Polytechnique Mathématiques 2 PC 2001Sujet et corrigé

(Durée : 4 heures)

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Les propriétés démontrées dans ce problème ont des applications à la mécanique classique et quantique et à l'optique géométrique.

Pour tout entier p ⩾ 1, on désigne par M_p l'espace vectoriel des matrices réelles à p lignes et p colonnes, et l'on désigne par I_p la matrice unité de M_p. Si M ∈ M_p, on note M_– l'endomorphisme de R^p de matrice M dans la base canonique. La transposée d'une matrice M est notée ^t M. On note ( | ) le produit scalaire canonique et ‖‖ la norme euclidienne de R^p.

Pour tout entier pair n = 2m, on considère la matrice J ∈ M_(2m) définie par blocs par

a) Que peut-on dire du déterminant d'une matrice symplectique?
b) L'ensemble des matrices symplectiques est-il un groupe pour la multiplication?
c) La matrice J est-elle symplectique ?
d) La transposée d'une matrice symplectique est-elle symplectique?
2. On écrit toute matrice M ∈ M_(2m) par blocs, M = (A, B; C, D), où A, B, C, D ∈ M_m.
a) Montrer que la matrice M est symplectique si et seulement si les matrices A, B, C, D vérifient les conditions

b) Montrer que si D est inversible, il existe Q ∈ M_m telle que M = (I_m, Q; 0, I_m)(A − QC, 0; C, D).

En déduire que, si M est symplectique et D inversible, alors detM = 1.
c) Soient B, D ∈ M_m telles que ^t BD est symétrique. On suppose qu'il existe s_1, s_2 ∈ R, s_1 ≠ s_2, et v_1, v_2 ∈ R^m tels que (D_– − s_1 B_–)v_1 = 0 et (D_– − s_2 B_–)v_2 = 0. Montrer que le produit scalaire ( D_–v_1|D_–v_2 ) est nul.
d) On suppose que M est symplectique. Montrer que tout v ∈ R^m tel que D_–v = 0 et B_–v = 0 est nul. Montrer qu'il existe s ∈ R tel que D − sB est inversible. En déduire que det M = 1. [On pourra introduire la matrice (I_m, 0; − sI_m, I_m) et vérifier qu'elle est symplectique.]
3. Soit M une matrice symplectique et soit P son polynôme caractéristique.
a) Montrer que, ∀λ ∈ C, λ ≠ 0, P(λ) = λ^(2m)P(1/λ).
b) Montrer que si λ_0 ∈ C est valeur propre de M, de multiplicité d, alors 1/(λ_0), λ¯_0, 1/(λ¯_0) sont valeurs propres de M, chacune de multiplicité d.
c) Que peut-on dire de l'ordre de multiplicité de -1 et de 1 ?
d) On suppose dans cette question que m = 2. Donner des exemples de matrices symplectiques ∈ M_4, diagonalisables sur C et ayant
(1) une seule valeur propre;
(2) deux valeurs propres doubles distinctes;
(3) une valeur propre double et deux valeurs propres simples;
(4) quatre valeurs propres distinctes non réelles et de module ≠ 1.

Dans chaque cas, dessiner les valeurs propres dans le plan complexe, sur lequel on tracera d'abord le cercle de centre 0 et de rayon 1 .
e) Toute matrice symplectique est-elle diagonalisable sur C ?

Soit n un entier ⩾ 1. On appelle forme symplectique sur R^n une application ω : R^n × R^n → R qui est

où η^∗ est l'adjoint de η par rapport au produit scalaire euclidien. On pose

Montrer que ω est une forme symplectique sur R^n si et seulement si η est inversible.
b) Soit ω une forme symplectique sur R^n. Montrer qu'il existe un endomorphisme η de R^n tel que la relation (1) soit vérifiée. Montrer que η^∗ = − η et que η est inversible.
5. Montrer que s'il existe sur R^n une forme symplectique, alors n est pair.
6. On suppose dans cette question que n = 2m. On pose

a) Montrer que ω_0 est une forme symplectique sur R^(2m).
b) Soit (e_k)_(1 ⩽ k ⩽ 2m) la base canonique de R^(2m). Calculer ω_0(e_k, e_ℓ), 1 ⩽ k ⩽ 2m, 1 ⩽ ℓ ⩽ 2m.
c) Soit φ un endomorphisme de R^(2m), et M sa matrice dans la base canonique. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) ∀x, y ∈ R^(2m), ω_0(φ(x), φ(y)) = ω_0(x, y),
(ii) la matrice M est symplectique.

Un endomorphisme de R^(2m) qui vérifie la propriété (i) ci-dessus est appelé endomorphisme symplectique.
7. Un endomorphisme φ de R^n est dit stable si, pour tout x ∈ R^n, la suite (‖φ^p(x)‖)_(p ∈ N) est bornée, où φ^p désigne la composée de l'application φ avec elle-même p fois.
a) Montrer que si un endomorphisme φ de R^n a toutes ses valeurs propres distinctes et de module 1 dans C, alors φ est stable.
b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur Ω ∈ M_m pour que l'endomorphisme de R^(2m) de matrice (0, − Ω; Ω, 0) dans la base canonique soit symplectique et stable.
c) Montrer que si un endomorphisme symplectique φ de R^(2m) possède une valeur propre dans C de module ≠ 1, alors φ n'est pas stable.
8. On note x_1, …, x_(2m) les coordonnées de x ∈ R^(2m) dans la base canonique. On considère les ensembles B = {x ∈ R^(2m)|∑_(k = 1)^(2m)(x_k)^2 ⩽ 1},

où R est un réel strictement positif.
a) On suppose m ⩾ 2. Montrer que pour tout R > 0, il existe un endomorphisme symplectique φ de R^(2m) tel que φ(B) ⊂ C_R.
b) Soit φ un endomorphisme symplectique de R^(2m) et soit φ^∗ l'adjoint de φ par rapport au produit scalaire euclidien. Montrer que ou bien ‖φ^∗(e_1)‖ ⩾ 1, ou bien ‖φ^∗(e_(m + 1))‖ ⩾ 1.

En déduire que, si R < 1, il n'existe aucun endomorphisme symplectique φ de R^(2m) tel que φ(B) ⊂ Γ_R.