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Mines Mathématiques 2 PC 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Racine carrée d'endomorphisme et transformée de Fourier sur l'espace de Schwartz
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Le problème étudie la notion de racine carrée d'un endomorphisme, d'abord dans un cadre préliminaire général puis en dimension finie par l'algèbre linéaire, avant de l'appliquer à la transformée de Fourier sur l'espace de Schwartz. Les deux premières parties sont essentiellement algébriques et la troisième repose sur l'analyse, en particulier sur les propriétés admises de l'espace de Schwartz données en préambule.

  1. 1I. PréliminairesMise en place de résultats généraux sur les endomorphismes et leur racine carrée.
  2. 2II. Dimension finieÉtude algébrique en dimension finie, avec diagonalisation d'un endomorphisme.
  3. 3III. Espace de SchwartzApplication à la transformée de Fourier sur l'espace de Schwartz, avec des questions d'analyse sur les intégrales et les séries.

Difficulté moyenne. Le rapport indique une épreuve relativement bien adaptée au niveau des candidats, mais avec une troisième partie jugée la plus délicate et une fin de problème pratiquement pas traitée.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Méconnaissance des nombres complexes · Hypothèse implicite de dimension finie · Interversion série-intégrale mal justifiée
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L'épreuve est apparue relativement bien adaptée au niveau des candidats, bien que la fin du problème, questions 18 à 20, n'ait pratiquement pas été traitée. Les deux premières parties, essentiellement algébriques, ont été mieux traitées que la troisième, jugée la plus délicate.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Méconnaissance des nombres complexesQ8, Q9

    Les correcteurs relèvent un usage aberrant d'inégalités entre nombres complexes, semblant sous-entendre que le corps des complexes est naturellement ordonné, ainsi qu'un emploi naïf de la racine carrée.

    « aberrant d 'inégalités »
  2. 2
    Hypothèse implicite de dimension finieQ3

    Plusieurs erreurs viennent d'une hypothèse implicite selon laquelle l'espace E serait de dimension finie, alors que ce n'est pas donné.

  3. 3
    Interversion série-intégrale mal justifiéeQ13

    De bonnes justifications pour l'interversion série-intégrale ont rarement été trouvées, avec parfois des inégalités aberrantes entre fonctions complexes.

  4. 4
    Fin du sujet quasiment non traitéeQ18 à Q20

    Les trois dernières questions n'ont pratiquement pas été traitées par les candidats.

    « les trois dernières questions n'ont pratiquement pas été traitées »
  5. 5
    Changement de variable élémentaire non formuléQ17

    À la question 17, abordée par un grand nombre de candidats, beaucoup n'ont pas su formuler le changement de variable pourtant élémentaire.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 a été correctement traitée par la quasi-totalité des candidats.
  • La question 4 a le plus souvent été traitée correctement.
  • La matrice de la question 6 a presque toujours été donnée correctement.

Conseils du jury

  • Lire et relire attentivement les énoncés, en particulier les préliminaires et les propriétés admises sur l'espace de Schwartz.
  • Ne pas supposer implicitement une dimension finie quand l'énoncé ne le précise pas.
  • Soigner la rédaction : elle doit être précise et concise, proportionnée à la difficulté de chaque question.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE

Filière PC
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2 - Filière PC.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Racine carrée d'endomorphisme

Pour toute fonction f continue intégrable sur ℝ, on considère fˆ, dite transformée de Fourier de f, définie sur ℝ par:
fˆ(y) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)e^(− ixy) dx
D'après le théorème de convergence dominée, on sait que fˆ est continue et on admet que si, de plus, fˆ est intégrable alors l'égalité suivante est vérifiée pour tout réel x :
2πf(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)fˆ(y)e^(ixy) dy
On note S, l'ensemble, appelé espace de Schwartz, des fonctions f définies sur ℝ à valeurs complexes, de classe C^∞ sur ℝ et telles que pour tous les entiers j ≥ 0 et k ≥ 0, la fonction f^((j)) soit négligeable devant la fonction (y ↦ (1 + |y|^k)^(− 1)) quand |y| tend vers l'infini : pour tout j et tout k entiers,
|f^((j))(y)|(1 + |y|^k) tend vers 0 quand |y| tend vers l'infini.

On admet que la transformation de Fourier est une bijection de S dans lui-même.

Soient I un intervalle de ℝ et E un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions définies et indéfiniment dérivables sur ℝ, à valeurs réelles ou complexes. On appelle dérivation dans E l'application d qui à tout f de E associe sa dérivée f^′. On suppose que d est un endomorphisme de l'espace vectoriel E. L'objet du problème est de chercher s'il existe un endomorphisme δ de E tel que δ ∘ δ = d : on dira alors que δ est une racine carrée de d.

I. Préliminaires

On suppose, dans cette partie seulement, que δ existe.
  1. Quelle relation d'inclusion existe-t-il entre le noyau de d et le noyau de δ ?
  2. Quelle relation d'inclusion existe-t-il entre l'image de d et l'image de δ ?
  3. Montrer que δ est un automorphisme de E si et seulement si d est un automorphisme de E.
  4. Montrer que tout sous-espace propre de d est stable par δ.

II. Dimension finie

On désigne par E le ℝ-espace vectoriel des fonctions définies sur ℝ, à valeurs réelles, dont une base est ( cosx, sinx ).
5) Montrer que la dérivation dans E est un automorphisme d de E.
6) Écrire la matrice D de d dans la base ( cosx, sinx ). Montrer que D est diagonalisable dans M_2(ℂ).
7) Qu'est-ce que cela implique pour δ ?
8) Pour diagonaliser D, prenons la matrice de passage
P = (1, 1; i, − i)
Quelles sont les valeurs possibles de la matrice Δ de δ dans cette base?
9) Déterminer, par leur matrice dans la base ( cosx, sinx ), tous les automorphismes du ℝ-espace vectoriel E dont le carré est égal à d.

III. Espace de Schwartz

Désormais, on considère l'espace vectoriel E = S défini dans l'introduction. Dans ce qui suit, on considère un élément donné f de E. Pour tout nombre réel y, on note
r(y) = {√y, si, y ≥ 0; i√(− y), si, y < 0
On définit la fonction δ(f) par:
δ(f)(x) = (1 + i)/(2π√2)∫_(− ∞)^(+ ∞)r(y)fˆ(y)e^(ixy) dy
  1. À quelle condition sur le réel λ, la fonction φ_λ définie sur ℝ par:
φ_λ(x) = exp(− λ ⋅ x^2)
appartient-elle à E ?
11) Soit j un entier naturel. Donner l'expression de la transformée de Fourier, f^((j))ˆ, de la dérivée j-ième de f en fonction de la transformée de Fourier de f.
12) Montrer que δ(f) est définie et indéfiniment dérivable sur ℝ.
13) Désormais, on suppose de plus que f est nulle en-dehors d'un segment [ − A, A], où A est un réel strictement positif, et que f est d'intégrale nulle sur ℝ, autrement dit telle que ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)dx = 0.
Montrer que la transformée de Fourier de f est développable en série entière au voisinage de l'origine, et donner une expression des coefficients (a_n, n ≥ 0) tels que
fˆ(y) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n y^n
  1. Montrer qu'il existe une fonction u définie et indéfiniment dérivable sur ℝ telle que, pour tout réel y, on ait fˆ(y) = yu(y).
  2. Démontrer que pour tout réel non nul x, l'identité suivante est satisfaite:
∫_0^(+ ∞)y^(3/2)u(y)e^(ixy) dy =; − 1/(x^2)∫_0^(+ ∞)((3u(y))/(4√y) + 3√yu^′(y) + y^(3/2)u^(′′)(y))e^(ixy) dy
  1. Montrer que δ(f) est intégrable sur ℝ.
  2. Pour f ∈ S, on note f˜ la fonction définie sur ℝ, par f˜(x) = f(− x). Comparer f˜ˆ et f˜˜.
  3. Montrer que rδ(f)ˆ est intégrable sur ℝ.
  4. Montrer que δ^2 = d.
  5. Montrer que si f n'est pas la fonction nulle, il n'existe aucun segment en dehors duquel δ(f) est nulle.

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Mines PC 2005 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Mines PC 2005 ?

Le sujet porte sur la réduction des endomorphismes, les nombres complexes et la transformée de Fourier sur l'espace de Schwartz, avec des questions d'intégrales impropres et de séries.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Une méconnaissance des nombres complexes, avec des inégalités aberrantes, une hypothèse implicite de dimension finie, et une justification insuffisante de l'interversion série-intégrale.

Ce sujet de maths 2 Mines PC 2005 est-il difficile ?

Le rapport le juge globalement adapté au niveau des candidats, mais la troisième partie sur l'espace de Schwartz est présentée comme la plus délicate et sa fin n'a presque pas été traitée.

Quelle partie du sujet maths 2 Mines PC 2005 rapporte le plus de points facilement ?

Les deux premières parties, essentiellement algébriques, ont été mieux traitées que la troisième d'après le rapport, en particulier les questions 1, 4 et 6.

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