Topologie et ondes : chaînes masse-ressort, modèle SSH et ondes équatoriales à l'origine d'El Niño
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Le sujet explore l'influence de la topologie sur la propagation des ondes. Il part de chaînes masse-ressort monoatomique puis dimérisée (modèle SSH), établit leurs relations de dispersion et bandes interdites, puis définit un invariant topologique qui prédit l'existence de modes de bord. La seconde partie transpose ces idées aux ondes équatoriales océaniques et se termine par une explication du phénomène El Niño.
1Partie I.1 : chaîne monoatomiqueÉquation du mouvement, relation de dispersion, première zone de Brillouin, vitesse de groupe et ondes évanescentes pour une pulsation d'excitation élevée.
2Partie I.2 : chaîne dimérisée, modèle SSH mécaniqueMatrice dynamique, relation de dispersion à deux branches, bandes de propagation et bandes interdites.
3Partie I.3 : interprétation topologiqueDécomposition sur les matrices de Pauli, trajectoire du vecteur d(k), invariant topologique et modes de bord à l'interface entre deux chaînes.
4Partie II : ondes équatoriales et états de bord topologiquesÉquations de continuité et d'Euler avec force de Coriolis, linéarisation, relation de dispersion dans l'hypothèse de Kelvin, puis cas équatorial avec ondes de Kelvin et de Rossby.
Difficile. Le jury qualifie l'épreuve de particulièrement discriminante, avec d'importantes difficultés dès les premières questions, et la majorité des candidats a traité un peu moins de la moitié des questions.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Allongement relatif d'un ressort · Racine carrée et signe de la pulsation · Tracés de fonctions incohérents
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Le sujet, cohérent et progressif, ne contenait presque pas d'applications numériques mais demandait de nombreux tracés de fonctions et de relations de dispersion. Ces tracés ont été très discriminants. Les meilleures copies ont réinvesti les notions construites au fil du problème, alors que beaucoup ont traité les questions de façon isolée.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Allongement relatif d'un ressortQ1
Beaucoup d'expressions dépendent encore de la longueur à vide, signe d'une confusion entre déplacement absolu et variation relative de longueur.
2
Racine carrée et signe de la pulsationQ2
Oublier la valeur absolue conduit à des relations de dispersion incompatibles avec une pulsation positive.
« nombreux candidats oublient encore que la racine carrée du carré d'un nombre est sa valeur absolue »
3
Tracés de fonctions incohérentsQ4, Q14
Un graphe doit être construit à partir des symétries, des pentes, des comportements limites et des points remarquables, sur le bon domaine.
« une très grande majorité des candidats s'est montrée incapable de produire un graphe cohérent avec les propriétés élémentaires de la fonction étudiée »
4
Solution discrète et onde évanescenteQ7.4, Q7.5
La solution n'est définie que pour n entier et la courbe doit être discrétisée. La distinction entre onde évanescente et onde amortie doit être connue.
5
Les deux branches de la relation de dispersionQ13
Les questions 13.x préparaient le tracé de la relation de dispersion. Toute discussion devait distinguer les branches + et −, au centre comme au bord de la zone de Brillouin.
6
Pulsations de signe opposéQ27
Le système est linéaire en dérivée première du temps : il faut résoudre det(M − ωI) = 0 et garder les solutions ω = 0 et les deux pulsations opposées.
Ce qui a été bien réussi
Le début de la partie II (Q23 à Q25) est bien traité par presque tous les candidats, souvent avec tous les points.
La mise sous forme matricielle (Q26) est réussie par la plupart des candidats.
Beaucoup reconnaissent l'équation de continuité et l'équation d'Euler (Q22).
Les questions Q34 et Q35 sur les ondes de Rossby sont souvent traitées en partie.
Conseils du jury
S'entraîner à tracer à la main une fonction simple à partir des propriétés établies.
Utiliser les graphes comme outils de raisonnement, pas comme illustrations ajoutées après coup.
Justifier une réponse binaire au lieu de reformuler l'énoncé.
Démontrer les étapes essentielles d'une formule donnée par l'énoncé avant de l'exploiter.
Contrôler l'homogénéité et les ordres de grandeur des résultats.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
36 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.
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36 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.
Le sujet explore l'influence de la topologie sur la propagation des ondes. Il part de chaînes masse-ressort monoatomique puis dimérisée (modèle SSH), établit leurs relations de dispersion et bandes interdites, puis définit un invariant topologique qui prédit l'existence de modes de bord. La seconde partie transpose ces idées aux ondes équatoriales océaniques et se termine par une explication du phénomène El Niño.
MERCREDI 15 AVRIL 2026 08h00-12h00 FILIERE PC - Epreuve n° 5
PHYSIQUE B
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
De la topologie dans les ondes : de la matière condensée à El Niño
Illustration de l'équivalence topologique entre une tasse à café et un tore, reliés par une déformation continue (Modèle de K. Crane et H. Segerman).
En 2016, le prix Nobel de physique a été décerné à trois chercheurs pour leurs travaux sur les phases topologiques de la matière [1]. L'intérêt pour ce domaine s'est renforcé avec la découverte, en 2005, des isolants topologiques : des matériaux isolants dans le volume mais conducteurs aux frontières, dont le comportement peut être compris à l'aide d'invariants topologiques.
Ce problème propose d'explorer la notion de topologie en physique des ondes à travers des chaînes masse-ressort, systèmes mécaniques discrets, puis d'établir le lien avec les ondes équatoriales dans l'océan, à l'origine du phénomène El Niño [2]. Dans une large mesure, les 2 parties étudient des problèmes indépendants.
[1] Prix Nobel de Physique 2016 décerné à D.J. Thouless, F.D. Haldane et J.M. Kosterlitz.
[2] P. Delplace, J.B. Marston, A. Venaille, "Topological origin of equatorial waves," Science, 358, 1075-1077 (2017).
Partie I - Chaînes masse-ressort
1. Chaîne monoatomique
On considère une chaîne infinie de masses m reliées par des ressorts de raideur β, séparées par une distance a. On note u_n le déplacement de la n-ième masse par rapport à sa position d'équilibre comme représenté sur la figure suivante :
Écrire l'équation du mouvement pour la n-ième masse.
Chercher une solution en notation complexe sous la forme u_n_– = U_0_–e^(i(kna − ωt)) et en déduire la relation de dispersion ω(k) des ondes se propageant dans cette chaîne.
On rappelle la formule de trigonométrie : cos2θ = 1 − 2sin^2 θ.
Cette relation de dispersion montre une périodicité en k. On appelle première zone de Brillouin, la période de k centrée sur l'origine. Quel intervalle de k correspond à la première zone de Brillouin?
Représenter la relation de dispersion ω(k) dans la première zone de Brillouin.
Discuter la signification physique de la pente en k = 0.
Que vaut la vitesse de groupe pour k = ± π/a ? Qu'est ce que cela signifie concernant la propagation des ondes?
On place une source d'excitation sur la masse d'indice 0 qui impose le déplacement en notation complexe u_0_– = U_0 e^(− iωt). On choisit une pulsation d'excitation ω = α√(β/m) avec α > 2.
7.1. En reprenant la forme de la solution de la question 2, montrer que l'on est obligé d'introduire un nombre d'onde complexe k_– = k^′ + ik^(′′).
7.2. Trouver la valeur de k^′ dans la première zone de Brillouin, sachant la formule trigonométrique : sin(x + iy) = sinxchy + icosxshy.
7.3. En déduire les 2 valeurs possibles de k ", et justifier qualitativement la solution que l'on gardera pour n > 0 et n < 0.
7.4. Tracer la solution obtenue.
7.5. Pourquoi parle-t-on d'onde évanescente au lieu d'onde propagative? Déterminer les gammes de pulsations correspondant à des ondes propagatives et à des ondes évanescentes?
2. Chaîne dimérisée : le modèle SSH mécanique
On se propose maintenant d'étudier le modèle dit SSH, proposé par Su, Schrieffer et Heeger en 1979 pour décrire la conduction électronique dans la molécule d'acétylène :
Pour cela, on considère l'analogue mécanique qui consiste en une chaîne de masses identiques m, reliées par des ressorts alternant entre β_1 et β_2 comme représenté sur la figure suivante :
8. Établir les équations du mouvement des masses paires (2n) et impaires (2n + 1).
9. On cherche des solutions adaptées à la nouvelle maille de ce réseau en notation complexe sous la forme :
Montrer que les équations du mouvement peuvent s'écrire sous la forme d'un problème aux valeurs propres :
ω^2((U_0)/(U_1)) = D(k)((U_0)/(U_1)),
et déterminer explicitement la matrice dynamique D(k).
Pour alléger les notations on introduira les pulsations caractéristiques ω_1 = √((β_1)/m) et ω_2 = √((β_2)/m).
10. En cherchant les solutions non-nulles du problème précédent, montrer que la relation de dispersion ω(k) des ondes se propageant dans cette chaîne dimérisée s'écrit :
Commenter sur la différence entre les cas ω_1/ω_2 = 2/3 et ω_1/ω_2 = 3/2.
Étant donné la périodicité de cette relation de dispersion, comparer la première zone de Brillouin de cette chaine à celle de la partie précédente? Commenter.
Afin de représenter la relation de dispersion sur la première zone de Brillouin on se propose de déterminer quelques propriétés caractéristiques de celle-ci.
13.1. Quelles sont les solutions pour ω en k = 0 ?
13.2. Quelles sont les solutions en bord de zone de Brillouin (aux bornes de l'intervalle de k considéré) ?
13.3. Évaluer le développement limité en k = 0 de ω^2, puis en déduire la vitesse des ondes à basse fréquence.
13.4. Que vaut la pente de la relation de dispersion pour les solutions trouvées en 13.1 et 13.2?
À la lumière de tous ces calculs, tracer la relation de dispersion, en précisant les tangentes et points remarquables de la question précédente, sur la première zone de Brillouin pour les 2 cas :
-ω_1/ω_2 = 2/3
-ω_1/ω_2 = 1.
Cette question fait écho à la question 7 dans le cas de la chaine monoatomique. Ici, on choisit une pulsation dans l'intervalle entre √2ω_1 et √2ω_2. Comme on n'a pas de solution possible avec k ∈ ℝ, on introduit une solution de la forme k_– = k^′ + ik ".
15.1. Sachant que cos(2k_–a) doit être réel, trouver les 2 valeurs possibles de k^′ dans la première zone de Brillouin (on rappelle la formule trigonométrique : cos(x + iy) = cosxchy − isinxshy ).
15.2. Montrer que pour satisfaire la condition sur la fréquence (supposée en début de question) une seule de ces solutions est possible.
15.3. Tracer la forme spatiale des déplacements pour n > 0 en supposant u_0_– = U_0.
On a représenté sur la figure ci-dessous les domaines de fréquences pour lesquels l'équation de dispersion admet des solutions propagatives ou des solutions évanescentes dans le cas où ω_1 = ω_0 + δω et ω_2 = ω_0 − δω pour différentes valeurs de δω.
Diagramme de bandes de la chaîne masses-ressorts dimérisée en fonction du rapport (ω_1)/(ω_2).
16. Identifier sur ce diagramme les bandes de propagation et les bandes correspondant à des ondes évanescentes, dites bandes interdites. Que se passe-t-il en (ω_1)/(ω_2) = 1 ?
3. Interprétation topologique
On introduit la matrice identité 𝕀 ainsi que les matrices de Pauli σ_x = (0, 1; 1, 0) et σ_y = (0, − i; i, 0).
17. Écrire en explicitant d_0, d_x(k) et d_y(k) la matrice dynamique D(k) sous la forme:
D(k) = d_0 𝕀 + d_x(k)σ_x + d_y(k)σ_y.
Lorsque k parcourt l'intervalle [ − π/(2a), π/(2a)], tracer la trajectoire du vecteur d⃗(k) = ((d_x(k))/(d_y(k))) dans le plan (Oxy). Distinguer les 2 cas ω_1 > ω_2 et ω_1 < ω_2.
Sur chacune des trajectoires, ajouter un point sur la courbe de manière à représenter le vecteur d⃗(k) ainsi que l'angle φ(k) formé entre d⃗(k) et l'axe (Ox).
En parcourant la trajectoire du vecteur d⃗(k) lorsque k ∈ [ − π/(2a), π/(2a)], évaluer graphiquement l'intégrale de l'invariant topologique ν défini par :
ν = 1/(2π)∫_(− π/(2a))^(π/(2a))dφ(k).
Donner la valeur de ν, appelé invariant topologique, dans les 2 cas : ω_1 > ω_2 et ω_1 < ω_2. Indication : ν n'est rien d'autre que le nombre de tours effectués par le vecteur d⃗(k) autour de l'origine lorsque l'on parcourt la trajectoire sur l'intervalle considéré.
Le but de cet invariant topologique est de faire des prédictions sur l'existence de modes, seulement en évaluant celui-ci. Pour illustrer cette propriété, nous considérons une interface entre deux chaînes SSH mécaniques :
-À droite (n ≥ 0) une chaîne finie de N_d masses avec ω_1^d/ω_2^d > 1.
-À gauche (n < 0) une chaîne finie de N_g masses dont on va faire varier la valeur de ω_1^g/ω_2^g.
Un graphique correspondant aux fréquences propres (points) pour différentes valeurs de ω_1^g/ω_2^g est fourni ci-dessous :
Fréquences propres (points) pour différentes valeurs de ω_1^g/ω_2^g pour N_d = N_g = 20.
Curieusement, ce diagramme montre une asymétrie dans la répartition des solutions vis-à-vis du ratio ω_1^g/ω_2^g. Notamment, on remarque des solutions dans la zone blanche (par opposition à grisée) du graphique seulement pour les valeurs de (ω_1^g)/(ω_2^g) < 1. C'est justement l'invariant topologique qui va permettre de le prouver.
20. Calculer les invariants topologiques à gauche (ν_g) et à droite (ν_d) dans les différentes parties de ce graphique. Vérifier que le nombre de solutions dans la zone blanche est directement prédit par la valeur |ν_g − ν_d|.
21. En vous aidant du résultat de la question 15, représenter qualitativement le profil spatial de la solution obtenue dans la zone blanche pour ω_1^g/ω_2^g = 0, 7. Pourquoi parle-t-on de mode de bord?
Partie II - Ondes équatoriales : états de bord topologiques
Dans cette partie, nous allons montrer que les ondes équatoriales en géophysique obéissent à une logique strictement analogue à la chaîne SSH, et peuvent être interprétées comme des modes topologiques piégés à une interface.
1. Mise en équation du problème
On se place dans le système de coordonnées (e_x^(→−), e_y→, e_z→) comme représenté sur la figure ci-dessous :
Système de coordonnées à la surface de la Terre.
On considère les océans recouvrant la Terre à l'altitude z = 0 comme étant caractérisés par le champ de vitesse u⃗(x, y, t) et la hauteur de fluide h(x, y, t). La mise en équation de ce problème donne le système suivant :
g correspond à l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre et F⃗_c correspond à l'effet de la force de Coriolis exercée sur le fluide.
22. Reconnaître et nommer les 2 équations en jeu.
On fait de plus l'hypothèse de mouvements horizontaux de la couche de fluide. Ainsi le terme dû à la force de Coriolis se simplifie sous la forme : F⃗_c = − fe_z→ ∧ u⃗, où l'on a introduit le paramètre de Coriolis f = 2Ω⃗.e_z→ (avec Ω⃗ le vecteur de rotation de la Terre).
23. On note ℓ^ l'angle définissant la latitude, c'est-à-dire l'angle entre le plan équatorial et le point considéré sur la surface de la Terre. Que vaut f en fonction de l'angle ℓ^ ? Que se passe-t-il à l'équateur?
24. En notant u et v les 2 composantes du champ de vitesse respectivement suivant e_x^(→−) et e_y→, écrire les 3 composantes de F⃗_c dans le système de coordonnées (e_x^(→−), e_y→, e_z→) en fonction de u, v et f.
25. On fait l'hypothèse d'oscillations de faible amplitude à la surface de la terre : h(x, y, t) = H + η(x, y, t) avec η(x, y, t)≪H, ainsi que u et v sont de faibles amplitudes. Écrire le système d'équations linéarisé au premier ordre vérifié par η, u et v (remarque : tous les termes dus au repère mobile sont négligeables dans ces hypothèses).
2. Hypothèse de Lord Kelvin
On commence par choisir une latitude donnée par l'angle ℓ^ et on considère l'océan comme étant localement plan dans le système de coordonnées (e_x^(→−), e_y→). On ajoute l'hypothèse introduite par Lord Kelvin de considérer le paramètre de Coriolis comme localement constant : f(ℓ^) = f_0.
On introduit le vecteur Ψ = (η; u; v) et on cherche des solutions en notation complexe sous la forme d'ondes planes : Ψ_–(x, y, t) = Ψ_0_–e^(i(k_x x + k_y y − ωt)) avec Ψ_0_– = (((η_0)/(u_0))/(v_0_–))
26. Montrer que l'on obtient un problème aux valeurs propres de la forme :
MΨ_0_– = ωΨ_0_–
Expliciter la matrice M en fonction de k_x, k_y et des paramètres H, g et f_0.
27. Donner la relation de dispersion de ces ondes.
28. Quelle est la vitesse de propagation (que l'on notera c ) des ondes à haute fréquence?
29. Tracer les 3 branches de ces relations de dispersion pour k_y = 0 en s'autorisant des fréquences négatives dans le plan (k_x, ω) pour les cas f_0 = 1, f_0 = 0 et f_0 = − 1 (où on a pris une valeur arbitraire de f_0 = 1 pour la latitude considérée).
30. Quelles gammes de pulsations correspondent à des bandes interdites ?
Pour les bandes non-constantes (notées bandes négative (-) et positive (+) ) on parle de modes de Poincaré, alors que la bande plate (notée (0)) est appelée mode géostrophique. Pour chacune des bandes on peut évaluer un invariant topologique 𝒞 et on peut montrer qu'ils prennent les valeurs :
On s'intéresse désormais au cas des ondes équatoriales (ℓ^ ≈ 0) et on fait un développement limité du paramètre de Coriolis proche de l'équateur, soit f(y) = βy.
31. Expliquer en quoi l'équateur peut être vu comme une interface entre deux milieux homogènes de topologies différentes. Quelle est la conséquence étant donné les valeurs des invariants topologiques?
32. Le problème reste invariant par translation selon la direction x mais le terme f = βy brise l'invariance selon y. On cherche donc désormais des solutions sous la forme :
Ψ_–(x, y, t) = Ψ_–(y)e^(i(k_x x − ωt)).
Réécrire l'opérateur matriciel M_–(y) dans ces conditions.
En découplant les équations, Matsuno a montré en 1966 que les valeurs propres de ce problème satisfont l'équation :
(ω^2)/(c^2) − k_x^2 − (βk_x)/ω = (2n + 1)β/c avec n ∈ ℕ,
ainsi qu'une solution supplémentaire correspondant à l'onde de Kelvin : ω = k_x c.
L'ensemble des solutions (pour n ≤ 4 ) est représenté sur la figure suivante :
33. En utilisant les acquis de la chaîne SSH (questions 19 à 21), compter le nombre de modes transitant dans chaque bande interdite des modes vues dans l'hypothèse de Kelvin où f était constant et vérifier que ce nombre est compatible avec la différence des valeurs de l'invariant topologique 𝒞. Quelles ondes correspondent aux modes topologiques recherchés?
34. Les ondes de Rossby correspondent approximativement aux solutions du problème :
ω = (− βk_x)/(k_x^2 + β/c(2n + 1)) avec n ∈ ℕ^∗.
Évaluer la vitesse de phase de ces ondes et montrer qu'elle est toujours dirigée vers l'Ouest.
35. De même, évaluer la vitesse de groupe de ces ondes et montrer qu'elle change de signe pour une valeur caractéristique de k_x définissant une longueur d'onde critique λ_c que l'on évaluera. En déduire la direction de propagation d'un paquet d'onde de Rossby en fonction de sa longueur d'onde.
36. L'onde de Kelvin joue un rôle prépondérant dans le phénomène El Niño. Pourquoi est-elle responsable d'une accumulation d'eaux au large des côtes du Pérou ?
Questions fréquentes
4 questions
Sur quoi porte le sujet de physique B X ENS PC 2026 ?
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Sur quoi porte le sujet de physique B X ENS PC 2026 ?
+
Sur la topologie en physique des ondes : chaînes masse-ressort monoatomique et dimérisée (modèle SSH), invariant topologique et modes de bord, puis ondes équatoriales océaniques et phénomène El Niño.
Quelles erreurs le jury de physique B PC 2026 a-t-il relevées ?
+
Des allongements relatifs faux, une valeur absolue oubliée dans la relation de dispersion, des tracés de fonctions incohérents, la confusion entre onde évanescente et onde amortie, et l'oubli d'une des branches de la relation de dispersion.
Le sujet de physique B X PC 2026 contient-il des applications numériques ?
+
Presque pas. En revanche, il demande de nombreuses constructions graphiques de fonctions et de relations de dispersion, que le jury juge très discriminantes.
Combien de questions faut-il traiter au sujet de physique B X ENS 2026 ?
+
La majorité des candidats a traité un peu moins de la moitié des questions. Le jury précise que les meilleures copies ne sont pas forcément celles qui en abordent le plus, mais celles qui gardent une vision d'ensemble.
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Commentaires• X ENS Physique B PC 2026
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