quelconque :

Le temps d'évaporation totale de la goutte t_0 correspond à l'annulation du rayon, soit r_{\mathrm{g}}(t_0) = 0, ce qui donne :

En substituant t_0 dans l'expression de r_{\mathrm{g}}^2(t), on obtient la loi d'évolution pour tout instant t \in [0, t_0] :

D'après le résultat de la question Q8, le temps d'évaporation totale d'une goutte isotherme dans une atmosphère sèche (\mathcal{R}_H = 0) s'exprime par :

Avec les données numériques fournies :

• \mu_{\mathrm{eau}} = 1{,}0 \times 10^3 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• R = 8{,}314 \text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• T = 293{,}15 \text{ K} ;
• r_{\mathrm{g}0} = 1 \text{ mm} = 1{,}0 \times 10^{-3} \text{ m} ;
• M_{\mathrm{eau}} = 18 \text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 18 \times 10^{-3} \text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• D = 2{,}4 \times 10^{-5} \text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} ;
• p_{\mathrm{sat}}(T) = 2{,}3 \times 10^3 \text{ Pa}.

On obtient l'application numérique :

Discussion de la validité de l'ARQS :

D'après le critère établi à la question Q5, la validité de l'approximation des régimes quasi-stationnaires repose sur la condition :

Numériquement, le temps caractéristique de diffusion de la vapeur dans l'air à l'échelle de la goutte vaut :

Le rapport des échelles de temps donne :

Le temps d'établissement du profil de concentration dans la phase vapeur est de l'ordre de quelques centièmes de seconde, tandis que l'évaporation s'étend sur une vingtaine de minutes. L'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) est donc pleinement justifiée.

La diffusivité thermique de l'eau liquide est donnée par :

Soit numériquement :

Le temps caractéristique d'uniformisation thermique par diffusion au sein de la goutte de rayon r_{\mathrm{g}0} = 1\text{ mm} vaut :

Ce temps est très inférieur à la durée de vie de la goutte estimée à la question Q9 (t_0 \simeq 1{,}2\times 10^3\text{ s}) :

De plus, la conductivité thermique de l'eau liquide est très supérieure à celle de l'air :

La résistance thermique interne de conduction dans la goutte est donc négligeable devant la résistance thermique externe dans l'air environnant.

La diffusion de chaleur au sein de la goutte est suffisamment rapide pour homogénéiser sa température à chaque instant :

1. Le passage de l'état liquide à l'état gazeux nécessite d'apporter de l'énergie au fluide afin de rompre les interactions intermoléculaires attractives (liaisons hydrogène et interactions de Van der Waals). L'enthalpie massique de changement d'état est strictement positive :

   \Delta h_{\text{vap}} > 0

   L'évaporation est par conséquent une transformation endothermique.

2. Pour compenser l'énergie consommée par la vaporisation de l'eau, la goutte doit recevoir un flux thermique de la part du milieu extérieur en régime quasi-stationnaire :

   \phi_{\text{th,d}} > 0

   D'après le second principe de la thermodynamique (ou la loi de Fourier), l'énergie thermique diffuse spontanément des zones les plus chaudes vers les zones les plus froides. Pour que la goutte reçoive un flux thermique depuis l'atmosphère à la température T_\infty, il est nécessaire que :

   \boxed{T_{\mathrm{g}} < T_\infty}

   La température de la goutte est donc plus petite que la température T_\infty de l'air ambiant.

Dans l'air ambiant (r \ge r_{\mathrm{g}}), le transfert thermique est purement diffusif et régi par la loi de Fourier :

En régime quasi-stationnaire et sans terme source dans l'air, le vecteur densité de courant thermique est à flux conservatif :

Compte tenu de la symétrie sphérique, le laplacien s'écrit :

Par intégration, la température dans l'air est de la forme :

Les conditions aux limites s'écrivent :

• à la surface de la goutte : T(r_{\mathrm{g}}) = T_{\mathrm{g}} ;
• loin de la goutte : \lim_{r \to \infty} T(r) = T_\infty.

On en déduit immédiatement B = T_\infty, puis C = r_{\mathrm{g}}(T_\infty - T_{\mathrm{g}}), soit :

Le flux thermique \phi_{\mathrm{th,d}} reçu par la goutte correspond au flux de \vec{j}_{\mathrm{th}} à travers la surface de la goutte orientée vers l'intérieur (selon -\vec{e}_r) :

Par identification avec l'expression \phi_{\mathrm{th,d}} = \dfrac{T_\infty - T_{\mathrm{g}}}{R_{\mathrm{th,d}}}, on obtient :

D'après la relation \phi_{\mathrm{th,d}} = \Delta T / R_{\mathrm{th,d}}, où \phi_{\mathrm{th,d}} est en watts (\mathrm{W}) et \Delta T en kelvins (\mathrm{K}), l'unité de la résistance thermique dans le Système International est :

Considérons la goutte d'eau comme système ouvert à l'instant t. En régime quasi-stationnaire, la température T_{\mathrm{g}} de la goutte est uniforme et quasi-constante à l'échelle des temps de transfert thermique. La puissance thermique reçue ne sert donc pas à modifier l'énergie sensible du liquide, mais alimente intégralement l'évaporation de l'eau.

Pendant un intervalle de temps \mathrm{d}t, une masse \mathrm{d}m = \phi_{\mathrm{m}}\,\mathrm{d}t d'eau liquide se vaporise, ce qui requiert un apport enthalpique \delta H_{\mathrm{vap}} = \Delta h_{\mathrm{vap}}\,\mathrm{d}m. Le premier principe de la thermodynamique en régime stationnaire s'écrit alors :

En utilisant l'expression du flux thermique diffusif obtenue à la question Q12, \phi_{\mathrm{th,d}} = 4\pi \lambda_{\mathrm{air}} r_{\mathrm{g}} (T_\infty - T_{\mathrm{g}}), et l'expression du flux massique modifiée (4) :

On simplifie par 4\pi r_{\mathrm{g}}, ce qui montre que l'écart de température est indépendant du rayon de la goutte à ce stade :

Factorisons le terme entre parenthèses par \dfrac{p_{\mathrm{sat}}(T_\infty)}{T_\infty} :

Sachant que l'humidité relative est \mathcal{R}_H = \dfrac{p_\infty(T_\infty)}{p_{\mathrm{sat}}(T_\infty)}, on obtient :

D'après l'équation (5) et la relation de Clausius-Clapeyron (6) :

En identifiant avec les constantes prédéfinies dans le code :

l'équation à résoudre s'écrit sous la forme f(T_{\mathrm{g}}) = 0 en posant la variable x = T_{\mathrm{g}} :

La fonction Python se complète donc par :

def f(x):
    return Tinf - x - C1 * ((Tinf / x) * np.exp(C2 * (1 / Tinf - 1 / x)) - RH)

Choix des bornes d'encadrement :

• Borne supérieure : d'après la question Q11, l'évaporation est endothermique, donc T_{\mathrm{g}} < T_\infty. En x = T_\infty, on a f(T_\infty) = -C_1(1 - \mathcal{R}_H) < 0. On peut donc choisir :

  b = \texttt{Tinf} \quad (\text{soit } 293{,}15\text{ K})

• Borne inférieure : la goutte est liquide, sa température est supérieure ou voisine de la température de fusion T_{\mathrm{fus}} = 273{,}15\text{ K}. Pour x = 273\text{ K}, le terme exponentiel devient nettement inférieur à 1, de sorte que le refroidissement théorique T_\infty - x l'emporte et f(x) > 0. On peut ainsi retenir :

  a = 270\text{ K} \quad (\text{ou } 273\text{ K})

La fonction f étant continue et strictement décroissante sur cet intervalle avec f(a) > 0 et f(b) < 0, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence et l'unicité de la racine recherchée par la méthode de dichotomie.

D'après la question Q4, la vapeur d'eau se comportant comme un gaz parfait, la concentration en masse de vapeur saturante à une température T s'exprime par :

Le rapport des concentrations à T_{\mathrm{fus}} et T_\infty vaut ainsi :

En évaluant le modèle affine de l'équation (7) en T = T_{\mathrm{fus}}, on obtient :

On en déduit l'expression de \alpha :

Application numérique : Avec les données fournies :

• T_\infty = 293{,}15\text{ K} et T_{\mathrm{fus}} = 273{,}15\text{ K}, d'où T_\infty - T_{\mathrm{fus}} = 20{,}00\text{ K} ;
• p_{\mathrm{sat}}(T_\infty) = 2{,}3 \times 10^3\text{ Pa} et p_{\mathrm{sat}}(T_{\mathrm{fus}}) = 6{,}1 \times 10^2\text{ Pa}.

Le rapport vaut :

D'où :

D'après la relation liant la concentration massique de vapeur et la pression partielle issue de la loi des gaz parfaits établie à la question Q4 :

Le rapport des concentrations saturantes aux températures T_{\mathrm{g}} et T_\infty s'écrit donc :

En utilisant la modélisation affine (7) de c_{\mathrm{sat}}(T) au voisinage de T_\infty :

L'équation (5) issue du bilan énergétique s'écrit alors :

où l'on a posé la constante :

En développant et en regroupant les termes dépendant de l'écart T_\infty - T_{\mathrm{g}} :

On en déduit immédiatement :

D'après la question Q16, pour une atmosphère sèche (\mathcal{R}_H = 0), l'écart de température s'écrit :

où la constante K s'exprime par :

Calculons numériquement K à l'aide des données de l'énoncé :

• \Delta h_{\mathrm{vap}} = 2{,}4 \times 10^6\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}
• M_{\mathrm{eau}} = 18 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• D = 2{,}4 \times 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1}
• p_{\mathrm{sat}}(T_\infty) = 2{,}3 \times 10^3\text{ Pa}
• \lambda_{\mathrm{air}} = 2{,}6 \times 10^{-2}\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}
• R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}
• T_\infty = 293{,}15\text{ K}

Avec la valeur obtenue à la question Q15, \alpha \simeq 3{,}58 \times 10^{-2}\text{ K}^{-1}, on obtient :

D'où l'écart de température :

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires, la température d'équilibre T_{\mathrm{g}} de la goutte ne dépend pas de son rayon r_{\mathrm{g}} (d'après l'équation (5)). Le bilan de masse appliqué à la goutte s'écrit de la même manière qu'à la question Q7 :

Le flux massique d'évaporation pour une atmosphère sèche (\mathcal{R}_H = 0) est donné par l'équation (4) :

D'après le bilan d'énergie stationnaire de la question Q13, ce flux est directement relié au flux thermique reçu :

L'équation différentielle régissant l'évolution du rayon devient ainsi :

En intégrant entre t = 0 (r_{\mathrm{g}} = r_{\mathrm{g}0}) et t = t'_0 (r_{\mathrm{g}} = 0), on obtient :

Application numérique : En utilisant la valeur numérique fournie par la résolution exacte de l'équation (5) via le programme Python (T_{\mathrm{g}} = 277{,}7\text{ K}, soit T_\infty - T_{\mathrm{g}} \simeq 15{,}4\text{ K}) :

On trouve :

Remarque : En utilisant l'écart approché T_\infty - T_{\mathrm{g}} \simeq 16\text{ K} issu de la modélisation affine (question Q17), on obtient t'_0 \simeq 2{,}9 \times 10^3\text{ s} \approx 48\text{ min}.

La goutte étant modélisée par une sphère de rayon r_{\mathrm{g}}, sa surface totale d'échange s'écrit :

D'après l'énoncé, le flux radiatif net reçu par la goutte s'exprime selon la loi de Stefan-Boltzmann :

Posons \Delta T = T_\infty - T_{\mathrm{g}}. Comme |\Delta T| / T_\infty \ll 1, effectuons un développement limité au premier ordre de T_{\mathrm{g}}^4 autour de T_\infty :

On en déduit :

En injectant cette relation dans l'expression du flux radiatif, il vient :

Par identification avec la relation \phi_{\mathrm{th,rad}} = \dfrac{T_\infty - T_{\mathrm{g}}}{R_{\mathrm{rad}}}, on obtient la résistance thermique radiative :

D'après les questions Q12 et Q19, les flux thermiques diffusif et radiatif reçus par la goutte s'écrivent :

Le flux thermique diffusif est prédominant par rapport au flux thermique radiatif lorsque :

Sachant que T_\infty - T_{\mathrm{g}} > 0 et r_{\mathrm{g}} > 0, cette condition s'écrit :

On en déduit la condition sur le rayon de la goutte :

Application numérique : Avec \lambda_{\mathrm{air}} = 2{,}6 \times 10^{-2}\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, \sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}, \varepsilon = 0{,}96 et T_\infty = 293{,}15\text{ K} :

La condition s'écrit donc :

L'équation psychrométrique fournie par l'énoncé (équation 9) s'écrit :

On en déduit immédiatement la pression partielle de vapeur d'eau loin de la goutte :

Par définition de l'humidité relative \mathcal{R}_H = \dfrac{p_\infty(T_\infty)}{p_{\mathrm{sat}}(T_\infty)}, il vient :

En régime stationnaire, l'énergie reçue par transfert thermique compense exactement l'enthalpie requise par la vaporisation de l'eau :

D'après les relations (10) et (11), et compte tenu de l'égalité des coefficients de ventilation f_{\mathrm{ev}} = f_{\mathrm{h}}, ces coefficients se simplifient :

Le flux thermique diffusif s'exprime (d'après Q12) par :

Le flux massique d'évaporation s'écrit d'après l'équation (4) :

L'écart relatif de température étant très faible (\Delta T \ll \bar{T}), on approxime les températures au dénominateur par une température moyenne \bar{T} \simeq T_{\mathrm{g}} \simeq T_\infty :

où l'on a introduit \Delta p = p_\infty(T_\infty) - p_{\mathrm{sat}}(T_{\mathrm{g}}). Le flux massique devient alors :

En injectant ces expressions dans le bilan énergétique :

Par identification avec l'équation psychrométrique \Delta p = -\mathcal{A} p_{\mathrm{atm}} \Delta T (équation (9)), on en déduit l'expression du coefficient psychrométrique :

L'équation de Navier-Stokes fournie en annexe s'écrit pour une particule fluide de masse volumique \mu et de viscosité dynamique \eta :

Elle correspond au principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule fluide par unité de volume (\mu \frac{\mathrm{D}\vec{v}}{\mathrm{D}t} = \vec{f}_{\text{vol, total}}). Chacun de ses termes s'interprète ainsi :

• \mu \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} : terme d'accélération locale (par unité de volume), traduisant l'instationnarité temporelle de l'écoulement en un point fixe du référentiel d'étude ;
• \mu (\vec{v} \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v} : terme d'accélération convective (ou advective) par unité de volume, traduisant le transport de quantité de mouvement par l'écoulement lui-même d'un point à un autre de l'espace ;
• -\vec{\mathrm{grad}}\,p : force volumique issue des contraintes normales de pression, traduisant l'effet des gradients de pression au sein du fluide ;
• \eta \Delta \vec{v} : force volumique de viscosité, traduisant la diffusion moléculaire de quantité de mouvement due aux frottements internes pour un fluide newtonien incompressible ;
• \vec{f}_{\mathrm{vol}} : résultante volumique des forces à distance et d'inertie.

Dans le référentiel lié au plateau tournant à la vitesse angulaire uniforme \vec{\omega} = \omega\,\vec{e}_z, référentiel non galiléen, les forces volumiques \vec{f}_{\mathrm{vol}} appliquées au fluide comprennent :

1. Le poids volumique dû à la pesanteur :

   \vec{f}_{\text{pes}} = \mu \vec{g} = -\mu g \vec{e}_z

2. La force d'inertie d'entraînement (purement centrifuge car \vec{\omega} = \text{cte}) :

   \vec{f}_{\mathrm{ie}} = -\mu \left( \vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \vec{r}) \right) = \mu \omega^2 r\,\vec{e}_r

3. La force d'inertie de Coriolis :

   \vec{f}_{\mathrm{ic}} = -2\mu (\vec{\omega} \wedge \vec{v})

D'où l'expression globale des forces volumiques :

D'après la question Q23, les deux forces volumiques d'inertie s'écrivent :

Leurs ordres de grandeur respectifs sont donc :

où v représente la vitesse d'écoulement typique du fluide dans le référentiel tournant.

La goutte s'étale sur une distance radiale maximale de l'ordre du rayon du substrat R_{\max} = 10\text{ cm} (ou au minimum sur son rayon initial R_0 = 5\text{ mm}) pendant la durée de rotation T = 30\text{ s}. Une vitesse d'écoulement radiale caractéristique est donc majorée par :

Le rapport des forces volumiques d'inertie s'évalue ainsi :

Application numérique : La vitesse angulaire du plateau vaut :

Avec T = 30\text{ s}, on obtient :

Le rapport étant très inférieur à 1, la force centrifuge est largement prépondérante devant la force de Coriolis :

1. Annulation de la composante orthoradiale v_\theta :

Considérons un plan méridien quelconque \Pi_m passant par l'axe de rotation (Oz), défini par la base (\vec{e}_r, \vec{e}_z) en un point M.

• La géométrie du problème (substrat plan, goutte initialement à symétrie de révolution) est invariante par réflexion par rapport à \Pi_m.
• Les forces volumiques appliquées dans le référentiel tournant sont le poids volumique -\mu g \vec{e}_z et la force d'inertie d'entraînement centrifuge \mu \omega^2 r \vec{e}_r. Ces deux forces sont contenues dans \Pi_m.
• Comme la force de Coriolis est négligeable d'après la question Q24, elle n'introduit aucun terme brisant cette symétrie (la force de Coriolis aurait comporté une composante selon \vec{e}_\theta due à v_r).

Le plan \Pi_m est donc un plan de symétrie pour l'ensemble des causes. Le vecteur vitesse \vec{v}, étant un vecteur vrai (polaire), doit appartenir à ce plan de symétrie en tout point M :

2. Indépendance de la norme de la vitesse vis-à-vis de \theta :

Le système (substrat, goutte, champ de pesanteur et rotation uniforme) présente une invariance par toute rotation d'angle \theta autour de l'axe vertical (Oz).

Par conséquent, aucune grandeur physique ne peut dépendre de la variable angulaire \theta : le champ des vitesses vérifie \vec{v}(r, z, t), et sa norme \|\vec{v}\| est donc strictement indépendante de \theta :

Pour un fluide incompressible, l'équation de conservation de la masse se réduit à :

En coordonnées cylindriques, d'après le formulaire fourni et en exploitant les résultats de la question Q25 (v_\theta = 0 et invariance selon \theta), cette relation s'écrit :

Notons R l'échelle spatiale caractéristique selon la direction radiale (R \sim R_0 = 5\text{ mm}) et h l'échelle spatiale selon l'axe vertical (h \sim h_0 = 0{,}5\text{ mm}). En ordre de grandeur, les dérivées spatiales s'estiment par :

L'incompressibilité impose que ces deux termes soient du même ordre de grandeur :

Or, la goutte est très aplatie (h_0 \ll R_0, et le film s'amincit encore au cours de la rotation de sorte que h(t) \ll r(t) reste constamment vérifié), soit :

La composante v_z est donc tout à fait négligeable devant v_r. Compte tenu de v_\theta = 0, le champ de vitesse est bien principalement radial :

D'après le formulaire, le Laplacien vectoriel projeté selon \vec{e}_r s'écrit :

D'après la question Q25, l'écoulement présente une symétrie de révolution (\partial/\partial\theta = 0) et une vitesse orthoradiale nulle (v_\theta = 0). Les deux termes de dérivée par rapport à \theta s'annulent donc rigoureusement :

Développons le premier terme :

Évaluons l'ordre de grandeur de chacun des termes non nuls à l'aide des grandeurs caractéristiques de l'écoulement :

• une échelle caractéristique de vitesse radiale notée V_r ;
• une dimension radiale caractéristique R (avec r \sim R) ;
• une épaisseur caractéristique de la couche liquide h.

Les termes associés aux variations spatiales radiales s'évaluent ainsi :

Tandis que le terme associé au gradient de cisaillement vertical s'évalue selon :

Le rapport de l'ordre de grandeur d'un terme de diffusion radiale sur celui du terme de diffusion transverse (selon z) vaut :

Or, d'après les données de l'énoncé, la goutte est très aplatie dès l'état initial :

Au cours de l'enduction, le film s'amincit encore (h < h_0) et son rayon s'accroît (r > R_0), renforçant l'inégalité (h/R)^2 \ll 1.

Le terme diffusif \dfrac{\partial^2 v_r}{\partial z^2} est donc largement dominant devant l'ensemble des autres termes diffusifs :

Le nombre de Reynolds \mathrm{Re} est un nombre sans dimension comparant l'ordre de grandeur des forces d'inertie convectives à celui des forces visqueuses :

où V est une vitesse caractéristique de l'écoulement, L une dimension caractéristique du système, \mu la masse volumique du fluide et \eta sa viscosité dynamique.

Estimons les grandeurs caractéristiques :

• La goutte s'étale sur une distance radiale de l'ordre de R_{\max} = 10\text{ cm} pendant la durée de rotation T = 30\text{ s}, ce qui conduit à une vitesse d'écoulement radial typique :

  V \sim \frac{R_{\max}}{T} = \frac{0{,}10}{30} \simeq 3{,}3 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• Dans l'approximation du film mince (h \ll R), le cisaillement visqueux s'établit principalement sur l'épaisseur du film liquide (cf. question Q27). L'échelle spatiale pertinente pour les gradients de vitesse est donc l'épaisseur h \lesssim h_0 = 0{,}5\text{ mm} = 5 \times 10^{-4}\text{ m}.

L'évaluation numérique du nombre de Reynolds donne :

Même en choisissant l'échelle macroscopique L \sim R_{\max} \sim 0{,}1\text{ m}, le rapport effectif entre l'inertie convective et le terme visqueux dominant établi en Q27 vaut :

Puisque \mathrm{Re} \ll 1, le terme d'inertie convective (\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v} est tout à fait négligeable devant le terme de viscosité \eta \Delta \vec{v} dans l'équation de Navier-Stokes.

L'équation se simplifie ainsi en :

(Équation de Stokes instationnaire).

L'écoulement est dit quasi-stationnaire si le terme d'accélération locale \mu \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} est négligeable devant le terme visqueux \eta \Delta \vec{v}.

D'après la question Q27, le terme visqueux selon \vec{e}_r est dominé par la diffusion transverse :

L'accélération locale s'estime quant à elle sur la durée caractéristique d'étalement de la goutte, de l'ordre de la durée de rotation T = 30\text{ s} :

Le rapport de ces deux termes s'écrit :

où \tau_{\text{visq}} \sim \frac{\mu h^2}{\eta} représente le temps caractéristique de diffusion de la quantité de mouvement à travers l'épaisseur du film. Comme h(t) \leqslant h_0 = 0{,}5\text{ mm}, on majore ce temps à l'instant initial :

Avec \mu = 1{,}06\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} = 1{,}06 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, \eta = 3{,}6 \times 10^{-2}\text{ Pa}\cdot\text{s} et h_0 = 5 \times 10^{-4}\text{ m} :

On constate que :

Le profil de vitesse s'établit ainsi quasi instantanément à travers l'épaisseur du film par rapport aux variations macroscopiques lentes de sa géométrie :

L'écoulement est donc bien quasi-stationnaire, et le terme \mu \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} est négligeable dans l'équation de Navier-Stokes.

Dans le référentiel lié au plateau tournant, l'équation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien incompressible s'écrit :

D'après les questions précédentes et les hypothèses de l'énoncé :

• L'écoulement étant quasi-stationnaire (Q29) et à très faible nombre de Reynolds (\mathrm{Re} \ll 1, Q28), les termes d'inertie locale et convective sont tous deux négligeables :

  \mu \left[ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v} \right] \simeq \vec{0}

• Les forces volumiques se réduisent à la seule force d'inertie centrifuge (Q23, Q24), la pesanteur étant négligée :

  \vec{f}_{\mathrm{vol}} \cdot \vec{e}_r = \mu \omega^2 r
• La pression au sein de la goutte est uniforme, d'où (\vec{\operatorname{grad}} p) \cdot \vec{e}_r = \dfrac{\partial p}{\partial r} = 0.

• Le terme de diffusion visqueuse projeté sur \vec{e}_r est dominé par le gradient transverse (Q27) :

  (\Delta \vec{v}) \cdot \vec{e}_r \simeq \frac{\partial^2 v_r}{\partial z^2}

La projection radiale de l'équation de Navier-Stokes se réduit donc à l'équilibre entre la force centrifuge et les forces de viscosité :

On en déduit immédiatement l'équation différentielle vérifiée par v_r :

Condition en z = 0 : Le plan z = 0 correspond à la surface du substrat, immobile dans le référentiel lié au plateau tournant. Pour un fluide visqueux au contact d'une paroi solide, la condition cinétique d'adhérence (non-glissement) impose l'annulation de la vitesse relative du fluide par rapport à la paroi :

Condition en z = h(r, t) : Le plan z = h(r, t) représente l'interface libre entre le liquide organique et l'air.

• L'air a une viscosité dynamique négligeable devant celle du liquide (\eta_{\text{air}} \sim 1{,}8 \times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s} \ll \eta = 3{,}6 \times 10^{-2}\text{ Pa}\cdot\text{s}) : il n'exerce pratiquement aucun cisaillement sur le film liquide.
• L'énoncé précise que l'interface présente une pente très faible (\partial h / \partial r \ll 1) ; le vecteur unitaire normal à la surface libre est donc assimilable à \vec{e}_z, et le vecteur tangent est dirigé selon \vec{e}_r.

La contrainte de cisaillement tangentielle exercée sur le liquide à la surface libre est donc nulle :

L'écoulement étant quasi unidirectionnel (v_z \ll v_r) avec des variations radiales bien plus lentes que les variations transverses (\partial/\partial r \ll \partial/\partial z), le gradient \partial v_z/\partial r est négligeable devant \partial v_r/\partial z. On en déduit :

D'après la question Q30, la composante radiale de la vitesse vérifie :

Une première intégration par rapport à z conduit à :

La condition de contrainte tangentielle nulle à la surface libre (question Q31), \left(\frac{\partial v_r}{\partial z}\right)_{z=h} = 0, permet d'identifier la fonction C_1(r, t) :

Le gradient transverse s'écrit donc :

Une seconde intégration par rapport à z donne :

D'après la condition d'adhérence à la paroi en z = 0 (question Q31), v_r(r, 0, t) = 0, d'où C_2(r, t) = 0. On obtient finalement :

Le débit volumique Q(r, t) traversant la surface latérale \Sigma d'un cylindre de rayon r et de hauteur h(r, t) s'exprime par le flux du champ de vitesse :

L'élément de surface latérale, orienté vers l'extérieur par le vecteur unitaire radial \vec{e}_r, s'écrit en coordonnées cylindriques :

L'écoulement étant à symétrie de révolution (v_r indépendant de \theta), l'intégration selon la variable angulaire \theta donne un facteur 2\pi :

En utilisant l'expression de la vitesse radiale obtenue à la question Q32 :

le calcul de l'intégrale sur z conduit à :

En réinjectant ce résultat dans l'expression du débit, on obtient :

soit finalement :

Considérons le système ouvert constitué par le liquide contenu dans la tranche annulaire comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r. Du fait de la symétrie axiale, la surface de base de cet anneau est :

À l'ordre 1 en \mathrm{d}r, la hauteur de liquide est uniforme sur cette tranche et vaut h(r, t). Le volume occupé par le fluide à la date t s'écrit donc :

Le fluide étant incompressible, sa masse volumique \mu est constante et la masse contenue dans ce système ouvert à l'instant t est :

Entre les instants t et t + \mathrm{d}t, le système ouvert restant géométriquement délimité par les rayons r et r + \mathrm{d}r, seule la hauteur du film varie de h(r, t) à h(r, t + \mathrm{d}t) = h(r, t) + \frac{\partial h}{\partial t}(r, t)\,\mathrm{d}t.

La variation de la masse de fluide contenue dans le système s'écrit alors :

soit au premier ordre en \mathrm{d}t :

Le débit volumique Q(r, t) défini à la question Q33 correspond au volume de fluide traversant par unité de temps la surface cylindrique de rayon r, orientée vers l'extérieur (dans le sens de \vec{e}_r).

• À la surface intérieure en r : le fluide qui s'éloigne du centre entre dans le système annulaire compris entre r et r + \mathrm{d}r. Le volume entrant pendant la durée \mathrm{d}t est donc Q(r, t)\,\mathrm{d}t. En multipliant par la masse volumique \mu du fluide, la masse entrante vaut :

  \boxed{\delta m_{\mathrm{e}}(r, t) = \mu Q(r, t)\,\mathrm{d}t}

• À la surface extérieure en r + \mathrm{d}r : le débit Q(r + \mathrm{d}r, t) est orienté vers l'extérieur du système. La masse entrant algébriquement par cette frontière entre t et t + \mathrm{d}t est donc l'opposée de la masse sortante :

  \boxed{\delta m_{\mathrm{e}}(r + \mathrm{d}r, t) = -\mu Q(r + \mathrm{d}r, t)\,\mathrm{d}t}

L'écoulement étant purement radial (questions Q25 et Q26) et n'ayant lieu ni à travers le substrat (z = 0) ni à travers la surface libre (z = h), la masse totale nette \delta^2 m_{\mathrm{e}} entrant dans le système ouvert s'écrit :

En effectuant un développement de Taylor au premier ordre en \mathrm{d}r :

on obtient la masse nette entrant dans la tranche pendant l'intervalle \mathrm{d}t :

Le principe de conservation de la masse appliqué au système ouvert entre les dates t et t + \mathrm{d}t impose :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q34 et Q35 :

Après simplification par \mu\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t, on obtient la forme locale de l'équation de continuité pour le film mince :

D'après l'expression du débit volumique Q(r, t) établie à la question Q33 :

Dérivons partiellement Q(r, t) par rapport à la variable d'espace r :

En réinjectant cette dérivée dans l'équation de bilan sur h(r, t), on trouve :

On aboutit bien à l'équation demandée :

D'après le modèle simplifié, la goutte conserve une forme cylindrique d'épaisseur uniforme h(t) pour tout r \leqslant r(t). Par conséquent, l'épaisseur ne dépend pas de la coordonnée radiale r, soit :

L'équation-bilan (14) établie à la question Q36 :

devient alors une équation différentielle ordinaire pour h(t) :

On sépare les variables et on intègre entre t = 0 (où h(0) = h_0) et un instant t :

En introduisant le temps caractéristique :

on obtient la loi d'évolution temporelle de la hauteur de la goutte :

Le liquide est modélisé comme un fluide incompressible et l'évaporation du solvant est négligée pendant la phase d'étalement (étape 3). Par conséquent, le volume total de la goutte est rigoureusement conservé au cours du temps.

D'après le modèle de la goutte cylindrique (figure 7), le volume à un instant t quelconque s'écrit :

À l'instant initial t = 0, ce volume vaut :

La conservation du volume impose V(t) = V(0), soit :

En utilisant l'expression de la hauteur établie à la question Q37, h(t) = \dfrac{h_0}{\sqrt{1 + t/\tau}}, on en déduit immédiatement :

D'après la question précédente, le temps caractéristique s'écrit :

Les données numériques sont :

• \mu = 1{,}06\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} = 1{,}06 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \eta = 3{,}6 \times 10^{-2}\text{ Pa}\cdot\text{s} ;
• \omega = 2\,000\text{ tr}\cdot\text{min}^{-1} = \frac{2\,000 \times 2\pi}{60}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 209{,}4\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} ;
• h_0 = 0{,}5\text{ mm} = 5{,}0 \times 10^{-4}\text{ m}.

L'application numérique donne :

À l'instant T = 30\text{ s}, le rapport vaut :

L'épaisseur du film est alors donnée par :

Pour obtenir un faisceau de lumière parallèle à partir d'une source étendue, on réalise un système de collimation à deux lentilles convergentes :

• La source spectrale étendue (lampe à vapeur de sodium) éclaire une première lentille convergente \mathcal{L}_1 (jouant le rôle de condenseur).
• Un diaphragme de faible dimension (trou ou fente source), centré sur l'axe optique, est disposé au point où \mathcal{L}_1 forme l'image de la source (ou dans son plan focal image si la source est éloignée). Ce diaphragme sélectionne une portion spatiale très restreinte du faisceau, formant ainsi une source secondaire quasi ponctuelle de forte luminance.
• Une seconde lentille convergente \mathcal{L}_2 (dite lentille de collimation), de distance focale f'_2, est positionnée de façon à ce que son foyer principal objet F_2 coïncide avec le centre du diaphragme.

D'après les lois de l'optique géométrique, tout rayon issu du foyer objet F_2 émerge de la lentille \mathcal{L}_2 parallèlement à l'axe optique : on obtient ainsi en sortie un faisceau de rayons parallèles (modélisable par une onde plane monochromatique).