Polytechnique Physique 1 PC 2007Sujet et corrigé

CONCOURS D'ADMISSION 2007
filière PC

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Le frottement solide joue un rôle considérable dans de nombreuses situations, statiques ou dynamiques. Nous allons analyser ici quelques aspects du mouvement d'un solide qui peut soit glisser ( «slip») soit adhérer ( «stick ») sur son support. Ce phénomène a pour origine le fait que les coefficients de frottement statique et cinétique diffèrent. Il est ainsi responsable du grincement des portes, du crissement des craies sur le tableau noir, ou dans un registre plus harmonieux, de la mise en vibration d'une corde de violon. Un tel type de mouvement est étudié dans les parties 1 et 2 , et dans la partie 3 nous nous intéresserons à un phénomène de vibration qui trouve aussi son origine dans le mouvement «collé-glissé »: le chant des verres.

Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes.

Dans tout le problème on désigne par a la norme de tout vecteur a⃗, et par x˙ la dérivée de x(t) par rapport au temps.

Une poutre rigide et homogène, de longueur L, de masse m et de section carrée s, est posée en équilibre à l'horizontale sur deux supports (numérotés 1 et 2 ) séparés de la distance D_0 (Figure 1). Les coefficients de frottement solide statique et cinétique entre cette poutre et chacun des supports sont respectivement μ_S et μ_C, avec μ_S > μ_C. Le centre de gravité G de la poutre se trouve initialement à la distance horizontale a_0 du support 1 , avec a_0 < D_0/2.

I.1. La poutre est immobile. Calculer les forces de réaction verticales des supports sur la poutre, R_(N1) et R_(N2), en fonction des données du problème.
I.2. Les supports 1 et 2 sont maintenant animés l'un vers l'autre de vitesses horizontales et constantes, respectivement v_0/2 et − v_0/2 selon Ox . La poutre ne peut se déplacer qu'en translation horizontale selon cette même direction. La distance entre les deux supports s'écrit donc : D(t) = D_0 − v_0 t.

Que deviennent les forces R_(N1)(t) et R_(N2)(t) en fonction de a(t), distance horizontale entre le centre de gravité G de la poutre et le support 1 à l'instant t ?
I.3. On suppose que la poutre glisse d'abord par rapport à un seul des deux supports. Préciser lequel ; déterminer les forces horizontales de frottement, d'intensités F_1(t) et F_2(t), qui agissent sur la poutre lors de cette phase du mouvement.
I.4. Montrer que ce mouvement ne peut se perpétuer, et qu'il existe un instant t_1 où la poutre se met à glisser sur l'autre support. Déterminer la distance D_1 = D(t_1) en fonction de a_0, μ_S et μ_C.
I.5. Justifier qu'il existe alors une phase du mouvement où nécessairement il y a glissement sur les deux supports. Exprimer alors la somme des forces de frottement en fonction de a(t), D(t) et des constantes du problème. Dans quel sens agit-elle? Donner le critère qui détermine la fin de cette seconde phase en précisant le support sur lequel le glissement cesse. Soit t_1^′ l'instant correspondant.
I.6. Décrire la phase suivante du mouvement. Elle se termine à l'instant t_2. Montrer que D(t_2) = (1 + (μ_C)/(μ_S))[D(t_1^′) − a(t_1^′)].
I.7. On admettra que, pour une faible vitesse de rapprochement des supports et une distance a_0 suffisamment grande, les modifications de D(t) et de a(t) durant la phase transitoire (cf. I-5) restent faibles en valeur relative. En les négligeant, montrer que D(t_2) ≃ (μ_C)/(μ_S)D(t_1). En déduire un moyen simple d'évaluer le rapport μ_C/μ_S.

Dans cette partie, on considère le mouvement d'une masse m posée sur un tapis roulant se déplaçant à une vitesse horizontale v⃗_0 = v_0 e⃗_x, v_0 > 0, par rapport au référentiel du laboratoire. La masse est soumise à une force de rappel colinéaire au mouvement du tapis roulant et exercée par un ressort de raideur k. Les coefficients de frottement statique et cinétique entre la masse et le tapis sont notés respectivement μ_S et μ_C. On repérera la position de la masse par son abscisse x dans le référentiel du laboratoire, l'origine correspondant à l'absence de déformation du ressort.

II.1. Montrer qu'il existe une position d'équilibre dont on déterminera l'abscisse x_(eq) en fonction de μ_C, g et ω^2 = k/m.
II.2. On pose X = x − x_(eq). Expliciter l'équation du mouvement de la masse; on distinguera les situations X˙ < v_0 et X˙ > v_0.

Montrer qu'une phase de mouvement avec collage, pour laquelle X˙ = v_0, peut s'établir si X appartient à l'intervalle [ X_1, X_2 ] dont on déterminera les bornes. À quelle condition peut-elle se maintenir?
II.3. La masse est posée sur le tapis sans vitesse initiale à l'abscisse X_0, avec X_0 > 0. Déterminer X(t) pour le début du mouvement. Montrer que ce type de mouvement se maintient si X_0 est inférieur à une valeur X_m que l'on déterminera.
II.4. On utilise X_m comme longueur caractéristique. On pose q_(eq) = x_(eq)/X_m, q_1 = X_1/X_m et q_2 = X_2/X_m. Exprimer q_1 et q_2 en fonction de q_(eq) et du rapport γ = μ_S/μ_C.
II.5. On pose q(θ) = X/X_m avec θ = ωt. Exprimer q^′ = ^(dq)/(dθ) en fonction de X˙ et v_0. Transcrire pour q(θ) les équations différentielles du mouvement obtenues en II.2. Dans le plan ( q; q^′ ) tracer le portrait de phase correspondant au mouvement de conditions initiales ( 0, 5; 0 ). Quel est alors le mouvement?
II.6. On donne q_(eq) = 0, 5 et γ = 2. Préciser dans le plan ( q; q^′ ) les points représentatifs des états avec collage.
II.7. En procédant par étapes, tracer le portrait de phase correspondant aux conditions initiales ( 2; 0 ). Préciser ce qui se passe lorsque le point représentatif de l'état du système franchit la ligne q^′ = 1 pour la première fois, puis la seconde fois.

Montrer que le mouvement devient périodique et préciser le cycle correspondant dans le plan de phase ( q; q^′ ). Ce cycle dépend-il des conditions initiales?
II.8. Dans le cas général, calculer la période T_C de ce cycle avec collage en fonction de ω et q_2.

L'étude précédente peut servir de modèle au fonctionnement d'un patin de frein s'appuyant sur une roue en rotation, système pour lequel on désire savoir si l'alternance éventuelle de collage et de glissement nuit à son efficacité.
II.9. Calculer le travail W des forces de frottement pendant un cycle du mouvement en distinguant les deux types de cycle (avec ou sans phase de collage). En déduire, pour chacun d'eux, la puissance moyenne correspondante et comparer les résultats. Quelle conclusion en tirezvous? Pourquoi cherche-t-on à éviter le collage?

En frottant légèrement le bord d'un verre à pied à l'aide d'un doigt humide, un son audible est parfois émis. Même si cela reste imperceptible pour l'opérateur, le mouvement du doigt par rapport au verre est de type «collé-glissé ». L'alternance de mouvements « collés » et « glissés » provoque la mise en vibration du verre à sa fréquence de résonance. Le mouvement pour le mode fondamental, le seul auquel nous nous intéresserons, consiste en une déformation du bord de la paroi du verre, de forme circulaire au repos, en une forme d'allure elliptique dont les axes de symétrie restent fixes (axes Ox et Oy de la figure 3).

Les déformations géométriques d'un verre étant en réalité fort complexes, il ne sera effectué ici qu'une première approche en étudiant les oscillations libres d'un système plus simple, un tube cylindrique.

La modélisation est donc celle d'un cylindre de révolution d'axe zz^′, de rayon R et de hauteur H. L'épaisseur de la paroi est a avec a≪R. La déformation est supposée plane, orthogonale à l'axe, et indépendante de z (déformation cylindrique) ; sa composante radiale, en coordonnées cylindriques (r, θ, z) est supposée de la forme :

III.1.1 Justifier que l'expression de δr(θ, t) permet de décrire correctement l'allure géométrique de la déformation représentée en figure 3.
III.1.2 Soit δ(t) le déplacement d'un point du bord du verre situé à un ventre de vibration (sur l'axe Ox par exemple) ; ce déplacement est radial. Si l'on suppose que les déformations restent dans le domaine élastique, justifier que l'énergie mécanique E d'un tel système peut s'écrire a priori sous la forme E = A((dδ)/(dt))^2 + Bδ^2 où A et B sont deux constantes que l'on ne cherchera pas pour l'instant à expliciter.
III.1.3 Que vaut alors la fréquence propre ω du mode en fonction de A et B si l'on suppose qu'il n'y a pas d'amortissement?

III.2.1 Écrire la masse dm d'un élément de la paroi du tube situé entre θ et θ + dθ. On désignera par ρ_v la masse volumique du verre.
III.2.2 Donner l'expression de la vitesse radiale instantanée du point de coordonnées au repos (R, θ).
III.2.3 La déformation étudiée s'effectue sans modification du périmètre de la section du tube (bord du verre). De ce fait, un point situé en dehors des axes Ox et Oy subira également un léger déplacement tangentiel, soit s(θ, t) pour un point de coordonnées au repos ( R, θ ), avec |s(θ, t)|≪R. On admettra sans démonstration que, compte tenu des hypothèses, la condition de conservation du périmètre peut s'écrire (ds(θ, t))/(dθ) + δr(θ, t) = 0.

Donner l'expression de ce déplacement tangentiel et la vitesse correspondante.
III.2.4 Calculer alors l'énergie cinétique totale E_C du tube à l'instant t.

III.3.1 Considérons une petite portion de la paroi du tube de hauteur δz(δz≪R) et de longueur l_0 au centre de la paroi, formant un segment d'anneau (figure 4).

Donner la longueur d'un «filament» d'épaisseur du situé à la distance u de la ligne centrale de cet élément en fonction du rayon de courbure au repos R de cette ligne.

Lors de la déformation, ce rayon de courbure passe de R à R^′. Montrer que le changement de longueur du filament est donné par δℓ = l_0 u(1/(R^′) − 1/R).
III.3.2 En supposant la déformation homogène, exprimer la force de tension (ou de compression) δF le long de ce filament ( du, δz ) en fonction du module d'Young Y du matériau.
III.3.3 Compte tenu de l'hypothèse δ_0≪R, calculer l'énergie potentielle élastique associée à ce filament, puis celle associée au segment d'anneau de longueur l_0 et d'épaisseur a.
III.3.4 La déformation de l'anneau dépend en fait de θ. On admettra que la courbure (inverse du rayon de courbure) d'une portion élémentaire de l'anneau (située entre θ et θ + dθ, donc pour lequel l_0 = Rdθ ) qui a subi un déplacement radial δr(θ, t)(≪R) est donné par 1/(R^′) = 1/R − (δr + δr^(′′))/(R^2) où δr^(′′) = ^=(∂^2 δr)/(∂θ^2). En utilisant le résultat de la question précédente, exprimer l'énergie potentielle élastique de l'anneau de hauteur δz.

Pour passer de l'anneau de hauteur δz au tube complet, il faut tenir compte des contraintes latérales internes qui font que le tube ne se décompose pas en éléments «anneaux» indépendants. Mais dans cette géométrie de déformation particulière, on montre que l'on peut procéder comme s'ils l'étaient, à condition de multiplier le résultat par le facteur (1 − σ^2)^(− 1) où σ est un coefficient caractéristique du matériau.

On donne : R = 3 cm, H = 5 cm, a = 1, 4 mm, σ = 0, 2.
Calculer la fréquence du mode de vibration étudié.