Sujet CCINP Mathématiques 1 PC 2001

Soit n et p des entiers supérieurs ou égaux à 1.M_(n, p)(ℝ) désigne le ℝ-espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant n lignes et p colonnes. On identifiera M_(n, 1)(ℝ) et M_(p, 1)(ℝ) respectivement à ℝ^n et ℝ^p que l'on supposera munis de leurs produits scalaires canoniques notés respectivement ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩_n et ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩_p. Les normes associées à ces produits scalaires seront notées respectivement ‖ ⋅ ‖_n et ‖ ⋅ ‖_p.

On notera (E_i)_(1 ≤ i ≤ p) la base canonique de M_(p, 1)(ℝ) et (F_j)_(1 ≤ j ≤ n) celle de M_(n, 1)(ℝ).
Lorsque p = n, M_(n, n)(ℝ) est noté plus simplement M_n(ℝ) et est muni de sa structure d'algèbre, I_n représentant la matrice identité.
0_(n, p) désigne la matrice nulle de M_(n, p)(ℝ) et 0_n la matrice nulle de M_n(ℝ).
Pour A appartenant à M_(n, p)(ℝ), ^t A désigne la matrice transposée de A : c'est un élément de M_(p, n)(ℝ).
KerA est le noyau de A défini par

ImA est l'image de A définie par

Enfin, on adopte la notation F^⊥ pour désigner l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel F d'un espace euclidien.

Soit A ∈ M_(n, p)(ℝ).
I.1. Montrer que ^t AA est nulle si et seulement si A est nulle.

Dans toute la suite du problème A sera supposée non nulle.
I.2. Montrer que les matrices ^t AA et A^t A sont diagonalisables au moyen de matrices orthogonales.
I.1.a) X, Y désignant deux éléments de M_(n, 1)(ℝ), exprimer le produit scalaire ⟨X|Y⟩_n sous la forme d'un produit matriciel.
b) Si W est un vecteur propre de ^t AA associé à la valeur propre λ, exprimer ‖AW‖_n^2 en fonction de λ et ‖W‖_p.
c) En déduire que les valeurs propres de ^t AA sont réelles, positives ou nulles.
I.4.a) Pour x réel, calculer les produits matriciels par bloc suivants :

b) En déduire que les matrices ^t AA et A^t A ont les mêmes valeurs propres non nulles avec le même ordre de multiplicité.
c) En déduire également que les matrices ^t AA et A^t A ont même rang.
I.5. Montrer que si n > p, 0 est valeur propre de A^t A et que si n < p, 0 est valeur propre de ^t AA.
I.6. On note λ_1, λ_2, …, λ_p les valeurs propres de ^t AA, chaque valeur propre apparaissant dans cette liste un nombre de fois égal à son ordre de multiplicité et on pose μ_i = √(λ_i) pour tout i élément de {1, 2, …, p}.

Les réels μ_i sont appelés valeurs singulières de A.
On suppose les réels λ_i ordonnés tels que λ_1 ≥ λ_2 ≥ ⋯ ≥ λ_p ≥ 0.
a) Montrer que λ_1 est non nul.

On définit alors un unique entier naturel r appartenant à {1, 2, …, p} comme suit : si toutes les valeurs propres de ^t AA sont non nulles, r = p, sinon r est tel que pour tout i ≤ r, λ_i > 0 et pour tout i > r, λ_i = 0.

Soit ( V_1, V_2, …, V_p ) une base orthonormale de vecteurs propres de ^t AA respectivement associés aux valeurs propres λ_1, λ_2, …, λ_p; V_1, V_2, …, V_r désignent les vecteurs propres associés aux valeurs propres non nulles et lorsque r est strictement inférieur à p, V_(r + 1), …, V_p désignent les vecteurs propres associés à la valeur propre 0 .
b) Montrer que r ≤ n et que la dimension de KerA^t A est égale à n − r.

Pour tout i ∈ {1, 2, …, r}, on pose U_i = 1/(μ_i)AV_i et si n > r, on désigne par ( U_(r + 1), …, U_n ) une base orthonormale de KerA^t A.
c) Montrer que pour tout i ∈ {1, 2, …, r}, AV_i = μ_i U_i et que si r est strictement inférieur à p, pour tout i ∈ {r + 1, …, p}, AV_i = 0.
d) Montrer que pour tout i ∈ {1, 2, …, r}, ^t AU_i = μ_i V_i.
e) Montrer que si n > r, pour tout i ∈ {r + 1, …, n}, ^t AU_i = 0.
f) En déduire que le système de vecteurs ( U_1, U_2, …, U_n ) constitue une base orthonormale de vecteurs propres de A^t A et préciser la valeur propre associée à chaque vecteur U_i.
I.7. On note V la matrice carrée réelle d'ordre p dont le ième vecteur colonne est le vecteur V_i, U la matrice carrée réelle d'ordre n dont le j^(ème) vecteur colonne est le vecteur U_j et (^t UAV)_(i, j) l'élément de la i^(ème) ligne, jème colonne de la matrice ^t UAV.
a) Montrer que :

b) On note Δ la matrice appartenant à M_(n, p)(ℝ) dont tous les éléments Δ_(i, j) sont nuls sauf Δ_(11), Δ_(22), …, Δ_(rr) respectivement égaux à μ_1, μ_2, …, μ_r. Montrer que A = UΔ^t V.

La factorisation de A ainsi obtenue est dite décomposition de A en valeurs singulières.
c) Trouver une décomposition en valeurs singulières de chacune des matrices :

I.8. Montrer que le rang de A est égal à r.
I.9.a) Montrer que V = ∑_(i = 1)^p V_i^t E_i.
b) En déduire :

c) Déterminer les sous-espaces vectoriels suivants : KerA, Ker^t A, ImA, Im^t A.
d) Montrer que Ker^t AA = KerA et KerA^t A = Ker^t A.

Avec les notations de la partie I, pour A ∈ M_(n, p)(ℝ) admettant une décomposition en valeurs singulières A = UΔ^t V, on appelle Δ^+la matrice de M_(p, n)(ℝ) dont tpus les éléments Δ_(i, j)^+sont nuls sauf Δ_(11)^+, Δ_(22)^+, …, Δ_(rr)^+respectivement égaux à 1/(μ_1), 1/(μ_2), …, 1/(μ_r) et on pose A^+ = V(Δ^+)^t U.
Δ^+(resp. A^+) est appelée pseudo-inverse de Δ (resp. de A). A priori, la matrice A^+ainsi définie dépend de la décomposition en valeurs singulières choisie pour la matrice A, mais il sera montré à la question II. 9 qu'il n'en est rien et que A^+est uniquement déterminée à partir de A.
II.1. Déterminer les matrices A_0^+, A_0 A_0^+, A_0^+A_0, A_0 A_0^+A_0 et A_0^+A_0 A_0^+.
II.2. Déterminer (A_0^+)^+.
II.,. 3 Evaluer Δ^+Δ et ΔΔ^+.
II.4. Montrer que si A est une matrice carrée inversible ( n = p = r ), alors A^+ = A^(− 1).
II.5. Montrer que :

II.6.a) Evaluer AA^+U_j pour tout j ∈ {1, 2, …, n} et en déduire que AA^+est la matrice dans la base canonique de ℝ^n de la projection orthogonale de ℝ^n sur ImA.
b) Montrer de même que A^+A est la matrice dans la base canonique de ℝ^p de la projection orthogonale de ℝ^p sur (KerA)^⊥.
II.7. Etablir les identités suivantes :

II.8. Etablir les résultats suivants :
i) ImA = ImAA^+, KerA^+ = KerAA^+, ImA^+ = ImA^+A, KerA = KerA^+A.
ii) ℝ^n = ImA ⊕ KerA^+, ℝ^p = ImA^+ ⊕ KerA.
II.9. Soit B une matrice de M_(p, n)(ℝ) vérifiant :

a) Montrer que B vérifie les identités suivantes :
i) B = B^t B^t A = ^t A^t BB
ii) A = A^t A^t B = ^t B^t AA
iii) ^t A = ^t AAB = BA^t A
b) En déduire que B = A^+, autrement dit que A^+est l'unique matrice de M_(p, n)(ℝ) vérifiant les relations (1).
II.10. Montrer que (A^+)^+ = A et ^t(A^+) = (^t A)^+.
II.11. Evaluer (A_0 B_0)^+et B_0^+A_0^+. A-t-on l'égalité?
II.12. Soit H ∈ M_(n, 1)(ℝ) et H¯ = A^+H. On note d(H, ImA) la distance de H au sousespace vectoriel ImA.
a) Montrer que pour tout X ∈ M_(p, 1)(ℝ), AX − AA^+H et H − AA^+H sont orthogonaux et en déduire :

Que vaut alors d(H, ImA) ?
b) Montrer que s'il existe H~ ∈ M_(p, 1)(ℝ) tel que ‖AH~ − H‖_n = ‖AH¯ − H‖_n avec H~ ≠ H¯, alors ‖H¯‖_p < ‖H~‖_p.
c) Si H = (1; 1; 1), déterminer inf_(X ∈ ℝ^2)‖A_0 X − H‖_3.