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Matrices symétriques positives et définies positives : ordre, diagonalisation simultanée et critères de positivité
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Le sujet étudie les matrices symétriques réelles positives et définies positives. La première partie établit leurs propriétés générales, l'ordre partiel qu'elles induisent, la diagonalisation simultanée de deux endomorphismes qui commutent et des inégalités matricielles. La seconde partie caractérise la définie positivité de plusieurs façons équivalentes : valeurs propres, décomposition de Cholesky obtenue par orthogonalisation de Gram-Schmidt, et critère des mineurs principaux (déterminants de Sylvester).

  1. 1Partie IPropriétés générales des matrices symétriques positives et définies positives, ordre partiel associé, diagonalisation simultanée de deux endomorphismes qui commutent et inégalités entre matrices positives.
  2. 2Partie IICaractérisations équivalentes de la définie positivité (valeurs propres strictement positives, décomposition S = tMM, critère des mineurs principaux), avec construction explicite d'une décomposition de Cholesky par orthogonalisation.

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Epreuve spécifique - filière PC

MATHEMATIQUE 1

Durée : 4heures

Les calculatrices sont interdites

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
∗∗∗∗

Notations

Soit n et p des entiers supérieurs ou égaux à 1 . On note M_(n, p)(ℝ) le ℝ-espace vectoriel des matrices à coefficients dans ℝ ayant n lignes et p colonnes. Lorsque p = n, M_(n, n)(ℝ) est noté plus simplement M_r(ℝ) et est muni de sa structure d'algèbre, I_(ra) représentant la matrice identité.
GL_n(ℝ) désigne l'ensemble des matrices inversibles de M_n(ℝ) et S_n(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques de M_n(ℝ).
Tout vecteur x = (x_i)_(1 ≤ i ≤ n) de ℝ^n est identifié à un élément X de M_(n, 1)(ℝ) tel que l'élément de la i^(ème) ligne de X soit x_i. Dans toute la suite, nous noterons indifféremment X = (x_i)_(1 ≤ i ≤ n) un élément de M_(n, 1)(ℝ) aussi bien que le vecteur de ℝ^n qui lui est associé.
Pour A = (a_(ij))_(1 ≤ i ≤ n) dans M_(n, p)(ℝ) et X = (x_i)_(1 ≤ i ≤ p) dans ℝ^p, on note (AX)_i le coefficient de
1 ≤ j ≤ p
la i^(ème) ligne de AX.
Selon le contexte, 0 désigne soit le réel nul, soit la matrice nulle de M_n(ℝ), soit encore la matrice nulle de M_(n, 1)(ℝ).
ℝ^n est muni de son produit scalaire canonique noté < ⋅ | ⋅ > et de la norme associée notée ‖ ⋅ ‖.
Une matrice symétrique S de S_n(ℝ) est dite positive si et seulement si :
∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ), ^i XSX ≥ 0
et définie positive si et seulement si :
∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ)∖{0}, ^t XSX > 0
On note S_n^+(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques réelles positives et S_n^(+ +)(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques réelles définies positives.

Partie I

I. 1 Soit (X, Y) ∈ (M_(n, 1)(ℝ))^2 et S ∈ S_n(ℝ). Etablir les égalités :
a) ^i XY = ^i YX.
b) (^t XY)^2 = ^t X(Y^t Y)X = ^t Y(X^t X)Y.
c) ^i XSY=<X|SY>=<SX|Y >.
I. 2 Démontrer les propriétés suivantes :
a) ∀(S_1, S_2) ∈ (S_n^+(ℝ))^2, S_1 + S_2 ∈ S_n^+(ℝ).
b) ∀(S_1, S_2) ∈ S_n^+(ℝ) × S_n^(+ +)(ℝ), S_1 + S_2 ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
c) ∀A ∈ M_n(ℝ), ^t AA ∈ S_n^+(ℝ).
I. 3 a) Soit S ∈ S_n(ℝ) vérifiant : ∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ), ^i XSX = 0. Montrer que toute valeur propre de S est nulle et en déduire S = 0.
b) Donner un exemple de matrice carrée M d'ordre 3, non nulle et vérifiant :
∀X ∈ M_(3, 1)(ℝ), ^i XMX = 0
I. 4 a) Soit S ∈ S_n(ℝ). Montrer que S appartient à S_n^+(ℝ) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives.
b) Que peut-on dire d'une matrice symétrique réelle semblable à une matrice symétrique réelle positive?
I. 5 On munit S_n(ℝ) des relations notées ≥ et >, définies respectivement par :
∀(S_1, S_2) ∈ (S_n(ℝ))^2, (S_1 ≥ S_2 ⟺ S_1 − S_2 ∈ S_n^+(ℝ))
et
∀(S_1, S_2) ∈ (S_n(ℝ))^2, (S_1 > S_2 ⟺ S_1 − S_2 ∈ S_m^(+ +)(ℝ))
a) Montrer que la relation ≥ est une relation d'ordre sur S_n(ℝ).
b) Montrer que pour n ≥ 2, cet ordre n'est pas total sur S_n(ℝ).
c) La relation > est-elle une relation d'ordre?
d) Trouver un exemple dans S_2(ℝ) montrant que S_1 ≥ S_2 et S_1 ≠ S_2 n'implique pas nécessairement S_1 > S_2.
I. 6 Soit u et v deux endomorphismes de ℝ^n diagonalisables et vérifiant u ∘ v = v ∘ u.
a) Démontrer que tout sous-espace propre de u est stable par v.
b) Soit λ_1, λ_2, …, λ_p les valeurs propres distinctes de u et E_(λ_1), E_(λ_2), …, E_(λ_p) les sousespaces propres de u respectivement associés. Pour tout i ∈ {1, 2, …, p}, on note v_i l'endomorphisme de E_(λ_i) induit par v. Montrer que pour tout i ∈ {1, 2, …, p} il existe une base B_i de E_(λ_i) formée de vecteurs propres de v. En déduire qu'il existe une base B de ℝ^n telle que les matrices de u et v dans cette base soient toutes deux diagonales.
I. 7 a) Soit A et B deux matrices diagonalisables de M_n(ℝ). Montrer que les matrices A et B commutent si et seulement si elles sont diagonalisables au moyen d'une même matrice de passage.
b) On donne les matrices A et B suivantes :
A = (1, 1, − 1; 1, 1, − 1; − 1, − 1, 1); B = (2, 1, − 1; − 2, 5, − 1; − 4, 2, 2)
Montrer que A et B sont diagonalisables au moyen d'une même matrice de passage et déterminer explicitement une telle matrice de passage.
I. 8 Soit (S_1, S_2) ∈ (S_m^+(ℝ))^2 tel que S_1 S_2 = S_2 S_1. Montrer que S_1 S_2 ∈ S_m^+(ℝ).
I. 9 a) Soit (S_1, S_2) ∈ (S_n(ℝ))^2 tel que S_1 S_2 = S_2 S_1. Montrer que :
S_2 ≥ S_1 ≥ 0 ⟹ S_2^2 ≥ S_1^2
b) Montrer que les matrices S_1 = (1, 1; 1, 1) et S_2 = (3/2, 0; 0, 3) vérifient S_2 ≥ S_1 ≥ 0. Vérifient-elles S_2^2 ≥ S_1^2 ?

Partie II

On se propose dans cette partie de caractériser de diverses manières la définie positivité d'une matrice symétrique réelle.
II. 1 Soit S ∈ S_n(ℝ). Montrer que les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
a) S est définie positive.
b) Toutes les valeurs propres de S sont strictement positives.
c) Il existe M ∈ GL_n(ℝ) telle que S = ^i MM.
d) S est positive et inversible.
II. 2 Soit A_n et B_n les matrices de S_n(ℝ) données par :
B_(r_r) = (0, 1, 0, …, …, 0; 1, 0, 1, ⋱, ⋮; 0, 1, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 1, 0; ⋮, ⋱, ⋱, 0, 1; 0, …, …, 0, 1, 0), A_(r_r) = 2I_(r_r) − B_(r_n)
a) Montrer que pour tout vecteur X = (x_i)_(1 ≤ i ≤ n) de ℝ^n :
^t XA_n X = x_1^2 + ∑_(i = 1)^(n − 1)(x_i − x_(i + 1))^2 + x_n^2
b) En déduire que A_(ns) est définie positive.
c) En cherchant une matrice M_n de la forme :
M_n = (u_1, v_1, 0, …, 0; 0, u_2, v_2, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, u_(n − 1), v_(n − 1); 0, …, …, 0, u_n), u_i, v_i ∈ ℝ
déterminer explicitement une matrice M_n inversible telle que A_n = ^i M_n M_n.
II. 3 Soit S ∈ S_n^(+ +)(ℝ) et M ∈ GL_n(ℝ) telles que S = ^i MM. On note U = (U_1, U_2, …, U_n) la famille des vecteurs colonnes de M. Pour i ∈ {1, 2, …, n} et x ∈ ℝ^n, on note p_i(x) la projection orthogonale de x sur Vect(U_1, U_2, …, U_i).
a) Justifier que U est une base de ℝ^n.
b) On définit la famille de vecteurs V = (V_1, V_2, …, V_n) par les relations:
V_1 = U_1 et ∀i ∈ {2, …, n}, V_i = U_(i − p_(i − 1))(U_i)
Montrer que la famille V est orthogonale et que c'est une base de ℝ^n.
c) Soit W = (W_1, W_2, …, W_n) la famille de vecteurs définie par W_i = 1/(‖V_i‖)V_i pour tout i ∈ {1, 2, …, n}. W est alors une base orthonormale de ℝ^n. Montrer que la matrice de passage de la base W à la base U est triangulaire supérieure.
d) Soit P la matrice de passage de la base canonique de ℝ^n à la la base W. Montrer que M peut s'écrire sous la forme M = PT où T est une matrice triangulaire supérieure inversible et qu'alors S = ^t TT.
e) Montrer que la matrice S = (4, − 2, − 2; − 2, 2, 0; − 2, 0, 3) admet une décomposition de la forme S = ^t TT où T est une matrice triangulaire supérieure inversible et en déduire que S est symétrique définie positive.
II. 4 a) Soit A_0 = (0, c; c, b) ∈ S_2(ℝ). Déterminer X ∈ M_(2, 1)(ℝ)∖{0} tel que ^t XA_0 X = 0.
b) Soit A = (a, c; c, b) ∈ S_2(ℝ). Montrer que A est définie positive si et seulement si ( TrA > 0 et detA > 0 ) ce qui équivaut encore à ( a > 0 et ab − c^2 > 0 ).
c) Soit S ∈ S_n(ℝ), n ≥ 2. On décompose S sous la forme
S = (a, ^i V; V, S^′), a ∈ ℝ, V ∈ M_(n − 1, 1)(ℝ), S^′ ∈ S_(n − 1)(ℝ)
En écrivant X ∈ M_(n, 1)(ℝ) sous la forme (x/(X^′)), x ∈ ℝ, X^′ ∈ M_(n − 1, 1)(ℝ), montrer que pour a ≠ 0 :
^t XSX = a[(x + (1^t)/aVX^′)^2 + 1/(a^2)^t X^′(aS^′ − V^t V)X^′]
et en déduire que S est définie positive si et seulement si ( a > 0 et aS^′ − V^i V est définie positive).
d) En gardant les notations de la question II. 4 c) précédente, on peut alors construire par récurrence une suite de nombres réels (a_i)_(1 ≤ i ≤ n) et une suite de matrices (S_i)_(1 ≤ i ≤ n) comme suit. On pose d'abord :
S_1 = S, a_1 = a, V_1 = V, S_1^′ = S^′, S_2 = a_1 S_1^′ − V_1^t V_1
Si n ≥ 3, on décompose S_2 sous la forme
S_2 = (a_2, ^t V_2; V_2, S_2^′), a_2 ∈ ℝ, V_2 ∈ M_(n − 2, 1)(ℝ), S_2^′ ∈ S_(n − 2)(ℝ)
On pose à nouveau S_3 = a_2 S_2^′ − V_2^t V_2 et on itère le processus précédent. On obtient ainsi une suite de matrices symétriques réelles (S_i)_(1 ≤ i ≤ n) où S_i est d'ordre n − i + 1 et une suites de réels (a_i)_(1 ≤ i ≤ m) liés par les relations :
∀i ∈ {1, 2, …, n − 1}, S_i = (a_i, ^i V_i; V_i, S_i^′), S_(i + 1) = a_i S_i^′ − V_i^i V_i
Le processus s'arrête pour i = n car S_n est alors d'ordre 1 et on note S_n = (a_n).
Montrer que S est définie positive si et seulement si tous les réels de la suite (a_i)_(1 ≤ i ≤ n) sont strictement positifs.
e) Soit S = (a, d, e; d, b, f; e, f, c) ∈ S_3(ℝ). Selon les notations précédentes, déterminer explicitement les réels a_1, a_2, a_3 associés à cette matrice S et en déduire que S est définie positive si et seulement si :
a > 0, |a, d; d, b| > 0 et |a, d, e; d, b, f; e, f, c| > 0

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 CCINP PC 2003 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 CCINP PC 2003 ?

Il porte sur les matrices symétriques réelles positives et définies positives, la réduction des endomorphismes, la diagonalisation simultanée de matrices qui commutent, ainsi que l'orthogonalisation de Gram-Schmidt et les critères de définie positivité.

Les parties du sujet CCINP maths 1 PC 2003 sont-elles indépendantes ?

La partie II s'appuie directement sur les notions et résultats établis dans la partie I, notamment sur le lien entre positivité et valeurs propres, pour caractériser plus finement la définie positivité.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser la réduction des matrices symétriques réelles, les formes quadratiques, le produit scalaire canonique de R^n, l'orthogonalisation de Gram-Schmidt et le calcul des déterminants par blocs.

Ce sujet démontre-t-il le critère de Sylvester pour la définie positivité ?

Oui, la fin de la partie II construit par récurrence une suite de réels associés à une matrice symétrique et montre que sa définie positivité équivaut à la positivité de tous les mineurs principaux, ce qui correspond au critère de Sylvester.

Pas de description pour le moment