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Polytechnique Physique 1 PC 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Thermodynamique des gaz parfaits
  • Théorème de Gauss (analogie gravitation-électrostatique)
  • Mécanique des fluides
  • Propagation des ondes sonores
  • Dérivée particulaire, formalismes lagrangien et eulérien
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Annales X-ENS PC PhysiqueX-ENS PC 2009PC PhysiquePhysique 2009

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Présentation du sujet

Difficile
Stabilité de la matière stellaire et interstellaire : effondrement gravitationnel et instabilité de Jeans
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Le sujet décrit un mécanisme possible de formation d'une structure stellaire fondé sur l'instabilité de Jeans, puis examine les propriétés de stabilité de cette structure. Il couvre un spectre large de la physique : thermodynamique des gaz parfaits, théorème de Gauss appliqué à la gravitation, mécanique des fluides et propagation des ondes sonores, en quatre parties.

  1. 1Partie I : Première approcheÉtude qualitative des mécanismes physiques de formation d'une structure stellaire, par comparaison de temps caractéristiques d'effondrement.
  2. 2Partie II : Stabilité d'une étoileDescription quantitative macroscopique d'une étoile en équilibre et établissement de la capacité calorifique négative du système gravitationnel.
  3. 3Partie III : Évolution d'une perturbationAnalyse de stabilité linéaire d'une distribution de masse uniforme, menant à l'instabilité de Jeans.
  4. 4Partie IV : Univers en expansion et stabilitéReprise de l'analyse de la partie III dans un espace en expansion permanente, avec allers-retours entre formalismes lagrangien et eulérien.

Difficile. La note moyenne des candidats français n'est que de 7,98/20 (écart-type 3,58), avec plus de la moitié des 1365 copies sous 8/20 ; le rapport relève de très nombreuses erreurs y compris sur des manipulations de calcul simples.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,98 / 20 · écart-type 3,58 · 1 365 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,98/ 20
Écart-type
3,58
Copies
1 365
moyenne 7,9805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Erreurs de calcul sur des manipulations simples · Trajectoire de chute libre mal reliée à l'ellipse · Ordre de grandeur non maîtrisé sans calculatrice
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Le jury s'étonne que la manipulation d'équations simples entraîne de très nombreuses erreurs de calcul, alors que les candidats maîtrisent mieux les équations aux dérivées partielles de la partie III. La partie II, qui reposait sur des connaissances élémentaires de thermodynamique, a été la moins réussie. Le sujet se prêtait au papillonnage et les correcteurs valorisent toute réponse pertinente plutôt qu'une absence de réponse.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Erreurs de calcul sur des manipulations simples

    Le jury s'étonne que des règles de trois entraînent de très nombreuses erreurs (facteurs 2 oubliés, erreurs d'inversion de fraction, puissances incorrectes), alors que les équations aux dérivées partielles sont mieux maîtrisées.

    « Il est assez étonnant de constater que la manipulation d’équ ation simples (des règles de trois) entraîne de très nombreuses erreurs de calcul »
  2. 2
    Trajectoire de chute libre mal reliée à l'ellipseI.3.1

    Il fallait invoquer une trajectoire rectiligne comme cas limite d'une ellipse plate ; seule une infime minorité de candidats l'a fait.

    « qui a dérout é la grande majorité des candidats (seulement 3 % de réponses correctes) »
  3. 3
    Ordre de grandeur non maîtrisé sans calculatriceI.3.2

    Face à une application numérique sans calculatrice, de nombreux candidats donnent des résultats absurdes au lieu d'un ordre de grandeur raisonnable.

    « Au risque d’enfoncer des portes ouvertes, mais qui semblent encore fe rmées pour certains candidats »
  4. 4
    Capacité calorifique négative du système gravitationnel peu comprise

    Le résultat principal de la partie II, la capacité calorifique négative du système gravitationnel, n'est pleinement saisi que par une infime fraction des candidats.

    « n’a été pleinement apprécié que par une in fime fraction des candidats. »
  5. 5
    Confusion entre dérivée totale et dérivée partielle

    En partie IV, la notion de dérivée totale n'étant pas assimilée, des calculs qui devraient être immédiats deviennent laborieux pour de nombreux candidats.

    « pour la plupart, la notion de dérivée totale n’étant pas intimement assimilée, des calculs d’une ligne (en principe) ont tourné au cauchemar. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les candidats ont en général des automatismes assez aiguisés sur les équations aux dérivées partielles de la partie III.
  • La question 3 de la partie II a été très réussie.
  • La croissance en loi de puissance a été bien identifiée en partie IV (question 2.3).

Conseils du jury

  • Répondre à toutes les questions qualitatives, même de façon imparfaite : une réponse pertinente est toujours mieux valorisée qu'une absence de réponse.
  • Privilégier un ordre de grandeur raisonnable dans les applications numériques sans calculatrice plutôt qu'un résultat manifestement absurde.
  • Prendre soin de vérifier les signes de ses équations.
  • Bien distinguer dérivée totale et dérivée partielle avant de mener des calculs sur des champs dépendant de l'espace et du temps.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

PREMIÊRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Stabilité de la matière, stellaire et interstellaire

Les nuages de gaz interstellaire que l'on trouve dans l'univers peuvent s'effondrer sous l'effet de leur propre champ gravitationnel et donner lieu à des structures denses, dont la stabilité même n'est pas nécessairement assurée. L'objet de ce problème est d'analyser certaines situations conduisant à ce phénomène.
On admettra qu'une distribution de masse caractérisée par une masse volumique ρ(r⃗) donne lieu à un champ gravitationnel g⃗(r⃗) dérivant d'un potentiel φ(r⃗) avec g⃗(r⃗) = − gradφ^(→−) et tel que divg⃗ = − 4πGρ.

Données numériques

Constante gravitationnelle:, G, = 6, 7 × 10^(− 11) m^3 ⋅ kg^(− 1) ⋅ s^(− 2); Nombre d'Avogadro :, N_A, = 6, 02 × 10^(23) mol^(− 1); Vitesse de la lumière dans le vide:, c, = 3, 0 × 10^8 m ⋅ s^(− 1)

I. Première approche

I. 1 Si l'on cherche à déterminer le champ gravitationnel g⃗(r⃗) résultant d'une distribution de masse volumique ρ(r⃗), on peut s'appuyer sur une analogie électrostatique. Préciser, dans le cadre de cette analogie, les quantités qui jouent les rôles de g⃗(r⃗), de ρ(r⃗) et de G.
I. 2 Soit une boule de rayon R centrée à l'origine des coordonnées, dont la distribution de masse est à symétrie sphérique. Soient ρ(r) la masse volumique, m(r) la masse de la boule de rayon r (pour r < R ) et M la masse totale.
I.2.1 Déterminer, pour r ≥ R, le champ gravitationnel g⃗(r⃗) produit par cette boule de matière.
I.2.2 Déterminer de même, pour r < R, le champ gravitationnel g⃗(r⃗) à l'aide de m(r).
I. 3 Soit une boule gazeuse de masse volumique ρ uniforme, de masse M et de rayon R_0, initialement au repos. Elle s'effondre sous l'effet de son propre champ gravitationnel. On suppose que ce mouvement garde à tout moment la symétrie sphérique; on fait l'hypothèse qu'un élément quelconque du milieu gazeux, de masse μ, initialement à la distance r_0, a un mouvement de chute libre, c'est-à-dire qu'il n'est soumis qu'à la force de gravitation du gaz situé initialement à une distance du centre inférieure à r_0 et qui se contracte.
I.3.1 On rappelle la loi de Kepler reliant, dans le cas d'une trajectoire elliptique d'un corps attiré par une masse ponctuelle M_0, la période 𝒞 au demi-grand axe a :
𝒞 = 2π(a^3/GM_0)^(1/2)
En déduire l'expression de la durée de chute τ_g jusqu'à l'origine en fonction de G et ρ. Cette durée dépend-elle de r_0 ?
I.3.2 Calculer τ_g pour M = 2, 0 × 10^(30) kg et R_0 = 7, 0 × 10^8 m (valeurs correspondant au Soleil).
Même calcul pour un nuage intergalactique sphérique, de rayon 10^8 fois celui du Soleil et possédant dix atomes d'hydrogène par cm^3.
I.3.3 Quelle force antagoniste, non prise en compte, peut freiner un tel effondrement et éventuellement l'arrêter?
I. 4 On suppose que le gaz de la boule précédente possède une température moyenne T non nulle. Ce gaz est supposé parfait, monoatomique et de masse molaire M_A.
I.4.1 Donner l'expression de l'énergie cinétique totale U_(cin) du gaz en fonction de T, M, M_A et de la constante des gaz parfaits R_(GP).
I.4.2 L'énergie potentielle de gravitation E_g de la boule est donnée par :
E_g = − 3/5(GM^2)/(R_0)
Si E_g + 2U_(cin) < 0, on montre qu'un effondrement s'amorce. Déterminer le rayon critique R_c tel que, à ρ fixé et pour R_0 > R_c, ce phénomène se produit. Exprimer R_c en fonction de ρ, T, et des constantes G, M_A et R_(GP).
I.4.3 Soit c_S la vitesse des ondes acoustiques dans le gaz et τ_S = R_0/c_S une estimation du temps mis par une perturbation acoustique pour aller de la surface au centre. Expliciter c_S en fonction de T, M_A et R_(GP) et exprimer τ_S.
Montrer que τ_S est supérieur à τ_g pour R_0 > R_S où R_S est une distance que l'on explicitera en fonction de ρ, T, et des constantes G, M_A et R_(GP). Quelle interprétation dynamique vous suggère la comparaison de R_S et R_c ?

II. Stabilité d'une étoile

On s'intéresse dans cette partie aux propriétés d'une étoile dense, comme le Soleil, que l'on décrira comme une boule de gaz parfait à symétrie sphérique de masse totale M. On reprend les notations de la partie I : ρ(r), m(r), g⃗(r⃗) et on en utilisera les résultats.
II. 1 On suppose la distribution à l'équilibre.
II.1.1 Exprimer, à l'aide de m(r) et ρ(r), la force de gravitation par unité de volume à la distance r du centre.
II.1.2 Dans le fluide règne une pression locale P(r) avec P(R) = 0 à la surface. Exprimer la condition d'équilibre; en déduire (dP)/(dr).
II. 2 On s'intéresse à l'aspect énergétique. Soit E_g l'énergie potentielle de gravitation de toute la boule et dE_g la contribution à cette énergie de la couche sphérique de masse dm(r) située entre r et r + dr.
II.2.1 Exprimer dE_g à l'aide de m(r) et de dm(r).
II.2.2 Montrer que dE_g s'écrit dE_g = (dP)/(dr)4πr^3 dr.
II.2.3 Montrer que E_g = − 3∫_0^R PdV où dV = 4πr^2 dr est le volume de la couche sphérique comprise entre r et r + dr.
II. 3 Rappeler l'expression de l'énergie interne molaire U_(mol) d'un gaz parfait en fonction de la capacité thermique molaire C_V et de la température thermodynamique T. Soit γ = C_P/C_V. Exprimer U_(mol) en fonction de γ, de T et de la constante des gaz parfaits R_(GP).
II. 4 Déduire de cette expression et de la précédente une relation entre E_g et l'énergie interne totale U du gaz. On supposera que γ est uniforme.
II. 5 Exprimer l'énergie totale E de la boule en fonction de U. Déterminer à quelle condition portant sur γ l'étoile est stable.
II. 6 Que devient la relation entre E_g et U obtenue en II. 4 pour γ = 5/3. À quel type de gaz correspond cette valeur? À quelle forme d'énergie correspond alors U ?
II. 7 Si la température T croît, écartant un peu le système de l'équilibre, les réactions nucléaires s'accroissent et fournissent plus d'énergie. En utilisant II.5, comment interprétez-vous le retour à l'équilibre, donc la stabilité, du Soleil?

III. Évolution d'une perturbation

On suppose que l'univers est constitué de matière que l'on traitera comme un fluide non visqueux, caractérisé par un champ de masse volumique ρ(r⃗, t), un champ de vitesse v⃗(r⃗, t) et un champ de pression P(r⃗, t). On appellera g⃗(r⃗, t) le champ gravitationnel local.
On suppose qu'en plus de la pression et de la gravitation, il existe une autre force extérieure de densité volumique f⃗_V(r⃗, t) = ρ(r⃗, t)Γ⃗(r⃗, t) caractérisée ici par le champ vectoriel Γ⃗(r⃗, t).
III. 1 Écrire l'équation locale traduisant la conservation de la masse.
III. 2 Écrire l'équation d'Euler traduisant localement le principe fondamental de la dynamique.
III. 3 Écrire l'équation locale reliant g⃗ et ρ.
III. 4 On suppose que le milieu est suffisamment dilué pour négliger la pression : P_0 = P(r⃗, t) ≡ 0. On considère à un instant t_0 une région de masse volumique uniforme ρ_0 et au repos: v⃗(r⃗, t_0) = 0→; on note g⃗_0(r⃗) le champ gravitationnel dans cette région, et on suppose Γ⃗(r⃗, t) = − g⃗_0.
III.4.1 Montrer que ρ = ρ_0 et v⃗ = 0→ est solution des équations précédentes pour t > t_0 (solution statique).
III.4.2 À un instant donné, cette région est soumise à une perturbation; son état est alors caractérisé par le champ de vitesse v⃗_1 = v⃗(r⃗, t), la masse volumique ρ = ρ_0 + ρ_1 et le champ g⃗ = g⃗_0 + g⃗_1; on suppose toujours P = 0 et Γ⃗ = − g⃗_0.
Exprimer les trois équations qui relient v⃗_1, ρ_1 et g⃗_1. Les linéariser par rapport à ces trois variables. En déduire l'équation satisfaite par ρ_1.
Qu'en concluez-vous sur l'évolution de la perturbation? Préciser le temps caractéristique d'évolution.
III. 5 La croissance d'une perturbation crée progressivement une surpression P_1.
III.5.1 Écrire l'équation d'Euler en tenant compte de cette pression et la linéariser.
III.5.2 La pression et la masse volumique du fluide sont liées par l'équation d'état P(ρ). Montrer que ρ_1 est solution de l'équation : (∂^2 ρ_1)/(∂t^2) = c_S^2 Δρ_1 + 4πGρ_0 ρ_1 où on exprimera c_S en fonction de (dP)/(dρ).
III.5.3 On cherche alors des solutions de l'équation précédente sous la forme P_1(r⃗, t) = Aexpi(k⃗ ⋅ r⃗ − ωt). Exprimer la relation de dispersion ω(k) donnant ω en fonction de k.
III.5.4 Montrer qu'il existe un nombre d'onde critique k_J tel que, pour k < k_J, les perturbations sont exponentiellement amplifiées. Exprimer la longueur caractéristique associée λ_J = 2π/k_J en fonction de G, ρ_0 et c_S.
Comparer cette longueur aux rayons R_c et R_S déterminés en I.4.2 et I.4.3.
III.5.5 On désigne par masse de Jeans et on note M_J la masse de la boule de rayon λ_J/2. En donner l'expression. Traduire la stabilité du fluide par une condition sur sa masse totale M et sur M_J.

IV. Univers en expansion et stabilité

L'Univers est en expansion uniforme. Une origine étant choisie (arbitraire, l'espace étant homogène et isotrope) et un repère R d'observation déterminé, soit s⃗ le vecteur position d'un point matériel de l'espace à l'instant de référence t_R. À un instant t, ce point matériel se trouve en r⃗(t) = a(t)s⃗ où a(t) est un facteur d'échelle universel, avec a(t_R) = 1. Il est donc en mouvement dans R avec la vitesse v⃗ = (dr⃗)/(dt) = a˙s⃗ = (a˙)/ar⃗.
Dans cette partie, on suppose Γ⃗(r⃗, t) ≡ 0→.
IV. 1 On considère deux points matériels A et B repérés respectivement par r⃗_A et r⃗_B. Expliciter leur vitesse relative v⃗_A − v⃗_B. En déduire que tout point, par exemple B, peut être choisi comme « centre » de l'expansion.
IV. 2 La matière constituant l'univers est, comme en III.4, considérée comme un fluide non visqueux de masse volumique uniforme ρ_0(t), de pression P_0 = 0 mais animé dans R d'une vitesse locale v⃗_0(r⃗, t) = (a˙)/ar⃗.
IV.2.1 L'équation obtenue en III. 1 est satisfaite par la solution ρ_0(t) = a^(− 3)(t)ρ~_0 où on a posé ρ~_0 = ρ_0(t_R). Montrer que l'intégrale de ρ_0(t) sur une boule de rayon r(t) est une constante au cours du temps. Quelle propriété physique ce résultat traduit-il?
IV.2.2 Montrer que l'équation obtenue en III. 2 est satisfaite par g⃗_0(r⃗, t) = − (4πGρ_0(t))/3r⃗ à condition que a¨a^2 soit une constante que l'on précisera.
IV.2.3 Une solution a(t), correspondant à un modèle cosmologique particulier, est telle que a(t = 0) = 0. Déterminer cette solution en cherchant pour a(t) une dépendance temporelle de la forme t^α.
IV.2.4 Exprimer H(t) ≡ a˙/a en fonction de t.
On pose H_R = H(t_R). Exprimer t_R en fonction de H_R.
Pourquoi appelle-t-on t_R « âge de l'univers » ? Calculer l'âge que donne ce modèle avec la valeur de H_R que permet d'obtenir l'expérience : H_R = 71 km ⋅ s^(− 1) ⋅ Mpc^(− 1). Le parsec (symbole « pc») est une unité de longueur couramment utilisée en astronomie et adaptée aux grandes échelles de distance : 1pc = 3, 262 année-lumière ; son multiple Mpc est le mégaparsec.
IV.3. On cherche à déterminer l'évolution temporelle d'une perturbation, l'état de base étant celui étudié en question IV. 2 et caractérisé par {ρ_0(t), v_0^(→−)(r⃗, t), g_0(r⃗, t), P_0 = 0}. On pose :
ρ = ρ_0 + ρ_1(r⃗, t), v⃗ = v⃗_0 + v⃗_1(r⃗, t), g⃗ = g⃗_0 + g⃗_1(r⃗, t), P = P_0 = 0
et on ne retiendra dans les équations que les termes linéaires en ρ_1, v⃗_1 et g⃗_1.
IV.3.1 En utilisant l'opérateur de dérivation à l'ordre zéro : d/(dt) = ∂/(∂t) + (v⃗_0 ⋅ ∇⃗), montrer que l'équation de conservation de la masse (cf.III.1) conduit à :
(dρ_1)/(dt) + 3(a˙)/aρ_1 + ρ_0 divv⃗_1 = 0
On pose δ = (ρ_1(r⃗, t))/(ρ_0(t)) et δ˙ = (dδ)/(dt). Montrer que δ˙ + divv⃗_1 = 0.
IV.3.2 Montrer de même que l'équation d'Euler (cf. III.2) conduit à l'équation :
(dv⃗_1)/(dt) + (a˙)/av⃗_1 = g⃗_1
IV.3.3 Écrire l'expression reliant g⃗_1 et ρ_1. Cette relation forme avec les deux équations obtenues aux questions précédentes un système fermé. En éliminant g⃗_1 et v⃗_1, montrer que δ satisfait l'équation différentielle :
δ¨ + 2(a˙)/aδ˙ − 4πGρ_0 δ = 0
Indication. On utilisera le fait que r⃗ évoluant proportionnellement à a(t), on a pour tout champ de vecteur V(r⃗, t) :
d/(dt)divV⃗ = − (a˙)/adivV⃗ + div((dV⃗)/(dt))
IV.3.4 En utilisant l'expression de ρ_0(t) et celle de a(t) obtenue en IV.2.3 expliciter l'équation différentielle de δ. L'équation admet des solutions de la forme t^β; en donner la solution générale.
Qu'en concluez-vous sur l'évolution temporelle d'une perturbation? La comparer à celle obtenue en III.5.4.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 PC de l'X 2009 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 PC de l'X 2009 ?

Le sujet, sur la stabilité de la matière stellaire et interstellaire, mobilise la thermodynamique des gaz parfaits, le théorème de Gauss appliqué à la gravitation, la mécanique des fluides et la propagation des ondes sonores.

Quelle est la moyenne du sujet de physique 1 PC de l'X 2009 ?

La moyenne des candidats français est de 7,98/20, avec un écart-type de 3,58, sur 1365 copies.

Ce sujet de physique 1 PC 2009 de l'X est-il difficile ?

Oui, le rapport le décrit comme difficile : la moyenne est faible (7,98/20) et plus de la moitié des candidats obtiennent moins de 8/20, malgré des équations aux dérivées partielles globalement bien maîtrisées.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique 1 PC 2009 ?

Le jury relève surtout des erreurs de calcul sur des manipulations simples, des ordres de grandeur absurdes en l'absence de calculatrice, et une confusion fréquente entre dérivée totale et dérivée partielle.

Pas de description pour le moment