Polytechnique Physique 2 PC 2006Sujet et corrigé

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Le problème est consacré à l'étude de la réflexion et de la transmission d'une onde électromagnétique par des milieux conducteurs, d'abord d'extension infinie, puis par des couches conductrices d'épaisseurs nanométriques. Ces dernières, déjà utilisées dans de nombreux dispositifs de l'optoélectronique moderne (détecteurs infrarouges, lasers solides), font l'objet de travaux de recherche soutenus.

On rappelle les équations de Maxwell pour un milieu non magnétique :

masse de l'électron : m_0 = 9, 1 × 10^(− 31) kg
charge élémentaire : e = 1, 6 × 10^(− 19)C
électronvolt: 1eV = 1, 6 × 10^(− 19) J
constante de Planck: h = 6, 6 × 10^(− 34) J ⋅ s
constante de Boltzmann : k_B = 1, 4 × 10^(− 23) J ⋅ K^(− 1)

Le mouvement d'un électron dans un solide correspond à celui d'une particule chargée de charge − e(e > 0) et de masse «effective» m ( m < m_0 où m_0 est la masse de l'électron dans le vide).

Un solide contient des électrons de conduction de masse effective m et de charge − e, e > 0, de concentration volumique n supposée uniforme. La neutralité électrique est assurée par des charges
+ e fixes, de même concentration volumique n. Une onde électromagnétique plane, progressive, de pulsation angulaire ω, polarisée linéairement, arrive normalement sur une face plane de ce solide. On note Oz la direction de propagation, z = 0 la surface de l'échantillon et Ox la direction de polarisation de l'onde électromagnétique.

Dans le solide, on suppose que les électrons sont sans interaction entre eux et soumis au champ électrique de l'onde :

I.1. Montrer qu'en régime permanent, le mouvement des électrons de conduction peut être décrit par une polarisation du milieu P⃗_(el) avec j⃗_(libre) = (∂P⃗_(el))/(∂t) et que cette polarisation peut s'écrire :

A cette polarisation s'ajoute une polarisation associée aux électrons «élastiquement liés » qui, dans la gamme des fréquences qui nous intéresse, est caractérisée par une susceptibilité χ_r constante.
I.2. Montrer que, dans ces conditions, E_x vérifie les équations:

où ω_p est une pulsation angulaire que l'on définira.
I.3. On cherche des solutions de cette équation de propagation sous la forme :

Caractériser les ondes associées à ces trois termes. Quelles sont les relations entre k, q et ω ?
I.4. Montrer que E_x et (dE_x)/(dz) sont continus en z = 0.
I.5. En déduire que pour ω ≥ ω_p le coefficient de réflexion R = |r|^2 est égal à :

tandis que pour ω ≤ ω_p le coefficient de réflexion R est égal à 1 .
I.6. La figure suivante présente des résultats expérimentaux sur le coefficient de réflexion d'un échantillon de InSb pour plusieurs valeurs de densité électronique.

À partir de la courbe correspondant à la densité 1, 2 × 10^(24) m^(− 3), déduire χ_r ainsi que la valeur de la masse effective m des électrons dans ce solide.

Dans un milieu diélectrique de permittivité diélectrique relative ε_r(ε_r⟩1), l'interaction entre deux charges q et q^′, situées en r⃗ et r⃗^′ et suffisamment éloignées l'une de l'autre, est décrite par une force coulombienne dérivant de l'énergie potentielle :

II.1. On désire analyser l'effet des interactions entre électrons dans un solide sur l'absorption d'une onde électromagnétique. On considère donc un ensemble de N électrons de masse m et de charge − e. En plus de l'interaction coulombienne, ces électrons sont soumis à des forces de rappel harmoniques. Pour l'électron i, de position r⃗_i, cette force s'écrit : F⃗_i = − mω_0^2(r⃗_i − r⃗_(i0)), r⃗_(i0) étant sa position d'équilibre. De plus, les électrons interagissent avec un champ magnétique statique et uniforme B⃗.

Enfin, chaque électron interagit avec le champ électrique E⃗_(em) d'une onde électromagnétique, champ que l'on considèrera comme uniforme sur l'ensemble des N électrons.
II.1.1) Écrire l'équation du mouvement de l'électron i.
II.1.2) On introduit le centre de masse G des N électrons. Quelle est l'équation du mouvement de G ?
II.1.3) Exprimer le travail élémentaire du champ électrique de l'onde effectué durant dt sur les N électrons. Montrer que ce travail est indépendant des interactions entre électrons et que l'on peut donc l'évaluer dans un modèle d'électrons indépendants.
II.1.4) Outre la force de rappel harmonique, quelles sont les forces à un électron F⃗_i pour lesquelles le résultat obtenu en II.1.3 demeure établi?
II.2. Les techniques modernes d'épitaxie permettent de réaliser des empilements contrôlés de couches nanométriques. Il est également possible de transférer dans une couche donnée un nombre contrôlé d'électrons. Enfin, sous illumination, des paires de charges opposées ( + e, − e ) s'ajoutent à ces électrons. Une telle paire, notée X^0, peut s'agréger à un électron et former un complexe à trois particules, un trion X^−. Un tel complexe est stable si son énergie est inférieure d'une quantité Δ, Δ > 0, à la somme de l'énergie de la paire X^0 et de celle d'un deuxième électron au repos à l'infini.

On suppose que l'interaction entre charges est celle décrite en début de partie II, et pour simplifier l'écriture, on pourra poser e~^2 = e^2/4πε_0 ε_r.

On étudie la stabilité des complexes X^−dans un modèle semiclassique; on suppose que la particule + e est localisée à l'origine tandis que les deux charges − e décrivent des orbites circulaires de rayon R autour de la charge + e.
II.2.1) Les deux électrons peuvent-ils être situés sur des cercles de rayons différents? Obtenir l'expression de l'énergie totale en fonction de e~^2 et de R.
II.2.2) En utilisant pour chaque électron la quantification du moment cinétique qui impose que sa composante perpendiculaire à l'orbite soit un multiple entier de ℏ = h/2π, ( h constante de Planck), déterminer le rayon R correspondant à l'état fondamental de X^−ainsi que son énergie.
II.2.3) Même question pour X_0, la charge + e étant toujours localisée à l'origine.
II.2.4) Évaluer numériquement Δ, l'énergie de dissociation du complexe X^−, en eV , pour m = 0, 07m_0, ε_r = 12, 4. A quelle température cette énergie de dissociation correspond-elle?
II.3. Soit un échantillon contenant N_e électrons dans le volume V = LS. Après irradiation lumineuse, N_X(0) paires (+ e, − e) sont ajoutées au système. On admet que des X^0 peuvent s'agréger à des électrons pour donner des X^−et, réciproquement, que des X^−peuvent se dissocier en des X^0 plus des électrons. Les trois espèces, électrons, X^0, X^−sont en équilibre thermodynamique à la température T selon la réaction :

II.3.1) On considère un gaz parfait « bidimensionnel » de N « particules », chacune de masse M, confinées dans une couche de très faible épaisseur L et de surface S, et ne pouvant se mouvoir que parallèlement à la surface; à la température T, on montre que le potentiel chimique par particule μ est donné, à une constante additive près, par :

A quelle valeur limite de μ conduit cette expression pour T → 0K ?
On adopte ce modèle de gaz parfait pour les trois espèces (électrons, X^0 et X^−avec leurs masses respectives m, m_(X^0) et m_(X^−)), leur mélange étant considéré comme idéal. On prend comme origine
des énergies celle d'un couple ( X^0, e^−) à T = 0K; quelle valeur doit alors prendre le potentiel chimique de X^−à T = 0 ? En déduire l'expression de ce potentiel μ(X^−)à T quelconque.
II.3.2) Justifier que la condition d'équilibre thermodynamique entre les trois espèces s'écrit μ(X^−) − μ(e) − μ(X^0) = 0. En déduire une relation entre les concentrations surfaciques n_e = N_e/S, n_(X^0) = N_(X^0)/S, n_(X^−) = N_(X^−)/S.
II.3.3) Soient n_e(0) et n_X(0) les concentrations surfaciques d'électrons introduits et de paires (+ e, − e) créées par illumination. À partir de lois de conservation, déduire deux autres relations entre n_e, n_(X^0) et n_(X^−). En déduire n_(X^0) et n_e en fonction de n_(X^−)et des conditions initiales.
II.3.4) Déduire de la condition d'équilibre l'équation déterminant n_(X^−). On posera

II.3.5) Sans résoudre l'équation, discuter les variations de n_(X^−)en fonction de T, dans l'hypothèse n_(X^−)(0)≪n_e(0).

Dans cette partie, N électrons sont confinés dans une couche d'épaisseur L le selon Oz(|z| ⩽ L/2), et de surface S macroscopique dans le plan xOy. On néglige les interactions entre électrons et chacun d'entre eux est soumis à une force harmonique dirigée le long de z^′ Oz et de pulsation angulaire ω_0, F⃗ = − mω_0^2 ze⃗_z. On notera a l'élongation maximum du mouvement de l'électron le long de l'axe z, avec a≪L.

L'électron est également soumis à un champ magnétique statique et uniforme dirigé le long de x^′ Ox :

De plus, chaque électron est soumis au champ électrique d'une onde électromagnétique se propageant le long de z et polarisée linéairement à l'extérieur de la couche; à l'intérieur le champ est a priori de la forme :

L'effet des imperfections du matériau, des collisions ... sur le mouvement des électrons est modélisé pour chaque électron par une force de frottement visqueux − m(v⃗)/τ.
III.1. Écrire les équations du mouvement pour un électron.

On s'intéresse dans la suite aux mouvements forcés : r⃗ = r⃗_0 e^(iωt) avec r⃗_0 de composantes ( x_0, y_0, z_0 ).
III.2. Justifier que x_0 = 0, et montrer que ( y_0, z_0 ) est solution d'une équation de la forme

où M est une matrice 2 × 2 que l'on explicitera. Exprimer les composantes ( P_x, P_y, P_z ) de la polarisation d'origine électronique P⃗_(el) en fonction de y_0 et z_0.

On peut déduire de III. 2 que :

où

tandis que si |z| ≤ L/2 :

avec

Outre la polarisation d'origine électronique précédente, il existe pour tout z une polarisation P⃗_r = ε_0 χ_r E⃗ où χ_r = 11, 4. On pose β_(ij) = (χ_(ij)^(el))/(1 + χ_r).
III.3. Montrer qu'à l'ordre zéro en 1/τ les composantes β_(ij) admettent une résonance pour ω = ω_(res) avec ω_(res) = √(ω_0^2 + ω_c^2).
III.4. Évaluer numériquement α = (Ne^2)/(mLSω_0^2 ε_0) pour N/S = 1 × 10^(15) m^(− 2), L = 10 nm, ℏω_0 = 0, 1eV, m = 0, 07m_0.

Évaluer numériquement ω_(c, max), valeur de ω_c correspondant à un champ magnétique maximal de 15 T ; comparer à ω_0; en déduire un développement limité de ω_(res) à l'ordre le plus bas non nul en ω_c/ω_0.
III.5. En présence d'amortissement, les ordres de grandeur des coefficients β_(ij) sont tels que le facteur de transmission T de l'échantillon est alors approximativement donné par : T ≃ 1 + kLIm(β_(yy)) si |kLIm(β_(yy))|≪1, où k est le nombre d'onde dans le milieu en dehors de la couche.

Montrer, compte tenu des évaluations numériques de III.4, que la transmission T_(res)(B) de l'échantillon à la résonance s'écrit :

Que se passe-t-il lorsque B = 0 ? Expliquer qualitativement pourquoi un champ B affecte la transmission de l'échantillon? Comment varie essentiellement δT_(res) = T_(res)(0) − T_(res)(B) en fonction de B ? Comment varie la fréquence de résonance avec B ?
III.6. En réalité, l'échantillon comprend N_c couches d'épaisseur nanométrique, toutes identiques. On étudie la transmission par ces N_c couches en négligeant les phénomènes de réflexion à chaque interface. Que vaut la diminution ΔT_(res) de cette transmission, due à la résonance, en fonction de δT_(res) et de N_c ?

Évaluer ΔT_(res) pour α = 0, 84, L = 9, 5 nm, ω_0 = 1, 55 × 10^(14)rd ⋅ s^(− 1), (ω_c)/(ω_0) = 0, 16, ω_0 τ = 20, χ_r = 11, 4, N_c = 30.

III.7. La figure ci-dessus présente la variation de transmission relative T(B)/T(0) en fonction de ℏω pour diverses valeurs du champ magnétique B : 6T, 8T, 10T, 11T, 12T, 13T, 14T et 15T. Comparer les résultats expérimentaux aux prévisions du modèle développé ci-dessus. En déduire la masse effective des électrons dans cette hétérostructure.