CCINP Mathématiques 1 PC 2000Sujet et corrigé

Durée : 4 heures

Soit n un entier supérieur ou égal à 1 . Pour p entier supérieur ou égal à 1, M_(n, p)(ℝ) désigne le ℝ espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant n lignes et p colonnes et M_(n, p)(ℂ) désigne le ℂ-espace vectoriel des matrices à coefficients complexes ayant n lignes et p colonnes. On identifiera M_(n, 1)(ℝ) à ℝ^n, que l'on supposera muni de son produit scalaire canonique noté ( ⋅ | ⋅ ).

Lorsque p = n, M_(n, n)(ℝ) et M_(n, n)(ℂ) sont notés plus simplement M_n(ℝ) et M_n(ℂ) et sont munis de leur structure d'algèbre, I_n représentant la matrice identité.

Pour A appartenant à M_(n, p)(ℂ), ^t A désigne la matrice transposée de A : c'est un élément de M_(p, n)(ℂ).0_(n, p) désigne la matrice nulle de M_(n, p)(ℂ).

Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n représenté par la matrice A dans une base donnée, on note Sp(f) ou Sp(A) l'ensemble des valeurs propres de f, χ_f ou χ_A son polynôme caractéristique et Tr(f) ou Tr(A) sa trace. En outre, si A appartient à M_n(ℝ), on note Sp_ℂ(A) l'ensemble des valeurs propres de A, lorsque A est considérée comme un élément de M_n(ℂ).
ℝ[X] est le ℝ-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, ℂ[X] est le ℂ-espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes et ℕ_n est l'ensemble {1, 2, …, n}.

I. 1 Soit A ∈ M_n(ℝ), B ∈ M_(n, p)(ℝ), C ∈ M_p(ℝ) et M la matrice de M_(n + p)(ℝ) donnée par :

a) Si A est non inversible, montrer sans recourir au déterminant, que M est non inversible.
b) Si A est inversible, on pose P = (A, 0_(n, p); 0_(p, n), I_p). Résoudre alors dans M_(n + p)(ℝ) l'équation matricielle XP = M.
c) Retrouver le résultat connu : detM = detA ⋅ detC.

Dans toute la suite u désigne un endomorphisme de ℝ^n.
I. 2 Soit F un sous-espace vectoriel de ℝ^n stable par u. Si v désigne l'endomorphisme induit par u sur F, montrer que χ_v divise χ_u.

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I. 3 Pour tout x élément de ℝ^n, on définit l'ensemble F_u(x) par :

Montrer que F_u(x) est un sous-espace vectoriel de ℝ^n stable par u.
I. 4 Dans cette question, on suppose que x est un élément non nul de ℝ^n.
a) Montrer l'existence d'un plus petit entier naturel q pour lequel la famille de vecteurs (x, u(x), …, u^q(x)) est liée.
b) Soit (a_0, a_1, …, a_q) une famille de nombres réels non tous nuls telle que ∑_(j = 0)^q a_j u^j(x) = 0 et S le polynôme de ℝ[X] défini par S(X) = ∑_(j = 0)^q a_j X^j. Montrer que a_q est non nul, puis que (x, u(x), …, u^(q − 1)(x)) est une base de F_u(x).
c) Pour tout i ∈ {0, 1, …, q}, on pose α_i = (a_i)/(a_q) et on note u_0 l'endomorphisme induit par u sur F_u(x). Montrer que χ_(u_0)(X) = (− 1)^q∑_(i = 0)^q α_i X^i, donner la valeur de χ_(u_0)(u)(x) et en déduire que le polynôme caractéristique de u est un polynôme annulateur de u.

II. 1 Vérifier les propriétés suivantes :
a) ∀(X, Y) ∈ (M_(n, 1)(ℝ))^2, ∀A ∈ M_n(ℝ), (AX|Y) = (X|^t AY)
b) ∀(X, Y) ∈ (M_(n, 1)(ℝ))^2, Tr(X^t Y) = (X|Y)
c) ∀(X, Y, Z) ∈ (M_(n, 1)(ℝ))^3, (X^t Y)Z = (Y|Z)X
II. 2 Soit φ : M_n(ℝ) × M_n(ℝ) → ℝ, (A, B) → Tr(^t AB). Montrer que φ définit un produit scalaire sur M_n(ℝ). Dans toute la suite ce produit scalaire sera noté ((⋅ | ⋅)).
II. 3 A partir de cette question, r, s, l, m désignent des entiers naturels inférieurs ou égaux à n.
a) Evaluer le produit par blocs ((I_r)/(0_(n − r, r)))(I_r, 0_(r, n − r)).
b) Soit A ∈ M_n(ℝ) une matrice de rang r. Montrer qu'il existe B dans M_(n, r)(ℝ) et C dans M_(r, n)(ℝ) telles que A = BC.
c) Montrer qu'une matrice A de M_n(ℝ) est de rang 1 si et seulement s'il existe deux matrices non nulles X et Y de M_(n, 1)(ℝ) telles que A = X^t Y.
d) Montrer que la décomposition A = X^t Y de la question précédente n'est pas unique et déterminer les relations vérifiées par des matrices colonnes X, Y, Z, T telles que

II. 4 a) Soit (Z_i)_(1 ≤ i ≤ r) et (T_j)_(1 ≤ j ≤ s) deux familles libres de vecteurs de ℝ^n. Montrer que la famille de matrices (Z_i^t T_j)_(1 ≤ i ≤ r; 1 ≤ j ≤ s) est de rang égal à rs.
b) Soit (X_i)_(1 ≤ i ≤ n) et (Y_j)_(1 ≤ j ≤ n) deux bases de ℝ^n. Que peut-on dire de la famille de matrices (X_i^t Y_j)_(1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ n) ?
c) Soit (V_i)_(1 ≤ i ≤ l) et (W_j)_(1 ≤ j ≤ m) deux familles de vecteurs de ℝ^n de rangs respectifs r et s. Déterminer le rang de la famille de matrices (V_i^t W_j)_(1 ≤ i ≤ l).

II. 5 Montrer que si les bases (X_i)_(1 ≤ i ≤ n) et (Y_j)_(1 ≤ j ≤ n) sont des bases orthonormales de ℝ^n, la famille (X_i^t Y_j)_(1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ n) est une base orthonormale de M_n(ℝ) muni du produit scalaire défini en II.2. La réciproque est-elle vraie?
II.6 Soit A une matrice de M_n(ℝ) de rang 1 .
a) Montrer que A^2 = (TrA)A.
b) Soit X et Y deux éléments non nuls de M_(n, 1)(ℝ) tels que A = X^t Y. Montrer l'équivalence des quatre propositions suivantes :
i) (X|Y) = 0.
ii) TrA = 0.
iii) ImA ⊂ KerA.
iv) A est non diagonalisable.
II. 7 Montrer que les matrices de M_n(ℝ), diagonalisables et de rang 1 engendrent M_n(ℝ).

Pour toutes matrices A et B de M_n(ℝ) on note h_(A, B) l'endomorphisme de M_n(ℝ) défini par :

et h¯_(A, B) l'endomorphisme de M_n(ℂ) défini par :

III. 1 Soit A_0 et B_0 les matrices de M_2(ℝ) données par :

a) Déterminer Sp_ℂ(A_0) et Sp_ℂ(B_0).
b) On considère la base B = (E_(1, 1), E_(1, 2), E_(2, 1), E_(2, 2)) de M_2(ℝ) et on note H_0 la matrice dans cette base B de l'endomorphisme h_(A_0, B_0). Déterminer H_0, puis Sp_ℂ(H_0) et vérifier que :

c) Montrer que A_0 et B_0 sont diagonalisables dans M_2(ℝ). En est-il de même de H_0 ?

Soit maintenant A et B quelconques dans M_n(ℝ). On se propose d'étudier les liens existant entre la diagonalisabilité de A et B et celle de h_(A, B).
III. 2 Soit a ∈ Sp_ℂ(A) et b ∈ Sp_ℂ(B). Montrer qu'il existe (V, W) ∈ (M_(n, 1)(ℂ)∖{0})^2 tel que :

En déduire l'inclusion : {a − b|(a, b) ∈ Sp_ℂ(A) × Sp_ℂ(B)} ⊂ Sp(h¯_(A, B)).
III. 3 Montrer que si A et B sont diagonalisables dans M_n(ℝ), il en est de même de h_(A, B). Calculer dans ce cas Tr(h_(A, B)).
III. 4 On note a_1, a_2, …, a_n les valeurs propres non nécessairement distinctes de A dans ℂ. En exprimant χ_A en fonction des a_i, montrer que la matrice χ_A(B) est inversible si et seulement si Sp_ℂ(A) ∩ Sp_ℂ(B) = ∅.
III. 5 Soit λ ∈ Sp(h¯_(A, B)) et M un vecteur propre associé.
a) Montrer que pour tout polynôme de ℂ[X], on a la relation :

b) Montrer que χ_A(B + λI_n) est non inversible.
c) En déduire en utilisant III. 2 et III. 4 : Sp(h¯_(A, B)) = {a − b|(a, b) ∈ Sp_ℂ(A) × Sp_ℂ(B)}.
III. 6 Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe M non nulle dans M_n(ℂ) telle que AM = MB.

Dans toute la suite du problème, on suppose B = A et on considère l'endomorphisme h_(A, A) que l'on notera plus simplement h_A.
III. 7 On suppose A diagonalisable dans M_n(ℝ) et on note (V_1, V_2, …, V_n) une base de vecteurs propres de A, chaque vecteur V_i étant associé à la valeur propre λ_i. Pour tout (i, j) ∈ ℕ_n^2, on définit la matrice M_(ij) de M_n(ℝ) par :

a) Montrer que la famille de matrices (M_(ij))_(1 ≤ i ≤ n; 1 < i < n) est une base de M_n(ℝ).
b) Montrer que pour tout (i, j, k) ∈ ℕ_n^3 :

et en déduire que les matrices M_(ij) sont des vecteurs propres de h_A.
c) On note μ_1, μ_2, …, μ_p les valeurs propres distinctes de A, m_1, m_2, …, m_p leurs ordres de multiplicité respectifs et J = {(i, j) ∈ ℕ_n^2|λ_i = λ_j}. Montrer que :

d) Montrer que dimKerh_A ≥ n et que l'égalité a lieu si et seulement si A admet n valeurs propres distinctes.
e) On note ℝ[A] = {Q ∈ M_n(ℝ)|∃P ∈ ℝ[X], Q = P(A)}. Montrer que si les n valeurs propres de A sont distinctes, {I_n, A, A^2, …, A^(n − 1)} constitue une base de ℝ[A] et en déduire que dans ce cas Kerh_A = ℝ[A].
III. 8 On suppose h_A diagonalisable et on note (P_(ij))_(1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ n) une base de vecteurs propres de h_A, chaque matrice P_(ij) étant associée à la valeur propre λ_(ij). Montrer que si X est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ, la famille (P_(ij)X)_(1 ≤ i ≤ n) est une famille génératrice de ℝ^n et en déduire 1 ≤ j ≤ n que A est diagonalisable.