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Mines Mathématiques 2 PC 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

Problème inverse pour les matrices de distance euclidienne

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Matrices de distance euclidienne (MDE) : caractérisation, spectre et problème inverse
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Le problème étudie les matrices de distance euclidienne, des matrices symétriques dont les coefficients sont les carrés des distances entre points d'une famille dans un espace euclidien. Il s'agit notamment de les caractériser, d'étudier leur spectre puis de construire des matrices de distance euclidienne ayant un spectre imposé.

  1. 1Partie 1 : matrices de HadamardÉtudier des matrices à coefficients ±1 et leurs propriétés d'orthogonalité.
  2. 2Partie 2 : quelques résultats sur les endomorphismes symétriquesUtiliser le théorème spectral et des propriétés de sous-espaces vectoriels associés à un endomorphisme symétrique.
  3. 3Partie 3 : caractérisation des MDECaractériser les matrices de distance euclidienne à l'aide de propriétés de symétrie et de sous-espaces caractéristiques.
  4. 4Partie 4 : spectre des MDEÉtudier les propriétés du spectre des matrices de distance euclidienne.
  5. 5Partie 5 : problème inverse pour les MDEConstruire des matrices de distance euclidienne possédant un spectre imposé.

Difficulté moyenne. Le sujet comportait cinq parties de difficulté variable mais non progressive ; les parties 1 et 2, plus abordables, ont permis d'évaluer les bases, tandis que les questions suivantes ont conduit à des compositions lacunaires.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,71 / 20 · écart-type 4,82 · 3 549 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,71/ 20
Écart-type
4,82
Présents
3 549
Coefficient
3
Durée
3 h
moyenne 9,7105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 14 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Définition de la matrice orthogonale mal connue · Théorème spectral mal maîtrisé · Confusion entre inclusion et égalité de sous-espaces
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Le jury a constaté un grand nombre d'erreurs de logique et un manque de maîtrise de notions fondamentales chez de nombreux candidats, malgré la présence de copies excellentes. Les réponses, y compris aux questions les plus faciles, manquaient souvent de justifications satisfaisantes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Définition de la matrice orthogonale mal connueQ2

    Beaucoup de candidats ne connaissent pas la définition d'une matrice orthogonale ou utilisent une caractérisation erronée à l'aide du déterminant.

  2. 2
    Théorème spectral mal maîtriséQ5

    Une trop grande partie des candidats connaît mal le théorème spectral, oubliant l'existence d'une base orthonormée de vecteurs propres.

  3. 3
    Confusion entre inclusion et égalité de sous-espacesQ10

    De nombreuses confusions apparaissent entre inclusion et égalité pour les sous-espaces caractéristiques.

  4. 4
    Vecteurs supposés à tort propresQ7-Q8

    Beaucoup de candidats font des calculs en imaginant que tous les vecteurs de l'espace sont des vecteurs propres.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 16, de type question de cours, a été bien traitée même par des candidats en difficulté sur les questions précédentes.
  • Le jury s'est réjoui de la présence d'un grand nombre de copies excellentes.

Conseils du jury

  • Rédiger de façon efficace, sans développements longs qui signalent souvent une erreur de départ ou une méthode inadaptée.
  • Soigner la rédaction et fournir des réponses complètes et précises.
  • Lire le sujet en entier avant de commencer à rédiger, pour bien saisir les objectifs et l'organisation du texte.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations et rappels

Soit n un entier supérieur ou égal à 1 .
  • On note ( x, y ) (resp. X^T Y ) le produit scalaire euclidien usuel de deux vecteurs x et y de R^n (resp. X et Y de M_(n, 1)(ℝ) identifié canoniquement à ℝ^n ) et ‖x‖ la norme de x (resp. ‖X‖ la norme de X ) associée au produit scalaire.
  • Etant donnés deux points P et P^′ de R^n, on note d(P, P^′) la distance entre P et P^′ associée à la norme euclidienne usuelle :
d(P, P^′) = ‖OP^(→−) − OP^′^(→−)‖
où O est le point origine.
  • Un endomorphisme symétrique f de R^n est dit positif si
∀x ∈ R^n, (x, f(x)) ≥ 0
Une matrice symétrique A de M_n(ℝ) est dite positive si
∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ), X^T AX ≥ 0
  • Soit B une base orthonormée de R^n. Un endormorphisme symétrique f de R^n est positif si, et seulement si, sa matrice (symétrique) dans B est positive.
  • On appelle matrice de distance euclidienne (on notera MDE pour abréger) une matrice carrée D = (d_(i, j)) d'ordre n telle qu'il existe un entier naturel non nul m et des points A_1, …A_n de R^m tels que pour tout (i, j) ∈ {1, …, n}^2 on a:
d_(i, j) = d(A_i, A_j)^2
On se propose dans ce sujet d'apporter une réponse partielle au problème consistant à déterminer, étant donnés des réels λ_1, …, λ_n, une MDE de spectre (λ_1, …, λ_n).
On admet sans démonstration dans ce sujet que des endomorphismes symétriques de R^n sont positifs si et seulement si leur spectre est inclus dans [0, + ∞[.

1 Matrices de Hadamard

On appelle matrice de Hadamard d'ordre n toute matrice H carrée d'ordre n dont tous les coefficients sont égaux à 1 ou à -1 et telle que 1/(√n)H soit orthogonale.
1▹ Donner des exemples de matrices de Hadamard d'ordre 1 et 2.
2▹ Montrer que si H est une matrice de Hadamard alors toute matrice obtenue en multipliant une ligne ou une colonne de H par -1 ou en échangeant deux lignes ou deux colonnes de H est encore une matrice de Hadamard.
3▹ Montrer que si H est une matrice de Hadamard d'ordre n alors il existe une matrice de Hadamard d'ordre n dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1 . En déduire que si n ≥ 2 alors n est pair.
4▹ Montrer que si H est une matrice de Hadamard d'ordre n supérieur ou égal à 4, alors n est multiple de 4 . On pourra commencer par montrer que l'on peut supposer la première ligne de H uniquement composée de 1 et sa deuxième ligne composée de n/2 coefficients égaux à 1 puis n/2 coefficients égaux à -1 .

2 Quelques résultats sur les endomorphismes symétriques

Soit f un endomorphisme symétrique de R^n. On note λ_1 ⩽ … ⩽ λ_n les valeurs propres classées par ordre croissant de f. Pour k ∈ [ [1, n] ], on introduit l'ensemble π_k des sousespaces vectoriels de R^n de dimension k. On admettra ici que les min et max considérés existent bien (cela découle de la continuité des expressions considérés).
5▹ Justifier l'existence d'une base ( e_1, …, e_n ) orthonormée de R^n formée de vecteurs propres de f, le vecteur e_i étant associé à λ_i pour tout i ∈ {1, …, n}. On garde par la suite cette base.
6▹ Soit k ∈ [ [1, n] ] et S_k un sous-espace vectoriel de R^n de dimension k. On pose T_k = Vect(e_k, …, e_n).
Justifier que S_k ∩ T_k ≠ {0}.
7▹ En considérant x ∈ S_k ∩ T_k, justifier que:
max_(x ∈ S_k, ‖x‖ = 1)(x, f(x)) ≥ λ_k
8▹ Soit k ∈ [ [1, n] ]. A l'aide de S = Vect(e_1, …, e_k) ∈ π_k, montrer l'égalité :
λ_k = min_(S ∈ π_k)(max_(x ∈ S, ‖x‖ = 1)(x, f(x)))
C'est le théorème de Courant-Fischer. On aura également besoin par la suite du résultat de factorisation suivant :
9▹ Soit M une matrice symétrique de M_n(R). Montrer que si M est positive, alors il existe B ∈ M_n(R) telle que M = B^T.B. En déduire que si M n'est plus supposée positive, mais admet une unique valeur propre strictement positive λ d'espace propre de dimension 1 et de vecteur propre unitaire u, alors il existe B ∈ M_n(R) telle que M = λu ⋅ u^T − B^T ⋅ B.

3 Caractérisation des MDE

On note e la matrice de M_(n, 1)(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1 . On note Δ_n l'ensemble des MDE d'ordre n et Ω_n l'ensemble des matrices M symétriques positives d'ordre n telles que M.e = 0. On note enfin P la matrice d'ordre n définie par
P = I_n − 1/ne ⋅ e^T
On note T l'application de Δ_n dans M_n(R) qui à D associe
T(D) = − 1/2PDP
et K l'application de Ω_n dans M_n(R) qui à une matrice A associe
K(A) = e ⋅ a^T + a ⋅ e^T − 2A
où a est la matrice colonne de M_(n, 1)(R) dont les coefficients sont les coefficients diagonaux de A.
10▹ Montrer que P est symétrique et que l'endomorphisme de R^n canoniquement associé est une projection orthogonale sur Vect(e)^⊥.
11▹ Soit D ∈ Δ_n. Soient A_1, …, A_n des points dont la matrice D est la matrice de distance euclidienne. On note x_i les vecteurs coordonnées des A_i. Soit M_A la matrice dont les colonnes sont les x_i et C la colonne formée des ‖x_i‖^2. Ecrire D comme combinaison linéaire de Ce^T, eC^T et M_A^T ⋅ M_A. En déduire que pour toute matrice D de Δ_n on a T(D) ∈ Ω_n.
12▹ Montrer que pour toute matrice A de Ω_n on a K(A) ∈ Δ_n.
13▹ Montrer que les applications T : Δ_n → Ω_n et K : Ω_n → Δ_n vérifient :
T ∘ K = Id_(Ω_n).
On peut montrer (mais ce n'est pas demandé) que l'on a également K ∘ T = Id_(Δ_n) et que ces deux applications sont bijections réciproques l'une de l'autre.
14▹ Montrer qu'une matrice symétrique D d'ordre n à coefficients positifs ou nuls et de diagonale nulle est MDE si et seulement si − 1/2PDP est positive.
15 - Montrer que toute matrice symétrique à coefficients positifs, non nulle et de diagonale nulle, ayant une unique valeur propre strictement positive d'espace propre de dimension 1 et de vecteur propre e est MDE.

4 Spectre des MDE

On conserve ici les notations de la partie précédente.
16▹ Préciser la somme ∑_(i = 1)^n λ_i des valeurs propres d'une MDE d'ordre n.
17▹ Soit D une MDE d'ordre n non nulle. Montrer que pour tout x ∈ Vect(e)^⊥, on a
x^T Dx ⩽ 0.
18▹ Soit D une MDE d'ordre n non nulle. Soient λ_1, …, λ_n ses valeurs propres, ordonnées dans l'ordre croissant. Montrer
λ_(n − 1) ⩽ 0
et en déduire que D a exactement une valeur propre strictement positive.

5 Problème inverse pour les MDE

Soit H une matrice de Hadamard d'ordre n et de première ligne constante égale à 1 . Soient λ_1, …, λ_n des réels tels que
λ_1 > 0 ≥ λ_2 ≥ … ≥ λ_n
et
∑_(i = 1)^n λ_i = 0
On note U la matrice 1/(√n)H et Λ la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les λ_i. On note enfin D = U^T ΛU.
19▹ Montrer que D est symétrique, à coefficients positifs et à diagonale nulle, et a pour valeurs propres λ_1, …, λ_n, avec λ_1 d'espace propre de dimension 1 .
20▹ Montrer que D est MDE.
21▹ Donner une matrice de distance euclidienne d'ordre 4 telle que son spectre soit {5, − 1, − 2, − 2}.
Remarquons pour finir que la portée de ce résultat est à nuancer, car outre les conditions sur les ordres possibles pour les matrices de Hadamard, on ne sait même pas s'il existe de telles matrices pour tout ordre multiple de 4 ! D'autre part, il existe évidemment des matrices de distance euclidienne d'ordre impair...

Fin du problème

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Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 PC des Mines 2024 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 PC des Mines 2024 ?

Le sujet porte sur les matrices symétriques, le théorème spectral et la réduction des endomorphismes, appliqués aux matrices de distance euclidienne.

Le sujet de maths 2 PC Mines 2024 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme de difficulté variable mais non progressive : les deux premières parties sont abordables, les suivantes ont posé davantage de difficultés.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 PC 2024 ?

Le jury signale une méconnaissance de la définition de matrice orthogonale, du théorème spectral, et des confusions entre inclusion et égalité de sous-espaces.

Faut-il bien connaître son cours pour ce sujet de maths 2 PC Mines 2024 ?

Oui, le jury recommande de s'appuyer sur une solide connaissance du cours et de ne pas négliger l'entraînement technique, une question de cours ayant permis de distinguer nettement les niveaux de préparation.

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