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CCINP Physique PC 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Mouvement à force centrale
  • Moment cinétique et énergie mécanique
  • Onde de matière de De Broglie
  • Équations de Maxwell et dipôle magnétique
  • Interférométrie de Fabry-Pérot et effet Zeeman
  • Équation de Schrödinger stationnaire
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De l'évolution du concept d'atome au cours du XXe siècle : de Rutherford à l'atome de Bohr et aux orbitales atomiques
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Le sujet est constitué d'un unique problème de 49 questions réparties en six parties indépendantes, qui retrace des étapes historiques de la physique atomique. Il balaie la mécanique, l'électromagnétisme, l'optique et la physique quantique, en passant par l'expérience de Rutherford, les postulats de Bohr, l'expérience de Stern et Gerlach, l'effet Zeeman normal et l'étude de l'orbitale 1s de l'atome d'hydrogène.

  1. 1Partie I : Limite du modèle de J. J. Thomson à travers l'expérience de E. Rutherfordpremière annéeInterprétation de la rétrodiffusion de particules alpha à proximité d'un noyau, à partir de la mécanique du mouvement à force centrale.
  2. 2Partie II : Limite du modèle planétairepremière annéeÉtude de la puissance dissipée par rayonnement par l'électron gravitant autour du noyau, à partir des mouvements à force centrale.
  3. 3Partie III : Postulats de N. Bohrpremière annéeÉtude de l'atome de Bohr à partir de notions de première année sur le monde quantique, l'onde de matière de De Broglie et les transitions entre niveaux énergétiques.
  4. 4Partie IV : Expérience de O. Stern et W. Gerlachdeuxième annéeÉtude documentaire de l'expérience de Stern et Gerlach, portant sur les équations de Maxwell, une carte de champ et un dipôle magnétique dans un champ uniforme.
  5. 5Partie V : L'effet Zeeman normaldeuxième annéeUtilisation d'un interféromètre de Fabry-Pérot pour mettre en évidence l'effet Zeeman normal, dans le cadre du programme d'optique ondulatoire de deuxième année.
  6. 6Partie VI : Orbitales atomiquesÉtude de l'orbitale 1s de l'atome d'hydrogène : densité de probabilité de présence et équation de Schrödinger stationnaire.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,38 / 20 · écart-type 3,34 · 4 558 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,38/ 20
Écart-type
3,34
Présents
4 558
Coefficient
8
Durée
4 h
moyenne 10,3805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 30 avril 2019. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confusion entre force centrale et force conservative · Passage en force vers le résultat donné · Confusion entre une grandeur et sa variation
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Le jury espérait que la variété des thèmes permette à une majorité de candidats d'obtenir une note honorable, ce qui n'a pas été le cas, même si le problème a correctement classé les candidats. Il relève un manque de rigueur dans les calculs, des lacunes sur le cours de première année, des difficultés de rédaction et de communication, ainsi qu'une bonne qualité générale de présentation des copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre force centrale et force conservativeQ2

    Le jury relève beaucoup de confusion ou d'incompréhension sur les concepts de force centrale et de force conservative, alors que seul le caractère central implique la conservation du moment cinétique et le caractère conservatif celle de l'énergie mécanique.

  2. 2
    Passage en force vers le résultat donnéQ13

    Un manque de rigueur dans les calculs, accentué par la connaissance préalable du résultat attendu, conduit certains candidats à des tentatives malvenues de passage en force.

  3. 3
    Confusion entre une grandeur et sa variationQ15, Q31

    Beaucoup de candidats confondent une grandeur, l'énergie, avec sa variation, la puissance, pour justifier la diminution du rayon.

  4. 4
    Oubli du signe dans la puissance cédéeQ16

    Le signe moins de la puissance moyenne cédée par le système est souvent oublié, entraînant des erreurs de signe qui se compensent parfois par une double erreur.

  5. 5
    Paraphrase de la question sans y répondreQ1, Q27, Q41

    Beaucoup d'étudiants paraphrasent la question posée sans vraiment y répondre, ce qui ne donne pas de points.

  6. 6
    Confusion sur la topologie du champ magnétiqueQ31

    Les candidats confondent la dépendance d'un champ selon une direction avec son orientation, ce qui ne permet pas de justifier correctement que le champ est croissant avec z.

Ce qui a été bien réussi

  • Il y a eu davantage d'excellentes copies que les années précédentes, avec chacune des parties abordée et des notes supérieures à 15.
  • La question 6, classique, est en général bien traitée par les candidats qui ont bien traité les questions 4 et 5.
  • La question 14 a un bon taux de réussite, signe d'un thème assurément bien travaillé en classe.
  • Le rayon de Bohr à la question 18 est bien connu et la question est presque toujours traitée de la bonne manière.
  • La partie VI sur les orbitales atomiques, bien que située en fin de problème, a été autant traitée que les autres et assez correctement.

Conseils du jury

  • Ne pas se contenter d'une réponse générale du type force centrale et conservative, mais associer précisément chaque loi de conservation à la propriété qui la justifie.
  • Préférer constater honnêtement qu'un calcul n'aboutit pas au résultat demandé plutôt que de forcer artificiellement le résultat, car des points sont prévus pour les étapes intermédiaires.
  • Distinguer clairement une grandeur physique de sa variation dans le temps.
  • Ne pas se limiter à paraphraser l'énoncé et prendre le temps de répondre précisément à la question posée.
  • Ne pas négliger les applications numériques, souvent faciles à obtenir, ni l'analyse dimensionnelle en complément d'une démonstration.
  • Soigner la rédaction et accompagner les réponses d'un schéma clair, en particulier en optique et en électromagnétisme.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

PHYSIQUE

Mardi 30 avril : 8 h-12 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Les six parties de ce problème peuvent être traitées séparément.

Leurs poids respectifs sont approximativement de :
24 % pour la partie I
13 % pour la partie II
13 % pour la partie III
21 % pour la partie IV
16 % pour la partie V
13 % pour la partie VI

PROBLÈME De l'évolution du concept d'atome au cours du XX ^e siècle

Ce problème aborde certaines étapes de l'histoire des sciences qui ont permis, au cours du XX^e siècle, de préciser la structure et les propriétés de l'atome. Dans la partie I, on s'intéressera à l'expérience de E. Rutherford, qui conduisit à abandonner le modèle de J.J. Thomson au profit de celui de J. Perrin. Les limites de ce modèle feront l'objet de la partie II, limites qui seront partiellement levées dans la partie III avec les postulats de N. Bohr. L'expérience historique de O. Stern et W. Gerlach, décrite dans la partie IV, apportera la preuve de l'existence d'un moment magnétique propre de l'électron. On verra dans la partie V de quelle manière l'interprétation première de cette expérience a été mise en défaut avec l'effet Zeeman. C'est finalement la mécanique quantique qui apporte à ce jour la description la plus complète de l'atome : la partie VI étudiera le mouvement de l'électron d'un atome d'hydrogène à partir de l'équation de E. Schrödinger.
Les effets liés à la gravité seront négligés dans l'ensemble du problème.
Le rotationnel d'un champ F⃗(F_x, F_y, F_z) a pour expression, en coordonnées cartésiennes :
rotF⃗ = (∂F_z/∂y − ∂F_y/∂z; ∂F_x/∂z − ∂F_z/∂x; ∂F_y/∂x − ∂F_x/∂y)

Données numériques

Constante de Planck
Charge électrique élémentaire
Masse de l'électron
Electronvolt
Permittivité du vide
Célérité de la lumière dans le vide
h = 6, 6 ⋅ 10^(− 34) J ⋅ s; e = 1, 6 ⋅ 10^(− 19)C; m_e = 9, 1 ⋅ 10^(− 31) kg; 1eV = 1, 6 ⋅ 10^(− 19) J; ε_0 = 8, 9 ⋅ 10^(− 12) A^2 ⋅ s^4 ⋅ kg^(− 1) ⋅ m^(− 3); c = 3, 0 ⋅ 10^8 m ⋅ s^(− 1)

Partie I - Limite du modèle de J. J. Thomson à travers l'expérience de E. Rutherford

En 1898, J . J. Thomson fait l'hypothèse que les atomes sont constitués d'électrons emprisonnés dans une sorte de gelée de charges positives. Ce modèle est appelé modèle du "plum pudding", car J. J. Thomson compare les électrons aux raisins du célèbre dessert anglais. Le physicien Jean Perrin imagine, quant à lui, l'atome à l'image du système solaire. Il suppose que les électrons gravitent, à des distances immenses, autour d'un «soleil» d'électricité positive, sur des orbites pour lesquelles force coulombienne et force d'inertie s'équilibrent.
En 1909, Ernest Rutherford, procède à une série d'expériences dans lesquelles un faisceau de particules alpha (noyaux d'hélium 4 : _2^4 He ), ayant toutes la même énergie cinétique, est lancé contre une mince feuille d'or. Il observe que la majorité des particules alpha traversent la feuille d'or, mais qu'une faible proportion d'entre elles «rebondit» sur celle-ci. Le but de cette partie est de déterminer quel modèle est en accord avec cette observation expérimentale.
Nous nous plaçons d'abord dans le cadre du modèle de J. J. Thomson, supposant une répartition uniforme de la charge positive dans la feuille d'or.
Q1. Expliquer qualitativement pourquoi le modèle proposé par J.J. Thomson est incompatible avec les observations de E. Rutherford.
Nous nous plaçons maintenant dans le cadre du modèle de J. Perrin, supposant l'existence d'un noyau massif de charge positive, et on étudie le mouvement de la particule alpha lors de son passage à proximité de ce noyau.
Le noyau d'or, de charge positive ponctuelle Z.e, supposé ponctuel et immobile dans le référentiel galiléen du laboratoire, se situe au point O, origine d'un repère cartésien orthonormé ( O, e_x^(→−), e_y→, e_z→ ).
Nous considérons qu'à l'instant initial t = 0 s, la particule alpha, de masse m_α et de charge électrique q_α = + 2.e, vient de «l'infini» avec un mouvement rectiligne uniforme caractérisé par un vecteur vitesse v_0^(→−) = v⃗(t = 0) = v_0 ⋅ e_x^(→−). On désigne par b la distance du point O à la trajectoire de la particule à l'infini (figure 1). À chaque instant t, on note d(t) la distance entre la particule alpha et le point O. La particule alpha est donc repérée par le vecteur position OM^(→−)(t) = d(t) ⋅ e_r→, avec (e_r→, e_θ→, e_z→) une base cylindrique locale directe.
Au plus proche du point O, la particule alpha est au point S, la distance minimale en ce point est notée d_m. La particule alpha est non relativiste. L'expérience a été réalisée sous très faible pression.
Figure 1 - Expérience de Ernest Rutherford
Q2. Donner l'expression de la force qui s'exerce sur la particule alpha en fonction de e, Z, d, ε_0 et e_r→. Donner l'expression de l'énergie potentielle E_p qui y est associée, en considérant que lim_(d → + ∞)E_p(d) = 0, en fonction de e, Z, d et ε_0. Réécrire ces deux expressions en fonction de K = (Z ⋅ e^2)/(2 ⋅ π ⋅ ε_0) et d.
Citer les propriétés de cette force qui permettent d'affirmer que le moment cinétique L_O^(→−) par rapport au point O et l'énergie mécanique E_M de la particule alpha se conservent.
Q3. Déterminer, en fonction de m_α et v_0, l'énergie mécanique E_M de la particule alpha.
Q4. Exprimer le moment cinétique L_O^(→−), en fonction de b, m_α, v_0 et l'un des vecteurs unitaires du trièdre direct (e_x^(→−), e_y→, e_z→). Pour cela, vous pourrez calculer L_O^(→−) en M_0, position initiale de la particule alpha telle que OM_0^(→−) = X ⋅ e_x^(→−) + b ⋅ e_y→.
Q5. Établir, à un instant t quelconque, l'expression du moment cinétique L_O^(→−) en fonction de θ˙ = (dθ)/(dt), m_α, d et de l'un des vecteurs unitaires du trièdre direct (e_x^(→−), e_y→, e_z→). En déduire une relation entre d, b, θ˙ et v_0.
Q6. Au sommet S de la trajectoire, le vecteur vitesse v_S^(→−), de norme v_S, de la particule alpha est perpendiculaire au rayon vecteur OS^(→−), de norme d_m. Déterminer un polynôme du second degré en d_m et en déduire l'expression de d_m en fonction de K, b, m_α et v_0.
Q7. Malheureusement, b est inaccessible à la mesure. Par contre, l'angle de déviation φ est facilement mesurable. Il faut donc trouver la relation qui lie φ à b. Pour cela, vous écrirez le principe fondamental de la dynamique (P.F.D.) en fonction de K, d, m_α, v⃗ et e_r→. Projeter le P.F.D. sur l'axe des x en introduisant la composante v_x de la vitesse selon l'axe des x, et l'angle θ (figure 1, page 3).
Réécrire cette équation en fonction uniquement de v_x, θ, θ˙, K, b, m_α et v_0. Intégrer cette équation entre t = 0 et t → ∞. On remarquera que lim_(t → + ∞)θ(t) ≈ φ. En déduire que la relation qui lie φ à b est : tan(φ/2) = K/(b ⋅ m_α ⋅ v_0^2).
On rappelle que : cosφ − 1 = − 2 ⋅ sin^2(φ/2) et sinφ = 2 ⋅ cos(φ/2) ⋅ sin(φ/2).
Q8. À partir de quelle valeur de φ les particules alpha rebondissent-elles sur la feuille d'or? Expliquer pourquoi le modèle de J. Perrin permet d'interpréter les observations de E. Rutherford.
Nous nous proposons maintenant d'évaluer une borne supérieure à la dimension de ce noyau.
Q9. Montrer que la relation qui lie d_m à φ est : d_m = K/(m_α ⋅ v_0^2) ⋅ (1 + 1/(sin(φ/2))).
Q10. Pour quelle valeur φ_m de l'angle φ, la distance d'approche est-elle minimale? Déterminer, dans ce cas, l'expression de d_m en fonction de K, m_α et v_0.
Q11. Que vaut b pour φ = φ_m ? Représenter l'allure de la trajectoire de la particule alpha pour cet angle et faire figurer d_m sur votre schéma. Justifier que d_m constitue une borne supérieure du rayon du noyau.
Sachant que l'énergie typique d'une particule alpha est de 5 MeV et que le numéro atomique de l'or est Z = 79, déterminer numériquement la valeur de d_m.
Q12. Justifier que, pour effectuer des expériences de physique nucléaire, il faut disposer de particules de haute énergie.

Partie II - Limite du modèle planétaire

Le modèle de J.J. Thomson est écarté et l'on considère que les électrons évoluent, avec un mouvement circulaire uniforme, autour d'un noyau massif de charge électrique positive. Néanmoins, ce modèle est en contradiction avec une loi classique de l'électromagnétisme : toute particule chargée et accélérée émet de l'énergie électromagnétique.
Pour mettre en évidence les conséquences de cette loi classique de l'électromagnétisme, nous allons étudier le mouvement de l'électron de l'atome d'hydrogène, de masse m_e et de charge électrique q_e = − e, qui tourne autour de son noyau, un proton de masse m_p et de charge électrique q_p = + e, sur une orbite circulaire de rayon r (figure 2). Le noyau est considéré, dans le référentiel galiléen du laboratoire, fixe, ponctuel et placé en son centre C. Le centre de la trajectoire circulaire de l'électron est donc C.
Figure 2 - Modèle planétaire de l'atome d'hydrogène
Pour étudier le mouvement circulaire de l'électron, nous allons utiliser le repère polaire pour lequel, en un point M de la trajectoire décrite par l'électron, on associe deux vecteurs unitaires e_r→ et e_θ→
(figure 2). e_θ→ est le vecteur tangent à la trajectoire au point M et dirigé dans le sens du mouvement.
La position de l'électron est repérée par le vecteur position : CM^(→−) = r ⋅ e_r→ et l'angle θ = (Cx^(→−), CM^(→−)).
Q13. Déterminer l'expression du vecteur vitesse v⃗ de l'électron en fonction de e, m_e, ε_0, r et d'un vecteur unitaire.
Q14. Exprimer l'énergie mécanique E_M(r) de l'électron sous la forme E_M(r) = A ⋅ f(r) où A est une constante négative dont vous préciserez l'expression en fonction de e, ε_0 et f(r) une fonction qui ne dépend que de r que vous déterminerez également.
Q15. Une loi classique de l'électromagnétisme indique que toute particule chargée et accélérée émet de l'énergie électromagnétique. Aussi, d'après cette théorie, l'électron devrait émettre un rayonnement électromagnétique de puissance moyenne :
P(r) = (ω^4 ⋅ e^2 ⋅ r^2)/(12 ⋅ π ⋅ ε_0 ⋅ c^3)
où ω est la vitesse angulaire de l'électron et c la vitesse de la lumière dans le vide.
Cette puissance peut être mise sous la forme P(r) = P_0 ⋅ 1/(r^4), où P_0 est une constante. Déterminer l'expression de P_0 et son unité.
Justifier que le rayon de la trajectoire de l'électron diminue au cours du temps.
Q16. Montrer qu'il existe une relation différentielle de la forme : r^2 ⋅ (dr)/(dt) = (P_0)/A.
Q17. À t = 0, on suppose que l'électron se trouve sur une orbite de rayon R. Donner l'expression, en fonction de P_0, R et A, du temps t_f mis par l'électron pour atteindre le noyau.
On donne R = 1, 0.10^(− 10) m, calculer t_f. Commenter le résultat obtenu.

Partie III - Postulats de N. Bohr

Les contradictions théoriques précédentes vont être «levées» par Niels Bohr. En 1913, ce dernier postule, d'une part, l'existence d'orbites circulaires sur lesquelles l'électron ne rayonne pas (postulat mécanique) et, d'autre part, que le mouvement d'un électron d'une orbite à l'autre se traduit par l'émission ou l'absorption d'énergie électromagnétique (postulat optique).
Le postulat mécanique traduit la quantification de la norme du moment cinétique L de l'électron par rapport au centre de l'atome
L = n ⋅ ℏ = n ⋅ h/(2 ⋅ π)
où n est le nombre quantique principal, n ∈ ℕ^∗ et h la constante de Planck.
Vous considérerez qu'un électron sur une orbite de rayon r possède une vitesse v = e/(√(4 ⋅ π ⋅ ε_0 ⋅ m_e ⋅ r)) et une énergie mécanique E_M = − (e^2)/(8 ⋅ π ⋅ ε_0) ⋅ 1/r.
Q18. Montrer que le postulat mécanique implique que l'électron ne peut se trouver que sur certaines orbites de rayon r_n = r_0 ⋅ n^2.
Préciser l'expression de r_0 en fonction de ε_0, h, m_e et e. Calculer la valeur de r_0.
Q19. En traduisant le fait que l'onde de matière associée à l'électron doit interférer constructivement avec elle-même après un tour sur son orbite, établir une relation entre la longueur d'onde de De Broglie de l'électron λ et le périmètre 𝒫 de son orbite. Montrer qu'on retrouve alors le postulat mécanique de N. Bohr.
Q20. Montrer que le postulat mécanique implique que l'électron qui se trouve sur une orbite de rayon r_n possède une énergie mécanique E_M = − (E_0)/(n^2).
Préciser l'expression de E_0 en fonction de ε_0, h, m_e et e. Calculer, en électronvolt, la valeur de E_0. Que représente physiquement E_0 ?
Lorsqu'un électron va d'une orbite externe vers une orbite interne, on parle de réarrangement du cortège électronique ou de désexcitation et cela se traduit par l'émission d'un photon.
Q21. Montrer que la longueur d'onde du photon émis est liée aux nombres quantiques n_i et n_f des orbites de départ et d'arrivée de l'électron par l'expression de Rydberg - Ritz: 1/λ = R_H ⋅ [1/(n_f^2) − 1/(n_i^2)] avec n_i > n_f.R_H est la constante de Rydberg.
Préciser l'expression de R_H en fonction de E_0, h et c. Indiquer sa valeur et son unité.
Q22. Les raies de la série de Lyman sont celles pour lesquelles l'électron est revenu à la couche K (n_f = 1). Dans ce cas, la mesure des trois premières raies donne les longueurs d'onde suivantes : λ_1 = 121, 5 nm; λ_2 = 102, 5 nm; λ_3 = 97, 2 nm.
À quelle partie du spectre électromagnétique ces longueurs d'onde correspondent-elles ? Calculer, à partir de ces valeurs expérimentales, la constante de Rydberg. Conclure.

Partie IV - Expérience de O. Stern et W. Gerlach

En février 1922, Otto Stern et Walther Gerlach firent la découverte fondamentale de la quantification spatiale des moments magnétiques des atomes. Ce résultat est à l'origine de développements physiques et techniques importants du XX^e siècle, comme la résonance magnétique nucléaire, l'horloge atomique ou le laser. Pour cette découverte, Otto Stern reçut le prix Nobel en 1943.
Le dispositif mis en œuvre est représenté en figure 3, page 8 . Il y règne un vide poussé. Les atomes d'argent émergent d'un four pour traverser un collimateur, à la sortie duquel seuls les atomes se propageant selon l'axe ( Ox ) sont sélectionnés. Ces atomes passent ensuite entre les pôles d'un aimant dont la forme a été choisie pour que le champ magnétique n'y soit pas uniforme.
Les lignes de champ magnétique sont représentées en figure 4, page 8. Ce champ possède une composante B_z intense, une composante B_y moins élevée et nulle au centre, et une composante B_x nulle.
Puisqu'un dipôle magnétique de moment magnétique m⃗, situé en un point M où règne un champ magnétique stationnaire B⃗(M), subit une force F⃗ = (m⃗ ⋅ grad^(→−))B⃗(M), le jet atomique est alors dévié. En sortant de l'entrefer, il continue en ligne droite jusqu'à un écran où sont repérés les impacts des atomes. Il est à noter que les atomes d'argent possèdent un seul électron de valence ce qui fait que, pour l'expérience considérée, ils se comportent de la même façon que des atomes d'hydrogène.
Figure 3 - Dispositif de l'expérience de Stern et Gerlach
Figure 4 - Lignes de champ magnétique dans l'entrefer
La sous-partie IV. 1 traite de généralités qui ont pour objectif d'aboutir, en fin de la question Q25, à l'expression de la pulsation de Larmor Ω_L. Cette dernière devra être utilisée pour répondre à la question Q30 de la sous-partie IV.2. En dehors de ceci, les sous-parties IV. 1 et IV. 2 sont indépendantes.

IV. 1 - Généralités

Q23. Considérons l'électron de l'atome d'hydrogène décrivant un mouvement circulaire uniforme sur son orbite comme indiqué en figure 5, page 9. Donner l'expression du moment magnétique m⃗ associé à la boucle de courant créée par le mouvement circulaire de l'électron en fonction de la vitesse de l'électron v, du rayon r de la trajectoire, de la charge électrique élémentaire e et du vecteur unitaire e_(z^′)^(→−).
En déduire que ce moment magnétique est lié au moment cinétique orbital L⃗ en C de l'électron par la relation m⃗ = γ_e ⋅ L⃗ où γ_e est le rapport gyromagnétique classique de l'électron. Exprimer γ_e en fonction de e et m_e.
Figure 5 - Modèle planétaire de l'atome d'hydrogène
Q24. Un dipôle magnétique de moment magnétique m⃗ situé en C et plongé dans un champ magnétique B⃗(C) subit un moment Γ⃗(C) = m⃗ ∧ B⃗(C). On considère un champ magnétique orienté selon l'axe (Cz), B⃗(C) = B(C) ⋅ e_z→ et indépendant du temps. Il y a donc un angle θ entre l'axe qui porte le moment magnétique ( Cz ') et l'axe ( Cz ) (figure 5). Déduire du théorème du moment cinétique appliqué en C à l'atome d'hydrogène, que la norme du moment magnétique ‖m⃗‖ = m et sa composante selon z, m_z = m⃗ ⋅ e_z→, sont indépendantes du temps.
Q25. Un point M décrivant un mouvement circulaire autour d'un axe ( Δ ), de vecteur unitaire u_Δ^(→−), à la vitesse angulaire ω⃗ = ω ⋅ u_Δ^(→−) a l'extrémité de son vecteur position OM^(→−) qui respecte la relation : (dOM^(→−))/(dt) = ω⃗ ∧ OM^(→−), avec O un point de l'axe ( Δ ).
Justifier alors que l'extrémité du vecteur m⃗ tourne autour de l'axe (Cz) en décrivant un cercle à la pulsation de Larmor Ω_L = (e ⋅ B)/(2 ⋅ m_e).

IV. 2 - Le dispositif expérimental

Q26. Expliquer la nécessité d'un champ magnétique non uniforme dans l'expérience de Stern et Gerlach.
Q27. Pourquoi les lignes de champ magnétique présentées en figure 4 de la page 8 sont-elles cohérentes avec l'énoncé ? Préciser la parité en y de la composante B_z(y, z).
Q28. Puisque la composante B_z(y, z) est une fonction continue et dérivable, sa parité impose la relation suivante : ((∂B_z)/(∂y))_(y = 0) = 0. Rappeler, sous leur forme locale, les équations de Maxwell dans le vide. Utiliser l'une d'entre elles pour démontrer que ((∂B_y)/(∂z))_(y = 0) = 0.
Q29. Compte-tenu du résultat précédent, montrer que les atomes d'argent qui passent en y = 0 dans l'entrefer y subissent une force d'expression :
F⃗(x, y = 0, z) = m_y ⋅ ((∂B_y)/(∂y))_((x, y = 0, z)) ⋅ u_y^(→−) + m_z ⋅ ((∂B_z)/(∂z))_((x, y = 0, z)) ⋅ u_z^(→−).
Q30. La durée de passage des atomes d'argent dans l'entrefer est d'environ 6 microsecondes. En considérant qu'il règne un champ magnétique d'environ 1 Tesla, justifier quantitativement, à partir de la pulsation de Larmor obtenue à la question Q23, que la composante transverse m_y peut être remplacée par sa moyenne temporelle dans l'expression de la force F⃗(x, y = 0, z) exercée dans l'entrefer sur les atomes d'argent.
Justifier que cette expression se réduit alors à : F⃗(x, y = 0, z) = m_z ⋅ ((∂B_z)/(∂z))_((x, y = 0, z)) ⋅ u_z^(→−) ⋅
Q31. À partir de l'étude des lignes de champ magnétique de la figure 4 de la page 8, justifier que l'atome d'argent soit dévié vers les z positifs lorsque la composante m_z de son moment magnétique est positive.
Q32. Pourquoi, d'un point de vue classique, s'attendrait-on à ce que les impacts des atomes d'argent sur l'écran forment une mince ligne ?
Q33. Ce n'est pas ce que l'expérience a montré. Stern et Gerlach ont observé deux zones dans lesquelles impactaient les atomes. Le faisceau d'atome incident s'était séparé en deux faisceaux filiformes dirigés, respectivement, vers le haut et vers le bas. Que pouvez-vous en conclure?

Partie V - L'effet Zeeman normal

L'effet Zeeman désigne généralement l'éclatement spectral des raies spectrales d'un atome quand on le soumet à un champ magnétique. En présence du champ magnétique, chaque raie se décompose en plusieurs raies très voisines, dont l'écart en fréquence par rapport à la raie unique observée en l'absence de champ magnétique est proportionnel au module du champ appliqué lorsqu'il est faible. Les premières observations faisaient état d'une raie en champ nul se décomposant en trois raies très proches : effet Zeeman normal (figure 6 de la page 11).
Dans cette cinquième partie, seule la question Q34 traite de l'effet Zeeman normal, les questions Q35 à Q45, indépendantes donc de la Q34, portent sur l'interféromètre de Fabry-Pérot utilisé pour sa mise en évidence.
Q34. Avec une lampe à vapeur de cadmium, en l'absence de champ magnétique (figure 6a, page 11), la désexcitation des atomes du niveau d'énergie E_(2(0)), vers le niveau d'énergie E_1 s'accompagne de l'émission d'un photon de longueur d'onde λ_0 = 643, 8 nm. En présence d'un champ magnétique B⃗, cette raie se détriple (figure 6b, page 11). Dans un modèle très simplifié, on interprète ce phénomène comme le fait qu'il n'y a plus un seul état d'énergie E_(2(0)) mais aussi deux autres états d'énergie E_(2(0)) + μ_B ⋅ B et d'énergie E_(2(0)) − μ_B ⋅ B avec μ_B = (e ⋅ h)/(4 ⋅ π ⋅ m_e).
Donner l'expression de l'écart de longueur d'onde Δλ entre deux raies consécutives. Effectuer l'application numérique pour un champ magnétique de 1 Tesla.
Figure 6 - Effet Zeeman normal
Pour mesurer ce faible écart entre deux longueurs d'onde, on peut utiliser un interféromètre de Fabry-Pérot. Il s'agit d'un dispositif dans lequel une lame d'air d'indice n ≈ 1 est enfermée entre deux miroirs semi-réfléchissants identiques, aux faces rigoureusement parallèles et traités pour augmenter leur pouvoir réflecteur. Il est représenté en figure 7. Les miroirs sont séparés d'une distance e. Ils ont les mêmes coefficients de réflexion en amplitude r et de transmission en amplitude t.
Tout d'abord, nous supposons que le dispositif est éclairé par un rayon incident, monochromatique, de longueur d'onde λ. Il arrive en O avec un angle d'incidence θ par rapport à la normale aux miroirs et possède une amplitude A_0. L'épaisseur des miroirs est négligeable et nous considérons que les rayons transmis et réfléchis font tous un angle θ par rapport à la normale aux miroirs.
On s'intéresse à l'interférence des rayons émergents à l'infini. Pour observer ces interférences, on les ramène à distance finie en plaçant une lentille convergente de distance focale image f^′ à la sortie de l'interféromètre.
Figure 7 - Interféromètre de Fabry - Pérot
Q35. On appelle δ la différence de marche entre les deux rayons consécutifs 1 et 2 dans la direction θ (figure 8). Montrer que δ = 2 ⋅ e ⋅ cosθ. En déduire l'expression de la différence de phase φ associée à δ.
Figure 8 - Différence de marche entre deux rayons consécutifs
Q36. Pour observer la figure d'interférence sur l'écran, comment faut-il placer l'écran par rapport à la lentille ? Quelle figure d'interférence observe-t-on alors ?
Quel autre dispositif permettrait-il d'avoir une figure d'interférence similaire?
Q37. Pour quelles valeurs de φ l'intensité lumineuse est-elle maximale ?
Nous considérons par la suite que l'expression de l'intensité totale est
I_(tot)(φ) = I_0 ⋅ 1/(1 + m ⋅ sin^2(φ/2))
où m = (4 ⋅ r^2)/(t^4) est le coefficient de finesse de la cavité et I_0 l'intensité du rayon incident d'amplitude A_0. La fonction I_(tot)(φ) est appelée fonction d'Airy.
Q38. Donner l'expression du coefficient de finesse m en fonction du coefficient de réflexion en énergie R.
La largeur totale à mi-hauteur de la fonction d'Airy est notée Δ_(φ1/2) et vaut : Δ_(φ1/2) = (2 ⋅ (1 − R))/(√R).
Q39. On a tracé, en figure 9, 3 courbes (a, b et c) de (I_(tot)(φ))/(I_0) pour 3 valeurs de R(0, 1; 0, 5; 0, 9). Associer à chacune des courbes a, b et c sa valeur R. Pour observer des franges lumineuses fines sur fond obscur, quelle valeur de R choisiriez-vous?
Figure 9 - Courbes de (I_(tot)(φ))/(I_0) pour trois valeurs de R
Q40. Justifier physiquement la dépendance de Δ_(φ1/2) avec R.
Q41. Montrer que l'ordre d'interférence p_0 de la frange centrale est, a priori, quelconque. Qu'est-ce que cela signifie pour son éclairement?
Q42. On considère les anneaux brillants autres que le disque central. Ces anneaux brillants sont de rayon ρ et on montre que la largeur à mi-hauteur Δ_(ρ1/2) de ces anneaux brillants a pour expression : Δ_(ρ1/2) = Δ_(φ1/2) ⋅ (λ ⋅ f^(′2))/(4 ⋅ π ⋅ e ⋅ ρ).
En déduire, en fonction de Δ_(ρ1/2), un critère simple qui permettrait de distinguer deux anneaux brillants voisins, de rayons ρ_1 et ρ_2, produits par deux longueurs d'onde proches.
Q43. En notant Δλ l'écart entre ces deux longueurs d'onde, ce critère se traduit par: Δλ ≥ (λ^2)/(2 ⋅ F ⋅ e ⋅ cosθ) avec F = (π ⋅ √R)/(1 − R) la finesse de l'interféromètre de Fabry-Pérot. En considérant un écart entre les miroirs e = 10 mm, un coefficient de réflexion en énergie R = 0, 9 et une longueur d'onde de 643, 8 nm, calculer l'écart minimal Δλ_(min) que le FabryPérot permet d'observer sous une incidence nulle. Ce dispositif est-il adapté à l'observation de l'effet Zeeman normal décrit dans le cas d'une lampe au cadmium soumise à un champ magnétique ?

Partie VI - Orbitales atomiques

Les observations expérimentales et leurs interprétations associées, étudiées dans les parties précédentes, ne représentent que quelques uns des faits expérimentaux qui se sont accumulés au début du XX ^e siècle sans pouvoir être interprétés globalement. Seule la mécanique quantique permit d'acquérir une vision unifiée et cohérente de l'atome.
Dans cette partie, nous allons étudier quelques apports de la physique quantique dans la conception intellectuelle de l'atome. Nous considérons l'électron de l'atome d'hydrogène placé dans le potentiel coulombien V(r⃗) = − 1/(4 ⋅ π ⋅ ε_0) ⋅ (e^2)/r. En régime stationnaire, la fonction d'onde φ(r⃗) associée vérifie l'équation de E. Schrödinger
− (ℏ^2)/(2 ⋅ m_e) ⋅ Δφ(r⃗) + V(r⃗) ⋅ φ(r⃗) = E ⋅ φ(r⃗)
où E est l'énergie d'un état stationnaire de l'électron et Δ l'opérateur Laplacien.
Q44. Par opposition avec les principes de la physique classique, comment est décrit le comportement des particules à l'échelle microscopique en physique quantique ? Une réponse en une phrase est attendue.
Q45. Que représente physiquement, pour l'électron de l'atome d'hydrogène, la norme au carré de la fonction d'onde associée |φ(r⃗)|^2 ?
Q46. Concernant l'orbitale 1s(n = 1, l = 0), la résolution de l'équation de Schrödinger conduit à
φ_(1s)(r⃗) = 1/(√(π ⋅ r_0^3)) ⋅ e^(− r/(r_0)) et |φ_(1s)(r)|^2 = 1/(π ⋅ (r_0)^3) ⋅ e^(− (2 ⋅ r)/(r_0))
avec r_0 le rayon de Bohr de la question Q18.
Nommer puis expliquer la propriété qui permet de justifier dans l'expression de |φ_(1s)(r)|^2 la provenance du coefficient 1/(π ⋅ (r_0)^3).
Q47. À partir de l'équation de Schrödinger, établir l'expression de l'énergie E_(1s), correspondant à l'énergie d'un état stationnaire de l'électron lié à l'orbitale 1s de l'atome d'hydrogène, en fonction de ε_0, h, m_e et e. Comparer son expression à celle de l'énergie E_0 du modèle de Bohr de la question Q20.
L'expression du laplacien d'une fonction scalaire f(r) en coordonnées sphériques est :
Δf(r) = 1/(r^2) ⋅ d/(dr)(r^2 ⋅ (df(r))/(dr))
Q48. La densité de probabilité de présence d'un électron sur une sphère de rayon r, encore appelée densité radiale de probabilité, est notée P(r). Dans le cas de l'orbitale 1s, montrer que la densité radiale de probabilité P(r) de trouver l'électron à une distance r du noyau est :
P(r) = 4 ⋅ (r^2)/((r_0)^3) ⋅ e^(− (2 ⋅ r)/(r_0)).
Q49. La courbe de la figure 10 représente P(r) pour l'électron 1s de l'atome d'hydrogène. On montre que la distance moyenne entre l'électron et le noyau est ⟨r⟩ = 3/2 ⋅ r_0.
En vous appuyant sur la figure 10, expliquer pourquoi cette distance est différente du maximum de P(r).
Figure 10 - Densité radiale de probabilité P(r)

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique CCINP PC 2019 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique CCINP PC 2019 ?

Le sujet balaie la mécanique du mouvement à force centrale, l'électromagnétisme, l'optique ondulatoire et la physique quantique, à travers l'histoire de la structure de l'atome : Rutherford, Bohr, Stern et Gerlach, effet Zeeman et orbitales atomiques.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans le sujet CCINP physique PC 2019 ?

Le jury relève une confusion entre force centrale et force conservative, des tentatives de passage en force vers le résultat attendu, une confusion entre une grandeur et sa variation, et une tendance à paraphraser les questions sans y répondre.

L'épreuve de physique CCINP PC 2019 est-elle difficile ?

Le rapport ne donne pas d'appréciation globale de difficulté permettant de trancher ; il indique que le sujet devait classer correctement les candidats, en mêlant des questions de cours très simples et des questions plus délicates.

Le sujet de physique CCINP PC 2019 est-il faisable en première année ?

Les parties I à III reposent essentiellement sur des notions de mécanique et de physique quantique de première année, tandis que les parties IV et V relèvent du programme de deuxième année en électromagnétisme et en optique.

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