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E3A Mathématiques A PC 2014Sujet et corrigé

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques A PC

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

Ce sujet a pour objet l'étude du comportement asymptotique des solutions de certaines équations différentielles linéaires du deuxième ordre.
Les deux premières parties, indépendantes entre elles, sont consacrées à des exemples. La troisième partie a pour but d'établir quelques résultats utiles pour la quatrième partie ; ces résultats pourront être éventuellement admis pour traiter la quatrième partie qui est consacrée à l'obtention d'un résultat général.
Toutes les fonctions intervenant dans ce problème sont à valeurs réelles
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Questions préliminaires

  1. Énoncer la formule de changement de variable dans une intégrale sur un intervalle quelconque.
  2. Énoncer le théorème de dérivation des intégrales dépendant d'un paramètre pour une fonction f : x ∈ I ↦ ∫_J g(x, t)dt où I et J sont des intervalles de ℝ.
  3. Énoncer le théorème de convergence dominée.

Première partie

On considère les intégrales impropres suivantes :
I_1 = ∫_0^1 1/(√(1 − t^2))dt, I_2 = ∫_0^1 t/(√(1 − t^2))dt, I_3 = ∫_0^1(t^2)/(√(1 − t^2))dt
  1. Justifier l'existence des intégrales I_1 et I_2 et les calculer.
  2. Justifier l'existence de I_3 et la calculer en introduisant la fonction φ : u ↦ sinu.
  3. On considère la fonction
f : x ↦ ∫_0^1(cos(xt))/(√(1 − t^2))dt
(a) Démontrer que f est définie sur ℝ.
(b) Démontrer que f est de classe C^2 sur ℝ.
(c) Démontrer, en effectuant une intégration par parties, que
∀x ∈ ℝ, xf^(′′)(x) + f^′(x) + xf(x) = 0
  1. On se donne une fonction q, définie et de classe C^1 sur l'intervalle I = [1, + ∞[ telle que
∀x ∈ I, q^′(x) ≤ 0
et on considère une fonction z de classe C^2 sur I et solution sur I de l'équation différentielle
z^(′′)(x) + q(x)z(x) = 0
(a) On note u : x ↦ q(x)z^2(x) + (z^′(x))^2. Démontrer que la fonction u est décroissante sur I.
(b) En déduire que s'il existe un réel q_0 > 0 tel que
∀x ∈ I, q(x) ≥ q_0
alors z est bornée sur I.
5. Soit y une fonction définie et de classe C^2 sur I = [1, + ∞[ vérifiant
∀x ∈ I, xy^(′′)(x) + y^′(x) + xy(x) = 0
et z la fonction définie sur I par z(x) = √xy(x). Déterminer une fonction q telle que
∀x ∈ I, z^(′′)(x) + q(x)z(x) = 0.
  1. Démontrer qu'il existe un réel M > 0 tel que
∀x ∈ I, |f(x)| ≤ M/(√x)
où f est la fonction définie en 3. de cette partie.

Deuxième partie

Soit y une fonction définie et de classe C^2 sur ]0, + ∞[, à valeurs réelles. On considère alors la fonction z définie sur ]0, + ∞[parz(t) = y(1/t).
  1. Démontrer que y est une solution sur ]0, + ∞[ de l'équation différentielle
(E_1) : 4x^4 y^(′′)(x) − y(x) = 0
si et seulement si z est une solution sur ]0, + ∞[ de l'équation différentielle
(E_2) : 4tz^(′′)(t) + 8z^′(t) − tz(t) = 0.
  1. (a) Démontrer qu'une série entière u(t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n t^n à coefficients réels (a_n) et de rayon de convergence non nul R satisfait
∀t ∈ ] − R, R[, 4tu^(′′)(t) + 8u^′(t) − tu(t) = 0, u(0) = 1
si et seulement si
∀p ∈ ℕ, a_(2p + 1) = 0, a_(2p) = 1/(4^p(2p + 1)!)
(b) Déterminer le rayon de convergence et expliciter la somme de la série entière obtenue en (a) à l'aide des fonctions usuelles.
3. Déterminer une solution y de (E_1) sur ]0, + ∞[ autre que la fonction nulle telle que (y(x))/x ⟶ _(x → + ∞)0.

Troisième partie

  1. Soit f : [1, + ∞[ → ℝ telle qu'il existe un réel C > 0 tel que pour tout couple (s, u) de nombres réels avec s ≥ u ≥ 1, on ait
|f(s) − f(u)| ≤ C/u
Pour tout entier n ≥ 1, on pose u_n = f(n^2).
(a) Démontrer que la série ∑_(n ≥ 1)(u_(n + 1) − u_n) est absolument convergente.
(b) En déduire que la suite (u_n)_(n ≥ 1) est convergente. On notera L sa limite (on ne demande pas de calculer L ).
(c) Démontrer que f(s) ⟶ _(s → + ∞)L.
2. Soit g une fonction définie et de classe C^1 sur [0, + ∞[ telle que g^′(x) ⟶ _(x → + ∞)0.
(a) Démontrer que g^′ est bornée sur [0, + ∞[. On notera alors M un réel tel que |g^′(x)| ≤ M pour tout x ≥ 0.
(b) Soit ( x_n ) une suite de réels strictement positifs telle que x_n→−_(n → + ∞)^ + ∞. Démontrer, en citant avec soin le théorème utilisé, que
∫_0^1 g^′(tx_n)dt ⟶ _(n → + ∞)0
En déduire que (g(x_n))/(x_n)→−_(n → + ∞)^0.
(c) En déduire que (g(x))/x ⟶ _(x → + ∞)0.
3. Soit h une fonction définie et de classe C^1 sur [0, + ∞[. On suppose que h^′ possède une limite finie L en + ∞. Démontrer en considérant la fonction g : x ↦ h(x) − Lx que (h(x))/x ⟶ _(x → + ∞)L.
4. En déduire que si u est une fonction définie et de classe C^1 sur [1, + ∞[ et telle que u^′ possède une limite finie L en + ∞, alors (u(x))/x ⟶ _(x → + ∞)L.

Quatrième partie

On se donne une fonction q définie et continue sur [1, + ∞[. On considère sur [1, + ∞[ l'équation différentielle
(E) : y^(′′)(x) + q(x)y(x) = 0
Soit y une solution de (E) de classe C^2 sur [1, + ∞[.
  1. Vérifier que pour tout couple (s, u) de réels tels que s ≥ u ≥ 1, on a
y^′(s) − y^′(u) = − ∫_u^s q(t)y(t)dt
  1. En prenant u = 1, déduire du 1 . de cette partie que pour tout réel x ≥ 1,
(y(x))/x = (y(1))/x + (x − 1)/xy^′(1) − 1/x∫_1^x(∫_1^s q(t)y(t)dt)ds
On supposera désormais que la fonction t ↦ tq(t) est intégrable sur [1, + ∞[ et en notant
r = ∫_1^(+ ∞)|tq(t)|dt
on supposera que r < 1.
3. On fixe un réel A > 1.
(a) Justifier l'existence du réel M_A = max_(x ∈ [1, A])|(y(x))/x|.
(b) Démontrer que pour tout x ∈ [1, A],
|(y(x))/x| ≤ |y(1)| + |y^′(1)| + (M_A)/x∫_1^x(∫_1^s|tq(t)|dt)ds
(c) En déduire que
M_A ≤ (|y(1)| + |y^′(1)|)/(1 − r)
  1. Démontrer que la fonction x ↦ (y(x))/x est bornée sur [1, + ∞[.
  2. On suppose de plus que la fonction t ↦ t^2 q(t) est intégrable sur [1, + ∞[.
    (a) Déduire des questions 1. et 4. de cette partie l'existence d'un réel K > 0 tel que pour tout couple (s, u) de réels vérifiant s ≥ u ≥ 1, on ait
|y^′(s) − y^′(u)| ≤ K/u
et en déduire que y^′(x) possède une limite finie L lorsque x tend vers + ∞.
(b) En déduire que (y(x))/x ⟶ _(x → + ∞)L.
6. Peut-on affirmer, pour toute solution y de l'équation différentielle (E_1) de la deuxième partie, l'existence d'une limite à (y(x))/x lorsque x tend vers + ∞ ? Justifier la réponse.

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