Mines Mathématiques 2 PC 2026Sujet et rapport du jury

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Solutions bornées et périodiques d'équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients périodiques

La deuxième épreuve de mathématiques PC des Mines 2026 (3 heures) étudie l'existence de solutions bornées ou périodiques de l'équation y'' + b(x)y = c(x), où b et c sont continues et périodiques. Après des résultats généraux, le sujet traite un exemple à coefficients constants, prouve l'unicité de la solution bornée pour un coefficient négatif, construit une solution périodique par une série de sinus, puis démontre un théorème général d'existence.

1Partie 1 : résultats généraux (Q1 à Q4)Structure des ensembles de solutions bornées, invariance par translation d'une période et condition de périodicité d'une solution.
2Partie 2 : un exemple d'équation à coefficients constants (Q5 à Q10)Résolution explicite, solutions bornées, système linéaire vérifié par une solution périodique et discussion selon que le paramètre est rationnel ou non.
3Partie 3 : unicité lorsque la fonction b est négative (Q11 à Q14)Convexité du carré d'une solution, unicité de la solution bornée puis existence d'une solution périodique.
4Partie 4 : existence d'une solution périodique (Q15 à Q21)Suite récurrente bornée, série de sinus solution de l'équation, famille orthogonale et étude d'un endomorphisme injectif sur l'espace engendré par les fonctions x ↦ sin(nx).
5Partie 5 : un théorème général (Q22 à Q25)Partie fermée bornée d'un espace de dimension finie, borne inférieure atteinte et moyennes de translatées d'une solution pour obtenir une solution périodique.

Accessible. Le jury décrit des questions pour la plupart très simples et un sujet raisonnablement court, même si ses attentes ont souvent été déçues.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Caractère borné ignoré · Égalité d'ensembles lue comme une implication · Dérivée seconde de g² fausse

Le jury attendait qu'une très large partie des questions soit abordée avec succès, attente très souvent déçue. Hors des 20 % de copies les plus faibles, une très large majorité a abordé les 21 premières questions, et les notes ont reflété la précision des arguments, notamment dans l'usage du cours. La question 4 a été neutralisée et la partie 5 a été peu abordée correctement.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Caractère borné ignoréQ1
Beaucoup se contentent de redémontrer que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel, propriété du cours inutile à reprendre.
« De très nombreux candidats ne se sont pas du tout intéressés au caractère borné »
2
Égalité d'ensembles lue comme une implicationQ2
La formulation « les éléments de B(E) sont les fonctions de la forme » demandait deux inclusions.
« les candidats pensant, presque systématiquement, qu'on ne demandait qu'un seul sens d'implication »
3
Dérivée seconde de g² fausseQ11, Q12
Certains intervertissent dérivée seconde et carré, d'autres confondent g² et g∘g. Écrire patiemment la dérivée seconde réglait la question. Pour la question 12, la continuité de g est souvent oubliée.
« De très nombreux candidats ont pensé que la dérivée commutait avec la fonction puissance »
4
Récurrence prise pour une suite à coefficients constantsQ15
D'autres invoquent la règle de d'Alembert à tort ; la convergence absolue de la série des n² an est rarement établie.
« De trop nombreux candidats ont pensé que la récurrence linéaire proposée était à coefficients constants. »
5
Dérivation terme à terme non justifiéeQ16
Il fallait appliquer le théorème de dérivation des séries de fonctions, par convergence normale ou uniforme.
« trop peu de candidats se sont interrogés sur la dérivation terme à terme d'une série. »
6
Argument topologique erronéQ22, Q23
Pour le théorème des bornes atteintes, il fallait la continuité, en dimension finie, de l'application qui définit l'ensemble I, et non celle de f et f'.
« ce qui n'est évidemment pas le bon argument. »

Ce qui a été bien réussi

Les questions 3, 8 et 13 sont plutôt ou assez bien réussies.
À la question 6, les candidats ont plutôt bien traité le caractère borné.
L'orthogonalité de la famille (Q17) a été bien vue et le calcul de la question 18 est bien réussi en général.
Les bons candidats qui ont abordé la question 21 l'ont plutôt bien réussie.

Conseils du jury

Lire précisément la question : une égalité d'ensembles exige deux inclusions.
Justifier les interversions entre sommes, intégrales et dérivées par convergence uniforme, normale ou dominée.
Éviter les arguments d'autorité et réfléchir aux implications et équivalences écrites.
Utiliser un brouillon et n'écrire sur la copie que les arguments aboutis.
Mettre en évidence les résultats et les arguments essentiels, avec une encre bien contrastée.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2026

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Solutions périodiques d'équations différentielles

Notations et définitions.

On note R le corps des nombres réels, N l'ensemble des entiers naturels.
On désigne par

B(R, R)

l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles bornées sur

R

parC^2(R, R)

celui des fonctions deux fois continûment dérivables sur

R

Dans tout le problème,

(E)

désigne l'équation différentielle :

y^('') + b(x)y = c(x)

où

b, c

sont deux fonctions continues et

2π

périodiques sur

R

.
On note

(EH)

l'équation homogène associée :

y^('') + b(x)y = 0

On appellera solutions de

(E)

ou de

(EH)

les fonctions satisfaisant ces équations différentielles et qui sont définies sur R tout entier.

On note

S(E)

l'ensemble des solutions de

(E)

, autrement dit :

S(E) = {f ∈ C^2(R, R), ∀x ∈ R, f^(′′)(x) + b(x)f(x) = c(x)}

De même on note

S(H)

l'espace vectoriel des solutions de

(EH)

Le problème se propose d'étudier l'existence de solutions bornées ou de solutions périodiques à l'équation

(E)

On admettra que toute fonction continue et périodique sur R est bornée.
Pour toute fonction

f \in B(R, R)

, la norme infinie de

f

est :

‖f‖ = sup_(t \in R)|f(t)|

On rappelle qu'on définit ainsi une norme sur l'espace vectoriel

B(R, R)

.
Enfin, on note

B(E)

l'ensemble des solutions bornées de

(E)

B(H)

l'ensemble des solution bornées de

(EH)

Partie 1. Résultats généraux.

1▷ Démontrer que $B(H)$ est un sous-espace vectoriel de $S(H)$ .
2▷ Lorsque l'équation $(E)$ possède une solution bornée $f_0$ , vérifier que les éléments de $B(E)$ sont les fonctions de la forme $f_0 + g$ où $g$ est un élément de $B(H)$ .
Soit $f \in C^2(R, R)$ . On note $T(f)$ la fonction définie par :
$\forallx \in R, T(f)(x) = f(x + 2π)$
3▷ Démontrer que si $f$ est une solution de $(E)$ alors $T(f)$ est aussi solution de $(E)$
$4▹$ On suppose que $f$ est une solution de $(E)$ qui vérifie les deux conditions :
$f(0) = f(2π) et f^'(0) = f^'(2π)$
Démontrer que la fonction $f$ est $2π$ périodique.
Indication : considérer la fonction $h$ définie par $\forallx \in R, h(x) = T(f)(x) - f(x)$

Partie 2 : Un exemple d'équation à coefficients constants.

Dans cette partie ,

ω

est un réel strictement positif et différent de 1.
On fait les hypothèses :

\forallx \in R, b(x) = ω^2

c(x) = cosx

.
L'équation

(E)

s'écrit donc :

y^('') + ω^2 y = cosx

5▷ Déterminer un nombre réel $d$ tel que la fonction définie par :
$\forallx \in R, f_0(x) = dcosx$
soit solution de $(E)$ et déterminer les solutions $u$ et $v$ de $(EH)$ satisfaisant les conditions
${u(0) = 1, v(0) = 0; u^′(0) = 0, v^′(0) = 1$

6▷ Expliciter les ensembles $S(E)$ et $B(E)$ .
Dans les trois questions qui suivent, on suppose que $f$ est une solution périodique de $(E)$ . On note $T$ une période de $f$ .
7▷ Montrer qu'il existe un entier $k \in N^*$ tel que $T = 2kπ$
8▷ Soient $A, B$ les deux réels tels que $f = f_0 + Au + Bv$ .
Démontrer que $A, B$ sont solutions du système linéaire :
${(cos(2kπω) - 1)A + (sin(2kπω))/ωB, = 0; - ωsin(2kπω)A + (cos(2kπω) - 1)B, = 0$
9▷ En calculant le déterminant de la matrice
$M = (cos(2kπω) - 1, (sin(2kπω))/ω; - ωsin(2kπω), cos(2kπω) - 1)$
démontrer que si $ω$ n'est pas un nombre rationnel, la seule solution périodique de $(E)$ est $f_0$ .
10▷ Déterminer une période commune à toutes les solutions lorsque $ω$ s'écrit sous la forme $ω = p/q$ pour $p, q \in N^*$ .

Partie 3 : Unicité lorsque la fonction $b$ est négative.

Dans cette partie on suppose que

\forallx \in R, b(x) = - (1 + cosx)

c

est une fonction continue

2π

périodique quelconque. L'équation

(EH)

s'écrit donc :

y^('') - (1 + cosx)y = 0

11▷ Soit $g$ une solution de $(EH)$ . Établir que $g^2$ est une fonction convexe.
12▷ En déduire que la fonction nulle est la seule solution bornée de $(EH)$
On pourra admettre qu'une fonction convexe non constante n'est pas majorée sur R
13▷ Démontrer que l'équation $(E)$ possède au plus une solution bornée.

14 ▷ Prouver que si

(E)

possède une solution bornée, alors elle possède une solution

2π

périodique.

Partie 4 : Existence d'une solution périodique.

Dans cette partie on suppose toujours que

\forallx \in R, b(x) = - (1 + cosx)

. L'équation

(E)

est donc :

y^('') - (1 + cosx)y = c(x)

On se propose d'établir l'existence d'une solution périodique à l'équation

(E)

pour une grande classe de fonctions

c

continues et

2π

périodiques.

On admet qu'il existe une suite réelle bornée

(a_n)_(n \in N^*)

vérifiant les conditions :

{∀n ∈ N∖{0, 1}, (n^2 + 1)a_n + 1/2(a_(n + 1) + a_(n − 1)) = 0; 4a_1 + a_2 = − 2

Soit

M

un nombre réel tel que pour tout

n \in N^*

on ait :

|a_n| \leq M

15 ▷ Démontrer que les séries

\suma_n

\sumn^2 a_n

sont absolument convergentes.
On pose pour tout

x

réel

g(x) = \sum_(n = 1)^\inftya_n sinnx

16 ▷ Démontrer que

g

est une solution de l'équation différentielle

y^('') - (1 + cosx)y = sinx

Pour

n \in N^*

, on note

s_n

la fonction

x \mapsto sinnx

. Pour tout

N \in N^*

, on note

P_N

le sous espace vectoriel de

C^2(R, R)

engendré par les fonctions

s_1, \dots, s_N

. C'est l'ensemble des fonctions de la forme

p(x) = \sum_(k = 1)^N β_k sinkx

avec

β_1, \dots, β_N

réels.
On note

P

la réunion des espaces vectoriels

P_N

pour

N \in N^*

P

est donc l'espace vectoriel engendré par la famille

(s_n)_(n \in N^*)

17▷ Démontrer que pour tout entier $N \in N^*$ , la famille $(s_1, \dots, s_N)$ est une base de $P_N$ .
Une méthode possible, mais non imposée, consiste à calculer pour $n, m \in N^*, n \neq m$ , l'intégrale $\int_0^(2π)s_n(t)s_m(t)dt$
On note $L$ l'application linéaire définie sur $P$ par
$\forallx \in R, \forallp \in P, L(p)(x) = p^('')(x) - (1 + cosx)p(x)$
18▷ Pour tout entier $n \geq 1$ , exprimer $L(s_n)$ en fonction de $s_n, s_(n + 1)$ et $s_(n - 1)$ (par convention $s_0 = 0$ ).
19▷ Démontrer que $L$ est un endomorphisme injectif de $P$ et que la fonction $s_1$ n'est pas dans l'image de $L$ .
20▷ Déduire des questions précédentes que l'on a pour tout $N \geq 1$ l'égalité :
$L(P_N) \oplus P_1 = P_(N + 1)$
21▷ On suppose que la fonction $c$ , second membre de l'équation $(E)$ , est un élément de $P$ .
Démontrer que $(E)$ possède une solution périodique.

Partie 5 : Un théorème général.

Dans cette partie on revient au cas général où les fonctions

b

c

sont deux fonctions

2π

périodiques continues sur R. On fait l'hypothèse que la fonction

c

n'est pas identiquement nulle. On se propose de démontrer le théorème suivant :

Théorème : Si l'équation

(E)

possède une solution

f_0

telle que les deux fonctions

f_0

f_0^'

soient bornées sur

R

, alors elle possède une solution périodique.

On fait donc l'hypothèse que

(E)

possède une telle solution

f_0

.
On pose

M_0 = ‖f_0‖

M_1 = ‖f_0^'‖

On rappelle que

B(E)

désigne l'ensemble de toutes les solutions bornées de

(E)

. On définit l'ensemble

A

A = {f ∈ B(E), ‖f‖ ≤ M_0}

22▷ Préciser un sous-espace vectoriel $H$ de $B(R, R)$ de dimension finie contenant $A$ . Démontrer que $A$ est une partie fermée bornée non vide de $H$ .
23□ On note $α$ la borne inférieure du sous-ensemble $I$ de $ℝ$ défini par
$I = {|f(2π) − f(0)| + |f^′(2π) − f^′(0)|, f ∈ A}$
Démontrer que $α$ est bien défini et qu'il existe $f_1 \in A$ tel que
$α = |f_1(2π) - f_1(0)| + |f_1^'(2π) - f_1^'(0)|$
$24▹$ Démontrer que l'on a pour tout $n \in N$ l'inégalité $α \leq (2(M_0 + M_1))/(n + 1)$ Indication : on utilisera la fonction $g_n$ définie pour tout $x$ réel par
$g_n(x) = 1/(n + 1)(f_0(x) + f_0(x + 2π) + \dots + f_0(x + 2nπ)) = 1/(n + 1)\sum_(k = 0)^n T^k(f_0)(x)$
25▷ En utilisant les résultats précédents, démontrer que $(E)$ possède une solution périodique.
Fin du problème

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Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths 2 PC des Mines 2026 ?

Sur l'existence de solutions bornées ou périodiques d'équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients périodiques, avec un exemple à coefficients constants, un cas d'unicité, une solution en série de sinus et un théorème général.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 2 PC Mines 2026 ?

Caractère borné ignoré, égalité d'ensembles traitée dans un seul sens, dérivée seconde de g² fausse, récurrence supposée à coefficients constants et dérivation terme à terme d'une série non justifiée.

Pourquoi la question 4 de maths 2 PC Mines 2026 a-t-elle été neutralisée ?

Elle reposait sur le théorème de Cauchy pour les équations d'ordre 2 à coefficients non constants, qui n'est pas au programme de PCSI-PC. Le jury l'a neutralisée pour éviter une inéquité.

Le sujet de maths 2 PC Mines 2026 est-il abordable ?

Oui selon le jury : questions pour la plupart très simples et sujet raisonnablement court. Il mobilise aussi l'algèbre linéaire, la convexité et la dérivation des séries de fonctions.

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Solutions périodiques d'équations différentielles

Notations et définitions.

Partie 1. Résultats généraux.

Partie 2 : Un exemple d'équation à coefficients constants.

Partie 3 : Unicité lorsque la fonction b est négative.

Partie 4 : Existence d'une solution périodique.

Partie 5 : Un théorème général.

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de maths 2 PC des Mines 2026 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 2 PC Mines 2026 ?

Pourquoi la question 4 de maths 2 PC Mines 2026 a-t-elle été neutralisée ?

Le sujet de maths 2 PC Mines 2026 est-il abordable ?

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Partie 3 : Unicité lorsque la fonction $b$ est négative.