CCINP Mathématiques 2 PC 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Mathématiques II CCINP PC : équation différentielle y'' + phi(x)y = 0 et polynômes de Tchebychev

Le problème porte sur les solutions, sur un intervalle symétrique par rapport à l'origine, de l'équation différentielle y'' + phi(x)y = 0, où phi est une fonction paire de classe C infini. Il étudie la parité de deux solutions particulières, les conditions d'existence de solutions périodiques, puis le cas où phi est constante et positive, menant aux polynômes de Tchebychev.

1Partie I : solutions particulières et paritéÉtude de la parité des solutions f0 et f1 définies par leurs conditions initiales, expression de la solution générale et du rapport f1/f0.
2Partie II : solutions périodiquesConditions d'existence de solutions périodiques lorsque phi est périodique, et équation intégrale vérifiée dans un cas particulier.
3Partie III : cas où phi est constante et positiveExpression de cos(oméga x) et sin(oméga x) comme sommes de séries entières de sin x, et introduction des polynômes de Tchebychev.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion entre fonction paire et impaire · Négation d'une proposition mal formulée · Wronskien méconnu

Le problème ne devait pas présenter de difficulté particulière, le candidat étant guidé pas à pas. Pourtant, le rapport constate une incroyable disparité entre les copies des divers centres d'examen, certaines enveloppes ayant une moyenne de l'ordre de 2 ou 3 sur 20, avec une sévère dégradation de l'utilisation de la langue française.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre fonction paire et impaire
Pour beaucoup de candidats, toute fonction qui n'est pas paire est impaire, et réciproquement.
2
Négation d'une proposition mal formulée
La négation de la proposition la fonction f ne s'annule pas sur l'intervalle I est trop souvent vue comme la fonction f est identiquement nulle sur I, confondant les quantificateurs universel et existentiel.
3
Wronskien méconnuI.3, I.4.1, I.4.2
Peu de candidats semblent avoir entendu parler du wronskien, bien que cette notion soit explicitement mentionnée dans le programme, ce qui a pénalisé leur traitement de l'indépendance de f0 et f1.
« Peu de candidats semblent avoir entendu parler du wronskien, bien que cette notion soit explicite- ment mentionnée dans le programme. »
4
Condition sur la série entière inversée
Une proportion élevée de copies donne, malgré une expression correcte des coefficients d'une série entière, une condition pour qu'elle se réduise à un polynôme exactement opposée à celle qui était attendue.
5
Majorations et minorations mal maîtrisées
Les candidats connaissent en général assez bien les grands théorèmes d'analyse du programme, mais peu savent les mettre en œuvre correctement, en particulier pour établir des majorations ou des minorations.

Conseils du jury

Connaître et savoir utiliser le wronskien pour établir l'indépendance de solutions d'une équation différentielle linéaire du second ordre.
Soigner la rigueur du langage mathématique, notamment la distinction entre il faut et il suffit, et entre les quantificateurs universel et existentiel.
S'entraîner à établir des majorations et des minorations, la seule connaissance des grands théorèmes du cours ne suffisant pas.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Les calculatrices sont interdites

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, la précision et à la concision de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Dans tout l'énoncé de ce problème,

I

désigne un intervalle ouvert de

ℝ

symétrique par rapport à l'origine, et

φ

une fonction paire, de classe

C^\infty

sur

I

Toutes les fonctions considérées dans ce problème prennent leurs valeurs dans

ℝ

.
On note (

E

) l'équation différentielle linéaire homogène du second ordre en la fonction inconnue

y

de la variable réelle

x

y^('')(x) + φ(x)y(x) = 0.

On note

f_0

l'unique solution de (

E

) sur

I

vérifiant les conditions initiales

f_0(0) = 1

f_0^'(0) = 0

, et

f_1

l'unique solution de (

E

) sur

I

vérifiant les conditions initiales

f_1(0) = 0

f_1^'(0) = 1

PARTIE I

I.1. Montrer que si

y

est une solution de

(E)

sur

I

, alors

y

est de classe

C^\infty

sur

I

.
I.2. Montrer que si

y

est une solution de

(E)

sur

I

, alors la fonction

x \mapsto y(- x)

est aussi solution de (

E

) sur

I

.
I.3. Montrer que

f_0

est une fonction paire et

f_1

une fonction impaire.

Exprimer la solution générale de

(E)

sur

I

à l'aide de

f_0

f_1

.
Déterminer parmi les solutions de (

E

) sur

I

celles qui sont paires et celles qui sont impaires.
I.4. On suppose que

f_0

ne s'annule pas sur

I

, et l'on pose

u = (f_1)/(f_0)

.
I.4.1. Montrer que

u^'

ne s'annule pas sur

I

, et exprimer

(u^(''))/(u^')

en fonction de

(f_0^')/(f_0)

.
I.4.2. En déduire qu'il existe une constante réelle

B

, que l'on calculera, telle que

u^' = B/(f_0^2)

.
I.4.3. On note

u_0

la primitive de

1/(f_0^2)

qui s'annule en

x = 0

. Exprimer

f_1

à l'aide de

f_0

u_0

.
I.5. Dans cette question, on suppose que

I = ] - π/2, + π/2[

et que la fonction

x \mapsto cos^2 x

est solution de (

E

) sur

I

.
I.5.1. Déterminer

φ(x)

f_0(x)

pour tout

x \in I

.
I.5.2 Déterminer

u_0(x)

pour tout

x \in I

. On pourra utiliser l'identité :

1/(cos^4 x) = (1 + tan^2 x)/(cos^2 x)

et exprimer

u_0(x)

comme fonction de

tanx

.
I.5.3. En déduire la valeur de

f_1(x)

pour tout

x \in I

et expliciter la solution générale de

(E)

sur

I

PARTIE II

Dans cette partie on suppose que

I = ℝ

et qu'en plus des conditions imposées au début de l'énoncé,

φ

est

2π

-périodique.

On s'intéresse aux éventuelles solutions

2π

-périodiques de l'équation

(E)

.
II.1. Soit

y

une solution de

(E)

sur

ℝ

Montrer que la fonction

x \mapsto y(x + 2π)

est solution de

(E)

sur

ℝ

.
II.2. En déduire qu'il existe des constantes réelles

w_(00), w_(01), w_(10), w_(11)

, que l'on déterminera en fonction des valeurs prises par

f_0, f_0^', f_1, f_1^'

2π

, telles que pour tout

x \in ℝ

on ait :

f_0(x + 2π) = w_(00)f_0(x) + w_(10)f_1(x); f_1(x + 2π) = w_(01)f_0(x) + w_(11)f_1(x)

II.3. Soit

W

la matrice carrée d'ordre 2 définie par

W = (w_(00), w_(01); w_(10), w_(11))

Montrer que pour que (

E

) admette sur

ℝ

des solutions non identiquement nulles

2π

-périodiques, il faut et il suffit que

W

admette 1 pour valeur propre. On pourra exprimer une telle solution

g

en fonction de

f_0

f_1

puis utiliser la périodicité de

g

.
II.4. Montrer que si (

E

) admet sur

ℝ

des solutions non identiquement nulles

2π

-périodiques, alors l'une au moins des deux fonctions

f_0

f_1

est

2π

-périodique. On pourra,

g

étant une telle solution, considérer les fonctions

x \mapsto g(x) + g(- x)

x \mapsto g(x) - g(- x)

.
II.5. On suppose dans cette question que la fonction

φ

est définie par :

\forallx \in ℝ, φ(x) = a - k^2 sin^2 x

où

a

k

sont des constantes réelles choisies de telle sorte que la solution

f_0

sur

ℝ

de l'équation :

y^('')(x) + (a - k^2 sin^2 x)y(x) = 0

soit

2π

-périodique (on ne cherchera pas à démontrer l'existence de telles constantes

a

k

).
Soit

F

la fonction définie pour tout

x \in ℝ

par

F(x) = \int_(- π)^(+ π)e^(kcostcosx)f_0(t)dt

.
On note

K

la fonction définie pour tout

(x, t) \in ℝ^2 parK(x, t) = e^(kcostcosx)

.
II.5.1. Montrer que

F

est de classe

C^2

sur

ℝ

et paire.
II.5.2. Vérifier que pour tout couple

(x, t) \in ℝ^2

on a :

(\partial^2 K)/(\partialx^2)(x, t) + (a - k^2 sin^2 x)K(x, t) = (\partial^2 K)/(\partialt^2)(x, t) + (a - k^2 sin^2 t)K(x, t).

En déduire que pour tout

x \in ℝ

on a :

F^('')(x) + (a - k^2 sin^2 x)F(x) = \int_(- π)^(+ π)(\partial^2 K)/(\partialt^2)(x, t)f_0(t)dt + \int_(- π)^(+ π)(a - k^2 sin^2 t)K(x, t)f_0(t)dt

puis, au moyen d'une double intégration par parties, que

F

est solution de

(E)

sur

ℝ

.
II.5.3. Déduire de ce qui précède qu'il existe une constante réelle

λ

telle que pour tout

x \in ℝ

on ait :

\int_(- π)^(+ π)e^(kcostcosx)f_0(t)dt = λf_0(x)

PARTIE III

Dans cette partie, on suppose que

I = ] - π/2, + π/2[

et que

φ

est une fonction constante sur

I

, égale à

ω^2

, avec

ω > 0

.
III.1. Déterminer dans ce cas la solution générale de l'équation

(E)

sur

I

, ainsi que ses solutions

f_0

f_1

.
III.2. Soit

z

une fonction de classe

C^\infty

sur

] - 1, + 1

[. Montrer que la fonction

y

définie pour tout

x \in I

par

y(x) = z(sinx)

est solution de

(E)

sur

I

si et seulement si

z

est solution sur

] - 1, + 1[

de l'équation différentielle :

(E^') (1 - X^2)z^('')(X) - Xz^'(X) + ω^2 z(X) = 0

III.3. Soit

z

une solution de

(E^')

sur

] - 1, + 1

[, admettant sur ] -

1, + 1

[ un développement en série entière

z(X) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n X^n

.
III.3.1. Déterminer une relation de récurrence reliant

a_(n + 2)

a_n

pour tout

n \in ℕ

. En déduire pour tout

p \in ℕ^*

les expressions de

a_(2p)

en fonction de

p, ω

a_0

, et de

a_(2p + 1)

en fonction de

p, ω

a_1

Pour quelles valeurs de

ω

l'équation (

E^'

) admet-elle des solutions polynomiales non identiquement nulles?

Montrer que quelles que soient les valeurs de

a_0, a_1

ω

, le rayon de convergence de la série entière

\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n X^n

est supérieur ou égal à 1 .
III.3.2. On note

z_0

la solution de (

E^'

) développable en série entière sur

] - 1, + 1

[ correspondant au choix

a_0 = 1, a_1 = 0

, et

z_1

la solution de (

E^'

) développable en série entière sur

] - 1, + 1

[ correspondant au choix

a_0 = 0, a_1 = 1

Donner une expression, sur

I

, des fonctions

x \mapsto cosωx

x \mapsto sinωx

à l'aide des fonctions

z_0, z_1

sin

.
III.3.3. Soit

m

un nombre entier strictement positif.

Exprimer

cos2mx

sin(2m + 1)x

, pour tout

x \in ] - π/2, + π/2[

, sous la forme :

cos2mx = P_m(sinx), sin(2m + 1)x = Q_m(sinx),

où

P_m

est une fonction polynomiale de degré

2m

Q_m

une fonction polynomiale de degré

2m + 1

.
Ces expressions sont-elles valides sur

ℝ

tout entier ?

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte mathématiques II CCINP PC 2007 ?

Le sujet porte sur les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficient variable pair, le wronskien, les séries entières et les polynômes de Tchebychev.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à mathématiques II CCINP PC 2007 ?

Une confusion entre fonction paire et impaire, une mauvaise négation de proposition confondant les quantificateurs, une méconnaissance du wronskien, et une condition sur les séries entières souvent inversée.

Le sujet mathématiques II CCINP PC 2007 est-il difficile ?

Le problème lui-même ne devait pas présenter de difficulté particulière, étant guidé pas à pas, mais le rapport signale une disparité très importante entre les résultats des différents centres d'examen.

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