CCINP Physique PC 2026Sujet, corrigé et rapport du jury

Nanorhéologie par appareil à force dynamique de surface

4,5(4 votes)

Faisable en sup ?

Faisable en partie en PCSI : 12 questions sur 45. Autres questions faisables en PCSI

Autres premières années : MPSI 10 · PTSI 10 · MP2I 10 · TSI1 10 · BCPST1 1 questions.

Détail par partie

Partie I : Mesure de la force s'exerçant sur le plan11/21En partie
Partie II : Mesure du déplacement relatif entre la sphère et le plan1/21En partie
- Question 27
Partie III : Application à la nanorhéologie0/32e année

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Nanorhéologie par appareil à force dynamique de surface (dSFA)

Le sujet étudie un appareil qui mesure la force exercée par un fluide confiné entre une sphère et un plan distants de quelques nanomètres. Il comporte trois parties (45 questions) : mesure de la force par interférométrie et réponse d'un oscillateur mécanique, mesure du déplacement par un capteur capacitif et perturbation due à l'écoulement de l'air, puis exploitation de mesures de nanorhéologie. La calculatrice était interdite.

1Partie I : mesure de la force s'exerçant sur le planInterféromètre de Michelson en lame d'air puis en coin d'air, conversion courant/tension par ALI, puis réponse forcée du cantilever et méthode de Cleveland pour mesurer la raideur.
2Partie II : mesure du déplacement relatif entre la sphère et le planCapteur capacitif (champ dans un condensateur plan, circuit LC) puis écoulement visqueux de l'air entre les armatures et force de pression associée.
3Partie III : application à la nanorhéologieImpédance hydrodynamique par le modèle de la force de Reynolds, domaine de validité et détermination graphique d'une longueur de glissement.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un énoncé progressif, riche en questions de cours, dont seule la fin de la partie de mécanique des fluides devient nettement plus difficile (Q34 abordée uniquement par les meilleurs).

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,92 / 20 · écart-type 3,41 · 4 827 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,92/ 20
Écart-type: 3,41
Présents: 4 827
Coefficient: 7
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 20 avril 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Démonstration de la différence de marche du Michelson · Justification du régime linéaire de l'ALI · Pulsation de résonance

Le jury estime que le sujet a permis un classement satisfaisant, mais regrette que les questions de cours, très valorisées par le barème, n'aient pas été mieux traitées. L'interféromètre de Michelson et la résonance mécanique sont mal maîtrisés par beaucoup, et les démonstrations sont souvent restituées sans en comprendre la logique. Première session sans calculatrice : les règles d'écriture des applications numériques n'ont pas toujours été respectées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Démonstration de la différence de marche du MichelsonQ1
Le calcul de 2e cos i ne rapportait qu'un tiers des points : le jury attendait aussi le schéma de la lame d'air équivalente et la mention du théorème de Malus avec le principe de retour inverse.
« La mention du théorème de Malus combiné au principe de retour inverse de la lumière est rare. »
2
Justification du régime linéaire de l'ALIQ11, Q12
C'est la rétroaction sur la borne inverseuse qui justifie le régime linéaire ; l'égalité des potentiels d'entrée en est une conséquence, pas une cause.
« C’est la présence d’une boucle de rétroaction sur la borne inverseuse qui justifie le régime linéaire »
3
Pulsation de résonanceQ18, Q19
Outre les erreurs de dérivation, une part notable des candidats cherche l'annulation du dénominateur au lieu de son minimum. La lecture graphique du facteur de qualité est très rare.
« une fraction notable de candidats pense que la résonance s’obtient lorsque le dénominateur s’annule, et non lorsqu’il est minimal. »
4
Répondre à la question poséeQ5, Q23
Le théorème de Gauss était hors sujet là où l'équation de Maxwell-Gauss était demandée, et la condition D' supérieure à 4f' était une réponse stéréotypée à la place de la relation de conjugaison.
5
Symétries et invariancesQ22
Les causes (la distribution de charges, à citer explicitement) ne sont pas distinguées de leurs conséquences sur le champ, et un plan d'antisymétrie particulier est parfois généralisé à tout l'espace.
6
Raisonnement en ordres de grandeurQ35, Q36, Q37
Nombre de Reynolds mal écrit, échelles non explicitées, divisions par des vecteurs : le jury rappelle qu'une analyse d'ordres de grandeur exige de la rigueur.
« Travailler en ordres de grandeur n’est pas synonyme d’absence de rigueur ! »

Ce qui a été bien réussi

Le bilan local de masse (Q30) et le calcul de la capacité du condensateur ont été plutôt bien réussis.
Q4, Q10, Q13, Q15, Q25 et Q26 sont en général bien réussies.
La partie III, peu traitée, a permis à quelques candidats de montrer leur capacité à interpréter des graphiques expérimentaux.
La majorité des copies sont lisibles et bien présentées.

Conseils du jury

Comprendre la logique et les hypothèses des démonstrations de cours plutôt que mémoriser un calcul.
Sans calculatrice, écrire chaque valeur en notation scientifique et arrondir pour faciliter le calcul mental (par exemple pi proche de 3).
Lorsqu'un résultat est donné par l'énoncé, soigner la démonstration, car c'est elle qui est évaluée.
Faire figurer le schéma du circuit avec les conventions d'orientation avant d'écrire les lois de l'électrocinétique.
Soigner la rédaction des questions classiques, même quand on est capable de traiter les questions subtiles.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

45 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.

45 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Description

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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

PHYSIQUE

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le problème est constitué de trois parties pouvant être traitées indépendamment. II est toutefois recommandé de les traiter dans l'ordre pour bien s'approprier la logique du problème qui forme un tout cohérent. Un formulaire est fourni page 3.

Lorsqu'une application numérique est demandée, on attend, sauf mention contraire, un résultat utilisant une écriture scientifique avec un seul chiffre significatif dans la mantisse. Par exemple, une écriture correcte de la célérité de la lumière dans le vide est

c = 3 \cdot 10^8 m \cdot s^(- 1)

, mais les écritures

c = 10^8 m \cdot s^(- 1), c = 10^(8, 5) m \cdot s^(- 1)

c = 1/3 \cdot 10^9 m \cdot s^(- 1)

ne le sont pas.

Nanorhéologie par appareil à force dynamique de surface

Source : Restagno, Frédéric. Interactions entre contacts solides et cinétique de la condensation capillaire. Aspects macroscopiques et aspects microscopiques. Thèse de doctorat - ENS LYON, 2000

Présentation générale

La nanorhéologie est l'étude de l'écoulement des liquides entre des parois séparées d'une distance inférieure au micromètre. Ce domaine est d'un intérêt majeur pour comprendre les mécanismes des frottements fluides, aussi bien dans le domaine industriel (lubrification des moteurs), naturel (écoulement dans les milieux poreux) que biologique (liquide synovial entre les articulations).

Une manière d'accéder à des mesures de nanorhéologie est d'utiliser un appareil à force dynamique de surface (abrégé dans cet énoncé par l'acronyme anglais dSFA, pour dynamic Surface Force Apparatus), qui est un dispositif permettant de mesurer la force qu'exerce le fluide sur une des parois qui le contient lors de son écoulement. Ce sujet s'intéresse à quelques aspects d'un dSFA développé à l'Université Claude Bernard Lyon 1.

Figure 1 - Schéma de principe de l'appareil à force dynamique de surface (la partie optique du dispositif n'est pas entièrement représentée)

Le schéma de principe du dSFA est représenté sur la figure 1. Une goutte de fluide est insérée entre une sphère et un plan séparés d'une distance allant de quelques nanomètres à quelques centaines de nanomètres, formant ainsi un mince filet fluide. La sphère et le plan sont fixés à des structures, respectivement nommées porte-sphère et porte-plan, attachées à des cantilevers (bilames déformables)

L_1

L_2

, qui permettent une translation horizontale de ces structures et donc un mouvement de la sphère par rapport au plan. Pour aboutir à la configuration d'étude, on rapproche d'abord la sphère du plan à une distance d'environ un micromètre à l'aide d'une vis micrométrique. Ensuite, une première céramique piézoélectrique poursuit le rapprochement jusqu'à la distance sphère/plan souhaitée. Une seconde céramique piézoélectrique imprime alors une oscillation sinusoïdale à la sphère, à la pulsation

ω

. Cette oscillation met en mouvement le fluide entre la sphère et le plan, ce qui provoque une force

F⃗

normale au plan, de même pulsation

ω

. C'est la raison pour laquelle on évoque un appareil à force dynamique de surface.

La force

F⃗

est mesurée à l'aide d'un capteur de force dont le principe est étudié dans la partie I. Cette force provoque un déplacement du porte-plan qui est détecté par une méthode interférométrique (sous-partie l.1) dont la mesure permet de remonter à la force

F⃗

(sous-partie I.2). La mesure des déplacements relatifs entre la sphère et le plan utilise un condensateur qui fait l'objet de la partie II. Après avoir décrit le principe de la mesure (sous-partie II.1), on verra que l'écoulement de l'air entre les armatures produit une force susceptible de perturber le capteur de force (sous-partie II.2). Enfin, dans la partie III, on s'intéressera à quelques mesures de nanorhéologie utilisant ce dSFA.

Formulaire

Pour tout champ scalaire

a

et tout champ vectoriel

b⃗

div(ab⃗) = adivb⃗ + b⃗ \cdot grad^(\to-)a

Opérateurs vectoriels en coordonnées cylindriques (

r, θ, x

) pour un champ scalaire

a

ou un champ vectoriel

b⃗(b_r, b_θ, b_x)

-Gradient :
$grad^(\to-)a = | (\partiala)/(\partialr); 1/r(\partiala)/(\partialθ); (\partiala)/(\partialx)$
-Divergence:
$divb⃗ = 1/r(\partial(rb_r))/(\partialr) + 1/r(\partialb_θ)/(\partialθ) + (\partialb_x)/(\partialx)$
-Rotationnel :
$rot^(\to-)b⃗ = | 1/r(\partialb_x)/(\partialθ) - (\partialb_θ)/(\partialx); (\partialb_r)/(\partialx) - (\partialb_x)/(\partialr); 1/r((\partial(rb_θ))/(\partialr) - (\partialb_r)/(\partialθ))$
-Laplacien scalaire :
$Δa = 1/r\partial/(\partialr)(r(\partiala)/(\partialr)) + 1/(r^2)(\partial^2 a)/(\partialθ^2) + (\partial^2 a)/(\partialx^2)$
-Laplacien vectoriel :
$Δb⃗ = | Δb_r - (b_r)/(r^2) - 2/(r^2)(\partialb_θ)/(\partialθ); Δb_θ - (b_θ)/(r^2) + 2/(r^2)(\partialb_r)/(\partialθ); Δb_x$

Partie I - Mesure de la force s'exerçant sur le plan

I. 1 - Mesure interférométrique du déplacement du plan par rapport au bâti fixe

La force

F⃗

qui s'exerce sur le plan se reporte sur le porte-plan et déforme le cantilever

L_2

(figure 1) provoquant un déplacement de l'ensemble plan/porte-plan. Deux miroirs parallèles, l'un posé sur le bâti fixe, l'autre posé sur le porte-plan, permettent par une méthode interférométrique de déterminer ce déplacement par rapport au bâti. La configuration étudiée dans ce sujet se ramène à celle d'un interféromètre de Michelson, bien que le véritable dispositif soit plus complexe.

Le schéma de l'interféromètre est représenté sur la figure 2. Un laser He-Ne, de longueur d'onde dans le vide

λ = 633 nm

, produit un faisceau de lumière rendu divergent par un condenseur (lentille convergente de très courte focale). Ce faisceau est divisé en deux par une lame séparatrice. Le premier faisceau, après avoir été dévié par un miroir à 45°, se réfléchit sur le miroir

M_1

solidaire du bâti fixe tandis que le second faisceau se réfléchit sur le miroir

M_2

solidaire du porte-plan mobile. Les faisceaux interfèrent à l'infini après avoir rejoint la lame séparatrice. Une lentille convergente

(L)

permet de projeter la figure d'interférences sur un écran placé dans son plan focal image. La propagation de la lumière se fait dans l'air d'indice optique

n = 1

. On ne tiendra pas compte des déphasages liés aux réflexions sur les miroirs et sur la lame séparatrice.

Figure 2 - Représentation schématique de l'interféromètre (seul le rayon central du faisceau laser est dessiné)

Q1.La configuration présentée sur la figure 2 est équivalente à un interféromètre de Michelson réglé en lame d'air. Faire le schéma équivalent de la lame d'air, d'épaisseur $e$ , puis tracer le cheminement d'un rayon arrivant sur la lame avec un angle d'incidence $i$ par rapport à la normale aux miroirs. Établir l'expression de la différence de marche à l'infini en fonction de $e$ et de $i$ .
Q2.Dans le plan focal image de la lentille de projection, on observe des franges en forme d'anneaux, appelées franges d'égale inclinaison. Justifier ce terme. Qu'obtiendrait-on sur l'écran en l'absence du condenseur placé en sortie du laser ?

Q3.Le miroir $M_1$ peut être translaté. Pour atteindre le contact optique, doit-on augmenter ou diminuer le rayon des anneaux visibles sur l'écran ? Justifier.

La distance

d_2

est la distance entre la séparatrice et le miroir

M_2

lorsque le plan n'est soumis à aucune force. Lorsqu'une force s'exerce sur le plan, le miroir se déplace de la distance

x

, comptée positivement vers la gauche sur le schéma de la figure 2, si bien que la distance entre la séparatrice et le miroir

M_2

est

d_2 - x

Q4.Le contact optique est atteint en l'absence de force sur le plan $(x = 0)$ . Donner la relation entre $d, d_1$ et $d_2$ dans cette situation.

Une fois le contact optique réalisé, on incline légèrement le miroir

M_1

d'un petit angle

α

afin de se placer dans une configuration coin d'air (figure 3). À la sortie du laser, on remplace le condenseur par un élargisseur de faisceau afin d'avoir une incidence quasi-normale sur les miroirs. Les interférences sont désormais localisées sur les miroirs, et on repère par

y

la position sur les miroirs depuis le point

O

d'intersection des miroirs. La différence de marche entre le rayon se réfléchissant sur

M_1

et celui se réfléchissant sur

M_2

est

2e_0(y)

, où

e_0(y)

désigne l'écart (algébrique) entre les deux miroirs à la position

y

Figure 3 - Schéma équivalent de l'interféromètre de Michelson réglé en coin d'air

Q5.On remplace la lentille $(L)$ par une autre lentille convergente $(L^')$ de plus courte focale $f^'$ . Sachant que la distance entre le miroir $M_2$ et la lentille est $D > 0$ , à quelle distance $D^'$ de la lentille doit-on placer l'écran pour y observer les interférences ?
Q6.Quelle est la forme des franges d'interférences ? Comment les appelle-t-on ? Déterminer l'expression de l'interfrange $i_e$ sur l'écran en fonction de $D, D^', α$ et de $λ$ .
Q7.On note $δ_0$ la différence de marche en un point donné des miroirs lorsque $x = 0$ . Déterminer, en fonction de $δ_0$ et de $x$ , la différence de marche $δ(x)$ en ce même point lorsque le miroir $M_2$ se décale de $x$ .
Q8.Les rayons interférant en un point de l'écran ont la même amplitude lumineuse et on note $ε_0$ l'éclairement sur l'écran dû à un seul rayon. Établir la formule de Fresnel donnant l'éclairement $ε$ résultant de l'interférence de ces deux rayons en fonction de $ε_0, δ(x)$ et de $λ$ . En déduire que :
$ε = (ε_(max))/2(1 + cos((4πx)/λ + Ψ)),$
où $ε_(max)$ est l'éclairement pour une frange brillante à exprimer en fonction de $ε_0$ et où $Ψ$ est à exprimer en fonction de $δ_0$ et de $λ$ .

La mesure de l'éclairement doit permettre de remonter à

x

. Pour optimiser la précision, il faut que les variations de l'éclairement soient maximales lorsque

x

varie autour de

x = 0

Q9.Donner l'expression de la sensibilité $S = |(dε)/(dx)|$ , puis déterminer les valeurs de $Ψ$ qui maximisent cette sensibilité au voisinage de $x = 0$ .

Pour mesurer l'éclairement, on place deux photodiodes en deux points de l'écran correspondant à deux valeurs successives de

Ψ

maximisant la sensibilité.

Q10. Montrer que pour

x≪λ

, les éclairements des photodiodes sont :

{ε_1 = (ε_(max))/2(1 − (4πx)/λ); ε_2 = (ε_(max))/2(1 + (4πx)/λ).

Une photodiode convertit l'éclairement

E

reçu en une intensité électrique proportionnelle. En effet, lorsque la photodiode est en court-circuit (tension nulle à ses bornes), elle produit une intensité électrique

I_(cc) = βE

, avec

β

une constante, identique pour les deux photodiodes. Chaque photodiode est insérée dans un montage à amplificateur linéaire intégré (ALI) représenté sur la figure 4, appelé convertisseur courant/tension. L'ALI est supposé idéal.

Figure 4 - Convertisseur courant/tension

Q11. À partir du schéma de la figure 4, justifier que l'ALI fonctionne en régime linéaire. En déduire que la photodiode est bien en court-circuit.

Q12. Déterminer la tension

U_s

en sortie de ce montage en fonction de

β, R_1

et de

E

.
On note

U_1

(respectivement

U_2

) la tension de sortie du montage contenant la photodiode recevant l'éclairement

E_1

(respectivement

E_2

). Par des opérations analogiques sur ces tensions, on obtient la tension finale

U_(opt) = K(U_2 - U_1)/(U_1 + U_2)

, avec

K = 10 V

Q13.Exprimer $U_(opt)$ en fonction de $K, λ$ et de $x$ . La tension minimale que peut détecter la carte d'acquisition utilisée est $U_(opt) = 2 \cdot 10^(- 4) V$ ; quel déplacement minimal du miroir $M_2$ peut-on espérer détecter avec ce capteur interférométrique ?

I. 2 - Réponse mécanique du cantilever

La détermination de

x

par interférométrie a pour objectif de mesurer la force

F⃗

qui s'exerce sur le plan (figure 1). En effet, sous l'action de cette force, le plan et le porte-plan rattachés au cantilever

L_2

se déplacent par rapport au bâti fixe, pris comme référentiel d'étude galiléen. On assimile le plan et le porte-plan à un solide de masse

m

en translation selon

u_x^(\to-); x

est ici l'écart à la position d'équilibre du solide (lorsque

F⃗ = 0\to

), et

v⃗

est sa vitesse. On modélise les interactions du solide avec le cantilever

L_2

par une force de rappel de constante de raideur

k

, de la forme

F_r^(\to-) = - kxu_x^(\to-)

, et par une force de dissipation visqueuse de coefficient

μ

, de la forme

f_v^(\to-) = - μv⃗

(figure 5).

Le mouvement du fluide entre la sphère et le plan, à l'origine de la force

F⃗

, est provoqué par le mouvement sinusoïdal de la sphère à la pulsation

ω

, selon

u_x^(\to-)

. En régime permanent, toutes les grandeurs mécaniques sont donc sinusoïdales et de même pulsation. En particulier, la force

F⃗

est de la forme

F⃗(t) = F(t)u_x^(\to-) = F_1 cos(ωt + ψ)u_x^(\to-)

et le mouvement du plan est

x(t) = x_1 cos(ωt + φ)

Figure 5 - Modélisation du mouvement du système plan/porte-plan

Q14. Quelle est l'origine physique des forces

F_r^(\to-)

f_v^(\to-)

introduites dans ce modèle ?
Q15. On note

j

le complexe tel que

j^2 = - 1

. Écrire les signaux complexes

F_-(t)

x_-(t)

associés à

F(t)

x(t)

. On introduira les amplitudes complexes

F_1_-

x_1_-

, dont on précisera les expressions en fonction de

F_1, x_1, φ

et de

ψ

Q16. Montrer que la fonction de transfert mécanique de ce système a pour expression :

H_m_- = (kx_1)/(F_1_-) = 1/(1 + (jω)/(Qω_0) - (ω^2)/(ω_0^2)),

où la pulsation propre

ω_0

et le facteur de qualité

Q

seront exprimés en fonction de

m, k

et de

μ

. Préciser la signification physique de

ω_0

et de

Q

Q17. Déterminer le module de la fonction de transfert

|H_m_-|

en fonction de

ξ = ω/ω_0

.
Q18. Montrer que pour une condition sur

Q

que l'on précisera,

|H_m_-|

présente une résonance à une pulsation

ω_r

dépendant de

ω_0

et de

Q

. À quelle condition sur

Q

peut-on considérer que

ω_r ≃ ω_0

Pour déterminer

ω_0

Q

, on réalise une étude en fréquence. Pour ce faire, la force excitatrice est cette fois-ci produite par une bobine située au voisinage d'un aimant attaché au porte-plan (figure 1) afin de produire une force d'amplitude constante à toute fréquence. Le module de la fonction de transfert

|H_m_-|

est représenté sur le graphe de la figure 6.

Figure 6 - Module de la fonction de transfert mécanique en fonction de la fréquence d'excitation

Q19. Déterminer les valeurs numériques de

ω_0

et de

Q

à partir du graphe de la figure 6.
Pour déduire la force

F⃗

de la fonction de transfert

H_m_-

, il faut mesurer la constante de raideur

k

du système, puisque

F_1_- = (kx_1_-)/(H_m_-)

. Pour ce faire, on met en œuvre la méthode de Cleveland, qui consiste à lester le porte-plan avec des masses

m_a

croissantes. La masse du système est alors

m + m_a

, ce qui modifie la pulsation propre

ω_0

. Par le même protocole que précédemment, on détermine

ω_0

pour plusieurs valeurs de

m_a

. Les résultats sont rassemblés sur le graphe de la figure 7.

Figure 7 - Détermination de la constante de raideur

Q20.Déterminer la valeur de la constante de raideur $k$ à partir du graphe de la figure 7. Quelle autre grandeur pourrait être déduite de ce graphe ?
Q21.Lorsque le capteur interférométrique mesure une vibration d'amplitude $x_1 = 2 nm$ à une fréquence d'excitation de 40 Hz, le capteur de force en déduit une force d'amplitude $F_1 = 2μ N$ sur le plan. En déduire la valeur de $k$ implémentée dans l'appareil. Commenter.

Partie II - Mesure du déplacement relatif entre la sphère et le plan

Comme on le verra dans la partie III, la connaissance du déplacement relatif entre la sphère et le plan est essentielle dans les expériences de nanorhéologie. Pour cela, un capteur capacitif est mis en place : il s'agit d'un condensateur plan tel que la distance entre les deux armatures varie de la même façon que la distance entre la sphère et le plan, du fait de la rigidité du porte-plan et du portesphère (figure 1).

Les armatures du condensateur sont constituées de deux disques parallèles de rayon

R = 3 cm

(figure 8). La distance

ℓ

entre les deux armatures varie, mais reste très proche de

50μ m

. L'armature de centre

O

est solidaire de la sphère tandis que l'armature de centre

A

est solidaire du plan. On supposera que le référentiel de l'armature de centre

O

est galiléen, même si c'est inexact en toute rigueur du fait du mouvement de la sphère. On se place dans un système de coordonnées cylindriques (

r, θ, x

), l'axe (

Ox

) étant l'axe de symétrie de révolution des deux armatures. En un point

M

hors de l'axe (

Ox

), on introduit la base locale (

u_r^(\to-), u_θ^(\to-), u_x^(\to-)

Figure 8 - Schéma du condensateur

II. 1 - Fonctionnement du capteur capacitif

L'armature de centre

O

(respectivement

A

), porte une charge

+ Q

(respectivement

- Q

) uniformément répartie, et son potentiel électrostatique est

V_O

(respectivement

V_A

). La tension du condensateur est

U = V_O - V_A

. Même si les charges sur les armatures sont amenées à varier au cours du temps, on admettra qu'on peut raisonner dans le cadre de l'électrostatique.

On cherche tout d'abord à déterminer le champ électrique

E⃗

à l'intérieur du condensateur afin d'en déduire l'expression de sa capacité.

Q22.Justifier qu'on peut supposer ici les armatures infinies pour rechercher le champ électrique $E⃗$ . Sous cette hypothèse, déterminer la direction de $E⃗$ entre les deux armatures et montrer par une analyse des invariances qu'il ne dépend a priori que d'une seule des trois coordonnées cylindriques.
Q23.En utilisant une équation de Maxwell, montrer que le champ électrique est uniforme à l'intérieur du condensateur.
Q24.En utilisant une autre équation de Maxwell, énoncer, en la justifiant, la relation entre le potentiel électrostatique $V$ et le champ électrique $E⃗$ . En déduire l'expression de $E⃗$ en fonction de $U, ℓ$ et d'un vecteur unitaire.
Q25.On rappelle que l'expression de la densité volumique d'énergie électrostatique est $u_e = (ε_0 E^2)/2$ , avec $ε_0$ la permittivité diélectrique du vide. En déduire l'énergie électrostatique $E_e$ stockée à l'intérieur du condensateur en fonction de $ε_0, U, ℓ$ et de $R$ .
Q26.Donner sans démonstration l'expression de l'énergie électrostatique stockée dans un condensateur en fonction de sa capacité $C$ et de sa tension $U$ . En déduire l'expression de $C$ en fonction de $ε_0, ℓ$ et de $R$ .

Le condensateur est connecté en parallèle avec une bobine d'inductance propre

L

, formant ainsi un circuit

LC

oscillant (figure 9).

Figure 9 - Circuit

LC

oscillant

Q27.Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_c$ du condensateur dans ce circuit. En déduire l'expression de la fréquence $f_(LC)$ des oscillations.
Q28.La fréquence d'oscillation $f_(LC)$ de ce circuit est mesurée. Montrer que cela permet d'en déduire $ℓ$ par la relation :
$ℓ = 4π^3 ε_0 R^2 Lf_(LC)^2.$
Q29.Pour une variation élémentaire $dℓ$ de la distance entre les armatures, la fréquence $f_(LC)$ varie de $df$ . Exprimer $dℓ$ en fonction de $df$ . Sachant que la fréquence $f_(LC)$ est de l'ordre de 10 MHz , que l'inductance propre est de $2μH$ , que $ε_0 = 9 \cdot 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)$ et que la méthode de mesure permet de détecter des variations de fréquence de 0,2 Hz, calculer le déplacement relatif minimal entre le plan et la sphère que ce capteur capacitif est capable de détecter.

II. 2 - Perturbation liée à l'écoulement de l'air entre les armatures

Le mouvement des armatures déplace l'air qui se situe entre celles-ci. Dans cette sous-partie, on va montrer que le déplacement de l'air donne naissance à une force sur les armatures orientée selon

u_x^(\to-)

, qui s'ajoute au bilan des forces effectué dans la sous-partie I. 2 et qui est donc susceptible de perturber la mesure du capteur de forces.

Q30.Établir l'équation locale de conservation de la masse dans une géométrie unidimensionnelle cartésienne, pour un fluide de masse volumique $ρ$ et de champ de vitesse $v⃗$ . On admettra sa généralisation en géométrie quelconque sous la forme :
$(\partialρ)/(\partialt) + div(ρv⃗) = 0.$
Q31.Rappeler l'expression de la dérivée particulaire de la masse volumique. Après avoir fait apparaître cette dérivée particulaire dans l'équation locale de conservation de la masse, établir la condition sur le champ de vitesse qui traduit un écoulement incompressible.
Q32.En déduire que le débit volumique $D_V$ à travers toute surface fermée fixe au sein d'un écoulement incompressible est nul.

L'air entre les armatures est assimilé à un fluide newtonien en écoulement incompressible, de masse volumique

ρ_a = 1 kg \cdot m^(- 3)

et de viscosité dynamique

η_a = 2 \cdot 10^(- 5) Pa \cdot s

. On se place dans le référentiel de l'armature de centre

O

(figure 8). L'armature de centre

A

présente un mouvement sinusoïdal de pulsation

ω

ℓ(t) = ℓ_0 + ℓ_1 cos(ωt),

avec

ℓ_1

de l'ordre de quelques nanomètres,

ℓ_0

de l'ordre de

50μ m

. Sachant que le rayon des armatures est

R = 3 cm

, on pourra considérer que

ℓ_1≪ℓ_0≪R

On suppose que le champ de vitesse de l'air entre les armatures du condensateur est de la forme :

v⃗ = v_r(r, x, t)u_r^(\to-) + v_x(r, x, t)u_x^(\to-).

Q33.Exprimer $v_x(r, x = 0, t)$ et $v_x(r, x = ℓ, t)$ .
Q34.On note $u(r, t)$ la vitesse moyenne de $v_r(r, x, t)$ sur la surface latérale d'un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $ℓ$ . En utilisant le résultat de la question Q32 sur la surface fermée qui entoure ce cylindre, montrer que :
$u(r, t) ≃ - (rℓ˙(t))/(2ℓ_0).$
Sachant que les fréquences d'oscillation sont de l'ordre de quelques dizaines de Hz, estimer un ordre de grandeur (sous forme d'une puissance de 10) de $u(R)$ .

Comme

ℓ_0≪R

, on fera l'approximation que la vitesse est essentiellement radiale :

v⃗ = v_r(r, x, t)u_r^(\to-)

. L'écoulement est décrit par l'équation de Navier-Stokes (en négligeant les effets de la pesanteur) :

ρ_a((\partialv⃗)/(\partialt) + (v⃗ \cdot grad^(\to-))v⃗) = - grad^(\to-)P + η_a Δv⃗,

où

P(r, x, t)

est le champ de pression.

Q35.Estimer un ordre de grandeur (sous forme d'une puissance de 10) du nombre de Reynolds pour l'écoulement radial de l'air entre les armatures, en prenant $ℓ_0$ pour échelle spatiale caractéristique. Quel terme de l'équation de Navier-Stokes peut être négligé ?
Q36.En introduisant des échelles caractéristiques, comparer $ρ_a(\partialv⃗)/(\partialt)$ et $η_a Δv⃗$ , puis montrer que l'un de ces deux termes peut être négligé dans l'équation de Navier-Stokes.
Q37.Projeter l'équation de Navier-Stokes selon $u_x^(\to-)$ et $u_r^(\to-)$ . Montrer que le champ de pression ne dépend pas de $x$ . En raisonnant à nouveau en échelles caractéristiques et en négligeant les termes appropriés, montrer que :
$η_a(\partial^2 v_r)/(\partialx^2) = (\partialP)/(\partialr)$
Q38.Justifier que l'équation précédente permet de trouver un profil parabolique pour le champ de vitesse selon la coordonnée $x$ :
$v_r(r, x, t) = a(r, t)x^2 + b(r, t)x + c(r, t)$
où $a, b$ et $c$ sont trois fonctions qu'on ne cherchera pas à déterminer à ce stade.
Q39.Donner la définition de la vitesse moyenne $u(r, t)$ à partir de $v_r(r, x, t)$ . En faisant l'hypothèse de non glissement de l'air sur les parois, montrer que :
$v_r(r, x, t) = (6u(r, t))/(ℓ_0)x(1 - x/(ℓ_0)).$
Q40.On suppose que la pression à l'extérieur des armatures du condensateur est uniforme et égale à $P_0$ . Montrer que :
$P(r, t) = P_0 - (3η_a ℓ˙(t))/(ℓ_0^3)(R^2 - r^2).$
Q41.Déterminer l'expression de $F_v^(\to-)$ , résultante des forces de pression sur l'armature de centre $O$ .

L'amplitude de la force

F_v^(\to-)

estimée à partir de l'expression précédente est de plusieurs dizaines de

μN

, ce qui est susceptible de perturber le capteur de force étudié dans la partie I, mesurant des forces du même ordre de grandeur sur le plan.

Q42.
Les armatures du condensateur ont été percées, comme cela peut être observé sur la photographie de la figure 10. Pour quelle raison ?

Figure 10 - Photographie des armatures du condensateur

Partie III - Application à la nanorhéologie

Dans cette partie, on s'intéresse à l'écoulement du fluide entre le plan et la sphère, et à la force

F⃗

qui s'exerce sur le plan du fait de cet écoulement.

Figure 11 - Force générée par l'écoulement du fluide sur le plan

La sphère, de rayon

R_0

, est située à une distance moyenne

h_0

du plan, et oscille de façon sinusoïdale avec une amplitude

h_1

(figure 11) :

h(t) = h_0 - h_1(t) = h_0 - h_1 cos(ωt).

Une goutte de liquide, de viscosité dynamique

η

, est déposée entre le plan et la sphère. La taille caractéristique de cette goutte est suffisamment grande pour qu'on puisse supposer que le liquide baigne complètement la sphère et le plan, ce qui permet notamment de négliger les effets de tension superficielle à l'interface liquide/air. La force s'exerçant sur le plan est également sinusoïdale :

F⃗ = F(t)u_x^(\to-) = F_1 cos(ωt + ψ)u_x^(\to-).

En passant

h_1(t)

F_1(t)

en signaux complexes, on définit l'impédance hydrodynamique comme le rapport des amplitudes complexes :

Z_- = (F_1^-)/(h_1_-_-) = Z^' + jZ^('').

Par une modélisation analogue à celle effectuée dans la sous-partie II.2, on montre que la force s'exerçant sur le plan, appelée force de Reynolds, a pour expression :

F⃗ = - (6πηR_0^2)/(h_0)h˙u_x^(\to-).

Q43. Déterminer l'expression de l'impédance hydrodynamique en utilisant le modèle de la force de Reynolds. Identifier

Z^'

Z^('')

On réalise la mesure de l'impédance hydrodynamique en utilisant comme fluide le glycérol, les surfaces du plan et de la sphère étant en Pyrex. La fréquence d'excitation de la sphère est de 39 Hz, le rayon de la sphère est de

1, 3 mm

Z^'

Z^('')

sont représentées sur la figure 12 en fonction de la distance

h_0

, tandis que sur la figure 13, on représente

1/Z^('')

ainsi que la force statique (mesure de

F_1

sans oscillation de la sphère).

Figure 12 - Représentation de

Z^'

(points gris) et de

Z^('')

(points noirs) en fonction de

h_0

pour le système glycérol/Pyrex

Figure 13 - Représentation de

1/Z^('')

(points noirs) et de la force statique (points gris) en fonction de

h_0

pour le système glycérol/Pyrex

Q44.Dans quel domaine le modèle de la force de Reynolds est-il validé sur le système glycérol/Pyrex ? Dans le domaine où il est mis en défaut, proposer une interprétation physique de l'écart constaté.

Des expériences ont été réalisées avec de l'eau pour tester l'influence de la nature mouillante ou non mouillante de la surface du plan. La partie imaginaire de l'impédance hydrodynamique a été mesurée avec un plan en Pyrex (surface mouillante) et un plan en Pyrex silanisé (surface non mouillante). Les résultats sont présentés sur la figure 14.

Figure 14 - Représentation de

1/Z^('')

pour de l'eau au contact d'un plan en Pyrex (points noirs) et un plan en Pyrex silanisé (points gris)

L'écart entre les deux courbes a été interprété en faisant l'hypothèse qu'au contact du plan, l'eau possède en fait une vitesse de glissement non nulle. Tout se passe comme si la surface où l'eau avait une vitesse de glissement nulle était reportée à l'intérieur du plan. La distance entre la surface réelle et cette surface de non glissement fictive est appelée longueur de glissement

b

(figure 15).

Figure 15 - Illustration de la longueur de glissement

Q45.Déterminer la longueur de glissement de l'eau sur la surface de Pyrex silanisée. Pourquoi cette longueur de glissement joue-t-elle un rôle important en nanorhéologie, alors qu'on peut généralement la négliger pour des écoulements macroscopiques ?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique CCINP PC 2026 ?

Il mobilise l'interféromètre de Michelson, l'ALI, les oscillateurs forcés et la résonance, l'électrostatique du condensateur plan et la mécanique des fluides visqueux (bilan de masse, Reynolds, Navier-Stokes).

Quelles erreurs le jury CCINP physique PC 2026 a-t-il le plus relevées ?

Des démonstrations de cours incomplètes (différence de marche du Michelson), une mauvaise justification du régime linéaire de l'ALI, une définition erronée de la résonance et un manque de rigueur dans les raisonnements en ordres de grandeur.

La calculatrice était-elle autorisée en physique CCINP PC 2026 ?

Non, c'était la première session sans calculatrice. Les applications numériques se faisaient de tête, avec une tolérance d'environ une unité sur la mantisse selon le jury.

Quelle partie du sujet CCINP physique PC 2026 a été la moins traitée ?

La partie III sur les applications du dSFA, beaucoup plus courte, a été nettement moins traitée que les deux premières. À partir de Q39, seul un tiers des candidats a proposé des réponses.

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