Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2026

Dans l'interféromètre de Michelson réglé en lame d'air, le système est équivalent à deux miroirs plans parallèles, notés M_1' (image de M_1) et M_2, séparés par une couche d'air d'indice n = 1 et d'épaisseur e.

Un rayon incident arrive avec un angle d'incidence i par rapport à la normale aux miroirs :

• Une partie se réfléchit sur le premier miroir M_1' au point A pour former le rayon (1) ;
• L'autre partie atteint le miroir M_2 au point B, s'y réfléchit et émerge en C parallèlement au rayon (1) pour former le rayon (2).

Les deux rayons étant parallèles, ils interfèrent à l'infini (ou dans le plan focal image d'une lentille convergente). La surface d'onde commune est le plan orthogonal aux rayons émergents passant par le point C, dont la trace est le segment [CH], où H est le projeté orthogonal de C sur le rayon (1).

L'indice du milieu étant n = 1 et les déphasages à la réflexion étant négligés selon l'énoncé, la différence de marche \delta entre le rayon (2) et le rayon (1) s'écrit :

D'après les relations trigonométriques dans le triangle rectangle formé par la normale issue de B et les points A et C :

Dans le triangle rectangle AHC, l'angle \widehat{ACH} vaut i, d'où :

On en déduit l'expression de la différence de marche :

D'après la question Q1, la différence de marche s'écrit :

Pour une épaisseur e fixée, la différence de marche \delta ne dépend que de l'angle d'incidence i des rayons par rapport à la normale aux miroirs (l'inclinaison).

La lentille convergente (\mathcal{L}), de distance focale image f', fait converger tous les rayons parallèles inclinés de l'angle i en des points du plan focal image situés à une distance r de l'axe optique vérifiant :

L'état d'interférence est donc identique pour tous les rayons ayant la même inclinaison i, ce qui définit des lignes d'égal éclairement circulaires centrées sur le foyer image F'. C'est pourquoi ces anneaux sont qualifiés de franges d'égale inclinaison.

En l'absence du condenseur placé en sortie du laser, le faisceau n'est plus divergent : il est quasi-parallèle et se propage sous une incidence unique quasi-normale (i \simeq 0). Tous les rayons émergent parallèles à l'axe optique et convergent au foyer image F'.

L'intensité de ce point dépend de la valeur de l'épaisseur e via la différence de marche \delta \simeq 2e (interférence constructive ou destructive).

L'ordre d'interférence en un point de l'écran associé à l'angle d'incidence i s'écrit :

Au centre de l'écran (i = 0), l'ordre d'interférence est maximal et vaut :

Pour les faibles incidences (i \ll 1), dans le plan focal image d'une lentille de distance focale f', un rayon émergeant avec l'angle i atteint l'écran à une distance r \simeq f'\,i du centre optique. Le développement limité au second ordre donne :

Pour un anneau brillant donné, l'ordre d'interférence p est un entier fixé (p < p_0). Le rayon r de cet anneau vérifie :

Le contact optique correspond à une épaisseur nulle de la lame d'air (e \to 0).

Lorsque l'on diminue e pour atteindre le contact optique :

• pour un anneau d'ordre p donné, le rapport \frac{p\lambda}{2e} augmente, donc \cos i augmente et l'angle i diminue : le rayon de cet anneau diminue jusqu'à ce qu'il rentre au centre de la figure et disparaisse (lorsque p = p_0) ;
• si l'on considère plutôt le k-ième anneau à partir du centre (k = p_0 - p \in \mathbb{N}^*), son rayon vaut r_k = f'\sqrt{\frac{k\lambda}{e}} et l'interfrange angulaire \Delta i \simeq \frac{\lambda}{2ei} augmente : la figure d'interférences s'élargit globalement, les anneaux deviennent de plus en plus espacés jusqu'à occuper tout le champ au contact optique (teinte plate).

Ainsi, pour atteindre le contact optique, on doit translater le miroir M_1 de manière à voir les anneaux rentrer au centre (leur rayon diminue pour chaque anneau d'ordre p donné jusqu'à disparition au centre) ; la figure d'interférences s'épanouit alors et l'interfrange augmente jusqu'à obtenir une teinte plate.

D'après la figure 2, le faisceau lumineux incident est divisé au niveau de la lame séparatrice en deux faisceaux :

• le premier faisceau parcourt verticalement la distance d jusqu'au miroir incliné à 45^\circ, puis horizontalement la distance d_1 jusqu'au miroir fixe M_1. La longueur totale de ce premier bras est :

  L_1 = d + d_1

• le second faisceau se propage directement vers le miroir mobile M_2. En l'absence de force sur le plan (x = 0), la distance entre la séparatrice et M_2 est :

  L_2 = d_2

Le contact optique correspond à une épaisseur nulle de la lame d'air équivalente (e = 0), c'est-à-dire à l'égalité des longueurs optiques des deux bras (L_1 = L_2). L'indice de l'air étant n = 1, cela se traduit par :

Dans une configuration en coin d'air éclairé par une source étendue (ici obtenue grâce à l'élargisseur de faisceau), les franges d'interférences sont localisées au voisinage immédiat des miroirs (la surface des miroirs joue le rôle de plan source/objet d'interférences).

Pour projeter et observer nettement cette figure d'interférences sur l'écran, celui-ci doit se trouver dans le plan conjugué du miroir M_2 à travers la lentille convergente (\mathcal{L}').

En notant O_L le centre optique de la lentille (\mathcal{L}') et en orientant l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière :

• la position de l'objet (miroir M_2) est \overline{O_L M_2} = -D (avec D > 0) ;
• la position de l'image (écran) est \overline{O_L \text{Écran}} = D' (avec D' > 0) ;
• la distance focale image est f'.

La relation de conjugaison de Descartes donne :

L'écran doit donc être placé à la distance :

Dans la configuration du coin d'air à incidence quasi-normale, la différence de marche entre les deux rayons réfléchis s'écrit :

Pour un petit angle \alpha \ll 1, l'épaisseur locale du coin d'air varie linéairement avec la distance y à l'arête O :

Les lignes d'égale différence de marche vérifient \delta(y) = \text{cste}, soit y = \text{cste}.

Les franges d'interférences sont donc des droites rectilignes et parallèles à l'arête du coin d'air. On les appelle des franges d'égale épaisseur (ou franges de Fizeau).

Dans le plan des miroirs, deux franges brillantes (ou sombres) consécutives correspondent à une variation de différence de marche \Delta \delta = \lambda. L'interfrange i_{\text{miroir}} sur le miroir vérifie donc :

L'écran étant le plan conjugué du miroir M_2 par la lentille convergente (\mathcal{L}'), le grandissement transversal en valeur absolue est donné par :

L'interfrange i_e mesuré sur l'écran est donc :

Considérons la différence de marche \delta entre le rayon issu du bras 1 (miroir M_1) et le rayon issu du bras 2 (miroir M_2) :

Le faisceau incident étant quasi-normal aux miroirs et la propagation ayant lieu dans l'air d'indice n=1 :

• Le bras 1 (miroir M_1 fixe) ne subit aucune modification : (L)_1(x) = (L)_1(0).

• Le miroir M_2 se déplace de x vers la gauche, c'est-à-dire vers la lame séparatrice. La longueur du bras 2 passe de d_2 à d_2 - x. Le trajet aller-retour de la lumière dans ce bras est donc raccourci d'une distance géométrique 2x. Le chemin optique correspondant devient :

  (L)_2(x) = (L)_2(0) - 2x

En effectuant la différence des chemins optiques en un point donné du champ d'interférences, il vient :

Soient \underline{s}_1(t) = s_0\,\text{e}^{j\omega t} et \underline{s}_2(t) = s_0\,\text{e}^{j(\omega t - \Delta\phi)} les signaux lumineux complexes associés aux deux rayons interférant en un point de l'écran, où s_0 est l'amplitude commune et \Delta\phi le déphasage optique induit par la différence de marche \delta(x) :

L'amplitude complexe totale s'écrit :

L'éclairement \mathcal{E} résultant est proportionnel au carré moyen du signal réel, soit au module au carré de l'amplitude complexe :

L'éclairement apporté par une seule onde étant \mathcal{E}_0 = \frac{K}{2}\,s_0^2, on obtient la formule de Fresnel :

En utilisant le résultat de la question Q7, \delta(x) = \delta_0 + 2x, l'argument du cosinus devient :

Par identification avec l'expression proposée :

on en déduit :

D'après le résultat de la question Q8, l'éclairement sur l'écran s'écrit :

En dérivant cette expression par rapport à x, on obtient :

La sensibilité du capteur s'exprime donc par :

Au voisinage de la position d'équilibre x = 0, la sensibilité vaut :

Cette quantité est maximale lorsque |\sin \Psi| = 1, ce qui correspond aux valeurs :

D'après la question Q9, la sensibilité au voisinage de x=0 est maximale pour les phases :

Considérons deux valeurs consécutives de \Psi, par exemple associées à p = 0 et p = 1 :

En injectant ces valeurs dans l'expression de l'éclairement issue de la question Q8 :

Comme x \ll \lambda, la phase additionnelle est très petite devant 1 :

On effectue alors un développement limité au premier ordre, sachant que \sin(u) \underset{u \to 0}{=} u + o(u) :

On obtient bien :

Le montage présente une boucle de rétroaction négative : la résistance R_1 relie la sortie de l'ALI à son entrée inverseuse (borne -), sans aucune boucle de réaction sur l'entrée non inverseuse (borne +). Ce bouclage assure la stabilité du montage, ce qui justifie que :

L'ALI étant supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire, la tension différentielle d'entrée est nulle :

L'entrée non inverseuse est directement reliée à la masse, soit V^+ = 0\text{ V}. On en déduit :

La photodiode est connectée entre l'entrée inverseuse au potentiel V^- et la masse au potentiel 0\text{ V}. La tension à ses bornes vaut donc :

L'amplificateur linéaire intégré (ALI) étant supposé idéal :

• les courants d'entrée sont nuls : i^- = i^+ = 0 ;

• il fonctionne en régime linéaire (rétroaction négative, d'après la question Q11), d'où une tension différentielle d'entrée nulle :

  \varepsilon = V^+ - V^- = 0 \implies V^- = V^+.

L'entrée non-inverseuse étant reliée à la masse (V^+ = 0\text{ V}), la borne inverseuse est au potentiel de la masse virtuelle :

D'après le fléchage de la figure 4, le courant I_{\text{cc}} arrive au nœud de l'entrée inverseuse. Comme aucun courant n'entre dans l'ALI (i^- = 0), ce courant traverse intégralement la résistance de rétroaction R_1 de la borne inverseuse vers la sortie.

La loi d'Ohm aux bornes de la résistance R_1 s'écrit alors :

Sachant que V^- = 0\text{ V}, on obtient :

En remplaçant l'intensité produite par la photodiode par sa relation avec l'éclairement, I_{\text{cc}} = \beta \mathcal{E}, il vient finalement :

D'après la question Q12, les tensions en sortie des deux convertisseurs valent :

Le facteur commun -\beta R_1 se simplifie dans le quotient, si bien que :

En utilisant les expressions établies à la question Q10 pour x \ll \lambda :

On en déduit immédiatement :

La tension finale U_{\mathrm{opt}} = K \frac{U_2 - U_1}{U_1 + U_2} s'écrit donc :

Le déplacement minimal x_{\min} détectable par la carte d'acquisition correspond à la tension minimale mesurable U_{\mathrm{opt}} = 2\cdot 10^{-4}\text{ V} :

Avec \lambda = 633\text{ nm} = 633\cdot 10^{-9}\text{ m}, K = 10\text{ V} et U_{\mathrm{opt}} = 2\cdot 10^{-4}\text{ V} :

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif dans la mantisse conformément aux consignes :

Le système étudié est le bloc {plan + porte-plan} de masse m, relié au bâti fixe par le cantilever \mathrm{L}_2 (bilame déformable) et plongé dans l'air ambiant :

• Origine de la force de rappel \vec{F}_r = -k x \vec{u}_x :
  Il s'agit d'une force élastique exercée par le cantilever \mathrm{L}_2. Lors du déplacement du solide d'une distance x par rapport à sa position d'équilibre, les bilames subissent une flexion. Dans la limite des petites déformations (domaine de l'élasticité linéaire régit par la loi de Hooke), cette flexion engendre un effort de rappel tendant à ramener le système à sa position de repos, opposé au déplacement et de raideur équivalente k.

• Origine de la force de dissipation visqueuse \vec{f}_v = -\mu \vec{v} :
  Il s'agit d'une force d'amortissement modélisant les pertes énergétiques du système en mouvement :

  • d'une part, le frottement fluide exercé par l'air ambiant environnant le porte-plan (en régime d'écoulement laminaire à faible vitesse, la force de traînée est linéairement proportionnelle à la vitesse \vec{v}) ;
  • d'autre part, la dissipation interne (viscoélasticité et frottements internes) au sein du matériau du cantilever lors des cycles périodiques de déformation mécanique.

Les grandeurs réelles données par l'énoncé sont :

En notation complexe, en convenant que les signaux réels s'obtiennent par la partie réelle (F(t) = \mathrm{Re}[\underline{F}(t)] et x(t) = \mathrm{Re}[\underline{x}(t)]), les signaux temporels complexes s'écrivent sous la forme :

avec les amplitudes complexes données par :

Les signaux temporels complexes associés sont donc :

Le système constitué de l'ensemble {plan + porte-plan}, assimilé à un solide ponctuel de masse m, est étudié dans le référentiel du bâti fixe supposé galiléen. Il est soumis aux forces suivantes, projetées sur l'axe (Ox) orienté par \vec{u}_x :

• la force de rappel élastique : \vec{F}_r = -k x(t) \vec{u}_x ;
• la force de frottement visqueux : \vec{f}_v = -\mu \dot{x}(t) \vec{u}_x ;
• la force excitatrice : \vec{F}(t) = F(t) \vec{u}_x.

D'après le principe fondamental de la dynamique :

soit l'équation différentielle du mouvement :

En régime sinusoïdal établi à la pulsation \omega, en utilisant les grandeurs complexes de la question Q15 où la dérivation temporelle correspond à une multiplication par j\omega, l'équation devient :

En factorisant par la constante de raideur k, on obtient :

La fonction de transfert mécanique \underline{H_m} = \dfrac{k \underline{x}_1}{\underline{F}_1} s'écrit donc :

Par identification avec la forme canonique proposée :

on identifie :

ce qui donne :

Signification physique :

• \omega_0 est la pulsation propre du système mécanique. Elle caractérise la dynamique des oscillations libres en l'absence totale d'amortissement (\mu = 0).
• Q est le facteur de qualité. Grandeur adimensionnelle, il mesure l'acuité de la réponse en fréquence et quantifie le niveau de dissipation énergétique : plus Q est élevé, plus l'amortissement visqueux est faible devant les effets d'inertie et de rappel élastique, ce qui conduit à une résonance prononcée.

D'après le résultat de la question Q16, la fonction de transfert mécanique s'écrit :

En introduisant la pulsation réduite \xi = \dfrac{\omega}{\omega_0}, l'expression devient :

Le module d'un quotient étant le quotient des modules, on obtient :

D'après la question Q17, le module de la fonction de transfert s'écrit :

en posant u = \xi^2 = \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 \ge 0, avec :

Le module |\underline{H_m}| passe par un extremum lorsque le trinôme du second degré g(u) atteint son minimum sur \mathbb{R}^+. La dérivée de g par rapport à u s'écrit :

La dérivée s'annule en :

Puisque le coefficient devant u^2 est strictement positif (1 > 0), la fonction g admet un minimum absolu en u = u_r.

Pour que ce minimum corresponde à une pulsation d'excitation physique strictement positive \omega_r > 0, il faut que u_r > 0, soit :

La condition d'existence d'une résonance est donc :

Sous cette condition, la pulsation de résonance \omega_r = \omega_0 \sqrt{u_r} est :

On peut considérer que \omega_r \simeq \omega_0 dès lors que le terme correctif sous le radical est négligeable devant 1, c'est-à-dire :

D'après la question Q18, pour un système faiblement amorti (Q \gg 1), la pulsation de résonance est quasi confondue avec la pulsation propre :

Sur la figure 6, la résonance est particulièrement aiguë et le pic est centré à la fréquence :

On en déduit la pulsation propre :

Conformément aux consignes de l'énoncé imposant un seul chiffre significatif dans la mantisse :

Par ailleurs, pour Q \gg 1, la valeur maximale du module de la fonction de transfert vaut :

Sur l'axe logarithmique des ordonnées de la figure 6, le sommet de la courbe atteint exactement la graduation 100 :

On en déduit donc :

D'après la question Q16, la pulsation propre du système de masse totale m + m_a s'écrit :

On en déduit la relation théorique :

La grandeur \frac{1}{\omega_0^2} varie donc de manière affine en fonction de la masse additionnelle m_a, avec une pente p = \frac{1}{k} et une ordonnée à l'origine y_0 = \frac{m}{k}.

Par lecture sur le graphe de la figure 7 :

• pour m_a = 0, y(0) = y_0 \simeq 19{,}3 \cdot 10^{-6}\text{ s}^2 ;
• pour m_a = 4 \cdot 10^{-3}\text{ kg}, y(4\cdot 10^{-3}) \simeq 20{,}6 \cdot 10^{-6}\text{ s}^2.

La pente de la droite moyenne vaut ainsi :

On en déduit la raideur k :

En respectant la consigne d'un unique chiffre significatif dans la mantisse :

Autre grandeur déduite de ce graphe : L'ordonnée à l'origine valant y_0 = \frac{m}{k}, la connaissance de k permet de déterminer la masse m du solide (plan et porte-plan non lesté) :

(On peut également en déduire directement la pulsation propre \omega_0 du système non lesté via \omega_0 = 1/\sqrt{y_0}).

D'après l'énoncé, la force et le déplacement mécanique sont reliés par la fonction de transfert :

En prenant le module des amplitudes complexes, il vient :

À la fréquence d'excitation f = 40\text{ Hz}, la lecture sur le graphe de la figure 6 (échelle logarithmique en ordonnée) donne :

Avec x_1 = 2\text{ nm} = 2\cdot 10^{-9}\text{ m} et F_1 = 2\ \mu\text{N} = 2\cdot 10^{-6}\text{ N}, on obtient :

Commentaire :

• Cette valeur est en parfait accord avec celle déterminée à la question Q20 par la méthode de Cleveland (k \simeq 3\cdot 10^3\text{ N}\cdot\text{m}^{-1}).
• Cela confirme que le capteur implémente bien la réponse dynamique complète du cantilever (prenant en compte l'amplification mécanique |\underline{H_m}| \simeq 3 à 40 Hz, proche de la résonance) et non une simple loi de Hooke statique (F_1 = k\,x_1), qui aurait sous-estimé la raideur d'un facteur 3.

1. Justification du modèle des armatures infinies :

Les disques ont un rayon R = 3\text{ cm} = 3\cdot 10^{-2}\text{ m} et sont séparés d'une distance \ell \simeq 50\,\mu\text{m} = 5\cdot 10^{-5}\text{ m}. L'écartement est très faible devant la taille des armatures :

Les effets de bord sont donc localisés sur une frange de largeur caractéristique \ell au voisinage immédiat de la périphérie des disques. Loin des bords, dans tout le volume utile du condensateur, on peut modéliser les armatures par des plans infinis uniformément chargés.

2. Direction du champ électrique :

Considérons un point M(r, \theta, x) situé entre les armatures. Sous l'hypothèse de plans infinis perpendiculaires à l'axe (Ox) et uniformément chargés :

• le plan (M, \vec{u}_r, \vec{u}_x) est un plan de symétrie \Pi_s de la distribution de charges ;
• le plan (M, \vec{u}_\theta, \vec{u}_x) est également un plan de symétrie \Pi_s de la distribution.

Le champ électrique \vec{E}(M) appartient à tout plan de symétrie passant par M. Il est donc nécessairement dirigé selon l'intersection de ces deux plans, c'est-à-dire le long du vecteur unitaire \vec{u}_x :

3. Analyse des invariances :

La distribution de charges constituée de deux plans infinis et uniformes est :

• invariante par toute rotation d'angle \theta autour de l'axe de révolution (Ox), ce qui implique que le champ électrique est indépendant de la coordonnée \theta ;
• invariante par toute translation dans le plan des armatures (perpendiculaire à (Ox)), ce qui se traduit en coordonnées cylindriques par l'indépendance vis-à-vis de la distance r à l'axe.

Le champ électrique ne dépend donc a priori que de la seule coordonnée cylindrique x :

À l'intérieur du condensateur, entre les deux armatures, il n'y a aucune charge volumique, soit \rho = 0.

L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit alors :

D'après l'étude menée à la question précédente (Q22), le champ électrique est de la forme \vec{E} = E(x)\,\vec{u}_x (ses composantes radiale E_r et orthoradiale E_\theta étant nulles).

En utilisant l'expression de la divergence en coordonnées cylindriques fournie dans le formulaire :

On en déduit donc :

La composante E(x) ne dépend donc pas de x : elle est constante.

Comme sa direction et son sens sont fixés par le vecteur unitaire \vec{u}_x, le champ électrique \vec{E} est indépendant de toute coordonnée d'espace à l'intérieur du condensateur :

Dans le cadre de l'électrostatique (admis par l'énoncé), le champ magnétique est indépendant du temps (\partial \vec{B}/\partial t = \vec{0}). L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit alors :

L'espace situé entre les armatures étant simplement connexe, tout champ à rotationnel nul dérive d'un potentiel scalaire. Il existe donc un champ scalaire V(r,\theta,x), appelé potentiel électrostatique, tel que :

D'après les résultats des questions Q22 et Q23, le champ électrique entre les armatures est uniforme et dirigé selon \vec{u}_x :

En exprimant le gradient en coordonnées cylindriques :

Par identification, le potentiel ne dépend que de x et vérifie :

En intégrant entre l'armature de centre O (x = 0, au potentiel V_O) et l'armature de centre A (x = \ell, au potentiel V_A) le long d'un segment parallèle à \vec{u}_x :

Or la tension aux bornes du condensateur est définie par U = V_O - V_A, d'où :

Le champ électrique s'écrit donc :

D'après le résultat de la question Q24, le champ électrique est uniforme entre les armatures et a pour norme :

La densité volumique d'énergie électrostatique u_e est donc elle aussi uniforme à l'intérieur du condensateur et s'écrit :

Les armatures étant des disques parallèles de rayon R séparés d'une distance \ell, le volume intérieur délimité par ces armatures est un cylindre de volume :

L'énergie électrostatique E_e stockée à l'intérieur du condensateur s'obtient par intégration de la densité volumique sur ce volume :

Soit finalement :

L'énergie électrostatique emmagasinée dans un condensateur de capacité C sous une tension U s'écrit :

D'après le résultat de la question Q25, l'énergie électrostatique stockée entre les armatures s'exprime également sous la forme :

Par identification de ces deux expressions :

On en déduit immédiatement la capacité du condensateur plan :

Considérons le circuit fermé constitué du condensateur de capacité C et de la bobine d'inductance L.

Soit i(t) l'intensité du courant circulant dans le sens horaire dans la maille.

• La tension u_c est orientée par une flèche pointant vers la gauche sur la branche supérieure. Le courant horaire entre par la borne positive de cette tension : en convention récepteur pour le condensateur, la relation intensité-tension s'écrit :

  i = C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t}.

• Ce même courant i traverse la bobine dans la branche inférieure de la droite vers la gauche. En adoptant la convention récepteur pour la bobine, la tension u_L à ses bornes est fléchée vers la droite et vérifie :

  u_L = L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}.

D'après la loi des mailles orientée dans le sens horaire :

En remplaçant l'expression de i(t) dans cette relation, on obtient :

soit l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique :

Cette équation différentielle est de la forme \ddot{u}_c + \omega_{LC}^2 u_c = 0, avec une pulsation propre :

La fréquence d'oscillation f_{LC} = \frac{\omega_{LC}}{2\pi} s'en déduit immédiatement :

D'après la question Q27, la fréquence des oscillations libres du circuit LC idéal est donnée par :

En élevant cette expression au carré, on isole la capacité C :

Par ailleurs, la capacité du condensateur plan a été établie à la question Q26 :

En égalant ces deux expressions de C, on obtient :

Ce qui conduit bien à la relation souhaitée :

D'après la question Q28, la distance \ell entre les armatures s'exprime en fonction de la fréquence d'oscillation f_{LC} selon :

Par différentiation par rapport à f_{LC}, on obtient :

ce qui peut également s'écrire sous forme logarithmique relative :

Pour l'application numérique, avec :

• \varepsilon_0 = 9\cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} ;
• R = 3\text{ cm} = 3\cdot 10^{-2}\text{ m} (soit R^2 = 9\cdot 10^{-4}\text{ m}^2) ;
• L = 2\ \mu\text{H} = 2\cdot 10^{-6}\text{ H} ;
• f_{LC} = 10\text{ MHz} = 10^7\text{ Hz} ;
• \mathrm{d}f = 0{,}2\text{ Hz} ;
• \pi^3 \simeq 31.

Le déplacement minimal détectable \mathrm{d}\ell_{\min} s'écrit :

Considérons un écoulement unidimensionnel selon l'axe (Ox), où la masse volumique \rho(x,t) et la vitesse \vec{v}(x,t) = v(x,t)\,\vec{u}_x ne dépendent spatialement que de x.

On définit un volume de contrôle fixe dans le référentiel d'étude (approche eulérienne), délimité par deux sections transversales d'aire S situées en x et x + \mathrm{d}x. Le volume géométrique de cette tranche est \mathrm{d}\tau = S\,\mathrm{d}x.

À l'instant t, la masse de fluide contenue dans ce volume s'écrit :

Pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t :

• la masse entrant par la face en x est la masse du cylindre de fluide de longueur v(x,t)\,\mathrm{d}t et de section S :

  \delta m_e = \rho(x,t)\,v(x,t)\,S\,\mathrm{d}t ;

• la masse sortant par la face en x + \mathrm{d}x est :

  \delta m_s = \rho(x+\mathrm{d}x,t)\,v(x+\mathrm{d}x,t)\,S\,\mathrm{d}t.

En l'absence de création ou de destruction de matière (conservation de la masse), la variation de masse \mathrm{d}m = m(t+\mathrm{d}t) - m(t) du volume de contrôle est égale au bilan des flux de matière entrant et sortant :

Au premier ordre en \mathrm{d}t et \mathrm{d}x :

En injectant ces développements dans le bilan et en simplifiant par le facteur commun non nul S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient :

En introduisant le vecteur densité de courant volumique de masse \vec{\jmath}_m = \rho\vec{v}, l'opérateur \frac{\partial(\rho v)}{\partial x} s'identifie à \operatorname{div}(\rho\vec{v}) à une dimension. On en déduit l'équation locale de conservation de la masse (ou équation de continuité) en géométrie tridimensionnelle quelconque :

La dérivée particulaire (ou dérivée totale le long du mouvement) de la masse volumique \rho(\vec{r},t) s'écrit :

D'après la formule d'analyse vectorielle fournie dans le formulaire pour un champ scalaire a = \rho et un champ vectoriel \vec{b} = \vec{v} :

En injectant cette relation dans l'équation locale de conservation de la masse établie en Q30 :

On obtient ainsi l'équation de continuité sous la forme :

Un écoulement est dit incompressible si le volume de chaque particule fluide se conserve au cours de son mouvement, ce qui équivaut à une masse volumique constante le long de la trajectoire de la particule :

La masse volumique \rho étant strictement positive, on en déduit la condition nécessaire et suffisante sur le champ de vitesse :

Le champ des vitesses d'un écoulement incompressible est donc à divergence nulle (champ solénoïdal).

Soit \mathcal{S} une surface fermée fixe, orientée vers l'extérieur, délimitant un volume géométrique \mathcal{V} entièrement inclus dans le fluide.

Par définition, le débit volumique D_V à travers la surface fermée \mathcal{S} s'écrit :

En appliquant le théorème de Green-Ostrogradski (théorème de la divergence), on transforme cette intégrale de surface en une intégrale de volume :

D'après le résultat de la question Q31, un écoulement incompressible est caractérisé en tout point par :

On en déduit immédiatement :

L'air étant modélisé comme un fluide visqueux, il vérifie la condition d'adhérence aux parois : la vitesse du fluide au contact d'une paroi solide est égale à la vitesse de cette paroi.

On se place dans le référentiel de l'armature de centre O :

• En x = 0, l'armature de centre O est immobile dans ce référentiel. La vitesse du fluide y est donc nulle :

  \vec{v}(r, x = 0, t) = \vec{0} \implies \boxed{v_x(r, x = 0, t) = 0}

• En x = \ell(t), l'armature de centre A est en translation selon l'axe (Ox) à la vitesse :

  \vec{v}_A = \dot{\ell}(t)\,\vec{u}_x = -\ell_1 \omega \sin(\omega t)\,\vec{u}_x

  Par continuité de la vitesse à l'interface solide-fluide, on en déduit :

  \boxed{v_x(r, x = \ell, t) = \dot{\ell}(t) = -\ell_1 \omega \sin(\omega t)}

Considérons, à l'instant t, la surface fermée \mathcal{S} entourant le cylindre de fluide d'axe (Ox), de rayon r, compris entre les plans x = 0 et x = \ell(t). L'écoulement étant incompressible, le débit volumique sortant à travers \mathcal{S} est nul d'après la question Q32 :

Cette surface fermée se décompose en trois parties :

• la base située en x = 0, d'élément de surface orienté vers l'extérieur \mathrm{d}\vec{S} = -\vec{u}_x\,\mathrm{d}S. D'après la question Q33, v_x(r, 0, t) = 0, donc le débit y est nul :

  D_{V, 0} = \iint_{\text{base } 0} \vec{v}\cdot (-\vec{u}_x)\,\mathrm{d}S = 0 ;

• la base située en x = \ell(t), d'élément de surface orienté vers l'extérieur \mathrm{d}\vec{S} = +\vec{u}_x\,\mathrm{d}S. D'après la question Q33, v_x(r, \ell, t) = \dot{\ell}(t) est uniforme sur cette section, donc :

  D_{V, \ell} = \iint_{\text{base } \ell} \dot{\ell}(t)\,\mathrm{d}S = \pi r^2 \dot{\ell}(t) ;

• la surface latérale de rayon r, d'élément de surface orienté vers l'extérieur \mathrm{d}\vec{S} = \vec{u}_r\,\mathrm{d}S = \vec{u}_r\,r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}x. Par définition de la vitesse moyenne u(r, t) sur cette surface d'aire \mathcal{S}_{\text{lat}} = 2\pi r \ell(t) :

  D_{V, \text{lat}} = \iint_{\text{lat}} v_r(r, x, t)\,\mathrm{d}S = 2\pi r \ell(t)\,u(r, t).

Le bilan de débit s'écrit alors :

Puisque \ell_1 \ll \ell_0, on a \ell(t) = \ell_0 + \ell_1 \cos(\omega t) \simeq \ell_0, d'où :

Ordre de grandeur de u(R) : Avec \ell(t) = \ell_0 + \ell_1\cos(\omega t), la vitesse de l'armature mobile a pour amplitude \dot{\ell}_{\max} = \ell_1 \omega = 2\pi f \ell_1. Prenons les valeurs caractéristiques fournies :

• R = 3\text{ cm} = 3\cdot 10^{-2}\text{ m} ;
• \ell_0 \simeq 50\ \mu\text{m} = 5\cdot 10^{-5}\text{ m} ;
• \ell_1 \sim 10^{-9}\text{ m} (quelques nanomètres) ;
• f \sim 40\text{ Hz} (quelques dizaines de Hz, soit \omega \sim 2\cdot 10^2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}).

La vitesse de la paroi a pour amplitude \dot{\ell}_{\max} \sim 2\cdot 10^2 \times 10^{-9} = 2\cdot 10^{-7}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. L'amplitude de la vitesse radiale moyenne au bord vaut donc :

Sous forme d'une puissance de 10, on obtient :

Le nombre de Reynolds associé aux variations spatiales transverses de l'écoulement s'écrit :

En prenant pour vitesse caractéristique la vitesse moyenne maximale au bord des armatures évaluée en Q34, soit U \sim u(R) \sim 10^{-4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ainsi que l'échelle spatiale caractéristique imposée \ell_0 = 50\text{ }\mu\text{m} = 5\cdot 10^{-5}\text{ m}, avec \rho_a = 1\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \eta_a = 2\cdot 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s} :

Sous forme d'une puissance de 10, l'ordre de grandeur est :

Le nombre de Reynolds compare l'ordre de grandeur du terme de transport convectif d'inertie \rho_a (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} à celui du terme de dissipation visqueuse \eta_a \Delta \vec{v} :

Puisque \mathrm{Re} \ll 1, le terme convectif d'inertie \boxed{\rho_a (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}} peut être totalement négligé dans l'équation de Navier-Stokes.

Soit V l'ordre de grandeur de la vitesse d'écoulement de l'air.

• L'écoulement étant forcé à la pulsation \omega, l'échelle de temps caractéristique des variations temporelles est \tau = \frac{1}{\omega}, ce qui donne pour le terme d'accélération locale :

  \left\| \rho_a \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right\| \sim \rho_a \frac{V}{\tau} = \rho_a \omega V

• Comme \ell_0 \ll R, le champ de vitesse varie beaucoup plus rapidement selon la direction transverse x que selon la direction radiale r. L'opérateur Laplacien est donc dominé par la dérivée seconde spatiale selon x :

  \Delta \vec{v} \approx \frac{\partial^2 \vec{v}}{\partial x^2} \sim \frac{V}{\ell_0^2}

  Le terme de diffusion visqueuse s'évalue ainsi selon :

  \left\| \eta_a \Delta \vec{v} \right\| \sim \eta_a \frac{V}{\ell_0^2}

Comparons ces deux termes en formant leur rapport adimensionnel :

Avec une fréquence de quelques dizaines de hertz (f \sim 40\text{ Hz}, soit \omega = 2\pi f \sim 2\cdot 10^2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}), \ell_0 = 50\ \mu\text{m} = 5\cdot 10^{-5}\text{ m}, \rho_a = 1\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \eta_a = 2\cdot 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s} :

Le terme d'accélération locale est donc très inférieur au terme de dissipation visqueuse.

D'après les questions Q35 et Q36, les termes d'accélération convective et locale sont négligeables devant le terme visqueux. En négligeant également la pesanteur, l'équation de Navier-Stokes se simplifie en l'équation de Stokes quasi-stationnaire :

Par symétrie de révolution autour de l'axe (Ox), toutes les grandeurs sont indépendantes de \theta et v_\theta = 0. D'après l'approximation de l'énoncé (\ell_0 \ll R), l'écoulement est supposé purement radial :

1. Projection selon \vec{u}_x et dépendance de la pression

En coordonnées cylindriques, la composante axiale du gradient de pression est (\overrightarrow{\operatorname{grad}} P)_x = \frac{\partial P}{\partial x}. Comme la vitesse axiale est nulle (v_x = 0), le laplacien vectoriel n'a pas de composante selon \vec{u}_x :

La projection de l'équation du mouvement selon \vec{u}_x s'écrit alors :

Le champ de pression ne dépend donc pas de x : P est uniquement fonction de r et du temps t :

2. Projection selon \vec{u}_r et analyse d'échelles

La projection de l'équation de Stokes selon \vec{u}_r donne :

En utilisant les expressions du formulaire en coordonnées cylindriques avec \frac{\partial}{\partial \theta} = 0 et v_\theta = 0 :

Estimons l'ordre de grandeur de chacun de ces termes en notant V l'ordre de grandeur de la vitesse radiale :

• La coordonnée x varie sur l'épaisseur du film fluide \ell_0, donc :

  \frac{\partial^2 v_r}{\partial x^2} \sim \frac{V}{\ell_0^2}

• La coordonnée radiale r varie sur le rayon des armatures R, donc :

  \frac{\partial^2 v_r}{\partial r^2} \sim \frac{V}{R^2}, \quad \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial r} \sim \frac{V}{R^2}, \quad \frac{v_r}{r^2} \sim \frac{V}{R^2}

Le rapport entre les termes de dérivation radiale et le terme de dérivation axiale est de l'ordre de :

Les dérivées radiales sont donc tout à fait négligeables devant la dérivée axiale, de sorte que :

En reportant dans la composante radiale de l'équation du mouvement, on obtient bien :

D'après le résultat de la question Q37, le champ de pression ne dépend pas de la coordonnée axiale x :

Par conséquent, la dérivée spatiale \dfrac{\partial P}{\partial r}(r, t) est elle aussi strictement indépendante de x.

L'équation différentielle établie à la question Q37 s'écrit alors :

À r et t fixés, le second membre est indépendant de x. Une première intégration par rapport à x donne :

où b(r, t) est une fonction d'intégration indépendante de x.

Une seconde intégration par rapport à x conduit à :

où c(r, t) est une seconde fonction d'intégration indépendante de x.

En posant a(r, t) = \dfrac{1}{2\eta_a}\dfrac{\partial P}{\partial r}(r, t), on obtient bien la forme parabolique attendue selon la coordonnée x :

La vitesse moyenne u(r, t) de l'air à travers la surface latérale du cylindre de rayon r (d'aire 2\pi r \ell \simeq 2\pi r \ell_0 compte tenu de \ell_1 \ll \ell_0) correspond à la moyenne spatiale de v_r(r, x, t) selon la coordonnée x :

D'après le résultat de la question Q38, le profil de vitesse est quadratique en x :

Les armatures solides en x = 0 et x = \ell \simeq \ell_0 n'ont aucun mouvement dans la direction radiale \vec{u}_r (leurs déplacements sont purement axiaux selon \vec{u}_x). Les conditions aux limites de non-glissement du fluide sur ces parois imposent donc :

Le profil s'écrit donc :

Calculons alors la vitesse moyenne u(r, t) à l'aide de cette expression :

On en déduit l'expression du coefficient a(r, t) :

En réinjectant ce résultat dans v_r(r, x, t), on obtient :

soit finalement :

D'après l'expression du profil de vitesse obtenue à la question Q39 :

En dérivant deux fois par rapport à x, on obtient :

En injectant ce résultat dans l'équation de Navier-Stokes simplifiée établie à la question Q37 (\eta_a \frac{\partial^2 v_r}{\partial x^2} = \frac{\partial P}{\partial r}), il vient :

En remplaçant la vitesse moyenne u(r, t) par son expression issue de la question Q34, soit u(r, t) \simeq -\frac{r \dot{\ell}(t)}{2\ell_0} :

La pression P ne dépendant pas de x (résultat Q37), une intégration par rapport à r donne :

où C(t) est une constante d'intégration par rapport à r.

La condition aux limites à la périphérie des disques impose la continuité de la pression avec l'extérieur, soit P(r = R, t) = P_0. On en déduit :

Ce qui conduit bien à :

L'armature de centre O est située dans le plan x = 0. Le film d'air interstitiel occupe l'espace x \in [0, \ell].

La force de pression élémentaire exercée par un fluide sur une paroi solide s'écrit \mathrm{d}\vec{F}_P = P\,\vec{n}_{\text{fluide}\to\text{paroi}}\,\mathrm{d}S :

• sur la face interne (x = 0), le fluide situé en x > 0 pousse la paroi dans le sens des x décroissants, soit selon le vecteur normal -\vec{u}_x :

  \mathrm{d}\vec{F}_{\text{int}} = - P(r,t)\,\mathrm{d}S\,\vec{u}_x\,;

• sur la face externe, l'air ambiant à la pression uniforme P_0 pousse la paroi dans le sens des x croissants, soit selon +\vec{u}_x :

  \mathrm{d}\vec{F}_{\text{ext}} = P_0\,\mathrm{d}S\,\vec{u}_x\,.

La résultante des forces de pression s'exerçant sur l'armature s'obtient par intégration sur le disque de rayon R :

D'après le résultat de la question Q40, la surpression s'exprime par :

En choisissant l'élément de surface d'une couronne d'aire \mathrm{d}S = 2\pi r\,\mathrm{d}r, l'intégrale devient :

On en déduit l'expression de la résultante des forces de pression :