Le problème étudie les éclipses de Soleil et les ondes qu'elles génèrent dans l'atmosphère. La première partie décrit le mouvement du système Soleil-Terre-Lune et les forces de marée à l'origine des éclipses. La deuxième étudie les ondes acoustiques, les ondes de gravité à l'interface eau-air et leur regroupement en ondes de sillage. La troisième traite de la propagation d'ondes électromagnétiques dans le plasma ionosphérique et du principe du sondage par écho.

1I. Les éclipses du Soleil par la LuneÉtude du système Soleil-Terre-Lune, référentiel barycentrique, force de marée et période synodique des éclipses.
2II. Ondes dans les fluidesÉquation d'Euler, ondes acoustiques, ondes de gravité en eau profonde et formation des ondes de sillage (relation de Kelvin), avec application au sillage atmosphérique d'une éclipse.
3III. Les sondages ionosphériquesFréquence de plasma dans l'ionosphère, propagation d'ondes électromagnétiques dans ce plasma et principe de l'écho ionosphérique pour mesurer l'altitude de réflexion.

Difficulté moyenne. Le jury a apprécié qu'une majorité de copies soient bien rédigées et présentées, et qu'une majorité de candidats aient bien avancé dans le sujet, même si de nombreuses erreurs spécifiques sont relevées question par question.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,18 / 20 · écart-type 4,21 · 3 549 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 11,18/ 20
Écart-type: 4,21
Présents: 3 549
Coefficient: 5
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 14 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Relation définissant le barycentre non maîtrisée · Force d'inertie d'entraînement mal exprimée · Absence de schémas et erreur de sommation vectorielle

Le sujet, qui relie mécanique céleste et propagation d'ondes dans les fluides puis dans un plasma, a été globalement bien traité. Le jury regrette cependant que les applications numériques soient fréquemment non abouties (résultats sous forme de fractions ou de facteurs pi) et insiste sur la rigueur nécessaire dans l'utilisation des vecteurs, qui ne peuvent être égalés à un scalaire.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Relation définissant le barycentre non maîtriséeQ1
Cette relation de base, pourtant nécessaire dès la première question, est inconnue d'un certain nombre de candidats.
« La relation définissant le barycentre de deux points est inconnue d'un certain nombre de candidats »
2
Force d'inertie d'entraînement mal expriméeQ3, Q4
De nombreuses erreurs portent sur l'oubli de la masse ou sur la distance à l'axe de rotation prise à tort égale à la distance Terre-Lune, ainsi que des normes exprimées négativement.
« Le jury a noté de nombreuses erreurs dans l'expression de la force d'inertie d'entraînement »
3
Absence de schémas et erreur de sommation vectorielleQ5
Le jury regrette le manque de schémas, qui aurait permis d'éviter l'erreur consistant à sommer les normes de deux forces alors qu'elles sont de directions opposées.
« Le jury conseille très vivement aux candidats de faire des schémas trop peu nombreux dans les copies »
4
Caractère dispersif mal justifiéQ14, Q19
Seule l'étude de la dépendance de la vitesse de phase avec la pulsation permet de conclure sur le caractère dispersif d'une propagation, ce qui est souvent oublié.
« seule l'étude de la dépendance (ou non) de la vitesse de phase avec la pulsation peut permettre de conclure sur ce point »
5
Confusion entre champ statique et champ uniformeQ29
L'équation de Maxwell-flux est souvent utilisée à tort pour justifier qu'un champ magnétique est statique, alors que ces deux notions doivent être distinguées.
« Le jury invite les candidats à bien séparer champ statique »
6
Applications numériques non abouties
Un nombre non négligeable de candidats laissent leurs résultats sous forme de fractions ou avec des facteurs pi non calculés, ce qui ne permet pas d'attribuer les points associés.
« les applications numériques sont fréquemment non abouties »

Ce qui a été bien réussi

La question 2, sur la masse volumique de la Terre, est généralement bien réussie.
La question 8 sur l'angle sous lequel est vu un astre est souvent réussie.
La question 30 sur le champ magnétique est plutôt réussie dans l'ensemble.
La relation de structure de l'onde électromagnétique (Q37) est connue de la plupart des candidats.

Conseils du jury

Toujours mener les applications numériques jusqu'au bout, avec le nombre de chiffres significatifs demandé.
Faire des schémas, en particulier pour les sommes de forces ou de vecteurs de directions différentes.
Justifier le caractère dispersif d'une onde uniquement par l'étude de la dépendance de la vitesse de phase avec la pulsation.
Distinguer rigoureusement un champ statique (indépendant du temps) d'un champ uniforme (indépendant de l'espace).

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

39 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

39 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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A2024 - PHYSIQUE II PC

Concours commun
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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024

DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 10 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Éclipses du Soleil et ondes dans l'atmosphère

Les éclipses du Soleil par la Lune se produisent lorsque la Lune s'intercale sur le trajet de la lumière solaire provoquant, selon le point d'observation au sol, une occultation totale ou partielle de l'astre. Le refroidissement temporaire et localisé de l'atmosphère dans la région éclipsée peut générer la propagation d'ondes acoustiques, ou bien d'ondes de gravité (analogues à la propagation de la houle à la surface de l'eau).

Du fait du mouvement rapide de la zone éclipsée, ces ondes se regroupent en ondes de sillage, comme celles que l'on peut observer à la surface de l'eau lors du passage d'un navire.

Il existe divers moyens de mise en évidence de ces ondes : la mesure directe des faibles fluctuations de pression au sol en est une, mais on peut aussi effectuer des mesures électromagnétiques des propriétés de la haute atmosphère par la technique des sondages ionosphériques.

Ce sujet aborde certains aspects des éclipses du Soleil et de leurs conséquences; il est constitué de trois parties totalement indépendantes. La partie

I

s'intéresse aux mouvements relatifs de la Lune, de la Terre et du Soleil, causes des éclipses elles-mêmes. La partie II décrit certaines ondes, causées par ces éclipses et susceptibles de se propager dans l'atmosphère : ondes acoustiques, ondes de gravité et regroupement en ondes de sillage. Enfin, la partie III décrit le principe du sondage ionosphérique utilisé pour mesurer les fluctuations locales des propriétés de la haute atmosphère.

Dans la mesure du possible les grandeurs complexes seront soulignées (

z_-

), sauf i tel que

i^2 = - 1

. Dans tout le problème, «exprimer» signifie donner une expression littérale, «calculer » signifie donner une expression littérale puis une valeur numérique ; on se contentera alors de deux chiffres significatifs, sauf pour les ordres de grandeur pour lesquels il suffit de se limiter à la puissance de 10 la plus proche. Les vecteurs sont généralement surmonté d'une flèche (

v⃗

) sauf s'ils sont unitaires et sont alors affublés d'un chapeau (

eˆ_x

). Enfin, quelques résultats classiques d'analyse vectorielle sont rappelés en fin d'énoncé. Dans tout le problème (

eˆ_x, eˆ_y, eˆ_z

) désigne une base orthonormée de

ℝ^3

I Les éclipses du Soleil par la Lune

Cette partie se décompose en deux sous-parties indépendantes I.A et I.B, elle décrit sommairement quelques unes des propriétés mécaniques du système formé du Soleil, de la Terre et de la Lune. On donne les grandeurs astronomiques, toutes supposées constantes:

Grandeur	Symbole	Valeur	Unité
Masse du Soleil	$M_S$	$2, 0 \cdot 10^(30)$	kg
Masse de la Terre	$M_T$	$6, 0 \cdot 10^(24)$	kg
Masse de la Lune	$M_L$	$7, 4 \cdot 10^(22)$	kg
Distance Terre-Soleil	$D_(TS)$	$1, 5 \cdot 10^(11)$	m
Distance Terre-Lune	$D_(TL)$	$3, 8 \cdot 10^8$	m
Rayon du Soleil	$R_S$	$7, 0 \cdot 10^8$	m
Rayon de la Terre	$R_T$	$6, 4 \cdot 10^6$	m
Rayon de la Lune	$R_L$	$1, 7 \cdot 10^6$	m

I.A Le système Soleil, Terre, Lune

Dans cette partie I.A, on considérera que le Soleil, la Terre et la Lune sont des points matériels; le Soleil est fixé à l'origine

O

d'un référentiel galiléen

(R_0) = (Oxyz)

alors que la Terre

T

et la Lune

L

sont en mouvement sous l'action des forces de gravitation dans le même plan (

Oxy

). On notera

G

la constante de la gravitation.

1. Calculer la distance $D_(GT)$ entre la Terre et le barycentre $G$ du système Terre-Lune (voir figure 1).
  Quelle remarque peut-on faire, au vu de la valeur de $R_T$ ?
  Au vu de ce résultat, on poursuit l'étude du système Terre-Lune considéré comme un point matériel $G$ , de masse $M_T + M_L$ , en mouvement circulaire uniforme autour de $O : D_(TS) = D_(GO)$ .
1. Exprimer la pulsation $ω_0$ du mouvement de $G$ autour du Soleil en fonction de données astronomiques et de $G$ .
  Donner le nom usuel et/ou la valeur numérique de $T_0 = 2π/ω_0$ ?
  On veut analyser maintenant les mouvements respectifs des points matériels $L$ et $T$ autour de $G$ . À cet effet, on poursuit l'étude dans le référentiel barycentrique $(R_g) = ($ Gxyz $)$ : ses axes sont les mêmes que ceux du référentiel héliocentrique ( $R_0$ ) mais il est centré en $G$ (figure 1).

Figure 1 - Le système Terre-Lune et les référentiels d'étude

1. Pourquoi ne tient-on pas compte des forces d'inertie de Coriolis dans l'étude des mouvements de $T$ et $L$ relativement à $(R_g)$ ?
1. Pour le mouvement de $L$ relativement à ( $R_g$ ), on note $f⃗_e$ la force d'inertie d'entraînement et $f_e = ‖f⃗_e‖$ sa norme. On note de même $f⃗_T$ la force de gravitation exercée par la Terre et $f_T = ‖f⃗_T‖$ . Exprimer en fonction des seules données astronomiques le rapport $f_e/f_T$ , calculer l'ordre de grandeur associé puis proposer une brève conclusion (une courte phrase suffit).
1. Toujours pour le mouvement de $L$ relativement à $(R_g)$ , on note $f⃗_S$ la force de gravitation exercée par le Soleil, $f⃗_m = f⃗_e + f⃗_S$ , $f_m = ‖f⃗_m‖$ et $F_m$ la valeur de $f_m$ dans le cas de l'alignement Soleil, Terre, Lune (dans cet ordre). Comment nomme-t-on $f⃗_m$ ?
  Exprimer le rapport $F_m/f_T$ en fonction des seules données astronomiques, calculer son ordre de grandeur puis proposer une brève conclusion (ici aussi en une phrase).

I.B Les éclipses du Soleil par la Lune

On étudie maintenant une situation simplifiée (voir figure 2). Le Soleil est toujours immobile en

O

dans le référentiel

(R_0) = (Oxyz)

. Relativement à ce référentiel, la Terre

T

parcourt un cercle de rayon

D_(TS)

à vitesse constante dans le sens direct du plan (

Oxy

) avec une période

T_0 = 2π/ω_0

. La Lune

L

parcourt, quant à elle, un cercle de rayon

D_(TL)

dans le même sens avec une vitesse angulaire

ω_1

relativement à (

R_0

), on notera

T_1 = 2π/ω_1

la période sidérale de ce mouvement.

Figure 2 - Le système Terre-Lune simplifié

Dans ces conditions, une éclipse du Soleil a lieu (au moins en certains points de la surface de la Terre) à chaque fois que la Lune s'intercale entre le Soleil et la Terre. L'alignement exact des points

O, L

T

correspond au maximum de l'éclipse et la durée

T_1^' = 29, 5j

(on prendra

T_1^' = 3T_0/37

pour les calculs) qui sépare deux maxima d'éclipses porte le nom de période synodique. On notera aussi

ω_1^' = 2π/T_1^' = 2, 5 \cdot 10^(- 6)rad \cdot s^(- 1)

1. Exprimer la relation liant $T_0, T_1^'$ et $T_1$ puis, après avoir effectué un développement limité à l'ordre 1 en $T_1^'/T_0$ , exprimer $T_1$ comme une fraction numérique de $T_1$ . Pour différentes raisons liées à la simplicité de la modélisation adoptée ici, les éclipses significatives sont en fait bien moins nombreuses.
1. Dans toute cette question on appuiera son raisonnement par des schémas adaptés.

Sous quels angles (en degrés, minutes) voit-on respectivement la Lune et le Soleil depuis la surface de la Terre? Que peut-on en conclure? On rappelle que

1^\circ = π/(180) ≃ 17mrad

. Pendant le passage de l'éclipse autour de son maximum, estimer la vitesse à laquelle se déplace, sur la surface de la Terre, l'ombre de l'éclipse.
Si on tient compte en plus de la rotation propre de la Terre en

T_J = 1j

autour de l'axe des pôles (soit

ω_J = 2π/T_J ≃ 7 \cdot 10^(- 5)rad \cdot s^(- 1)

), cette vitesse est-elle diminuée ou augmentée? dans quelles proportions?
Le déplacement rapide de la zone éclipsée provoque un refroidissement localisé de la haute atmosphère qui se déplace rapidement par rapport à celle-ci. Ce refroidissement crée à son tour des ondes au sein de la haute atmosphère, dont l'étude fait l'objet du problème II.

II Ondes dans les fluides

Différents types d'ondes peuvent se propager à l'intérieur d'un fluide ou à l'interface de deux fluides. Nous en étudierons ici deux : les ondes acoustiques (de compression) et les ondes de gravité (dans un modèle incompressible). Dans les deux cas l'écoulement sera supposé irrotationnel et de faible amplitude.

II.A Le modèle fluide utilisé

On s'intéresse ici à un fluide parfait de masse volumique

ρ

soumis au champ de pesanteur

g⃗

, caractérisé par les champs de pression

P

et des vitesses supposé irrotationnel

v⃗

et décrit par l'équation d'Euler (1) :

ρ[(\partialv⃗)/(\partialt) + grad^(\to-)(v⃗^2)/2] = ρg⃗ - grad^(\to-)P + f⃗_(autres)

1. Préciser la signification éventuelle et l'unité de mesure usuelle (ou la dimension) du terme $f⃗_(autres)$ . Dans toute la suite, on considérera que ce terme est nul.
1. Préciser la signification et l'unité de mesure usuelle (ou la dimension) du terme $grad^(\to-)(v⃗^2)/2$ .
1. Montrer que, lors de la propagation d'une onde de célérité $c$ , ce terme $grad^(\to-)(v⃗^2)/2$ est toujours négligeable devant un autre terme de l'équation (1), sous réserve que $‖v⃗‖≪c$ . Dans toute la suite, on considérera que cette approximation est vérifiée.
1. Rappeler sans démonstration l'équation locale, liant les variations spatio-temporelles de $ρ$ et $v⃗$ , qui exprime la conservation de la masse du fluide lors de son mouvement.

Dans ce qui suit nous allons décrire deux types d'ondes dans les fluides (ondes acoustiques et ondes de gravité) puis nous proposerons une description sommaire des ondes de sillage.
Dans cette partie II, les sous-parties II.B, II.C et II.D sont indépendantes, sous réserve d'utiliser les résultats établis dans la sous-partie II.A ci-dessus.

II.B Ondes acoustiques

Les ondes acoustiques sont des ondes de compression caractérisées par des évolutions de la masse volumique autour de sa valeur moyenne (hors du passage de l'onde)

ρ_0

de la forme

ρ(r⃗, t) = ρ_0 + δρ(r⃗, t)

avec

|δρ(r⃗, t)|≪ρ_0

; au premier ordre, une telle fluctuation de densité s'accompagne d'une fluctuation au même ordre de la pression,

δP = 1/(ρ_0 χ)δρ

où la compressibilité

χ

est supposée uniforme et constante.

1. Lorsque le fluide est un gaz parfait de pression au repos $P_0$ caractérisé par le rapport adiabatique $γ = C_P/C_V$ constant, exprimer la compressibilité $χ = - 1/V(\partialV)/(\partialP)|_S$ si la propagation des ondes acoustiques est isentropique. On ne fera pas nécessairement cette hypothèse dans ce qui suit.

En présence du champ de pesanteur uniforme

g⃗ = - geˆ_z

, on s'intéresse à la propagation d'une onde acoustique d'amplitude

A

, de pulsation

ω

et de vecteur d'onde

k⃗ = keˆ_x

caractérisée par

δρ = Acos(ωt - kx)

; on pourra utiliser la notation complexe

δρ = Aexp[i(ωt - kx)]

1. On cherche le champ des vitesses $v⃗(x, t) = V_0_-exp[i(ωt - kx)]eˆ_x$ . Exprimer, à l'ordre d'approximation cité ici, $V_0_-$ en fonction de $A, ρ_0, ω$ et $k$ .
1. Déduire de l'équation d'Euler l'équation de dispersion liant $ω$ et $k$ en fonction de $χ$ et $ρ_0$ . La propagation est-elle dispersive?
1. Calculer la vitesse de groupe des ondes acoustiques dans l'air (gaz parfait, $γ = 1, 4$ , masse molaire $M = 29 g \cdot mol^(- 1)$ ) au sommet de la stratosphère ( $z = 50 km, T = 290 K$ ). On rappelle la valeur de la constante molaire des gaz parfaits, $R = 8, 3 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)$ et, à toutes fins utiles, on donne $\sqrt(12) ≃ 3, 5$ .

II.C Ondes de gravité

On s'intéresse ici à des ondes se propageant au voisinage de l'interface quasiment horizontale

z ≃ z_h

de deux fluides. Nous étudierons d'abord le cas des ondes à la surface séparant l'eau (

z < z_h

, fluide considéré comme incompressible de masse volumique

ρ_0

et régi par l'équation d'Euler, toujours dans les conditions de la partie II.A) et l'air (

z > z_h

, fluide supposé isobare de pression

P_0

), cf. figure 3 . On prendra

g = 9, 8 m \cdot s^(- 2)

quelle que soit l'altitude.

Figure 3 - Interface eau-air pour la propagation d'ondes de gravité

1. Quelle circonstance autorise à négliger les variations de la pression dans l'air?

Pourquoi peut-on choisir de décrire la vitesse

v⃗

de l'eau sous la forme

v⃗ = gradA(r⃗, t)^(\to-)

1. Montrer qu'on peut choisir $A$ de façon à vérifier l'équation de Laplace $ΔA = 0$ (où $Δ$ désigne l'opérateur laplacien) ainsi que l'équation de Bernoulli généralisée (2) :

(\partial^2 A)/(\partialt^2) + 1/(ρ_0)(\partialP)/(\partialt) + gv_z = 0

On s'intéresse à la propagation unidimensionnelle d'une onde de gravité en eau très profonde, avec (en notations complexes)

A_-(r⃗, t) = f(z)exp[i(ωt - kx)]

. La surface libre est voisine de

z = z_h = 0

et le fond de l'eau est en

z \to - \infty

◻

- 18. Exprimer

f(z)

en fonction seulement de

k

et de

f_0 = f(0)

1. Que devient l'équation de Bernoulli au niveau de la surface libre de l'eau? En déduire l'équation de dispersion $ω^2 = gk$ . La propagation est-elle dispersive? On notera que cette équation de dépend pas des propriétés des fluides en contact; on admettra donc qu'elle s'applique encore dans le cas de l'interface entre deux couches de la haute atmosphère, par exemple.
1. Calculer la fréquence et la longueur d'onde d'une onde de gravité se propageant à la vitesse de phase $v = 20 m \cdot s^(- 1)$ . Ces données correspondent aux mesures effectuées par des microbarographes (sondes de mesure de faibles variations de pression) installés au sol lors de l'éclipse totale du 11 août 1999 dans le nord de la FRANCE.

II.D Ondes de sillage

Différents types d'ondes sont susceptibles de se regrouper sous la forme d'ondes de sillage lorsque le point d'émission est en mouvement. Ces ondes de sillage furent décrites pour la première fois par Kelvin en 1887 (revue de l'Institution of Mechanichal Engineers, 3 Aout 1887). Elle correspondent par exemple au motif laissé derrière lui par un canard se déplaçant à la surface d'une mare calme.
On étudie d'abord un bateau

B

qui se déplace à la surface (

Oxy

) de l'eau à la vitesse

V⃗ = V_0 eˆ_x

en émettant des ondes de surface de pulsation

ω

au fur et à mesure de son avancée. Ces ondes de
surface se propagent à la vitesse de phase

c(ω)

relativement au référentiel

(R_0) = (

Oxyz

)

. Ces ondes, divergentes depuis leur point d'émission sont, dans ce référentiel, en notations complexes caractérisées par les oscillations de la surface de l'eau d'amplitude

Z(r⃗, t) = Z_0 exp[i(ωt - k⃗ \cdot r⃗)]

(voir figure 4). On choisit l'origine temporelle

t = 0

à l'instant où le bateau passe au point

O

Figure 4 - Formation d'un sillage derrière un bateau en mouvement

Les ondes forment un sillage constitué de points

P, Q

qui sont atteints par des ondes de surface émises par le bateau lorsqu'il était aux points

A

O

respectivement. Ce sillage a un aspect en V stable pour un observateur lié au bateau. Ce sillage en V est caractérisé par un demi-angle au sommet

θ

représenté sur la figure 4 .

◻ - 21

. On considère un point

P

de coordonnées

r⃗ = xeˆ_x + yeˆ_y

relativement au référentiel

(R_0)

. Déterminer, à l'instant

t

, ses coordonnées

r⃗^' = x^' eˆ_x + y^' eˆ_y

relativement au référentiel

(R) = (Bxyz)

lié au bateau.
En déduire l'expression de la hauteur de l'eau

Z(r⃗^', t)

en ce point.

1. Montrer que l'hypothèse d'un niveau stationnaire définit le sillage par la relation de Kelvin, $ω = k⃗ \cdot V⃗$ .
  Pour transcrire ce résultat sous forme géométrique, on s'intéresse aux points $Q, Q^'$ du sillage qui sont atteints à l'instant $t$ par une onde qui a été émise lorsque le bateau passait en $O$ , donc à l'instant $t = 0$ . Ainsi, la distance $OQ$ correspond à un parcours pendant la durée $t$ à la vitesse de phase $v_φ$ de l'onde. De même, les points $P, P^'$ du sillage sont atteints par une onde qui a été émise lorsque le bateau était en $A$ , etc.
  $◻ - 23$ . Montrer que $OQ^(\to-) \cdot QB^(\to-) = 0$ .
1. En déduire que la connaissance de l'angle $θ$ du sillage et de la vitesse $V$ de sa source permettent de déterminer la vitesse de phase $v_φ$ de l'onde.
  Le sillage peut ainsi être considéré comme l'enveloppe des cercles qui définissent l'extension maximale des ondes successivement émises lors du déplacement du point d'émission (figure 5 à gauche). La trajectoire du maximum de l'éclipse totale du 11 août 1999 est représenté figure 5 à droite, ainsi que le sillage de l'onde atmosphérique générée. Cette figure est tirée de l'article Farges T., Le Pichon A., Blanc E., Perez S., & Alcoverro B. (2003). Response of the lower atmosphere and the ionosphere to the eclipse of August 11, 1999. Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics, 65(6), 717-726. Les points de mesure au sol sont des microbarographes (FLR, BRG BRA) et une station de sondage ionosphérique (FRC).
  $◻ - 25$ . Au vu de la figure 5, pouvez-vous déterminer et éventuellement commenter le sens et la vitesse de déplacement de l'éclipse ainsi que la vitesse de phase de l'onde générée et sa nature?

Figure 5 - Onde de sillage : modèle géométrique et observations du 11 août 1999

III Les sondages ionosphériques

L'ionosphère est la couche supérieure de l'atmosphère terrestre; elle s'étend au-dessus de 50 à 80 km d'altitude; les électrons et ions libres y jouent un rôle important. À l'altitude où la densité électronique est la plus élevée, environ une particule d'air sur 1000 est ionisée par les rayons UV, X et gamma solaires. Cette ionisation permet d'analyser les fluctuations des propriétés de la haute atmosphère par la méthode des sondages ionosphériques : une onde électromagnétique de haute fréquence, envoyée depuis le sol en direction de l'atmosphère, se réfléchit sur une zone ionisée à une altitude variable.

III.A Densité électronique et fréquence de plasma

L'atmosphère sera, dans un premier temps, assimilée à un gaz parfait en équilibre isotherme de température

T_0 = 270 K

dans le champ de pesanteur uniforme

g⃗ = - geˆ_z

. On notera

R

la constante molaire des gaz parfaits,

N_A = 6, 0 \cdot 10^(23) mol^(- 1)

la constante d'Avogadro et

k_B = R/N_A = 1, 4 \cdot 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)

la constante de Boltzmann. La pression au sol sera prise égale à

P_0 = 1

bar.

1. Calculer la densité particulaire atmosphérique $n^*$ (nombre de molécules par unité de volume) au niveau du sol.
1. Montrer que la pression $P(z)$ évolue en fonction de l'altitude sous la forme $P(z) = P_0 exp(- z/H)$ et exprimer la hauteur caractéristique $H$ en fonction de $k_B, T_0, g$ et de la masse moyenne $m_0$ des molécules de l'air. Proposer un ordre de grandeur pour $H$ .
1. Là où la densité particulaire des ions est maximale, on considérera que $exp(- z/H) ≃ 10^(- 10)$ . En déduire une estimation de la densité particulaire $n_(max)$ des ions ( $N_2^+$ et $O_2^+$ ) à cette altitude.

Dans toute la suite on pourra considérer que la densité volumique

n_0

commune des ions et des électrons dans la haute atmosphère vérifie en tout point

n_0 ⩽ 10^(12) m^(- 3)

On s'intéresse aux évolutions spontanées d'un système comportant des électrons (charge

- e

, masse

m_e

) en densité particulaire uniforme

n_0

au sein d'un milieu ionisé comportant aussi

n_0

ions positifs de charge

+ e

, immobiles. Le mouvement des électrons est caractérisé par la vitesse exprimée, en notations complexes, sous la forme

v⃗ = v_-_0 e^(iωt)eˆ_x

en présence du champ électrique

E⃗ = E_-_0 e^(iωt)e^_x

1. Montrer que le champ magnétique est nécessairement statique. On négligera ce champ dans toute la suite de cette partie III.A.
1. Expliciter la seconde loi de Newton pour un des électrons mobiles.

En déduire que la densité volumique de courant

j⃗

vérifie la relation

j⃗ = γ_-(ω)E⃗

et exprimer la conductivité électronique

γ_-(ω)

en fonction de

ω, n_0, e

m_e

1. Rappeler l'équation de MAXWELL-AMPÈRE; on notera $ε_0$ la permittivité électronique du vide et $μ_0$ sa perméabilité magnétique.
  En déduire que les électrons et le champ électrique oscillent spontanément à la pulsation $ω_p$ que l'on exprimera en fonction de $n_0$ et de constantes fondamentales.
1. Dans la suite, on adoptera la formulation numérique $ω_p = α\sqrt(n_0)$ où $α = 56SI$ . Quel est le domaine de fréquence maximal de ces oscillations de plasma dans la haute atmosphère terrestre?

III.B Propagation d'ondes électromagnétiques dans l'atmosphère

Dans cette partie III.B on étudie la propagation des ondes électromagnétiques dans l'atmosphère caractérisé, à la pulsation

ω

, par une densité volumique de charge nulle et la densité volumique de courants

j⃗ = - n_0 ev⃗

avec une vitesse des électrons donnée par l'équation diélectrique (3) écrite en notations complexes :

im_e ωv⃗ = - eE⃗ - m_e(ω_0^2)/(iω)v⃗ - (m_e)/τv⃗

où

ω_0

τ

sont des constantes positives. Les champs électrique et magnétique de l'onde ont pour expression complexe

E⃗ = E⃗_0 exp[i(ωt - k⃗ \cdot r⃗)]

B⃗ = B⃗_0 exp[i(ωt - k⃗ \cdot r⃗)]

1. Décrire en quelques mots l'origine de chacun des termes de l'équation (3). Pourquoi n'y a-t-il aucun terme lié au champ magnétique $B⃗$ ? Quelle est la signification physique de la constante $τ$ ? Quelle est la particularité du modèle si $τ \to \infty$ ? On se placera dans ce cas dans toute la suite.
1. Montrer que les ondes électromagnétiques dans un tel milieu sont transverses puis établir leur équation de dispersion exprimant $k⃗^2$ en fonction de la célérité $c$ de la lumière dans le vide, $ω, ω_0$ et de la constante $ω_p$ définie dans la partie III.B.
  Dans la basse atmosphère, on étudie la propagation d'ondes électromagnétiques dans le domaine lumineux ; on admet que dans ces conditions ces ondes vérifient la condition $ω_p≪ω≪ω_0$ . On définit dans ce cas l'indice optique $N$ par l'expression $v_φ = c/N$ de la vitesse de phase.

Exprimer $N$ en fonction de $ω, ω_0$ et $ω_p$ au premier ordre non nul en $ω$ du développement limité. Commenter le résultat obtenu.

Dans la haute atmosphère (l'ionosphère), on admet que la propagation d'ondes électromagnétiques du domaine radio HF est caractérisée par

ω_0 = 0

1. Que devient ici l'équation de dispersion? Dans quel domaine de fréquence le milieu est-il transparent? La propagation est-elle dispersive?

III.C Écho ionosphérique

Le dispositif étudié ici est basé sur un émetteur au sol situé en

z < 0

. Cet émetteur envoie dans la basse atmosphère (assimilée au vide) et en direction de l'ionosphère, une onde électromagnétique incidente de champ électrique

E⃗_i = E_0 exp[iω(t - z/c)]eˆ_x

.
La réflexion sur la surface

z = 0

séparant le vide de l'ionosphère crée une onde réfléchie de champ électrique

E⃗_r = ρ_-E_0 exp[iω(t + z/c)]eˆ_x

. La réflexion crée aussi une onde transmise dans l'ionosphère de champ électrique

E⃗_t = β_-E_0 exp[i(ωt - kz)]eˆ_x

Figure 6 - Modèle pour l'étude des échos ionosphériques

L'ionosphère sera décrite comme un milieu équivalent au vide dans lequel la relation de dispersion est de la forme

k^2 c^2 = ω^2 - ω_p^2

où

ω_p > 0

est la pulsation définie à la partie III.B. Enfin, on admet, en l'absence de toute discontinuité surfacique sur le plan

z = 0

, la continuité de toutes les composantes du champ électromagnétique de part et d'autre de ce plan.

1. Exprimer les champs magnétiques $B⃗_i, B⃗_r$ et $B⃗_t$ associés respectivement à chacune des ondes incidente, réfléchie et transmise en fonction, suivant les cas, de $E_0, c, ω, t, z, k, ρ_-$ ou $β_-$ .
  En déduire l'expression de $ρ_-$ en fonction de $ω, c$ et $k$ puis en fonction de $ω$ et $ω_p$ .
  $◻ - 38$ . Quelle est la signification de la grandeur $R = |ρ_-|^2$ ?
  Sans étudier la fonction, tracer l'allure qualitative de la courbe $ω \mapsto R(ω)$ , en distinguant les deux cas $ω < ω_p$ et $ω > ω_p$ .
  Dans quel cas observe-t-on un écho ionosphérique?
  On rappelle ici que la grandeur $ω_p$ dépend de la densité électronique $n_0$ de l'ionosphère; cette densité électronique croît en général du sol (où on prendra $n_0 = 0$ ) vers les hautes altitudes. Le signal émis, de pulsation $ω$ variable, est constitué d'impulsions brèves de durée $Δt$ .
1. Comment choisir $Δt$ pour que la mesure de la durée séparant l'émission du signal et la réception de l'écho permette de mesurer l'altitude $h$ de la surface de réflexion?

Le décalage en fréquence (effet Doppler) de l'onde réfléchie renseigne sur les déplacements de l'air au sein de l'atmosphère. Avec trois récepteurs au minimum il est possible de mesurer par triangulation la direction et la vitesse des perturbations.

Formulaire d'analyse vectorielle

divgrad^(\to-)f = Δf et rot^(\to-)(rot^(\to-)W⃗) = grad^(\to-)divW⃗ - ΔW⃗; div(rot^(\to-)W⃗) = 0 et rot^(\to-)(grad^(\to-)f) = 0\to

En coordonnées cartésiennes, en notant

\nabla⃗ = \partial/(\partialx)eˆ_x + \partial/(\partialy)eˆ_y + \partial/(\partialz)eˆ_z

Δf = (\partial^2 f)/(\partialx^2) + (\partial^2 f)/(\partialy^2) + (\partial^2 f)/(\partialz^2) = \nabla⃗^2 f divW⃗ = \nabla⃗ \cdot W⃗ = (\partialW_x)/(\partialx) + (\partialW_y)/(\partialy) + (\partialW_z)/(\partialz); rot^(\to-)W⃗ = \nabla⃗ \land W⃗ = [(\partialW_z)/(\partialy) - (\partialW_y)/(\partialz)]eˆ_x + [(\partialW_x)/(\partialz) - (\partialW_z)/(\partialx)]eˆ_y + [(\partialW_y)/(\partialx) - (\partialW_x)/(\partialy)]eˆ_z

FIN DE L'ÉPREUVE

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Questions fréquentes

4 questions

Le sujet Mines physique 2 PC 2024 porte-t-il sur les éclipses de Soleil ?

Oui, il étudie le mouvement Soleil-Terre-Lune à l'origine des éclipses, les ondes atmosphériques qu'elles génèrent et leur détection par sondage ionosphérique.

Le sujet Mines physique 2 PC 2024 est-il difficile ?

Le jury a apprécié qu'une majorité de copies soient bien rédigées et que les candidats aient bien avancé dans le sujet, malgré de nombreuses erreurs spécifiques question par question.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mines physique 2 PC 2024 ?

Une relation du barycentre mal connue, une force d'inertie d'entraînement mal exprimée, un manque de schémas et une confusion entre champ statique et champ uniforme.

Faut-il bien connaître la propagation d'ondes dans les plasmas pour ce sujet Mines PC 2024 ?

Oui, la troisième partie porte entièrement sur la fréquence de plasma et la propagation d'ondes électromagnétiques dans l'ionosphère.

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A2024 - PHYSIQUE II PC

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CONCOURS 2024

DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Éclipses du Soleil et ondes dans l'atmosphère

I Les éclipses du Soleil par la Lune

I.A Le système Soleil, Terre, Lune

I.B Les éclipses du Soleil par la Lune

II Ondes dans les fluides

II.A Le modèle fluide utilisé

II.B Ondes acoustiques

II.C Ondes de gravité

II.D Ondes de sillage

III Les sondages ionosphériques

III.A Densité électronique et fréquence de plasma

III.B Propagation d'ondes électromagnétiques dans l'atmosphère

III.C Écho ionosphérique

Formulaire d'analyse vectorielle

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

Le sujet Mines physique 2 PC 2024 porte-t-il sur les éclipses de Soleil ?

Le sujet Mines physique 2 PC 2024 est-il difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mines physique 2 PC 2024 ?

Faut-il bien connaître la propagation d'ondes dans les plasmas pour ce sujet Mines PC 2024 ?

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