CCINP Mathématiques PC 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Mathématiques CCINP PC : polynômes de Laguerre, équation différentielle et marche aléatoire sur un triangle

Le sujet comporte trois exercices totalement indépendants. Le premier étudie les polynômes de Laguerre, vecteurs propres unitaires d'un endomorphisme symétrique, et la méthode de quadrature de Gauss. Le second résout une équation différentielle linéaire du second ordre par recherche de solutions développables en série entière. Le troisième étudie une marche aléatoire sur un triangle.

1Exercice 1 : polynômes de Laguerre et quadrature de GaussÉtude des polynômes de Laguerre comme vecteurs propres unitaires d'un endomorphisme symétrique de Rn[X], produit scalaire, matrice de Vandermonde et méthode de quadrature de Gauss.
2Exercice 2 : étude d'une équation différentielleRésolution d'une équation différentielle linéaire du second ordre en recherchant d'abord les solutions développables en série entière.
3Exercice 3 : étude d'une marche aléatoireMarche aléatoire sur un triangle, système complet d'évènements, formule des probabilités totales et composées.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet était d'une longueur raisonnable, avec une progressivité de la difficulté des questions permettant aux candidats de traiter l'ensemble des questions.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,55 / 20 · écart-type 3,48 · 4 558 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,55/ 20
Écart-type: 3,48
Présents: 4 558
Coefficient: 14
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 29 avril 2019. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion entre dimension et cardinal · Matrice triangulaire supposée diagonalisable · Convergence normale d'une série entière mal énoncée

Le sujet visait à évaluer les candidats sur une vaste partie du programme et sur les six grandes compétences de la filière PC. Les correcteurs regrettent que l'objectif d'une épreuve de mathématiques ne se résume pas à évaluer les capacités calculatoires, alors que de nombreuses hypothèses de théorèmes ne sont pas vérifiées et que les raisonnements par récurrence sont souvent qualifiés de triviaux sans être rédigés.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre dimension et cardinalQ9
Un espace vectoriel réel de dimension 1 ne contient pas qu'un vecteur non nul mais une infinité de vecteurs ; certains candidats semblent avoir confondu cardinal et dimension.
2
Matrice triangulaire supposée diagonalisableQ7
Certains candidats pensent qu'une matrice triangulaire est diagonalisable.
3
Convergence normale d'une série entière mal énoncéeQ18
Plusieurs candidats ont indiqué qu'une série entière converge normalement sur son intervalle ouvert de convergence, ce qui est faux.
4
Produit de fonctions de classe C2 mal connuQ23
Une partie des candidats semble ignorer qu'un produit de fonctions de classe C2 est une fonction de classe C2.
5
Formule des probabilités totales non utiliséeQ29
Peu de candidats indiquent qu'un triplet d'évènements forme un système complet d'évènements et utilisent la formule des probabilités totales, certains recourant à tort à un raisonnement par récurrence.

Ce qui a été bien réussi

Les questions 6, 8, 11 et 13 de l'exercice 1 ont été bien traitées en général.
La question 28 sur la marche aléatoire a été très bien traitée en général.
La résolution de l'équation différentielle à la question 25 est souvent bien menée, même si la rédaction pourrait être améliorée.

Conseils du jury

Citer et vérifier soigneusement les hypothèses d'un théorème du cours avant de l'utiliser.
Rédiger complètement les raisonnements par récurrence plutôt que de les qualifier de triviaux.
Maîtriser le vocabulaire mathématique précis, en évitant les expressions sans sens rigoureux comme la dimension d'un polynôme.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Lundi 29 avril :

14 h - 18 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Polynôme de Laguerre et méthode de quadrature de Gauss

Dans tout l'exercice, on considère un entier

n \in ℕ^*

Partie I - Produit scalaire sur $ℝ_n[X]$

I. 1 - Généralités

Pour tout couple

(P, Q) \in ℝ_n[X]^2

, on note :

(P|Q) = \int_0^(+ \infty)P(t)Q(t)e^(- t) dt

Q1. Justifier que l'intégrale définissant

(P|Q)

est convergente.
Q2. Montrer que l'application (

\cdot | \cdot

) :

ℝ_n[X] \times ℝ_n[X] \to ℝ

est un produit scalaire.

I. 2 - Calcul d'un produit scalaire

Q3. Soit

k \in [ [1, n] ]

. À l'aide d'une intégration par parties, établir que :

\int_0^(+ \infty)t^k e^(- t) dt = k\int_0^(+ \infty)t^(k - 1)e^(- t) dt

Q4. Conclure que

(X^k|1) = k!

pour tout entier

k \in [ [0, n] ]

Partie II - Construction d'une base orthogonale

On considère l'application

α

définie sur

ℝ_n[X]

par :

\forallP \in ℝ_n[X], α(P) = XP^('') + (1 - X)P^'.

II. 1 - Propriétés de l'application $α$

Q5. Montrer que

α

est un endomorphisme de

ℝ_n[X]

.
Q6. Écrire la matrice de

α

dans la base

(1, X, \dots, X^n)

.
Q7. En déduire que

α

est diagonalisable et que

Sp(α) = { - k|k \in [ [0, n] ]}

II. 2 - Vecteurs propres de l'application $α$

On fixe un entier

k \in [ [0, n] ]

.
Q8. Quelle est la dimension de

ker(α + kId_(ℝ_n[X]))

?
Q9. En déduire qu'il existe un unique polynôme

P_k \in ℝ_n[X]

, de coefficient dominant égal à 1 , vérifiant

α(P_k) = - kP_k

.
Q10. Justifier que

P_k

est de degré

k

.
Q11. Déterminer

P_0

P_1

. Vérifier que

P_2 = X^2 - 4X + 2

.
II. 3 - Orthogonalité de la famille (

P_0, \dots, P_n

)

On fixe un couple

(P, Q) \in ℝ_n[X]^2

.
Q12. Montrer que

(α(P)|Q) = - \int_0^(+ \infty)tP^'(t)Q^'(t)e^(- t) dt

.
Q13. En déduire que

(α(P)|Q) = (P|α(Q))

.
Q14. Montrer que

(P_0, \dots, P_n)

est une base orthogonale de

ℝ_n[X]

. On pourra utiliser Q9 et Q13.

Partie III - Méthode de quadrature de Gauss

On admet que le polynôme

P_n

admet

n

racines réelles distinctes que l'on note

x_1, \dots, x_n

.
On souhaite montrer qu'il existe

(λ_1, \dots, λ_n) \in ℝ^n

tel que :

\forallP \in ℝ_(n - 1)[X], \int_0^(+ \infty)P(t)e^(- t) dt = \sum_(i = 1)^n λ_i P(x_i)

Q15. Montrer qu'un

n

-uplet

(λ_1, \dots, λ_n) \in ℝ^n

vérifie (*) si et seulement si

(1, 1, \dots, 1; x_1, x_2, \dots, x_n; ⋮, ⋮, ⋮; x_1^(n - 1), x_2^(n - 1), \dots, x_n^(n - 1))(λ_1; λ_2; ⋮; λ_n) = (0!; 1!; ⋮; (n - 1)!)

Q16. En déduire qu'il existe un unique

n

-uplet

(λ_1, \dots, λ_n) \in ℝ^n

vérifiant (*).
Q17. Déterminer un polynôme

P \in ℝ_(2n)[X]

tel que

\int_0^(+ \infty)P(t)e^(- t) dt \neq \sum_(i = 1)^n λ_i P(x_i)

EXERCICE 2

Étude d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle suivante :

x^2(1 - x)y^('') - x(1 + x)y^' + y = 2x^3.

Partie I - Solution particulière de l'équation homogène

Dans cette première partie, on souhaite déterminer les solutions développables en série entière de l'équation différentielle homogène associée à

(E)

x^2(1 - x)y^('') - x(1 + x)y^' + y = 0.

On fixe une suite de nombres réels

(a_n)_(n \in ℕ)

telle que la série entière

\suma_n x^n

ait un rayon de convergence

r > 0

. On définit la fonction

f : ] - r, r[ \to ℝ

par :

\forallx \in ] - r, r[, f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n

Q18. Justifier que la fonction

f

est de classe

𝒞^2

et que les fonctions

f^'

f^('')

sont développables en série entière. Exprimer avec la suite

(a_n)_(n \in ℕ)

les développements en série entière respectifs des fonctions

f^'

f^('')

en précisant leur rayon de convergence.
Q19. Montrer qu'il existe une suite

(b_n)_(n \geq 2)

de nombres réels non nuls telle que pour tout

x \in ] - r, r[

, on a :

x^2(1 - x)f^('')(x) - x(1 + x)f^'(x) + f(x) = a_0 + \sum_(n = 2)^(+ \infty)b_n(a_n - a_(n - 1))x^n

Q20. Montrer que

f

est solution de

(H)

sur l'intervalle

] - r, r[

si et seulement si

a_0 = 0

a_(n + 1) = a_n

pour tout

n \in ℕ^*

.
Q21. En déduire que si

f

est solution de

(H)

sur

] - r, r[

, alors

r \geq 1

et il existe

λ \in ℝ

tel que :

\forallx \in ] - 1, 1[, f(x) = (λx)/(1 - x)

Q22. Réciproquement, montrer que si

λ \in ℝ

, alors la fonction

g : ] - 1, 1[ \to ℝ, x \mapsto (λx)/((1 - x))

est une solution de

(H)

sur

] - 1, 1[

développable en série entière.

Partie II - Solutions de (E) sur ]0, 1[ ou ]1, + $\infty$ [

On désigne par

I

l'un des intervalles

]0, 1[

]1, + \infty[

. Soit

y : I \to ℝ

une fonction de classe

𝒞^2

. On définit la fonction

z : I \to ℝ

par la relation :

\forallx \in I, z(x) = (1/x - 1)y(x)

Q23. Justifier que

z

est de classe

𝒞^2

sur l'intervalle

I

, puis exprimer

z^'

z^('')

avec

y, y^'

y^('')

.
Q24. Montrer que

y

est solution de

(E)

sur

I

si et seulement si

z

est solution sur

I

de l'équation différentielle :

xz^('') + z^' = 2x

Q25. Montrer que si

z

est solution de

(E_1)

sur

I

, alors il existe

λ \in ℝ

tel que :

\forallx \in I, z^'(x) = λ/x + x

Q26. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (

E

) sur

I

Partie III - Solutions de (E) sur $]0, + \infty[$

Q27. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (

E

) sur

]0, + \infty[

EXERCICE 3 Étude d'une marche aléatoire

On considère trois points distincts du plan nommés

A, B

C

. Nous allons étudier le déplacement aléatoire d'un pion se déplaçant sur ces trois points.
À l'étape

n = 0

, on suppose que le pion se trouve sur le point

A

. Ensuite, le mouvement aléatoire du pion respecte les deux règles suivantes :

le mouvement du pion de l'étape $n$ à l'étape $n + 1$ ne dépend que de la position du pion à l'étape $n$ , plus précisément il ne dépend pas des positions occupées aux autres étapes précédentes;
pour passer de l'étape $n$ à l'étape $n + 1$ , on suppose que le pion a une chance sur deux de rester sur place, sinon il se déplace de manière équiprobable vers l'un des deux autres points.
Pour tout $n \in ℕ$ , on note $A_n$ l'évènement "le pion se trouve en $A$ à l'étape $n$ ", $B_n$ l'évènement "le pion se trouve en $B$ à l'étape $n$ " et $C_n$ l'évènement "le pion se trouve en $C$ à l'étape $n$ ". On note également :

\foralln \in ℕ, p_n = P(A_n), q_n = P(B_n), r_n = P(C_n) et V_n = (p_n; q_n; r_n),

et on considère la matrice :

M = 1/4(2, 1, 1; 1, 2, 1; 1, 1, 2) \in ℳ_3(ℝ)

Dans l'exercice, on pourra utiliser sans le démontrer le résultat suivant :

\foralln \in ℕ, M^n = 1/(3 \cdot 4^n)(4^n + 2, 4^n - 1, 4^n - 1; 4^n - 1, 4^n + 2, 4^n - 1; 4^n - 1, 4^n - 1, 4^n + 2).

On rappelle que si

E

F

sont deux évènements avec

P(F) > 0

, on définit la probabilité conditionnelle de

E

sachant

F

(notée

P(E|F)

P_F(E)

) par :

P(E|F) = P_F(E) = (P(E \cap F))/(P(F)).

Partie I - Calcul des probabilités

Q28. Calculer les nombres

p_n, q_n

r_n

pour

n = 0

n = 1

.
Q29. Démontrer que pour tout

n \in ℕ

, on a la relation

V_(n + 1) = MV_n

.
Q30. En déduire que

V_n = M^n V_0

, puis une expression de

p_n

q_n

r_n

pour tout

n \in ℕ

.
Q31. Déterminer les limites respectives des suites

(p_n)_(n \in ℕ), (q_n)_(n \in ℕ)

(r_n)_(n \in ℕ)

. Interpréter le résultat.

Partie II - Nombre moyen de passages en $A$

Pour

n \in ℕ^*

, on note

a_n

le nombre moyen de passages du pion en

A

entre l'étape 1 et l'étape

n

et on définit la variable aléatoire :

ééééX_n = {1, si, A_n est réalisé,; 0, si, A¯_n est réalisé.

Q32. Interpréter la variable aléatoire

X_1 + \dots + X_n

et le nombre

E(X_1 + \dots + X_n)

.
Q33. Calculer l'espérance de la variable aléatoire

X_n

pour

n \in ℕ^*

.
Q34. En déduire une expression de

a_n

Partie III - Temps d'attente avant le premier passage en $B$

On définit la variable aléatoire

T_B

de la façon suivante :

si le pion ne passe jamais en $B$ , on pose $T_B = 0$ ;
sinon, $T_B$ est le numéro de l'étape à laquelle le pion passe pour la première fois en $B$ .

Nous allons déterminer la loi de

T_B

et son espérance.
Q35. Calculer

P(T_B = 1)

P(T_B = 2)

.
Q36. Soit

n \in ℕ

. Exprimer

B¯_n

en fonction de

A_n

C_n

.
Q37. Établir que

P(B_3 \cap B¯_2 \cap B¯_1) = 1/4P(B¯_2 \cap B¯_1)

, puis en déduire que

P(B_3|B¯_2 \cap B¯_1) = 1/4

.
Dans la suite, on admet la relation :

\foralln \in ℕ^*, P(B_(n + 1)|⋂_(k = 1)^n B¯_k) = 1/4

Q38. Pour

k \in ℕ^*

, calculer

P(T_B = k)

. Que vaut

P(T_B = 0)

?
Q39. Justifier que la variable aléatoire

T_B

admet une espérance. Quelle est l'espérance de

T_B

FIN

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte mathématiques CCINP PC 2019 ?

Le sujet porte sur la réduction des endomorphismes symétriques et les polynômes de Laguerre, les séries entières et les équations différentielles, ainsi que sur les probabilités à travers une marche aléatoire.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à mathématiques CCINP PC 2019 ?

Une confusion entre dimension et cardinal, l'idée fausse qu'une matrice triangulaire est diagonalisable, une convergence normale mal énoncée pour les séries entières, et un usage insuffisant de la formule des probabilités totales.

Le sujet mathématiques CCINP PC 2019 est-il faisable en entier ?

Le rapport indique que sa longueur raisonnable et la progressivité de la difficulté des questions donnaient une réelle possibilité aux candidats de traiter l'ensemble des questions.

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Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Les calculatrices sont autorisées

EXERCICE 1

Polynôme de Laguerre et méthode de quadrature de Gauss

Partie I - Produit scalaire sur ℝ_n[X]

I. 1 - Généralités

I. 2 - Calcul d'un produit scalaire

Partie II - Construction d'une base orthogonale

II. 1 - Propriétés de l'application α

II. 2 - Vecteurs propres de l'application α

Partie III - Méthode de quadrature de Gauss

EXERCICE 2

Étude d'une équation différentielle

Partie I - Solution particulière de l'équation homogène

Partie II - Solutions de (E) sur ]0, 1[ ou ]1, + ∞ [

Partie III - Solutions de (E) sur ]0, + ∞[

EXERCICE 3 Étude d'une marche aléatoire

Partie I - Calcul des probabilités

Partie II - Nombre moyen de passages en A

Partie III - Temps d'attente avant le premier passage en B

FIN

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte mathématiques CCINP PC 2019 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à mathématiques CCINP PC 2019 ?

Le sujet mathématiques CCINP PC 2019 est-il faisable en entier ?

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Partie I - Produit scalaire sur $ℝ_n[X]$

II. 1 - Propriétés de l'application $α$

II. 2 - Vecteurs propres de l'application $α$

Partie II - Solutions de (E) sur ]0, 1[ ou ]1, + $\infty$ [

Partie III - Solutions de (E) sur $]0, + \infty[$

Partie II - Nombre moyen de passages en $A$

Partie III - Temps d'attente avant le premier passage en $B$