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Polytechnique Mathématiques 1 PC 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Première composition de mathématiques X-ESPCI PC : résonance paramétrique
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Le problème propose une première approche mathématique de la résonance paramétrique, phénomène rencontré aussi bien dans le mouvement de la lune que dans le fonctionnement d'une escarpolette ou l'étude des semi-conducteurs. Il étudie l'équation différentielle x'' + (lambda - q(t)) x = 0 à l'aide de l'opérateur de translation par la période T et de ses valeurs propres.

  1. 1Première partie : opérateur de translation et stabilitéÉtude de l'espace des solutions, de l'opérateur de translation par la période T, de sa matrice et de ses valeurs propres, puis des notions de stabilité et de stabilité forte des solutions.
  2. 2Deuxième partie : étude pour T=pi et lambda réelCalcul explicite de la quantité Delta_q(lambda), étude de séries de fonctions et de leur convergence, avec des questions de dérivation sous le signe intégral.

Difficile. Le rapport indique une moyenne de 9,60 sur 20 avec un écart-type de 3,56, et signale une nette cassure dès la question 7.b, cœur du problème, que trop peu de candidats ont traité.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,6 / 20 · écart-type 3,56 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,6/ 20
Écart-type
3,56
moyenne 9,605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Bijectivité déduite de la seule injectivité · Passage du cadre abstrait au cas concret · Convergence normale confondue avec convergence uniforme sur R entier
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Un candidat bien préparé ne devait pas avoir de mal à traiter le début du sujet, jusqu'à la question 7.a incluse, ce qui a été constaté, avec une nette cassure à la question 7.b qui demandait une véritable compréhension de la situation. Le cœur du problème, questions 7.b à 8.b, a été traité par trop peu de candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Bijectivité déduite de la seule injectivité3.b

    Très souvent les candidats se sont contentés de vérifier l'injectivité du morphisme pour en déduire sa bijectivité, sans mentionner que l'espace est de dimension finie.

  2. 2
    Passage du cadre abstrait au cas concret7.b, 7.c, 8.a, 8.b

    Ce qui a le plus posé problème dans les questions centrales était de faire le passage entre la théorie abstraite des opérateurs linéaires et le cas concret où les vecteurs étaient des fonctions solutions de l'équation.

  3. 3
    Convergence normale confondue avec convergence uniforme sur R entier11

    L'erreur la plus fréquente a été d'affirmer que la convergence était normale donc uniforme sur R tout entier, alors qu'elle ne l'était que sur les compacts de R.

  4. 4
    Raisonnement par récurrence inutile12.b

    L'erreur la plus fréquente a été de faire un raisonnement par récurrence, au mieux inutile, alors qu'il suffisait d'appliquer le résultat obtenu à une question précédente.

  5. 5
    Interversion somme infinie et intégrale non justifiée13

    La difficulté consistait à justifier correctement l'interversion de la somme infinie et de l'intégrale sur un segment pour une série normalement convergente.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1, 2 et 3.a ont été correctement traitées par la grande majorité des candidats.
  • Une fois la matrice des coefficients déterminée, les questions 5 et 6 en étaient des corollaires directs bien traités.
  • La question 10 a été correctement traitée par récurrence par une grande majorité des candidats.

Conseils du jury

  • Justifier explicitement les hypothèses de dimension finie avant de déduire une bijectivité de la seule injectivité.
  • Bien distinguer la convergence normale sur les compacts de la convergence normale sur R tout entier.
  • Ne pas systématiser le raisonnement par récurrence pour des énoncés dépendant d'un paramètre entier, quand un résultat déjà établi suffit.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2003
filière PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Résonance paramétrique

Ce problème propose une première approche mathématique de la résonance paramétrique, phénomène physique que l'on rencontre aussi bien dans les recherches sur le mouvement de la lune que dans la manière de faire démarrer une escarpolette, ou dans l'étude des matériaux semi-conducteurs.
Soit q une fonction réelle de la variable réelle t, continue et périodique de période T > 0,
∀t ∈ R, q(t + T) = q(t)
Soit λ un nombre complexe. On considère l'équation différentielle du second ordre
x^(′′) + (λ − q(t))x = 0
où x est une fonction complexe, de classe C^2, de la variable réelle t.

Première partie

  1. Soit E l'ensemble des solutions de l'équation (1). Montrer que E est un espace vectoriel complexe.
  2. Soient x_1 et x_2 deux solutions de (1). On pose W(x_1, x_2) = x_1 x_2^′ − x_1^′ x_2. Montrer que W(x_1, x_2) est indépendant de t.
  3. Soit T l'opérateur de translation par T qui, à une fonction complexe f, associe la fonction T(f) telle que
∀t ∈ R, T(f)(t) = f(t + T)
a) Montrer que, si f ∈ E, alors T(f) ∈ E.
b) On désigne par τ la restriction de T à E. Est-ce un isomorphisme de E sur E ?
4.a) Montrer qu'il existe une unique solution x_1 de (1) telle que
x_1(0) = 1, x_1^′(0) = 0,
et une unique solution x_2 de (1) telle que
x_2(0) = 0, x_2^′(0) = 1.
b) Montrer que x_1 et x_2 forment une base de E.
5. On désigne par M la matrice de l'endomorphisme τ de E dans la base ( x_1, x_2 ).
a) Évaluer les coefficients de M en fonction de x_i(T), x_i^′(T)(i = 1, 2).
b) Évaluer Det(M).
On pose Δ = 1/2TrM, où Tr désigne la trace.
c) Évaluer Δ en fonction de x_i(T), x_i^′(T)(i = 1, 2).
6. Montrer que les valeurs propres de l'endomorphisme τ de E sont racines du trinôme P(ρ) = ρ^2 − 2Δρ + 1.
Soit x ∈ E. On dit que x est stable si |x| est bornée sur R_+. On dit que x est fortement stable si lim_(t → + ∞)x(t) = 0.
7. On suppose Δ réel et |Δ| ≠ 1.
a) Montrer que E est somme directe des sous-espaces propres de τ.
b) Montrer que, si |Δ| < 1, toutes les solutions de (1) sont stables. Les fonctions propres de τ sont-elles fortement stables dans ce cas?
c) Montrer que, si |Δ| > 1, il existe une solution de (1) fortement stable. Est-elle unique? Existe-t-il dans ce cas des solutions stables mais non fortement stables?
8. On suppose que Δ = ε, où ε = + 1 ou ε = − 1.
a) Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de τ est (ε, a; 0, ε) où a est un nombre complexe.
b) On suppose a ≠ 0. Montrer que, dans ce cas, il existe une solution de (1) stable mais non fortement stable. Existe-t-il des solutions fortement stables?

Deuxième partie

Dans cette partie, on fixe T = π et l'on suppose λ réel. Pour indiquer la dépendance par rapport au paramètre λ et au choix de la fonction q, on note Δ_q(λ) la quantité Δ définie à la question 5.
9. Dans cette question, on choisit q identiquement nulle, q = 0.
a) Calculer Δ_0(λ) en distinguant les cas suivant le signe de λ. La fonction λ ↦ Δ_0(λ) est-elle de classe C^1 ?
b) Tracer le graphe de la fonction λ ↦ Δ_0(λ), pour λ ∈ R.
c) Déterminer la matrice M lorsque q = 0 et λ = n^2, n ∈ N.
On va maintenant montrer que Δ_q(λ) est proche de Δ_0(λ) lorsque λ tend vers + ∞. On suppose λ > 0 et l'on pose ω = √λ. On note Q le maximum sur R de la fonction |q|.
On pose u_0(t, ω) = cosωt, v_0(t, ω) = (sinωt)/ω et l'on définit par récurrence
u_n(t, ω) = ∫_0^t(sin(ω(t − s)))/ωq(s)u_(n − 1)(s, ω)ds, n ⩾ 1; v_n(t, ω) = ∫_0^t(sin(ω(t − s)))/ωq(s)v_(n − 1)(s, ω)ds, n ⩾ 1
  1. Montrer par récurrence sur n ∈ N que
∀t ∈ R, |u_n(t, ω)| ⩽ (Q^n|t|^n)/(ω^n n!) et |v_n(t, ω)| ⩽ (Q^n|t|^n)/(ω^(n + 1)n!).
  1. On pose
x_1(t, ω) = ∑_(n = 0)^∞u_n(t, ω) et x_2(t, ω) = ∑_(n = 0)^∞v_n(t, ω)
Le paramètre ω étant fixé, montrer que l'on définit ainsi des fonctions continues de la variable t ∈ R.
12. On note u_n^′ et v_n^′ les dérivées par rapport à t de u_n et v_n.
a) Calculer u_n^′(t, ω) et v_n^′(t, ω) sous forme d'intégrales contenant u_(n − 1) et v_(n − 1) respectivement.
b) Montrer que, pour n ⩾ 1,
∀t ∈ R, |u_n^′(t, ω)| ⩽ (Q^n|t|^n)/(ω^(n − 1)n!) et |v_n^′(t, ω)| ⩽ (Q^n|t|^n)/(ω^n n!)
c) En déduire que x_1 et x_2 sont des fonctions de classe C^1 de la variable t.
13. Montrer que x_1 et x_2 satisfont les équations
x_1(t, ω) = cosωt + ∫_0^t(sin(ω(t − s)))/ωq(s)x_1(s, ω)ds; x_2(t, ω) = (sinωt)/ω + ∫_0^t(sin(ω(t − s)))/ωq(s)x_2(s, ω)ds
Les fonctions x_1 et x_2 sont-elles toujours des fonctions de classe C^∞ de la variable t ?
14.a) Montrer que x_1 et x_2 sont solutions de (1) pour λ = ω^2.
b) Montrer que, si λ > 0, λ = ω^2,
Δ_q(λ) = 1/2(x_1(π, ω) + x_2^′(π, ω))
  1. Montrer que, pour λ > 0,
|Δ_q(λ) − Δ_0(λ)| ⩽ exp((πQ)/(√λ)) − 1
  1. Dans cette question, on suppose de plus que ∫_0^π q(t)dt = 0.
    a) Montrer que
u_1(π, ω) + v_1^′(π, ω) = 0
b) En déduire que, pour λ → + ∞,
Δ_q(λ) = Δ_0(λ) + O(1/λ)
  1. On appelle intervalle d'instabilité un intervalle de R_+sur lequel |Δ_q(λ)| > 1. Montrer que, pour tout α > 0, il existe λ_0 > 0 assez grand pour que tout intervalle d'instabilité contenu dans [λ_0, + ∞[ soit contenu dans un intervalle [(n − α)^2, (n + α)^2], pour un entier n. Que peut-on dire de la position des intervalles d'instabilité quand λ → + ∞ ?

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte la première composition de maths X-ESPCI PC 2003 ?
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Sur quels chapitres porte la première composition de maths X-ESPCI PC 2003 ?

Elle porte sur la réduction des endomorphismes appliquée à un opérateur de translation, les équations différentielles linéaires du second ordre et les séries de fonctions, dans le cadre de l'étude de la résonance paramétrique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à la composition de maths X-ESPCI PC 2003 ?

Une bijectivité déduite de la seule injectivité sans mention de la dimension finie, une confusion entre convergence normale sur R et sur les compacts, et un raisonnement par récurrence inutile là où un résultat déjà établi suffisait.

La composition de maths X-ESPCI PC 2003 est-elle difficile ?

Oui, la moyenne s'établit à 9,60 sur 20 avec un écart-type de 3,56, et le rapport signale une nette cassure dès la question 7.b, cœur du problème, peu traitée par les candidats.

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