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Mines Mathématiques 2 PC 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Étude d'une série trigonométrique : deux représentations de la fonction S_alpha et comportement asymptotique de ses coefficients
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Le problème étudie la fonction S_alpha définie comme somme d'une série trigonométrique faisant intervenir sin(nx)/n^alpha. Une première partie établit deux représentations différentes de cette fonction, en mobilisant le calcul intégral et l'interversion de série et d'intégrale. La seconde partie recherche un équivalent des coefficients utilisés dans la seconde représentation, à travers une étude de comportement asymptotique.

  1. 1Partie I : deux représentations de S_alphaÉtablir deux représentations différentes de la fonction S_alpha en étudiant convergence, intégrabilité et interversion de série et d'intégrale.
  2. 2Partie II : comportement asymptotiqueRechercher un équivalent des coefficients de la seconde représentation étudiée en partie I.

Difficile. Le rapport qualifie la question 2 de particulièrement discriminante et rarement traitée complètement, et indique que le problème a permis de bien classer l'ensemble des candidats, n'étant traité dans sa quasi-totalité que par quelques très bonnes copies.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Convergence absolue confondue avec la question posée · Justifications manquantes sur les équivalents · Théorèmes utilisés sans énoncer leurs hypothèses
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Le jury décrit un problème très classique exigeant une bonne maîtrise du calcul intégral et des techniques d'interversion entre série et intégrale. Il relève des insuffisances récurrentes sur la distinction entre convergence, convergence absolue et convergence normale, sur l'utilisation des équivalents, et sur la notion de petit o, qui reste souvent floue et mal comprise.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Convergence absolue confondue avec la question poséeQuestion 1

    À la question 1, les candidats se contentent souvent de montrer que la série est absolument convergente sans répondre à la question posée.

  2. 2
    Justifications manquantes sur les équivalentsQuestion 2

    À la question 2, particulièrement discriminante, les erreurs les plus communes sont l'oubli de justifier la non-nullité du dénominateur et l'oubli de vérifier le signe de la fonction avant d'utiliser un équivalent.

    « Elle a été particulièrement discriminante et rarement traitée complètement. »
  3. 3
    Théorèmes utilisés sans énoncer leurs hypothèsesQuestion 4

    Lors de l'utilisation d'un théorème, il est nécessaire de rappeler ses hypothèses et sa conclusion ; certaines copies proposent des fonctions majorantes qui dépendent de l'indice n, ce qui est incorrect.

  4. 4
    Convergence normale invoquée à tortQuestion 7

    Beaucoup de copies tentent d'utiliser un argument de convergence normale sans se rendre compte que l'intégration se fait sur un intervalle semi-ouvert.

  5. 5
    Notion de petit o mal compriseQuestion 10, Question 12

    La notion de petit o est mal maîtrisée dans un bon nombre de copies, en particulier lors d'un changement de variable où les candidats oublient de s'intéresser aux bornes de l'intégrale.

    « La notion de o est mal maîtrisée dans un bon nombre de cas. »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 6, facile, a été bien traitée dans beaucoup de copies.
  • La question 9, synthèse des questions précédentes, a été traitée convenablement dans un grand nombre de copies.
  • La question 15, conséquence directe de la précédente, a souvent été bien traitée lorsque celle-ci avait été faite correctement.
  • Un bon nombre de copies sont plus que satisfaisantes selon le jury.

Conseils du jury

  • Expliciter les calculs du début jusqu'à la fin avec clarté, en particulier lorsque le résultat est fourni dans l'énoncé.
  • S'entraîner régulièrement au calcul, la maîtrise de cette compétence ne s'acquérant qu'avec la pratique.
  • Énoncer avec précision les théorèmes utilisés et vérifier systématiquement leurs hypothèses.
  • Soigner l'orthographe et la présentation de la copie, ce qui met les correcteurs dans de bonnes dispositions.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2007

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Étude d'une série trigonométrique

On rappelle que pour tout réel x > 0,
Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t) dx
Par ailleurs, pour tout réel t,
cht = (e^t + e^(− t))/2
On pose, pour tout réel x et tout α ∈ ]0, + ∞[,
S_α(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(sin(nx))/(n^α).
L'objectif de ce problème est d'étudier différentes propriétés de cette fonction. Dans tout le problème, u représente un réel de ] − 1, 1[.

I Deux représentations de S_α

  • 1 - Prouver que pour tout α > 1, la fonction S_α est continue sur ℝ.
  • 2 - Étudier, en fonction du paramètre γ ∈ ℝ, l'intégrabilité sur ]0, + ∞[, de la fonction
J : t ↦ (t^(γ − 1))/(e^t − u)
Soit t ≥ 0. On pose,
R_N(t, u) = (u/(e^t − u) − ue^(− t)∑_(n = 0)^(N − 1)(ue^(− t))^n)t^(α − 1)
  • 3 - Simplifier l'expression de R_N, en l'écrivant sous forme d'une fraction.
  • 4 - Prouver que pour tout u ∈ ] − 1, 1[,
lim_(N → + ∞)∫_0^(+ ∞)R_N(t, u)dt = 0
  • 5 - Exprimer, en fonction de Γ(α), la constante K(α) ∈ ℝ_+telle que pour tout α > 0,
∫_0^(+ ∞)(ut^(α − 1))/(e^t − u) dt = K(α)∑_(n = 1)^(+ ∞)(u^n)/(n^α), pour tout u ∈ ] − 1, 1[
  • 6 - On admet que l'identité (2) reste vraie aussi pour u = e^(ix) où x ∈ ]0, 2π[.
En déduire pour x ∈ ℝ∖2πℤ, l'identité suivante :
S_α(x) = (sinx)/(2Γ(α))∫_0^(+ ∞)(t^(α − 1))/(cht − cosx) dt
  • 7 - Montrer, pour tout M > 0, pour tout u ∈ ] − 1, 1 [, l'égalité suivante:
∫_0^M(t^(α − 1))/(cht − u) dt = ∑_(n = 0)^(+ ∞)∫_0^M u^n(t^(α − 1))/((cht)^(n + 1)) dt
  • 8 - Établir, pour tout u ∈ ] − 1, 1 [, l'identité
lim_(M → + ∞)∑_(n = 0)^(+ ∞)u^n∫_0^M(t^(α − 1))/((cht)^(n + 1)) dt = ∑_(n = 0)^(+ ∞)u^n∫_0^(+ ∞)(t^(α − 1))/((cht)^(n + 1)) dt
  • 9 - Pour x ∈ ℝ∖πℤ, exprimer S_α(x) en fonction de fonctions trigonométriques et de G_α où
G_α(u) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n u^n pour u ∈ ] − 1, 1[
avec
a_n = ∫_0^(+ ∞)(t^(α − 1))/((cht)^(n + 1)) dt

II Comportement asymptotique

Soit B : ]0, + ∞[ → ℝ une fonction continue telle que:
∫_0^(+ ∞)|B(s)|ds < + ∞; B(s) = as^(λ − 1)(1 + o(1)), s → 0^+, a > 0, λ ∈ ]0, + ∞[
  • 10 - Prouver que pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout n ≥ 1,
|∫_0^δ(B(s)e^(− ns) − as^(λ − 1)e^(− ns))ds| < εa/(n^λ)Γ(λ)
  • 11 - Prouver que pour tout δ > 0, il existe une constante C(δ) > 0 ( que vous exprimerez sous la forme d'une intégrale indépendante de n ) telle que pour tout n > 1
|∫_δ^(+ ∞)(B(s)e^(− ns) − as^(λ − 1)e^(− ns))ds| ≤ Ce^(− (n − 1)δ)
  • 12 - Prouver que, sous ces hypothèses,
∫_0^(+ ∞)B(s)e^(− ns) ds = a(Γ(λ))/(n^λ)(1 + o(1)), quand n → + ∞
  • 13 - Montrer que pour tout entier n, on peut écrire
a_n = ∫_0^(+ ∞)((ln(e^s + √(e^(2s) − 1)))^(α − 1))/(√(e^(2s) − 1))e^(− ns) ds
où a_n est défini dans (3).
On pose dorénavant, pour tout s > 0,
B(s) = ((ln(e^s + √(e^(2s) − 1)))^(α − 1))/(√(e^(2s) − 1))
  • 14 - Donner un équivalent de la fonction B au voisinage de 0^+.
  • 15 - Déterminer la limite de a_n n^(α/2) quand n tend vers l'infini.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Mines PC 2007 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Mines PC 2007 ?

Le sujet porte sur les séries numériques et leur convergence, les intégrales généralisées, l'interversion entre série et intégrale, et les équivalents et développements asymptotiques, à travers l'étude d'une série trigonométrique.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet Mines maths 2 PC 2007 ?

Le jury relève une confusion entre convergence absolue et réponse attendue, des justifications manquantes sur le signe avant d'utiliser un équivalent, des théorèmes appliqués sans énoncer leurs hypothèses, et une notion de petit o souvent mal comprise.

Le sujet de maths 2 Mines PC 2007 est-il difficile ?

Oui, le rapport indique que la question 2 a été particulièrement discriminante et rarement traitée complètement, et que le problème n'a été traité dans sa quasi-totalité que par quelques très bonnes copies.

Quelles notions de cours faut-il maîtriser pour ce sujet Mines maths 2 PC 2007 ?

Il faut maîtriser la distinction entre convergence simple, absolue et normale, le calcul intégral, ainsi que les techniques d'interversion des passages à la limite entre série et intégrale.

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