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Mines Mathématiques 2 PC 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Étude des séries congruo-harmoniques alternées : sommes explicites, probabilités et vitesse de convergence
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Le sujet étudie les séries congruo-harmoniques alternées, de terme général (-1)^k/(pk+q). Après des préliminaires, la partie 1 exprime leur somme sous forme d'une intégrale, la partie 2 calcule cette somme explicitement dans trois cas particuliers selon les valeurs de p et q, la partie 3 évalue par des probabilités la fréquence de ces cas particuliers lorsque p et q sont tirés au hasard, et la partie 4 étudie la vitesse de convergence de ces séries.

  1. 1PréliminairesPremiers résultats sur la convergence de la série et calcul de sa somme dans le cas p = q = 1.
  2. 2Partie 1 : expression de S(p,q) sous la forme d'une intégraleÉtablissement d'une expression intégrale de la somme de la série à l'aide d'intégrales à paramètre.
  3. 3Partie 2 : calcul des S(p,q) dans trois cas particuliersCalcul explicite de la somme selon que p = q, p divise q, ou p > q, via une décomposition en éléments simples dans C puis dans R.
  4. 4Partie 3 : quelques calculs de probabilitésCalcul de la probabilité qu'un couple (p, q) tiré au hasard appartienne au domaine d'application des formules établies en partie 2.
  5. 5Partie 4 : vitesse de convergence des S(p,q)Détermination de la vitesse de convergence des séries congruo-harmoniques alternées à partir d'un équivalent du reste.

Difficulté moyenne. Le rapport décrit une difficulté progressive, avec des questions très proches du cours et d'autres demandant plus d'autonomie sur les calculs et raisonnements, la diversité des thèmes abordés permettant aux candidats de ne pas rester bloqués.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,18 / 20 · écart-type 4,85 · 3 733 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
11,18/ 20
Écart-type
4,85
Présents
3 733
Coefficient
3
Durée
3 h
1er quartile
7,6
Médiane
11,5
3e quartile
15
moyenne 11,1805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 25 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorèmes sophistiqués invoqués à tort · Calculs sur les nombres complexes évités · Encadrements incohérents dans la comparaison série-intégrale
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Le jury a été exaspéré par un recours quasi systématique à des théorèmes sophistiqués alors qu'une simple majoration suffisait à plusieurs questions. Les thèmes moins centraux au programme de PC, comme la décomposition en éléments simples, ont été moins abordés par les candidats, qui se sont souvent reportés sur la partie probabilités.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorèmes sophistiqués invoqués à tortQ3, Q6

    Aux questions 3 et 6, le jury signale un recours quasi systématique à des théorèmes de convergence dominée ou uniforme là où une majoration immédiate suffisait, ce qui a parfois entraîné des erreurs.

    « le jury a été exaspéré par un recours quasiment systématique à des théorèmes sophistiqués »
  2. 2
    Calculs sur les nombres complexes évitésQ11 à Q15

    Les questions 11 à 15, portant sur des calculs de nombres complexes et de fractions rationnelles, ont été moins abordées par les candidats peu à l'aise avec ces notions.

  3. 3
    Encadrements incohérents dans la comparaison série-intégraleQ19

    À la question 19, la mise en place de la comparaison série-intégrale s'est souvent révélée laborieuse, avec des encadrements clairement impossibles.

    « des encadrements clairement impossibles comme »
  4. 4
    Équivalent affirmé sans justificationQ20

    À la question 20, affirmer un équivalent sans le justifier par une factorisation dans le logarithme est considéré comme une composition d'équivalent fautive et sanctionné.

    « sera considéré comme une composition d’équivalent et sanctionné »
  5. 5
    Confusions entre équivalents et limitesQ20, Q21

    Aux questions 20 et 21, le jury a remarqué des confusions entre équivalents et limites, avec des sommes d'équivalents ou des limites contenant encore la variable n.

  6. 6
    Probabilités fantaisistes non détectéesQ21

    À la question 21, certains candidats concluent sur des probabilités impossibles, supérieures à 1 ou infinies, sans s'en apercevoir.

    « il était également appréciable d’éviter de conclure sur des probabilités fantaisistes comme 2 ou »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1 et 2 ont été réussies par la plupart des candidats.
  • La question 9 a été bien réussie dans la majorité des copies.
  • La question 15, application directe de la formule précédente dans deux cas particuliers simples, a été réussie par la majorité des candidats.

Conseils du jury

  • Chercher la simplicité : éviter les théorèmes d'interversion lourds quand une simple majoration suffit à montrer qu'une intégrale tend vers zéro.
  • Bien connaître les hypothèses précises des théorèmes et les définitions des notions du programme.
  • Lire l'intégralité du sujet au début de l'épreuve pour organiser son temps de composition entre les différentes parties.
  • Utiliser un brouillon pour les calculs délicats et ne recopier que les étapes principales, justifiées soigneusement.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Étude des séries congruo-harmoniques alternées

L'objectif de ce problème est d'étudier une famille de séries particulières. Quelques premiers résultats sont établis dans les préliminaires. La partie 1 propose d'établir une expression des séries congruo-harmoniques alternées sous la forme d'une intégrale. La partie 2 propose de calculer la valeur de la somme de la série dans certains cas particuliers. La partie 3 s'intéresse à des calculs de probabilités relatifs aux choix des paramètres de la série. Enfin, la partie 4 se propose d'étudier la vitesse de convergence de ces séries.

Notations

  • N désigne l'ensemble des nombres entiers naturels. N^∗ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls.
  • R désigne l'ensemble des nombres réels. R_+désigne l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls.
  • C désigne l'ensemble des nombres complexes. Si z ∈ C, on notera z¯ le conjugué de z.
  • Pour tout (a, b) ∈ N^2 avec a < b, on pose [ [a, b] ]:=[a, b] ∩ N.
  • Pour tout x ∈ R, ⌊x⌋ désigne la partie entière de x.
  • Pour tout couple (p, q) ∈ (N^∗)^2, on dit que p divise q et on note p|q, s'il existe un entier k tel que q = kp.
Définition 1 Soit (p, q) ∈ (N^∗)^2. On appelle série congruo-harmonique de paramètres p et q, la série de terme général u_k défini pour tout k ≥ 0 par
u_k:=u_(p, q; k) = ((− 1)^k)/(pk + q)
et l'on note, sous réserve de convergence, S_(p, q) la somme de cette série.
Nous ferons référence aux sommes partielles de cette série par la fonction
φ_(p, q) : {N →, R; n ↦, ∑_(k = 0)^n((− 1)^k)/(pk + q).

Préliminaires

1▹ Justifier que, pour tout (p, q) ∈ (N^∗)^2, la série ∑u_k converge.
2▹ Dans cette question, on pose p = q = 1. Montrer que
φ_(1, 1)(n) = ∫_0^1 1/(1 + t)dt − ∫_0^1((− t)^(n + 1))/(1 + t)dt
3▹ En déduire la valeur de S_(1, 1).
4▹ Montrer alors que, pour tout q ≥ 2,
S_(1, q) = (− 1)^q(φ_(1, 1)(q − 2) − ln2)

1 Expression de S_(p, q) sous la forme d'une intégrale

Dans cette partie, on fixe (p, q) ∈ (N^∗)^2 et on pose α_(p, q):=p/q. On définit alors, pour tout t ∈ R_+, l'application I_(p, q) : R_+ → R par
I_(p, q)(t):=∫_0^1(x^((t + 1)α_(p, q)))/(1 + x^(α_(p, q)))dx
5▹ Démontrer que l'application I_(p, q) est bien définie et continue sur R_+.
6 - Déterminer
lim_(n → + ∞)I_(p, q)(n) = 0
7▹ Pour tout x ∈ [0, 1], calculer ∑_(k = 0)^n(− x^(α_(p, q)))^k puis en déduire que
φ_(p, q)(n) = 1/q(∫_0^1 1/(1 + x^(α_(p, q)))dx + (− 1)^n I_(p, q)(n))
8▹ Montrer alors que, pour tout (p, q) ∈ (N^∗)^2,
S_(p, q) = ∫_0^1(t^(q − 1))/(1 + t^p)dt

2 Calcul des S_(p, q) dans trois cas particuliers

L'objectif de cette partie est de déterminer une formulation explicite de la somme de la série congruo-harmonique de paramètres p et q dans trois cas particuliers. On définit pour cela les trois ensembles suivants :
E_1:={(p, q) ∈ (N^∗)^2 : p = q}; E_2:={(p, q) ∈ (N^∗)^2 : p < q, p|q}; E_3:={(p, q) ∈ (N^∗)^2 : p > q}
Enfin, pour tout couple (p, q) ∈ (N^∗)^2 fixé, on définit la fraction rationnelle F(X) par
F(X):=(X^(q − 1))/(1 + X^p)
9▹ Montrer que, pour tout (p, q) ∈ E_1,
S_(p, q) = (ln2)/p
10▹ Pour tout couple (p, q) ∈ E_2, montrer qu'il existe une constante λ:=λ(p, q) que l'on déterminera, telle que
S_(p, q) = ((− 1)^(λ − 1))/p(ln(2) − ∑_(k = 1)^(λ − 1)((− 1)^(k − 1))/k)
Dans le reste de la partie 2 , on fixe un couple (p, q) ∈ E_3.
11▹ Montrer qu'il existe des constantes (a_0, b_0, …, b_(⌊p/2⌋ − 1)) ∈ C^(⌊p/2⌋ + 1) telles que
F(X) = (1 − (− 1)^p)/2 ⋅ (a_0)/(X + 1) + ∑_(k = 0)^(⌊p/2⌋ − 1)((b_k)/(X − ω_(p, k)) + (b_k^–)/(X − ω_(p, k)^–)),
où les ω_(p, k) sont des constantes que l'on précisera et F(X) la fraction rationnelle définie au début de cette partie.
Dans le cas où p est pair, on posera a_0 = 0.
12▹ Calculer alors a_0 dans le cas où p est impair puis montrer que, pour tout entier k ∈ [ [0, ⌊p/2⌋ − 1] ], b_k peut s'écrire sous la forme
b_k = − 1/pe^(iqθ_k)
où l'on a posé θ_k:=(2k + 1)π/p.
13▹ En déduire la décomposition en éléments simples de F(X) dans R(X) :
F(X) = (1 − (− 1)^p)/2 ⋅ ((− 1)^(q − 1))/p ⋅ 1/(X + 1) − 2/p∑_(k = 0)^(⌊p/2⌋ − 1)F_k(X),
où, pour tout 0 ≤ k ≤ ⌊p/2⌋ − 1,
F_k(X):=(cos(qθ_k)X − cos((q − 1)θ_k))/(X^2 − 2cos(θ_k)X + 1).
On admet que les F_k sont continues sur [0, 1] et que pour tout 0 ≤ k ≤ ⌊p/2⌋ − 1,
∫_0^1 F_k(t)dt = cos(qθ_k)ln(2sin((θ_k)/2)) − π/(2p)(p − 1 − 2k)sin(qθ_k)
14▹ Montrer que
∑_(k = 0)^(⌊p/2⌋ − 1)cos(qθ_k) = {0, si p est pair; ((− 1)^(q + 1))/2, si p est impair.
15▹ Déduire des questions précédentes que, pour tout (p, q) ∈ E_3,
S_(p, q) = 1/p(π/p∑_(k = 0)^(⌊p/2⌋ − 1)(p − 1 − 2k)sin(qθ_k) − 2∑_(k = 0)^(⌊p/2⌋ − 1)cos(qθ_k)ln(sin((θ_k)/2))).
16▹ En déduire les valeurs exactes de S_(2, 1) et S_(3, 1).

3 Quelques calculs de probabilités

L'objectif de cette partie est d'évaluer la probabilité qu'un couple d'entier (p, q) ∈ (N^∗)^2 pris au hasard appartienne au domaine d'application d'au moins l'une des formules (F1), (F2) et (F3) obtenues dans la partie 2.
On fixe pour cela n ∈ N^∗ et on décide de tirer successivement et avec remise deux entiers p et q selon une loi uniforme sur l'intervalle [ [1, n] ]. On définit alors les événements suivants, où E_1, E_2 et E_3 sont les trois ensembles définis dans la partie 2 :
E_n : " On obtient (p, q) ∈ E_1 ∪ E_2 ∪ E_3 " "
A_n : " On obtient p = q ".
B_n : " On obtient q > p et q est divisible par p ".
C_n : " On obtient p > q ".
17▹ Justifier que l'ensemble {A_n, B_n, C_n} forme une partition de E_n.
18▹ Calculer P(A_n) puis P(C_n).
19▹ Montrer que
P(B_n) = 1/(n^2)∑_(p = 1)^n⌊n/p⌋ − 1/n
et en déduire P(A_n ∪ B_n).
20▹ En notant H_n:=∑_(k = 1)^n 1/k la série harmonique, montrer que
H_n ∼ lnn (n → + ∞).
21▹ Montrer alors que
P(A_n ∪ B_n) ∼ (lnn)/n (n → + ∞).
22▹ En déduire
lim_(n → + ∞)P(E_n)

4 Vitesse de convergence des S_(p, q)

Dans cette dernière partie, on s'intéresse à la vitesse de convergence des séries congruoharmoniques. On introduit pour cela la définition suivante.
Définition 2 Soit (u_n)_(n ∈ N) une suite convergente vers une limite réelle l telle que u_n ≠ l à partir d'un certain rang. On définit alors, sous réserve de convergence, la vitesse de convergence V de (u_n)_(n ∈ N) par
V = lim_(n → + ∞)|(u_(n + 1) − l)/(u_n − l)|
On qualifie alors la vitesse de convergence de la suite (u_n)_(n ∈ N) selon la valeur de V :
  • Si V = 0 : la convergence sera qualifiée de supra-linéaire.
  • Si V ∈ ]0, 1[ : la convergence sera qualifiée de linéaire.
  • Si V = 1 : la convergence sera qualifiée d'infra-linéaire.
On définit alors la vitesse de convergence d'une série comme étant celle de la suite de ses sommes partielles.
On définit enfin, pour tout (p, q) ∈ (N^∗)^2, l'application R_(p, q):=1/qI_(p, q) où I_(p, q) est l'application définie dans la partie 1 .
23▹ À l'aide du changement de variables s = x^(n + 1) dans I_(p, q)(n), démontrer que
R_(p, q)(n) ∼ 1/(2pn) (n → + ∞).
24▹ En déduire la vitesse de convergence de la série congruo-harmonique alternée ∑u_k, c'est-à-dire celle de la suite des sommes partielles (φ_(p, q)(n))_(n ∈ N).
Fin du problème
  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2025 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2025 ?

Il porte sur les séries numériques, les intégrales à paramètre, les nombres complexes et la décomposition en éléments simples, l'analyse asymptotique et les probabilités discrètes.

Le sujet de mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2025 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme progressif, avec des questions très proches du cours et d'autres demandant plus d'autonomie, la diversité des thèmes permettant aux candidats de ne pas rester bloqués sur une partie.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines-Ponts maths 2 PC 2025 ?

Le jury signale un recours excessif à des théorèmes sophistiqués là où une simple majoration suffisait, des difficultés sur les calculs de nombres complexes, et des confusions entre équivalents et limites en fin de sujet.

Faut-il bien maîtriser les nombres complexes pour ce sujet ?

Oui, le rapport indique que les questions 11 à 15, portant sur des calculs de nombres complexes et de fractions rationnelles, ont été moins abordées par les candidats peu à l'aise avec ces notions.

Pas de description pour le moment