WikiPrépaLivrets

Polytechnique Mathématiques PC 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Logo concours X

Explorer les annales

BanqueX-ENSAnnée2007FilièrePCMatièreMathématiques
Annales X-ENS PC MathématiquesX-ENS PC 2007PC MathématiquesMathématiques 2007

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2007
filière PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Étude de quelques courbes planes

Première partie

On note F l'espace vectoriel des fonctions continues de R dans R, périodiques de période 2π, et E le sous-espace vectoriel de F constitué des fonctions de R dans R, périodiques de période 2π et de classe C^2. Pour f et g dans F on définit le produit scalaire
(f|g) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(x)g(x)dx
Si H est un sous-espace vectoriel de F, on note
H^⊥ = {f ∈ F/(f|h) = 0, ∀h ∈ H}.
  1. Exprimer, pour f ∈ E, la série de Fourier de f^(′′) en fonction de celle de f. En quel sens la série de Fourier de f converge-t-elle?
Soit P : E → F l'application linéaire définie par
P(f) = f + f^(′′).
  1. Déterminer le noyau de P, que l'on note KerP.
    3.a) Déterminer E^⊥.
    3.b) Pour f et g dans E, montrer l'égalité
(P(f)|g) = (f|P(g))
3.c) En déduire que KerP = (ImP)^⊥ ∩ E, où ImP désigne l'image de P.
4. On considère le sous-espace vectoriel de F,
G = {f ∈ F/f(x + π) + f(x) = f(π) + f(0), ∀x ∈ R}
Montrer que f appartient à G si et seulement si les coefficients de Fourier de f satisfont certaines conditions que l'on explicitera.

Deuxième partie

Dans cette partie, on étudie certaines courbes du plan euclidien R^2. On note O l'origine et ( e⃗_1, e⃗_2 ) la base canonique. Soit t ∈ R. On note
u⃗_t = coste⃗_1 + sinte⃗_2 et v⃗_t = u⃗_(t + π/2)
Soit f ∈ E vérifiant les deux conditions suivantes :
i) f(t) > 0, ∀t ∈ R,
ii) f(t) + f^(′′)(t) > 0, ∀t ∈ R.
Pour toute fonction f de E satisfaisant i) et ii) et pour tout t ∈ R, on pose
OM^(→−)(t) = f(t)u⃗_t + f^′(t)v⃗_t
et l'on considère la courbe décrite par le point M(t),
Γ_f = {M(t) ∈ R^2/t ∈ [0, 2π]}.
5.a) Quelle est la courbe Γ_f si f est la fonction constante égale à 1 ?
5.b) Montrer que la courbe Γ_f admet en tout point M(t) une tangente dont on déterminera l'équation cartésienne.
5.c) Quelle est la distance de cette tangente à l'origine?
6. Soient a et b des nombres réels non nuls. On pose f(t) = √(a^2 cos^2 t + b^2 sin^2 t). On admettra que f satisfait i) et ii). Montrer que la courbe Γ_f est une ellipse centrée à l'origine.
On revient au cas général.
7.a) Montrer que
OM^(→−)(t) = √(f(t)^2 + f^′(t)^2)[cos(t + Arctan(f^′(t))/(f(t)))e⃗_1 + sin(t + Arctan(f^′(t))/(f(t)))e⃗_2]
7.b) En déduire que toute demi-droite d'origine O contient un point et un seul de la courbe Γ_f.
8. Exprimer la longueur L(f) de la courbe Γ_f en fonction de la valeur moyenne de f sur [0, 2π].
On note Ω(f) la réunion des segments OM(t), t ∈ [0, 2π].
9.a) Montrer que l'aire A(f) du domaine Ω(f) est égale à π(P(f)|f).
9.b) Exprimer cette aire en fonction des coefficients de Fourier de f.
10. Pour c ⩾ 0, on note E_c le sous-ensemble de E constitué des fonctions f qui satisfont
∫_0^(2π)f(x)dx = c
Montrer que la fonction f ↦ (P(f)|f) de E_c dans R admet un unique maximum que l'on déterminera.
Pour quelles fonctions de E_c ce maximum est-il atteint?
11. En déduire, pour f ∈ E satisfaisant les conditions i) et ii), l'inégalité
A(f) ⩽ ((L(f))^2)/(4π)
Quelles sont les fonctions f qui réalisent l'égalité et les courbes Γ_f correspondantes?
12. Soient f ∈ E et h ∈ KerP. On suppose que les fonctions f et f + h vérifient les conditions i) et ii).
12.a) Comparer L(f) et L(f + h), puis A(f) et A(f + h).
12.b) Comparer les courbes Γ_f et Γ_(f + h).
13. Soit r un réel positif.
13.a) Comparer L(f) et L(f + r).
13.b) Montrer la formule
A(f + r) = A(f) + L(f)r + πr^2
  1. Soient θ ∈ R et D_θ la droite engendrée par le vecteur u⃗_θ.
    14.a) Montrer que la projection orthogonale de Γ_f sur D_θ est un intervalle dont on déterminera la longueur ℓ(θ). C'est le diamètre apparent de la courbe dans la direction normale à D_θ.
    14.b) Caractériser les fonctions f pour lesquelles le diamètre apparent de la courbe Γ_f est indépendant de θ.
    14.c) Exprimer alors L(f) en fonction de ℓ. Donner un exemple qui ne soit pas un cercle.
  2. On revient au cas général. Soient M_1 et M_2 deux points de la courbe Γ_f. Montrer que le segment M_1 M_2 est inclus dans Ω(f).

Pas de description pour le moment