Mines Mathématiques 1 PC 2026Sujet et rapport du jury

Q: Sur quoi porte le sujet de maths 1 PC des Mines 2026 ?

Sur les endomorphismes somme d'endomorphismes de carré nul : ce sont exactement ceux de trace nulle, trois termes ne suffisent pas toujours mais quatre suffisent, grâce aux matrices de Hessenberg.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 PC Mines 2026 ?

Identités remarquables appliquées à des matrices qui ne commutent pas, bases mal complétées, doubles inclusions incomplètes, inégalités sur le rang absentes et calculs de déterminants par blocs erronés.

Q: Quelles questions du sujet de maths 1 PC Mines 2026 ont été les plus difficiles ?

La question 14 a posé d'immenses difficultés, la question 15 a été très peu réussie et les questions au-delà de la 20 ont été très peu abordées.

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Sommes d'endomorphismes de carré nul : trace nulle, contre-exemple à trois termes et décomposition en quatre termes

La première épreuve de mathématiques PC des Mines 2026 (3 heures) étudie les endomorphismes d'un espace vectoriel complexe de dimension finie qui s'écrivent comme somme d'endomorphismes de carré nul. Le sujet montre qu'il s'agit exactement des endomorphismes de trace nulle, construit un endomorphisme de trace nulle qui n'est pas somme de trois tels endomorphismes, puis prouve à l'aide des matrices de Hessenberg que quatre termes suffisent toujours.

1Partie A : réduction des endomorphismes de carré nul (Q1 à Q5)Valeurs propres et trace, comparaison du noyau et de l'image, puis matrice réduite dans une base adaptée.
2Partie B : somme d'un nombre arbitraire d'endomorphismes de carré nul (Q6 à Q8)Calculs sur les matrices élémentaires Ei,j et les matrices Fi,j, puis égalité avec l'ensemble des endomorphismes de trace nulle.
3Partie C : somme de trois endomorphismes de carré nul (Q9 à Q13)Construction d'un contre-exemple en dimension au moins 5 grâce au théorème de Wang et Wu admis et à des inégalités sur le rang.
4Partie D : matrices de Hessenberg (Q14 à Q18)Déterminants de sous-matrices, polynôme caractéristique ajusté par une perturbation de la dernière colonne et similitude avec la matrice Jn.
5Partie E : somme de quatre endomorphismes de carré nul (Q19 à Q25)Matrices presque triangulaires supérieures, décomposition de Jn en deux matrices de carré nul et conclusion pour tout endomorphisme de trace nulle.

Difficulté moyenne. Le jury observe un bon étalement des notes : première partie bien réussie par les bons candidats, troisième partie plus délicate et fin de sujet très peu abordée.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Identité remarquable avec des matrices qui ne commutent pas · Base mal complétée · Double inclusion bâclée

Le sujet a parfaitement joué son rôle de classement, avec un bon étalement des notes. La première partie, fondée sur l'algèbre linéaire de base, a été très bien réussie par les bons candidats, mais de nombreuses copies montrent que le cours n'est pas su. La troisième partie, un peu plus délicate, a distingué les très bons candidats, et les questions suivant la 20 ont très peu été abordées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Identité remarquable avec des matrices qui ne commutent pasQ6, Q10
Pour calculer le carré de Fi,j ou développer (w - v)², il faut un calcul rigoureux, en rappelant Ei,j Ek,l = δj,k Ei,l.
« l'utilisation d'une identité remarquable ne peut pas aboutir car les matrices ne commutent pas. »
2
Base mal complétéeQ3, Q4
Certains placent les vecteurs e1, ..., er dans l'image alors que Im(u) est incluse dans Ker(u). Il fallait compléter la famille libre (u(e1), ..., u(er)) par des vecteurs du noyau.
3
Double inclusion bâcléeQ8
Une égalité d'ensembles exige les deux inclusions, chacune justifiée.
« des candidats ont montré une inclusion et ont conclu qu'il y avait égalité sans aucune explication supplémentaire. »
4
Inégalité sur le rang non établieQ10
Il fallait écrire (w - v)² = w(w - v) + (-v)w puis utiliser les inégalités sur le rang d'une somme et d'une composée, la première devant être démontrée.
« L'inégalité sur le rang était plus délicate, très peu de candidats ont répondu correctement. »
5
Déterminant d'une matrice de HessenbergQ14
Signes des coefficients, écriture par blocs et suppression d'une ligne et d'une colonne ont posé problème avant le calcul d'un déterminant triangulaire par blocs.
« Cette question a posé d'immenses difficultés aux candidats. »
6
Polynôme caractéristique insuffisant pour conclureQ18
Avoir le même polynôme caractéristique que Jn ne prouve pas la similitude : il fallait utiliser la question 17 et le théorème de Cayley-Hamilton.

Ce qui a été bien réussi

À la question 1, la démonstration que zéro est la seule valeur propre possible est bien réussie ; la question 2 aussi.
La question 6 a été abordée par l'ensemble des candidats.
À la question 16, beaucoup de candidats ont trouvé la valeur de C.
La question 19 est assez bien réussie par ceux qui ont atteint cette partie ; la question 20 par quelques candidats.

Conseils du jury

Connaître précisément le cours d'algèbre linéaire : sur C, la trace est la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité.
Démontrer ce que l'énoncé introduit par « en remarquant que ».
Citer précisément les numéros des questions réutilisées et vérifier leurs hypothèses d'application.
Mener les calculs étape par étape et reprendre un calcul faux plutôt que recopier le résultat de l'énoncé.
Vérifier par le calcul les matrices proposées dans une question d'initiative (Q20).
Rendre une copie lisible.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2026

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES

I

- PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Sommes d'endomorphismes de carré nul

Préambule

Ce problème est consacré aux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie qui sont décomposables en la somme d'endomorphismes de carré nul.

Dans tout le problème, on considère uniquement des espaces vectoriels sur le corps

ℂ

des nombres complexes et de dimension finie. Pour un tel espace vectoriel

E

, on note

C(E) = {u ∈ L(E) : u^2 = 0}

l'ensemble des endomorphismes de

E

de carré nul; pour tout

p ⩾ 1

, on note

Σ_p C(E) = {u_1 + ⋯ + u_p|(u_1, …, u_p) ∈ C(E)^p}

l'ensemble des endomorphismes de

E

qui se décomposent comme la somme de

p

endomorphismes de carré nul. On note enfin

Σ_\inftyC(E) = ⋃_(p \in ℕ^*)Σ_p C(E)

l'ensemble des endomorphismes de

E

qui se décomposent comme la somme (d'un nombre arbitrairement grand) d'endomorphismes de carré nul.

Diverses caractérisations ont été données pour l'appartenance d'un endomorphisme de

E

Σ_2 C(E)

, autrement dit pour sa décomposabilité en la somme de deux endomorphismes de carré nul. Un des objectifs de ce problème est d'étudier la situation pour d'autres tailles de décomposition, notamment les cas

p = 3

p = 4

Les cinq parties du sujet sont largement indépendantes les unes des autres, à l'exception de la partie E qui utilise pleinement les résultats de la partie D. Dans la partie A, on étudie la réduction des endomorphismes de carré nul. Dans la partie B, on caractérise l'appartenance à

Σ_\inftyC(E)

de manière simple. Dans la partie C, on exhibe un endomorphisme qui est somme d'endomorphismes de carré nul mais n'est pas somme de trois endomorphismes de carré nul. Dans la partie D, on définit les matrices de Hessenberg et quelques propriétés. Dans la partie E, on établit enfin que tout endomorphisme qui est somme d'endomorphismes de carré nul est somme de quatre endomorphismes de carré nul.

Dans le sujet, on note

0_n

la matrice nulle de

M_n(ℂ)

I_n

sa matrice identité.

A Réduction des endomorphismes de carré nul

On fixe ici un espace vectoriel

E

de dimension finie

n > 0

. On se donne un endomorphisme

u \in L(E)

tel que

u^2 = 0

u \neq 0

. On note

r

le rang de

u

1.Déterminer les valeurs propres possibles pour $u$ et en déduire que $tr(u) = 0$ .
2.En comparant noyau et image de $u$ pour l'inclusion, montrer que $r ⩽ n/2$ .
3.Justifier qu'il existe une famille libre $(e_1, \dots, e_r)$ de vecteurs de $E$ telle que $Ker(u) \oplus Vect(e_1, \dots, e_r) = E$ ; démontrer alors que $(u(e_1), \dots, u(e_r))$ est une famille libre.
4.En déduire qu'il existe une base de $E$ dans laquelle $u$ est représenté par la matrice par blocs
$(0_r, 0_r, (0); I_r, 0_r, (0); (0), (0), 0_(n - 2r)).$
5.Montrer qu'il existe un unique entier $m > 0$ tel que $u$ soit représenté dans une base par la matrice par blocs
$(0_m, 0_m, (0); I_m, 0_m, (0); (0), (0), 0_(n - 2m)).$

B Somme d'un nombre arbitraire d'endomorphismes de carré nul

On fixe ici un espace vectoriel

E

de dimension finie

n ⩾ 2

. On se propose de démontrer que

Σ_\inftyC(E)

est égal à l'ensemble

H(E) = {u \in L(E) : tr(u) = 0}.

Pour

i, j

dans

[ [1, n] ]

, on rappelle que

E_(i, j)

désigne la matrice de

M_n(ℂ)

possédant exactement un coefficient non nul, valant 1 et situé sur la

i

-ème ligne et la

j

-ème colonne. Pour

i, j

distincts dans

[ [1, n] ]

, on pose

F_(i, j) = E_(i, i) - E_(j, j) + E_(i, j) - E_(j, i).

6.Parmi les matrices de la forme $E_(i, j)$ , lesquelles sont de carré nul? Calculer $(F_(i, j))^2$ pour tous $i, j$ distincts dans $[ [1, n] ]$ .
7.On pose $H_n = {A ∈ M_n(ℂ) : tr(A) = 0}$ . Montrer que tout élément de $H_n$ est une combinaison linéaire de matrices ayant l'une des formes suivantes :

- $E_(i, j)$ avec $i, j$ distincts dans $[ [1, n] ]$ ;
- $F_(i, n)$ avec $i \in [ [1, n - 1] ]$ .

Conclure que $Σ_\inftyC(E) = H(E)$ .

Le résultat que l'on vient d'établir sera considérablement raffiné dans la partie E.

C Somme de trois endomorphismes de carré nul

On fixe dans cette partie un espace vectoriel

E

de dimension finie

n ⩾ 5

. On a démontré dans la partie précédente que tout endomorphisme de

E

de trace nulle est une somme d'endomorphismes de carré nul. L'objectif est ici de mettre en évidence un endomorphisme de

E

qui est de trace nulle mais n'est pas la somme de trois endomorphismes de carré nul.

On admet dans cette partie (et seulement dans cette partie!) le résultat suivant :
Théorème de Wang et Wu. Soit

u

un endomorphisme de

E

. Pour que

u

appartienne à

Σ_2 C(E)

, il faut et il suffit qu'il existe

φ \in GL(E)

tel que

- u = φ \circ u \circ φ^(- 1)

On se donne un endomorphisme

u

E

de trace nulle. On suppose que 1 est valeur propre de

u

et que le sous-espace propre associé

Ker(u - id_E)

est de dimension

d > (3n)/4

9.Démontrer qu'il existe effectivement un endomorphisme de $E$ vérifiant les contraintes imposées à $u$ .

On va établir que

u

ne peut pas se décomposer comme la somme de trois éléments de

C(E)

. Pour cela, on pose

w = u - id_E

. Soit

v \in C(E)

10.En développant $(w - v)^2$ , établir que $rg((w - v)^2) < n/2$ .
11.En remarquant que $Ker((w - v)^2)$ est stable par $w - v$ , démontrer que 1 est valeur propre de $u - v$ , de multiplicité au moins $n - rg((w - v)^2)$ .
12.En déduire que s'il existe $φ \in GL(E)$ tel que $- (u - v) = φ \circ (u - v) \circ φ^(- 1)$ , alors 1

et -1 sont valeurs propres de $u - v$ de multiplicité strictement supérieure à $n/2$ .
13.Conclure que $u \notin Σ_3 C(E)$ .

D Intermède : matrices de Hessenberg

On fixe ici un entier

n ⩾ 2

. Une matrice

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in M_n(ℂ)

est dite de Hessenberg lorsque

\forall(i, j) \in [ [1, n] ]^2, i > j + 1 \Rightarrow a_(i, j) = 0,

et on dit alors qu'une telle matrice est régulière lorsque

\foralli \in [ [1, n - 1] ], a_(i + 1, i) \neq 0.

Pour un vecteur

C \in ℂ^(n - 1)

, on introduit la matrice par blocs

E_C = (0_(n - 1), C; (0), 0) \in M_n(ℂ).

Pour une matrice

B \in M_n(ℂ)

et un couple

(k, l) \in [ [1, n] ]^2

, on note

B˜^((k, l))

la sousmatrice de

B

obtenue en lui retirant sa

k

-ième ligne et sa

l

-ième colonne. On note enfin

J_n = (δ_(i, j + 1))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) = (0, (0); 1, 0; ⋱, ⋱; (0), 1, 0) \in M_n(ℂ),

une matrice dont les seuls coefficients non nuls, tous égaux à 1, sont situés immédiatement sous la diagonale. C'est bien entendu un cas particulier de matrice de Hessenberg régulière.

14.Soit $A \in M_n(ℂ)$ une matrice de Hessenberg régulière. Montrer que pour tout $k \in [ [1, n] ]$ , il existe un unique polynôme $P_k \in ℂ[X]$ de degré $k - 1$ tel que
$\forallx \in ℂ, det((xI_n - A˜)^((k, n))) = P_k(x)$
Présiser en outre le coefficient dominant de $P_k$ . On pourra représenter $(I_n - A˜)^((k, n))$ par blocs.

15.Soit $A \in M_n(ℂ)$ une matrice de Hessenberg régulière et $P \in ℂ[X]$ un polynôme unitaire de degré $n$ et dont le coefficient sur $X^(n - 1)$ est $- tr(A)$ . Déduire de la question précédente qu'il existe un unique vecteur $C \in ℂ^(n - 1)$ tel que $A + E_C$ ait $P$ pour polynôme caractéristique.
16.Expliciter l'unique vecteur $C \in ℂ^(n - 1)$ tel que $J_n + E_C$ ait $X^n$ pour polynôme caractéristique.
17.Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ . On suppose qu'il existe une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est une matrice de Hessenberg régulière, et l'on fixe une telle base. Montrer que $(u^k(e_1))_(0 ⩽ k ⩽ n - 1)$ est une base de $E$ .
On pourra examiner la matrice de cette famille de vecteurs dans $(e_1, \dots, e_n)$ .
18.Soit $A \in M_n(ℂ)$ une matrice de Hessenberg régulière dont le polynôme caractéristique est $X^n$ . Montrer que $A$ est semblable à $J_n$ .

E Somme de quatre endomorphismes de carré nul

On conserve ici les notations de la partie précédente. On fixe un entier

n ⩾ 2

. Une matrice

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in M_n(ℂ)

est dite presque triangulaire supérieure lorsque

a_(i, j) = 0

pour tout couple

(i, j) \in [ [1, n] ]^2

tel que

i > j

, sauf pour le couple

(n, n - 1)

, pour lequel

a_(n, n - 1) \neq 0

On considère la matrice

V = (δ_(i, j + 1)1_(i \neq n))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in M_n(ℂ),

autrement dit la matrice ayant les mêmes lignes que

J_n

, à l'exception de la dernière ligne, qui est nulle.

19.Soit $A \in M_n(ℂ)$ une matrice presque triangulaire supérieure. On suppose que $tr(A) = 0$ . Justifier qu'il existe $C_0 \in ℂ^(n - 1)$ tel que $A + V + E_(C_0)$ soit semblable à $J_n$ .
20.Montrer que $J_n$ est la somme de deux matrices de carré nul. On pourra chercher les termes $B_1$ et $B_2$ d'une décomposition en imposant la contrainte qu'en toute position $(i, j)$ on ait $(B_1)_(i, j) = 0$ ou $(B_2)_(i, j) = 0$ .
21.Soit $C \in ℂ^(n - 1)$ quelconque. Construire deux matrices $B_1$ et $B_2$ de $M_n(ℂ)$ ,

telles que $V + E_C = B_1 + B_2$ et $(B_1)^2 = 0 = (B_2)^2$ .
22.Soit $v \in L(ℂ^n)$ qui n'est pas une homothétie. Montrer qu'il existe un plan vectoriel de $ℂ^n$ stable par $v$ et contenant au moins un vecteur non nul qui n'est pas vecteur propre de $v$ . On pourra s'aider d'une base de trigonalisation.
23.En déduire que toute matrice de $M_n(ℂ)∖Vect(I_n)$ est semblable à une matrice de la forme
$(B, (?); (0), C)$
où $B = (b_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ 2) \in M_2(ℂ)$ vérifie $b_(2, 1) \neq 0$ et où la matrice $C \in M_(n - 2)(ℂ)$ est triangulaire supérieure.
24.Montrer que toute matrice de $M_n(ℂ)∖Vect(I_n)$ est semblable à une matrice presque triangulaire supérieure.
25.On se donne un espace vectoriel $E$ de dimension finie ainsi qu'un endomorphisme $u$ de $E$ , supposé de trace nulle. En combinant plusieurs résultats antérieurs, démontrer que $u \in Σ_4 C(E)$ .

Fin du problème

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Questions fréquentes

3 questions

Sur quoi porte le sujet de maths 1 PC des Mines 2026 ?

Sur les endomorphismes somme d'endomorphismes de carré nul : ce sont exactement ceux de trace nulle, trois termes ne suffisent pas toujours mais quatre suffisent, grâce aux matrices de Hessenberg.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 PC Mines 2026 ?

Identités remarquables appliquées à des matrices qui ne commutent pas, bases mal complétées, doubles inclusions incomplètes, inégalités sur le rang absentes et calculs de déterminants par blocs erronés.

Quelles questions du sujet de maths 1 PC Mines 2026 ont été les plus difficiles ?

La question 14 a posé d'immenses difficultés, la question 15 a été très peu réussie et les questions au-delà de la 20 ont été très peu abordées.

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