Polytechnique Physique 2 PC 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Soient une grandeur cause notée C et une grandeur effet notée E . Il y a hystérésis lorsque la courbe E = f(C) obtenue à la croissance de C ne se superpose pas avec la courbe E = f(C) obtenue à la décroissance de C . Ce problème propose d'étudier deux exemples de systèmes physiques présentant un phénomène d'hystérésis.

Formulaire : Sous des hypothèses de régularité appropriées, une fonction périodique f(x), de période 2π, peut être développée en série de Fourier :

Le Microscope à Force Atomique est un palpeur local et ultra-sensible de force. Son principe est le suivant : une pointe fine, métallique ou isolante, se trouve à l'extrémité d'un bras de levier souple qui fait office de ressort. L'autre extrémité de ce bras est fixe. L'extrémité du bras portant la pointe est approchée de la surface, à étudier et interagit avec cette dernière. La force qui s'exerce entre la pointe et la surface provoque, en chaque point, une déflexion du bras, que l'on détermine à partir de la réflexion d'un faisceau laser.

Dans le fonctionnement dit en mode résonant, la pointe est excitée par une force périodique de fréquence proche de la fréquence de résonance du système bras-pointe. L'interaction pointesurface perturbe le système, ce qui entraîne une variation de l'amplitude de vibration. L'ordre de grandeur de l'amplitude vibratoire peut varier dans de grandes proportions, de quelques dixièmes à quelques dizaines de nanomètres. La mesure de cette amplitude vibratoire lorsque la pointe balaye la surface donne accès à la topographie de la surface étudiée. À l'aide de céramiques piézoélectriques, le déplacement de la sonde au-dessus de la surface s'effectue avec une précision de l'ordre du nanomètre dans les trois directions de l'espace.

À titre d'information, les dimensions caractéristiques d'un levier sont : longueur de 100 à 200μ m, largeur de 20 à 30μ m et épaisseur de 1 à 5μ m. La pointe est conique, d'une hauteur de 5 à 20μ m; l'angle d'ouverture du cône est de 20 degrés et le rayon de courbure de l'extrémité de l'ordre de 20 nm ; l'aire en regard de la surface à étudier est ainsi d'une centaine de nm^2.

On suppose que le mouvement de la pointe s'effectue selon la direction verticale. Sa position est repérée par son altitude z(z > 0) à partir de la surface; on note d la distance séparant la pointe de la surface lorsque la sonde est à l'équilibre en l'absence de forces externes.

Loin de la surface, la sonde est modélisée par un oscillateur mécanique constitué d'une masse ponctuelle m soumise :

Dans la suite, on pose ω_0^2 = k/m, Q = (mω_0)/λ, a_m = (Qf_0)/(mω_0^2) et u = ω/(ω_0).
I.I. 2 Déterminer les dimensions de Q, a_m et u.
I.1.3 En régime sinusoïdal permanent, la solution est de la forme z(t) = d + acos(ωt + φ), avec a réel positif. Déterminer l'amplitude a(ω); l'exprimer en fonction de a_m, Q et u.

Comment évolue le graphe de a(ω) en fonction de Q ?
I.1.4 Calculer la fréquence propre ν_0 = ω_0/2π pour m = 5 × 10^(− 11) kg et k = 20 N ⋅ m^(− 1).

Les valeurs typiques de Q sont de quelques centaines. On prendra Q = 400. Toute l'étude qui suit s'effectuant au voisinage de la résonance, on utilisera dans ce cas l'approximation :

Lorsque la sonde est rapprochée de la surface, elle est soumise à une force additionnelle verticale. Essentiellement due aux interactions de Van der Waals, elle est attractive et donnée
par F(z) = − K/(z^2) où K est une constante positive qui dépend de la taille de la pointe et des matériaux en présence.

En effectuant l'hypothèse d'oscillations de faible amplitude, on adopte pour F(z) la forme approchée suivante :

I.2.1 Expliciter les quatre coefficients du développement à l'aide de F(z) et de ses dérivées.

On étudie tout d'abord l'effet des deux premiers termes de l'expression (1) et l'on effectue le changement de variable Z = z − d.
I.2.2 Écrire l'équation différentielle régissant le mouvement de la pointe.
I.2.3 Quel est l'effet du terme A sur les oscillations forcées de la sonde? Calculer l'amplitude de cet effet en fonction de K, k et d. L'évaluer numériquement pour d = 15 nm et K = 5 × 10^(− 28) N ⋅ m^2.
I.2.4 Sur quelle caractéristique de l'oscillateur influe le terme B ? Évaluer numériquement cet effet avec les données précédentes.
I.2.5 Pour des amplitudes d'oscillation plus importantes, les termes non linéaires C(z − d)^2 et D(z − d)^3 de l'expression (1) ne sont plus négligeables. Mais, étant donné les valeurs élevées de Q, au voisinage de la résonance, l'oscillation forcée reste pratiquement sinusoïdale à la pulsation ω de la force excitatrice, soit Z(t) = acos(ωt + φ). Montrer que ces termes non linéaires entrainent l'apparition d'harmoniques à des fréquences différentes de ω; préciser ces fréquences.

On effectue maintenant une expérience d'approche-retrait : la pointe en vibration est rapprochée, puis éloignée de la surface. Les déplacements sont supposés être verticaux. On observe ainsi l'influence croissante, puis décroissante, des forces de surface d'un échantillon et l'on utilise ces données pour discerner les diverses contributions des forces en présence, selon leur dépendance avec la distance.

Dans ces expériences, l'amplitude d'oscillation est importante et la pointe s'approche très près de la surface. La forme approchée (1) n'est plus utilisable et il est nécessaire de prendre en compte l'expression "exacte" de la force d'interaction pointe-surface, soit F(z) = − K/(z^2).
I.3.1 Écrire l'équation du mouvement de la pointe avec cette expression.
I.3.2 À d fixé, l'expérience montre que le mouvement de l'oscillateur demeure pratiquement harmonique, soit Z(t) ≃ acos(ωt + φ). Avec z = d + Z(t), la force F(z) est périodique en θ = (ωt + φ) et décomposable en série de Fourier. On admettra que le terme fondamental en ω joue un rôle prédominant.

Expliciter ce terme à l'aide de K, d et a. On donne :

I.3.3 En utilisant comme en I.1.1 les notations ω_0^2 = k/m, Q = (mω_0)/λ, a_m = (Qf_0)/(mω_0^2) et u = ω/(ω_0), montrer que l'amplitude a et la distance d sont reliées, pour u fixé, par :

I.3.4 On introduit les variables adimensionnées : a~ = a/(a_m) avec a~ ≤ 1, d~ = d/(a_m) et β = (2K)/(ka_m^3). Montrer que d~ s'exprime en fonction de a~ selon :

Dans toute la suite, on remplacera √(1/a~^2 − u^2) par √(1/a~^2 − 1).
I.3.5 Calculer numériquement βQ avec les valeurs données précédemment soit K = 5 × 10^(− 28) N ⋅ m^2, k = 20 N ⋅ m^(− 1), Q = 400 et en prenant a_m = 13, 5 nm.

Dans toute la suite, on prendra (βQ)^(2/3) = 0, 04.

La figure 2 montre une courbe d'approche-retrait, la pointe étant excitée à sa pulsation de résonance libre ω = ω_0, soit u = 1. L'expression (2) se met alors sous la forme :

I.3.6 Montrer que d~ est une fonction croissante de a~. Préciser les valeurs limites de a~ pour d~ → 0 et d~ → ∞.
I.3.7 Calculer la valeur de d~ pour a~ = 0, 95 ainsi que l'écart (d~ − a~).
I.3.8 Le calcul numérique montre que ( d~ − a~ ) reste inférieur à 0,04 pour 0, 2 < d~ < 0, 99. Déduire de ces résultats que l'on peut modéliser simplement le graphe de a~(d~) à l'aide de deux portions de droites et en donner le tracé. Comment se compare-t-il au résultat expérimental de la figure 2?

Comme le montre la figure 3, dans certaines conditions expérimentales, les courbes approcheretrait présentent de l'hystérésis. Des sauts brusques de l'amplitude se produisent à des distances d différentes lors de l'approche et lors du retrait. L'excitation s'effectue alors à une fréquence très légèrement inférieure à celle de résonance libre, ω < ω_0 soit u < 1.
I.3.9 On choisit u pour avoir Q(1 − u^2) = 0, 9; calculer la valeur de u.
I.3.10 Le graphe de a~(d~), comme celui de d~(a~), comporte deux branches, les branches ⊕ et ⊖ associées respectivement aux signes + et - du dénominateur du crochet de (2). Pour quelle valeur de a~ ces deux branches se rejoignent-elles? Quelle est la valeur de d~ correspondante?
I.3.11 Montrer que la branche ⊕ correspond à une fonction d~(a~) monotone croissante. La situation est analogue à celle analysée en question I.3.8; le graphe de a~(d~) peut être modélisé simplement par un segment de droite que l'on précisera.
I.3.12 Pour la branche ⊖, calculer la valeur de a~ correspondant aux grandes distances d~. Calculer la valeur d~_1 de d~ correspondant à a~ = 0, 75. En déduire l'allure du graphe de cette branche pour d~ > d~_1.
I.3.13 Pour a~ > 0, 75, le graphe de la branche ⊖ est donné en figure 4. Rassembler sur un même dessin les graphes des deux branches. À l'aide de ce dessin, comment interprétez-vous le résultat expérimental de la figure 3 et l'hystérésis qui s'y manifeste?

Deux milieux diélectriques transparents, d'indices n_1 et n_2, sont séparés par le dioptre plan xOy, le milieu d'indice n_1 correspondant à z < 0 (figure 5).

Une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsation ω, de champ électrique E⃗_i = E_i^0 cos(ωt − k⃗_i ⋅ r⃗)e⃗_y, arrive sous l'angle d'incidence θ_1, (0 < θ_1 < π/2) sur le dioptre, xOz étant le plan d'incidence. Elle donne lieu à une onde réfléchie, se propageant dans le milieu d'indice n_1, de champ électrique E⃗_r = E_r^0 cos(ωt − k⃗_r ⋅ r⃗)e⃗_y et à une onde transmise dans le milieu d'indice n_2, de champ électrique E⃗_t = E_t^0 cos(ωt − k⃗_t ⋅ r⃗)e⃗_y, avec les angles respectivement de réflexion θ_1^′ et de réfraction θ_2(0 < θ_1^′ < π/2 et 0 < θ_2 < π/2).

Les coefficients de réflexion r et de transmission t pour les amplitudes sont donnés par :

L'intensité énergétique moyenne d'une onde électromagnétique monochromatique de champ électrique E⃗ = E^0 cos(ωt − k⃗_t ⋅ r⃗)e⃗_y, se propageant dans un milieu non absorbant d'indice n, est donnée par I = 1/2ε_0 cn(E^0)^2.

Dans toute la partie II, l'indice n_2 reste très proche de l'indice n_1. De plus l'incidence est quasi rasante et on pose θ_1 = π/2 − φ_1 avec 0 < φ_1≪π/2. On pose de même θ_2 = π/2 − φ_2 avec 0 < φ_2≪π/2 lorsqu'il y a transmission.
II.1.1 Montrer que dans ces conditions r = (E_r^0)/(E_i^0) ≃ (φ_1 − φ_2)/(φ_1 + φ_2) et t = (E_t^0)/(E_i^0) ≃ (2φ_1)/(φ_1 + φ_2) avec t = 1 + r.
II.1.2 Exprimer de même le rapport (I_t)/(I_i) en fonction de φ_1 et φ_2, en tenant compte de n_2 ≃ n_1.

On considère dorénavant que le milieu 2 est optiquement non linéaire : l'indice n_2 y dépend de l'intensité. On pose n_2(I_t) = n_2(0) + ηI_t = n_1 − Δ + ηI_t, ce qui définit les constantes positives Δ et η. On suppose Δ, ηI_t≪n_1, de sorte que n_2 reste toujours peu différent de n_1.
II.2.1 On suppose d'abord l'intensité I_t faible, n_2 ≃ n_2(0) = n_1 − Δ. Déterminer en fonction de n_1 et Δ l'angle d'incidence limite φ_c tel qu'il existe une onde transmise pour φ_1 ≥ φ_c.
II.2.2 On suppose maintenant 0 < φ_1 < φ_c mais avec l'intensité I_t suffisamment forte pour avoir n_2 > n_1. Pour une incidence φ_1 donnée, quelle est la valeur minimale de ηI_i/Δ pour qu'il y ait transmission d'une onde dans le milieu d'indice n_2 ? Expliciter cette valeur en fonction de φ_1 et φ_c.

Calculer cette valeur minimale pour (φ_1)/(φ_c) = 1/4, (φ_1)/(φ_c) = 1/(2√2) et (φ_1)/(φ_c) = 1/(√2).
II.2.3 Exprimer n_2 en fonction de n_1, Δ, φ_1, φ_2, η et I_i.
II.2.4 Toujours pour n_2 > n_1, déduire de la loi de Descartes pour la réfraction la relation liant φ_1 et φ_2 et montrer qu'à l'ordre le plus bas en φ_1 et φ_2, cette relation prend la forme :

II.2.5 Tracer l'allure de la courbe r = f((ηI_i)/Δ) pour 0 ≤ r ≤ 1 et dans chacun des cas suivants : (φ_1)/(φ_c) = 1/4, (φ_1)/(φ_c) = 1/(2√2) et (φ_1)/(φ_c) = 1/(√2).
II.2.6 Quelles sont les valeurs de (ηI_i)/Δ et de n_2 lorsque r = 0 ? Que se passe-t-il alors physiquement?

On suppose maintenant que l'inégalité n_1 > n_2 est satisfaite, et on se place dans la situation où 0 < φ_1 ≤ φ_c (angle d'incidence supérieur à l'angle limite). C'est la situation de réflexion totale en optique géométrique. La conservation des champs électrique et magnétique au passage du dioptre implique cependant qu'il existe une onde électromagnétique dans le milieud'indice n_2.

Le champ électrique est donné par : E⃗_t = E_t^0 e^(− βz)cos(ωt − κx + φ)e⃗_y avec :

II.3.1 On considère l'interface verre/ CS_2. L'indice du verre est n_1 = 1, 63; celui du CS_2 est n_2 = n_1 − Δ, avec Δ = 1, 0 × 10^(− 3). Calculer la valeur numérique de la profondeur de pénétration β^(− 1) de l'onde électromagnétique transmise pour un angle d'incidence θ_1 = 88, 6^∘ et pour une longueur d'onde de 694 nm (laser à rubis).
II.3.2 On tient compte à présent des effets optiques non linéaires dans CS_2. On se place toujours en incidence quasi-rasante : θ_1 = π/2 − φ_1 et 0 < φ_1≪π/2, mais avec I_t suffisamment faible pour avoir n_2 < n_1 donc réflexion totale. On pose toujours n_2(I_t) = n_1 − Δ + ηI_t, où I_t correspond au champ près du dioptre, soit E_t^0.

Montrer que I_t vérifie l'équation du second degré :

II.3.3 Que se passe-t-il physiquement lorsque I_i > I_i^c, où I_i^c = 1/(16)Δ/η((φ_c)/(φ_1))^2 ?
II.3.4 On fixe la valeur (φ_1)/(φ_c) = 1/4. Tracer le graphe r = f((ηI_i)/Δ) lorsque I_i croît de 0 à I_i^c. En reprenant les résultats des questions II.2.5 et II.2.6, tracer sur le même dessin la courbe r = f((ηI_i)/Δ) lorsque I_i décroît de I_i^c à 0 .

Comment ces courbes sont-elles modifiées pour (φ_1)/(φ_c) = 1/(2√2) et (φ_1)/(φ_c) = 1/(√2) ?
II.3.5 Le coefficient η pour CS_2 vaut 3 × 10^(− 14) W^(− 1) ⋅ cm^2. Calculer I_i^c pour (φ_1)/(φ_c) = 1/4. Comment peut-on obtenir une telle intensité?
II.3. 6 La figure 6 représente la variation du coefficient de réflexion en intensité R = |r|^2 de l'interface verre- CS_2 en fonction de l'intensité incidente, exprimée en unités arbitraires. Les points noirs sont obtenus en augmentant l'intensité incidente, les cercles ouverts en la diminuant. Commenter cette courbe. Quelle application de ce phénomène peut-on envisager?