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CCINP Mathématiques 1 PC 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Stabilité des polynômes, matrices et systèmes différentiels : norme subordonnée, mesure de Lozinskiĭ et critère de stabilité en degré 3
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Le sujet étudie les notions de polynôme, de matrice et de système différentiel stables. La partie I traite des cas simples, très guidés. La partie II introduit la norme subordonnée et la mesure de Lozinskiĭ, avec une condition suffisante de stabilité d'une matrice. La partie III étudie un exemple de mesure de Lozinskiĭ associée à une norme quadratique, à l'aide de l'algèbre bilinéaire. La partie IV développe complètement le cas des polynômes de degré 3. La partie V applique ces résultats à un exemple issu d'une matrice d'ordre 3.

  1. 1Partie I : stabilité dans des cas particuliersÉtude de la problématique de stabilité dans des cas simples, avec des calculs très largement guidés.
  2. 2Partie II : norme subordonnée et mesure de LozinskiĭIntroduction de la norme subordonnée et de la mesure de Lozinskiĭ, condition suffisante de stabilité d'une matrice.
  3. 3Partie III : normes et mesures de Lozinskiĭ associéesÉtude d'un exemple de mesure de Lozinskiĭ associée à une norme quadratique, à l'aide de l'algèbre bilinéaire.
  4. 4Partie IV : un critère de stabilité en degré 3Développement complet du cas des polynômes de degré 3, conditions nécessaire et suffisante de stabilité.
  5. 5Partie V : exemple de système différentiel stableApplication des résultats précédents à un exemple issu d'une matrice d'ordre 3.

Difficile. Le rapport indique que les candidats ayant bien traité l'ensemble du sujet se sont faits très rares, moins de 5%, et que les parties II et III ont été abordées de façon parcellaire avec de nombreux problèmes de raisonnement.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Racines supposées complexes malgré un discriminant positif · Passage à la borne supérieure mal rédigé · Symétrie de la matrice non identifiée
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Le jury note que le soin et la présentation des copies sont bons, que les copies très faibles sont peu nombreuses, mais que les très bonnes copies se font de plus en plus rares. La restitution correcte du cours dans un cadre particulier a posé de nombreux problèmes dans les parties les plus théoriques.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Racines supposées complexes malgré un discriminant positifI.2.a, I.2.b

    Malgré l'hypothèse d'un discriminant strictement positif, environ un tiers des candidats part du principe que les racines sont complexes non nécessairement réelles.

  2. 2
    Passage à la borne supérieure mal rédigéII.1.f

    Les raisonnements sur la borne supérieure sont souvent erronés car assimilés à un passage à la limite dans une inégalité, alors qu'une rédaction correcte doit faire intervenir la borne supérieure comme plus petit des majorants.

    « On insistera donc ici sur le fait qu’une rédaction correcte doit faire intervenir la borne supérieure »
  3. 3
    Symétrie de la matrice non identifiéeIII.2

    Le fait que la matrice transposée de A plus A soit symétrique n'apparaît pas clairement à beaucoup de candidats, ce qui compromet l'application du théorème spectral.

  4. 4
    Confusion entre complexe et complexe non réelIV.3.a

    Une moitié des candidats confond complexe et complexe non réel, affirmant à tort que deux racines sont toujours des complexes conjugués même lorsque l'une d'elles est réelle.

  5. 5
    Vecteur propre non norméII.4.a

    L'idée de normer le vecteur propre reste très largement absente des copies, alors qu'elle est nécessaire pour traiter le cas général.

Ce qui a été bien réussi

  • La partie I, très élémentaire, a été bien réussie par une très grande majorité de candidats.
  • La question I.1 est très bien réussie.
  • La question III.1 est très bien réussie.
  • La question IV.1 est très bien réussie.

Conseils du jury

  • Lire attentivement le sujet afin de bien utiliser toutes les hypothèses fournies.
  • Détailler un minimum de calculs intermédiaires même lorsque le résultat final est donné dans l'énoncé.
  • Bien connaître la définition précise d'une norme et des notions de base associées.
  • Rédiger de façon concise et synthétique plutôt que de choisir des méthodes de calcul inutilement longues.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

L'objectif du problème est de définir et d'étudier les notions de polynôme, de matrice et de système différentiel stable.
La partie I traite le cas particulier de la dimension 2 et aborde un contre-exemple en dimension 3. La partie II introduit les outils théoriques qui se spécialisent dans la partie III pour montrer en partie IV le critère de Routh-Hurwitz pour la stabilité des polynômes unitaires de degré 3. La partie V est une application de la partie IV à un système différentiel d'ordre 3 particulier.
La partie I est indépendante des quatre autres parties. Les parties II, III, IV et V sont, pour une grande part, indépendantes les unes des autres.
Le résultat principal de la partie II et celui de la partie IV sont résumés clairement en fin de partie.
Il est demandé, lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

Notations et définitions

Notations :

Soient n et p deux entiers naturels non nuls, 𝕂 l'ensemble ℝ ou ℂ.
Notons 𝕂[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans 𝕂, M_(n, p)(𝕂) l'espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans 𝕂, M_n(𝕂) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans 𝕂, I_n la matrice identité d'ordre n.
Pour P ∈ 𝕂[X], on note Z_𝕂(P) l'ensemble des racines de P qui sont dans 𝕂, c'est-à-dire l'ensemble des éléments λ ∈ 𝕂 qui sont tels que : P(λ) = 0.
On dit que P est unitaire si P est non nul et si son coefficient dominant est égal à 1 .
Pour A ∈ M_n(𝕂), on note Tr(A) la trace de A, ^t A la matrice transposée de A, det(A) le déterminant de A et χ_A le polynôme caractéristique de A, c'est-à-dire χ_A ∈ 𝕂[X] tel que :
pour tout λ ∈ 𝕂, χ_A(λ) = det(A − λI_n)
L'ensemble Z_𝕂(χ_A) est noté Sp_𝕂(A) et l'ensemble des matrices M ∈ M_n(ℝ) telles que :
^t MM = I_n est noté O_n(ℝ).
Pour x = (x_1, …, x_n) dans 𝕂^n, on définit Ax comme étant l'élément y = (y_1, …, y_n) ∈ 𝕂^n tel que: (y_1; ⋮; y_n) = A(x_1; ⋮; x_n).
Pour tout z ∈ ℂ, on note ℜe(z) la partie réelle de z, |z| le module de z et z¯ le complexe conjugué de z.

Définitions :

Pour P ∈ 𝕂[X], on dit que P est stable si :
pour tout λ ∈ Z_ℂ(P), ℜe(λ) < 0.
Pour A ∈ M_n(𝕂), on dit que A est stable si χ_A est stable.

Partie I : STABILITE DANS DES CAS PARTICULIERS

Soient a et b deux réels. On note P(X) = X^2 + aX + b et Δ = a^2 − 4b.
On note z_1 et z_2 deux nombres complexes tels que : P(X) = (X − z_1)(X − z_2).
Soit Q(X) = X^3 + X^2 + X + 1 et B = (0, 1, 0; − 1, 0, 1; 0, 0, − 1).
I.1. Montrer que a = − (z_1 + z_2) et b = z_1 z_2.
I.2. On suppose dans cette question que Δ > 0.
I.2.a. Vérifier que si P est stable, alors a > 0 et b > 0.
I.2.b. Montrer réciproquement que si a > 0 et b > 0, alors P est stable.
I.3. On suppose dans cette question que Δ = 0.
Montrer que P est stable si et seulement si a > 0 et b > 0.
I.4. On suppose dans cette question que Δ < 0.
I.4.a. Justifier que z_2 = z¯_1.
I.4.b. Montrer que P est stable si et seulement si a > 0 et b > 0.
I.5. On suppose dans cette question que n = 2 et que A ∈ M_2(ℝ).
I.5.a. Exprimer χ_A en fonction de Tr(A) et det(A).
I.5.b. Etablir que A est stable si et seulement si Tr(A) < 0 et (− 1)^n det(A) > 0.
I.6. On suppose dans cette question que n = 3.
I.6.a. Trouver les racines complexes de Q.
I.6.b. Vérifier que Tr(B) < 0 et que (− 1)^n det(B) > 0.
I.6.c. Montrer que ni Q ni B ne sont stables.

Partie II : NORME SUBORDONNEE ET MESURE DE LOZINSKII

Soit n un entier naturel non nul. Dans toute cette partie, on note ‖ ⋅ ‖ une certaine norme sur le 𝕂-espace vectoriel 𝕂^n. On définit l'ensemble : B = {x ∈ 𝕂^n tel que ‖x‖ = 1}.
Pour A ∈ M_n(𝕂), on définit : ‖A‖ = sup_(x ∈ B)(‖Ax‖) (l'existence de cette borne supérieure sera établie dans la question II.1.c.).
On admet que l'application A ↦ ‖|A‖| définit ainsi une norme ‖| ⋅ ||| sur l'espace vectoriel M_n(𝕂) qui s'appelle la norme subordonnée à ‖ ⋅ ‖ : en effet, elle dépend du choix de la norme ‖ ⋅ ‖.
II.1.
II.1.a. Rappeler la définition d'une norme sur 𝕂^n.
II.1.b. Vérifier que l'application x ↦ ‖Ax‖ est continue sur 𝕂^n.
II.1.c. Montrer l'existence de x_0 ∈ B tel que: ∀x ∈ B, ‖Ax‖ ⩽ ‖Ax_0‖. Cela justifie donc la définition de ‖A‖‖ = sup_(x ∈ B)(‖Ax‖) et on a alors ‖A‖ = ‖Ax_0‖.
II.1.d. Montrer que ‖I_n‖ = 1.
II.1.e. Etablir que pour tout x ∈ 𝕂^n et A ∈ M_n(𝕂), on a : ‖Ax‖ ⩽ ‖A‖‖ ⋅ ‖x‖.
II.1.f. Montrer que, pour tout A ∈ M_n(𝕂) et B ∈ M_n(𝕂), on a :
‖A‖‖ − ‖‖B‖ ⩽ ‖A − B‖ et ‖AB‖ ⩽ ‖A‖‖ ⋅ ‖B‖.
II.2. Montrer que, pour tout λ ∈ ℂ, on a : ℜe(λ) = lim_(u → 0^+)((|1 + uλ| − 1)/u).
II.3. Soit A ∈ M_n(𝕂). On se propose dans cette question de montrer l'existence du réel :
μ(A) = lim_(u → 0^+)((‖I_n + uA‖‖ − 1)/u)
Ce réel est appelé mesure de Lozinskiĭ de A (il dépend du choix de la norme initiale).
Pour u > 0, on note μ(A, u) = (‖I_n + uA‖ − 1)/u.
II.3.a. Montrer que pour tout u et v éléments de ℝ_+^∗ :
μ(A, u) − μ(A, v) = ‖u^(− 1)I_n + A‖‖ − ‖|v^(− 1)I_n + A‖‖ − (u^(− 1) − v^(− 1)).
II.3.b. En déduire que si 0 < u ⩽ v, alors : μ(A, u) − μ(A, v) ⩽ 0.
II.3.c. Vérifier que pour tout u > 0, on a : − ‖A‖ ⩽ μ(A, u) ⩽ ‖A‖.
II.3.d. En déduire l'existence du réel μ(A) = lim_(u → 0^+)(μ(A, u)).
II.4. On suppose dans cette question que 𝕂 = ℂ. Soit λ ∈ Sp_ℂ(A).
II.4.a. Montrer qu'il existe x ∈ ℂ^n tel que Ax = λx, ‖x‖ = 1 et puis que, pour tout réel u strictement positif, on a : ‖(I_n + uA)x‖ = |1 + uλ|.
II.4.b. En déduire que : ℜe(λ) ⩽ μ(A).
II.4.c. Donner une condition suffisante sur μ(A) pour que A soit stable.

Le résultat principal de cette partie II est que :

pour tout λ ∈ Sp_ℂ(A), ℜe(λ) ⩽ μ(A)
où
μ(A) = lim_(u → 0^+)((‖I_n + uA‖ − 1)/u)

Partie III : NORMES ET MESURES DE LOZINSKII ASSOCIEES

Dans cette partie, à tout élément x = (x_1, …, x_n) de ℂ^n, on associe la matrice-colonne X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ M_(n, 1)(ℂ). De plus, si X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ M_(n, 1)(ℂ), on note X¯ = (x_1^–; ⋮; x_n^–) ∈ M_(n, 1)(ℂ) et ^t X = (x_1, …, x_n) ∈ M_(1, n)(ℂ).
On munit ℂ^n du produit scalaire canonique et de sa norme associée définis par les formules :
∀(x, y) ∈ ℂ^n, ⟨x, y⟩ = ^t X¯Y = ∑_(i = 1)^n x¯_i y_i et ‖x‖_2 = √(⟨x, x⟩) = √(∑_(i = 1)^n|x_i|^2⎷)
On remarque que ce produit scalaire et cette norme sur ℂ^n donnent par restriction le produit scalaire canonique et sa norme associée sur ℝ^n définis par :
∀(x, y) ∈ ℝ^n, ⟨x, y⟩ = ^t XY = ∑_(i = 1)^n x_i y_i et ‖x‖_2 = √(⟨x, x⟩) = √(∑_(i = 1)^n x_i^2⎷).
Pour A un élément de M_n(ℝ), on admet que les réels ‖‖A‖ et μ(A) sont les mêmes selon que l'on considère A comme élément de M_n(ℝ) et que l'on munit ℝ^n de la norme ‖ ⋅ ‖_2 ou que l'on considère A comme élément de M_n(ℂ) et que l'on munit ℂ^n de la norme ‖ ⋅ ‖_2. On note alors ces deux réels ‖|A|‖_2 et μ_2(A). On a ainsi :
‖A‖_2 = sup_(x ∈ B_2)(‖Ax‖_2) où B_2 = {x ∈ 𝕂^n tel que ‖x‖_2 = 1}; et μ_2(A) = lim_(u → 0^+)((‖I_n + uA‖_2 − 1)/u)
Dans toute cette partie, on désigne par A un élément de M_n(ℝ).
III.1. Montrer que pour tout x ∈ ℝ^n et pour tout u > 0 :
‖(I_n + uA)x‖_2^2 = ^t XX + u^t X(^t A + A)X + u^2^t X^t AAX.
III.2. Montrer qu'il existe M ∈ O_n(ℝ) et des réels α_1, …, α_n tels que α_1 ⩾ ⋯ ⩾ α_n et
^t A + A = M(α_1, (0); ⋱; (0), α_n)^t M.
III.3. On suppose dans toute cette question que x ∈ ℝ^n et ‖x‖_2 = 1. On pose (y_1; ⋮; y_n) = ^t MX.
III.3.a. Montrer que ∑_(i = 1)^n y_i^2 = 1.
III.3.b. Vérifier que ‖(I_n + uA)x‖_2^2 = 1 + u∑_(i = 1)^n α_i y_i^2 + u^(2t)X^t AAX.
III.3.c. Montrer l'existence de deux réels γ et δ tels que, pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℝ) vérifiant ^t XX = 1, on ait : γ ⩽ ^t X^t AAX ⩽ δ.
III.3.d. Montrer que pour γ et δ choisis comme en III.3.c, on a, pour tout u > 0 :
√(1 + α_1 u + γu^2) ⩽ ‖(I_n + uA)‖_2 ⩽ √(1 + α_1 u + δu^2).
III.3.e. En déduire que μ_2(A) = (α_1)/2 = max{λ ∈ ℝ tel que λ ∈ Sp_ℝ((^t A + A)/2)}.
III.4. Soit H une matrice de M_n(ℝ) inversible. Pour x ∈ ℂ^n, on pose ‖x‖_H = ‖Hx‖_2.
On admet que l'on définit ainsi des normes sur ℂ^n comme sur ℝ^n qui donnent sur M_n(ℝ) une même norme subordonnée notée ‖‖ ⋅ ‖_H et une même mesure de Lozinskiĭ notée μ_H.
III.4.a. Montrer que, pour tout A ∈ M_n(ℝ), ‖A‖_H = ‖|HAH^(− 1)|‖_2.
III.4.b. En déduire que, pour tout A ∈ M_n(ℝ), on a : μ_H(A) = μ_2(HAH^(− 1)).

Partie IV : UN CRITERE DE STABILITE EN DEGRE 3

Soient a, b et c trois réels.
On considère le polynôme réel P unitaire de degré 3 écrit sous la forme :
P(X) = X^3 + aX^2 + bX + c
On dit que P vérifie la propriété H si :
a > 0, b > 0, c > 0 et ab − c > 0.
Par le théorème de D'Alembert-Gauss, on note z_1, z_2 et z_3 trois nombres complexes tels que:
P(X) = (X − z_1)(X − z_2)(X − z_3)
IV.1. Montrer que : a = − (z_1 + z_2 + z_3), b = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_1 z_3, c = − z_1 z_2 z_3 et
ab − c = − z_1^2 z_2 − z_1^2 z_3 − z_2^2 z_1 − z_2^2 z_3 − z_3^2 z_1 − z_3^2 z_2 − 2z_1 z_2 z_3.
IV.2. Montrer que l'une des racines de P est un nombre réel.
On suppose dans toute la suite de cette partie que z_1 est un réel qui sera noté α_1 et que z_2 et z_3 s'écrivent sous la forme z_2 = α_2 + iβ_2 et z_3 = α_3 + iβ_3 avec des réels α_2, α_3, β_2 et β_3.
IV.3. On suppose dans cette question que β_2 = 0.
IV.3.a. Montrer que β_3 = 0.
IV.3.b. Montrer que si P est stable, alors P vérifie la propriété H.
IV.4. On suppose dans cette question que β_2 ≠ 0.
IV.4.a. Justifier que α_3 = α_2 et que β_3 = − β_2.
IV.4.b. Vérifier que : a = − (α_1 + 2α_2), b = 2α_1 α_2 + α_2^2 + β_2^2, c = − α_1(α_2^2 + β_2^2) et
ab − c = − 2α_2(α_1^2 + α_2^2 + β_2^2) − 4α_1 α_2^2.
IV.4.c. Montrer que si P est stable, alors P vérifie la propriété H.
IV.5. Montrer que si P vérifie la propriété H, alors ℜe(z_1), ℜe(z_2) et ℜe(z_3) sont non nuls.
IV.6. On suppose dans cette question que P vérifie la propriété H.
On pose alors A^′ = (0, 1, 0; − c^′, 0, 1; 0, − b^′, − a^′) avec a^′ = a, b^′ = (ab − c)/a et c^′ = c/a si bien que a^′, b^′ et c^′ sont trois réels strictement positifs.
On note H la matrice diagonale inversible suivante : H = (√(a^′ b^′ c^′), 0, 0; 0, √(a^′ b^′), 0; 0, 0, √(a^′)).
On pose B^′ = HA^′ H^(− 1).
IV.6.a. Montrer que χ_(A^′)(X) = − P(X).
IV.6.b. Calculer explicitement B^′ et vérifier que : (^t B^′ + B^′)/2 = (0, 0, 0; 0, 0, 0; 0, 0, − a).
IV.6.c. En déduire que μ_H(A^′) = 0.
IV.6.d. En conclure que P est stable.

Le résultat principal de cette partie IV est que :

un polynôme à coefficients réels, unitaire de degré 3 est stable si et seulement si ce polynôme vérifie la propriété H.

Partie V : EXEMPLE DE SYSTEME DIFFERENTIEL STABLE

Soit C = (− 2, 0, − 1; 2, 1, − 1; 2, 2, − 1).
On considère le système différentiel ( S ) suivant, d'inconnue t ↦ X(t), une fonction de classe C^1 de ℝ_+dans M_(3, 1)(ℝ) :
∀t ∈ ℝ_+, X^′(t) = CX(t)
On dit que ce système différentiel (S) est stable si, quelle que soit la solution X de (S), on a :
lim_(t → + ∞)(X(t)) = 0.
V.1. Vérifier que, pour tout λ ∈ ℝ, − χ_C(λ) = λ^3 + 2λ^2 + 3λ + 4.
V.2. En déduire que C est stable.
V.3. Montrer l'existence d'une matrice U ∈ M_3(ℂ) inversible et de trois réels α_1 < 0, α_2 < 0 et β_2 ≠ 0, tels que : C = UDU^(− 1) avec D = (α_1, 0, 0; 0, α_2 + iβ_2, 0; 0, 0, α_2 − iβ_2).
On ne cherchera pas à trouver explicitement U ni les réels α_1, α_2 et β_2.
V.4. On note, pour tout t ∈ ℝ_+, Y(t) = U^(− 1)X(t).
V.4.a. Montrer que X est solution de ( S ) si et seulement si Y est de classe C^1 sur ℝ_+et pour tout t ∈ ℝ_+, on a : Y^′(t) = DY(t).
V.4.b. En déduire l'expression de Y(t) en fonction de t ∈ ℝ_+dans ce cas.
V.4.c. Montrer qu'il existe X_1, X_2 et X_3 dans M_(3, 1)(ℝ) tels que, pour tout t ∈ ℝ_+:
X(t) = e^(α_1 t)X_1 + e^(α_2 t)cos(β_2 t)X_2 + e^(α_2 t)sin(β_2 t)X_3.
On ne cherchera pas à trouver explicitement les matrices X_1, X_2 et X_3. V.4.d. Vérifier que le système différentiel ( S ) est stable.

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 CCINP PC 2014 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 CCINP PC 2014 ?

Le sujet porte sur les polynômes et leurs racines, la réduction des matrices, les normes subordonnées, l'algèbre bilinéaire et le théorème spectral, ainsi que les systèmes différentiels linéaires stables.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de mathématiques 1 CCINP PC 2014 ?

Le jury relève une confusion fréquente entre complexe et complexe non réel, un passage à la borne supérieure mal rédigé, une symétrie de matrice non identifiée, et l'oubli fréquent de normer un vecteur propre.

Le sujet de mathématiques 1 CCINP PC 2014 est-il difficile ?

Oui, moins de 5% des candidats ont bien traité l'ensemble du sujet, et les parties théoriques sur la norme subordonnée et la mesure de Lozinskiĭ ont engendré de nombreux problèmes de raisonnement.

Le sujet de mathématiques 1 CCINP PC 2014 est-il accessible en première partie ?

Oui, la partie I, très élémentaire et largement guidée, a été bien réussie par une très grande majorité de candidats.

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