CCINP Mathématiques PC 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Probabilités et automate à lettres : temps d'attente d'une séquence, séries entières et algèbre linéaire

Le sujet étudie un automate qui génère successivement les lettres C ou P et s'intéresse au temps d'attente Y d'une séquence prédéfinie, via sa série génératrice. Il comporte cinq parties largement indépendantes : une étude probabiliste simple, des résultats préliminaires sur les séries entières, un cas intermédiaire utilisant une récurrence linéaire d'ordre 2, des résultats d'algèbre linéaire, puis un cas plus complet combinant ces outils.

1Partie I : étude d'un cas simpleReconnaître la loi géométrique de Y et calculer son espérance et sa variance via sa série génératrice.
2Partie II : séries entièresÉtablir des résultats préliminaires sur le rayon de convergence et le produit de Cauchy de séries entières.
3Partie III : étude d'un cas intermédiaireObtenir une formule de récurrence linéaire d'ordre 2 puis en déduire les propriétés de Y à l'aide de probabilités totales.
4Partie IV : algèbre linéaireÉtablir des résultats sur valeurs propres, déterminant et polynôme caractéristique, réutilisés en partie V.
5Partie V : étude d'un dernier casTraiter un cas plus complet en combinant les résultats de probabilités, de séries entières et d'algèbre linéaire des parties précédentes.

Difficile. Le rapport indique que l'épreuve s'est avérée très discriminante, avec de graves lacunes persistantes chez de nombreux candidats malgré une meilleure gestion du temps.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Rayon de convergence mal justifié · Système complet d'évènements mal défini · Manipulation défaillante de la valeur absolue

Le jury note que l'épreuve a été très discriminante : les candidats les plus solides ont réussi pleinement les deux tiers du problème, tandis que les autres se sont limités aux questions de manipulation élémentaire. La présentation écrite et la gestion du temps se sont améliorées, mais des lacunes de fond subsistent sur le socle des connaissances.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Rayon de convergence mal justifiéQ2, Q5
La règle de d'Alembert pour les séries entières est souvent appliquée sans précaution, notamment sur le cas particulier x=0, et présentée à tort comme une condition nécessaire et suffisante de convergence.
« affirment que ce critère donne une condition nécessaire et suffisante de convergence de la série entière. »
2
Système complet d'évènements mal définiQ13, Q14, Q40
La définition précise d'un système complet d'évènements est rarement correcte et la formule des probabilités totales est sous-utilisée malgré son intérêt suggéré par l'énoncé.
« La définition d'un système complet d'évènements est très rarement donnée correctement. »
3
Manipulation défaillante de la valeur absolueQ18
La fonction valeur absolue est traitée tantôt comme croissante, tantôt comme décroissante selon les besoins du calcul, ce qui conduit à des inégalités mal justifiées.
« La fonction valeur absolue est assimilée à une fonction croissante ou décroissante sur R suivant les besoins. »
4
Calcul de déterminant inutilement longQ24, Q28, Q33
Plusieurs questions d'algèbre linéaire pouvaient s'appuyer sur un résultat déjà établi, mais la majorité des candidats refait un calcul direct et long de déterminant.
« Que de perte de temps sur cette question. »
5
Théorème de d'Alembert-Gauss mal exploitéQ36
Le théorème est parfois cité pour dire qu'un polynôme complexe est scindé, mais l'argument sur la multiplicité de la racine 0 est rarement mobilisé.

Ce qui a été bien réussi

La présentation écrite est jugée très bonne en règle générale.
Les copies traitant sérieusement moins de 15 questions sont devenues quasiment inexistantes et les candidats traitant la quasi-totalité du sujet sont moins rares.
Les questions Q6, Q7, Q16, Q22, Q25, Q26, Q30 à Q32, Q38, Q39 et Q41 à Q44 sont signalées comme bien réussies.

Conseils du jury

Prendre du recul avant de se lancer dans un calcul, car le résultat peut souvent s'obtenir avec beaucoup plus de concision.
Clarifier les liens logiques entre les différentes parties d'un même raisonnement plutôt que d'empiler des calculs.
Réviser précisément les définitions moins courantes du cours, comme celle du système complet d'évènements ou du vecteur propre.
Éviter de présenter un résultat comme acquis sans justification mathématique convaincante, une attitude pénalisée par les correcteurs.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES

Mardi 2 mai : 14 h - 18 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

L'épreuve est constituée d'un problème en cinq parties largement indépendantes.

Lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, il est demandé au candidat d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

PROBLÈME

Soit

p \in ]0, 1[

. On pose

q = 1 - p

.
On considère un automate qui génère successivement les lettres C ou P jusqu'à obtenir une certaine séquence prédéfinie.
On suppose que pour tout

n \in ℕ^*

, l'automate génère la

n

-ième lettre à l'instant

n

de façon indépendante de toutes les générations précédentes. On suppose également qu'à chaque génération, les lettres P et C ont des probabilités

p

q

(respectivement) d'être générées. Suivant les parties considérées, on définit différents niveaux que l'automate peut atteindre.
On considère dans tous les cas que l'automate est initialement au niveau 0 . On se propose alors d'étudier essentiellement l'existence de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire correspondant au temps d'attente de la séquence prédéfinie à travers sa série génératrice.

Pour cette étude probabiliste, on mobilise diverses propriétés analytiques (surtout sur les séries entières) et quelques propriétés d'algèbre linéaire.

Dans les parties

I

, II et

V

, on examine le temps d'attente pour les séquences C puis CC , puis CPC et CCPPC. La partie II est indépendante de la partie

I

et traite de questions préliminaires sur les séries entières qui seront investies dans les parties III et V. La partie IV est indépendante des parties précédentes et traite les questions préliminaires d'algèbre linéaire qui servent exclusivement dans la partie

V

. La partie III ne dépend de la partie

I

que par la question Q4 et de la partie II que par la question Q10. La partie V utilise seulement la question Q11 de la partie II et la partie IV.

Pour

n \in ℕ^*

, on note

P_n

l'évènement

≪

l'automate génère la lettre P à l'instant

n≫

C_n

l'évènement

≪

l'automate génère la lettre C à l'instant

n≫

Partie I - Étude d'un cas simple

Dans cette partie, on dit que l'automate passe du niveau 0 au niveau 1 dès qu'il génère la lettre C . Si, en revanche, il génère la lettre P , alors il reste au niveau 0 . L'expérience s'arrête dès que l'automate a atteint le niveau 1 . On résume l'expérience par la figure 1 suivante :

Figure 1

On note

Y

l'instant où, pour la première fois, l'automate atteint le niveau 1. On admet que

Y

est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé

(Ω, 𝒜, P)

telle que

Y(Ω) \subset ℕ^*

. On note

G_Y

la série génératrice de

Y

R_Y

son rayon de convergence.
On sait alors que

R_Y ⩾ 1

et que:

\forallt \in ] - R_Y, R_Y[, G_Y(t) = E(t^Y) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)P(Y = n)t^n

Q1. Reconnaître la loi de

Y

et préciser en particulier

P(Y = n)

pour

n \in ℕ^*

.
Q2. Montrer que

R_Y = 1/p > 1

et que:

\forallt \in ] - 1/p, 1/p[, G_Y(t) = (qt)/(1 - pt)

.
Q3. Montrer que

G_Y

est 2 fois dérivable en 1 et que

G_Y^'(1) = 1/q

G_Y^('')(1) = (2p)/(q^2)

.
Q4. Donner les valeurs de

E(Y)

et de

V(Y)

Partie II - Séries entières

Soit

z \in ℂ

a \in ℂ^*

. Pour

n \in ℕ

, on pose

u_n(a) = - 1/(a^(n + 1))

.
Q5. Montrer que

\sumu_n(a)z^n

est une série entière de rayon de convergence égal à

|a|

.
Q6. Montrer que si

|z| < |a|

, on a :

1/(z - a) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)u_n(a)z^n

.
Soit

a, b

λ

des nombres complexes non nuls. Dans les questions

Q7

Q10

, on suppose que

|a| < |b|

. On définit alors, pour tout

n \in ℕ, v_n = \sum_(k = 0)^n u_k(a)u_(n - k)(b)

et pour tout réel

t

tel que

|t| < |a|, f(t) = (λt^2)/((t - a)(t - b))

Q7. Montrer que l'on a :

v_n = 1/(ab^(n + 1))\sum_(k = 0)^n(b/a)^k = 1/(b - a)(1/(a^(n + 1)) - 1/(b^(n + 1))).

Q8. Trouver un équivalent simple de

v_n

quand

n

tend vers

+ \infty

.
Q9. En déduire que le rayon de convergence de

\sumv_n z^n

est égal à

|a|

et que si

|z| < |a|

, alors

1/((z - a)(z - b)) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)v_n z^n.

Q10. Justifier que

f

est développable en série entière au voisinage de 0 et que la série entière qui lui est associée possède un rayon de convergence

R_f

tel que

R_f = |a|

Soit

a, b, c

λ

des nombres complexes non nuls. On suppose que :

|a| ⩽ |b| ⩽ |c|

.
Pour tout réel

t

tel que

|t| < |a|

, on pose :

g(t) = (λt^3)/((t - a)(t - b)(t - c))

.
Q11. Justifier que

g

est développable en série entière au voisinage de 0 et que la série entière qui lui est associée possède un rayon de convergence

R_g

tel que

R_g ⩾ |a|

Partie III - Étude d'un cas intermédiaire

Dans cette partie, on suppose que l'automate passe du niveau 0 au niveau 1 en générant la lettre C . De même, l'automate passe du niveau 1 au niveau 2 en générant la lettre C . Si, en revanche, il génère la lettre P , alors qu'il est au niveau 0 ou 1 , il retombe au niveau 0 . L'expérience s'arrête dès que l'automate a atteint le niveau 2 , c'est-à-dire dès que l'automate aura généré la séquence CC . On résume l'expérience par la figure 2 suivante :

Figure 2

On note

Z

l'instant où, pour la première fois, l'automate atteint le niveau 2. Ainsi

Z

est le temps d'attente de la séquence CC.

On admet que

Z

est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (

Ω, 𝒜, P

) telle que

Z(Ω) \subset ℕ^*

. Pour tout

n \in ℕ^*

, on note

p_n = P(Z = n)

. On note

G_Z

la série génératrice de

Z

R_Z

son rayon de convergence. On rappelle que

R_Z ⩾ 1

Q12. Calculer

p_1, p_2

p_3

.
Q13. Justifier que (

P_1, C_1 \cap P_2, C_1 \cap C_2

) est un système complet d'évènements.
Q14. En déduire que pour tout

n ⩾ 3

, on a :

p_n = pp_(n - 1) + pqp_(n - 2)

.
Q15. En déduire que pour tout

t \in [ - 1, 1]

, on a :

G_Z(t)(1 - pt - pqt^2) = q^2 t^2

.
Pour

t \in ℝ

, on note

Q(t) = 1 - pt - pqt^2, Δ = p^2 + 4pq > 0, a = (\sqrtΔ - p)/(2pq)

b = (- \sqrtΔ - p)/(2pq)

.
Q16. Montrer que

Q(- 1) = 1 + p^2 > 0

et que

Q(1) = q^2 > 0

.
Q17. Montrer que, pour tout

t \in ℝ, Q(t) = - pq(t - a)(t - b)

.
Q18. Montrer que

1 < |a| < |b|

.
Pour tout réel

t

tel que

|t| < |a|

, on définit

f(t) = (q^2 t^2)/(1 - pt - pqt^2)

.
Q19. Montrer à l'aide de la question Q10 que

f

est développable en série entière au voisinage de 0 , que sa série entière associée est

G_Z

et que

R_Z = |a|

Q20. Montrer que, pour tout

t \in ] - |a|, |a|[

, on a :

G_Z(t) = (q^2 t^2)/(1 - pt - pqt^2)

.
Q21. Montrer que

Z

admet une espérance et une variance puis que

E(Z) = q^(- 1) + q^(- 2)

.
Q22. Vérifier, à l'aide des questions Q4 et Q21, que

E(Z) ⩾ E(Y) + 1

où

Y

est la variable aléatoire définie en partie

I

Q23. Pouvait-on prévoir ce résultat ?

Partie IV - Algèbre linéaire

On considère les matrices

I_4 = (1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1), A = (p, 0, p, 0; q, q, 0, 0; 0, p, 0, 0; 0, 0, q, 0)

L = (1; 0; 0; 0)

.
Soit

t \in ℝ

. On note

χ_A

le polynôme caractéristique de

A

, si bien que

χ_A(t)

est le déterminant de

A - tI_4

Q24. Montrer que 0 est valeur propre de

A

et donner un vecteur propre de

A

associé à la valeur propre 0.

Q25. Trouver les réels

α, β

γ

tels que, pour tout

t \in ℝ, χ_A(t) = t^4 - t^3 + αt^2 + βt + γ

.
On dit que la matrice colonne

S = (S_0; S_1; S_2; S_3)

est solution de

(E_t)

lorsque

S = tAS + L

.
Q26. Montrer que, pour tout

t \in ℝ, S

est solution de

(E_t)

si et seulement si

(I_4 - tA)S = L

.
Pour tout

t \in ℝ

, on note

ψ_A(t)

le déterminant de la matrice

I_4 - tA

.
Q27. Montrer que pour tout

t \in ℝ^*, ψ_A(t) = t^4 χ_A(1/t)

.
Q28. Vérifier que pour tout

t \in ℝ, ψ_A(t) = - p^2 qt^3 + pqt^2 - t + 1

.
Q29. En déduire que, pour

t

au voisinage de 0 , l'équation

(E_t)

possède une unique solution

S

.
Pour tout

k \in [ [1, 4] ]

, on note

U_k

k

-ième colonne de

I_4 - tA

. On note

ℬ

la base canonique de

ℳ_(4, 1)(ℂ)

et on suppose que la matrice colonne

S = (S_0; S_1; S_2; S_3)

est solution de

(E_t)

Q30. Vérifier que

L = U_1 S_0 + U_2 S_1 + U_3 S_2 + U_4 S_3

.
Q31. En déduire que

det_ℬ(U_1, U_2, U_3, L) = S_3 \cdot det_ℬ(U_1, U_2, U_3, U_4) = S_3 \cdot ψ_A(t)

.
Q32. Montrer que, pour

t

au voisinage de 0 , on a l'égalité :

S_3 = (pq^2 t^3)/(- p^2 qt^3 + pqt^2 - t + 1)

On se propose de déterminer certaines propriétés des valeurs propres de

A

. On note

λ

une valeur propre complexe non nulle de

A

Q33. Montrer que

λ

est valeur propre de la matrice transposée de

A

Q34. En déduire qu'il existe trois complexes non tous nuls

x_1

x_2

x_3

tels que:

(ℋ){px_1 + qx_2, = λx_1; qx_2 + px_3, = λx_2; px_1, = λx_3.

On considère désormais trois complexes non tous nuls

x_1, x_2

x_3

qui vérifient le système (

ℋ

). On note alors

M = max(|x_1|, |x_2|, |x_3|)

et on remarque que l'on peut toujours se placer dans l'un des trois cas suivants :
i)

M = |x_3|

;
ii)

M = |x_2|

avec

M > |x_3|

;
iii)

M = |x_1|avecM > |x_2|

M > |x_3|

Q35. Montrer, en distinguant ces trois cas, que

|λ| < 1

.
Q36. Montrer l'existence de nombres complexes

λ_1, λ_2

λ_3

tels que:

0 < |λ_1| ⩽ |λ_2| ⩽ |λ_3| < 1 et \forallt \in ℝ, χ_A(t) = t(t - λ_1)(t - λ_2)(t - λ_3).

Q37. Montrer l'existence de nombres complexes

μ, a, b

c

tels que :

μ \neq 0, 1 < |a| ⩽ |b| ⩽ |c| et \forallt \in ℝ, ψ_A(t) = μ(t - a)(t - b)(t - c).

Partie V - Étude d'un dernier cas

Dans cette partie, on suppose que :

l'automate passe du niveau 0 au niveau 1 en générant la lettre C ;
l'automate passe du niveau 1 au niveau 2 en générant la lettre P ;
l'automate passe du niveau 2 au niveau 3 en générant la lettre C ;
si l'automate est au niveau 0 ou 2 et qu'il génère la lettre P , alors il retombe au niveau 0 ;
si l'automate est au niveau 1 et qu'il génère la lettre C , alors il reste au niveau 1 .

L'expérience s'arrête dès que l'automate a atteint le niveau 3 , c'est-à-dire dès que l'automate aura généré la séquence CPC .

Q38. Reproduire, sur votre copie, la figure 3 suivante en la complétant pour résumer l'expérience de cette partie

V

Figure 3

Pour

i \in [ [0, 3] ]

n \in ℕ^*

, on note

E_(n, i)

l'événement

≪

après avoir généré la

n

-ième lettre, l'automate se trouve au niveau

i≫

E_(0, i)

l'événement

≪

l'automate se trouve initialement au niveau

i≫

. On pose

p_(n, i) = P(E_(n, i))

et pour tout

t \in [ - 1, 1]

, on définit

S_i(t) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)p_(n, i)t^n

On note

T

l'instant où, pour la première fois, l'automate atteint le niveau 3 .
On admet que

T

est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (

Ω, 𝒜, P

) telle que

T(Ω) \subset ℕ^*

.
On remarque que la série génératrice de

T

(notée

G_T

) est alors

S_3

et on note

R_T

son rayon de convergence. On rappelle que

R_T ⩾ 1

Q39. Déterminer

p_(0, 0), p_(0, 1), p_(0, 2)

p_(0, 3)

.
Q40. Montrer que pour tout

n \in ℕ^*

, on a :

{p_(n, 0) = p ⋅ p_(n − 1, 0) + p ⋅ p_(n − 1, 2); p_(n, 1) = q ⋅ p_(n − 1, 0) + q ⋅ p_(n − 1, 1); p_(n, 2) = p ⋅ p_(n − 1, 1); p_(n, 3) = q ⋅ p_(n − 1, 2)

.
Soit

t \in [ - 1, 1]

. On note

S(t)

la matrice colonne suivante :

S(t) = (S_0(t); S_1(t); S_2(t); S_3(t))

.
Q41. Montrer que

{S_0(t) = tp ⋅ S_0(t) + tp ⋅ S_2(t) + 1; S_1(t) = tq ⋅ S_0(t) + tq ⋅ S_1(t); S_2(t) = tp ⋅ S_1(t); S_3(t) = tq ⋅ S_2(t)

.
Q42. Montrer que la matrice colonne

S(t)

est solution de l'équation

(E_t)

définie en partie

IV

.
Q43. Montrer que

\forallt \in ] - R_T, R_T[, G_T(t) = (pq^2 t^3)/(- p^2 qt^3 + pqt^2 - t + 1)

et montrer que

R_T > 1

.
Q44. Montrer que

T

admet une espérance et une variance.
Q45. Donner l'expression de

E(T)

en fonction de

q

seulement.
Q46. Proposer une méthode permettant de déterminer le temps d'attente moyen de la première réalisation par l'automate de la séquence CCPPC : on précisera notamment le schéma des six niveaux correspondants et la matrice analogue à

A

que l'on peut faire intervenir dans ce problème.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PC 2017 ?

Le sujet mêle probabilités (loi géométrique, système complet d'évènements), séries entières (rayon de convergence, produit de Cauchy) et algèbre linéaire (valeurs propres, déterminant, polynôme caractéristique) autour de l'étude d'un automate générant des lettres.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet CCINP maths PC 2017 ?

Le jury relève une maîtrise insuffisante des définitions de cours, des calculs menés sans recul alors qu'un raisonnement plus court existait, et des confusions récurrentes sur la valeur absolue et le système complet d'évènements.

Le sujet de maths CCINP PC 2017 est-il difficile ?

Le rapport le qualifie de très discriminant : les meilleurs candidats ont réussi les deux tiers du problème, tandis que les autres se sont limités aux questions les plus élémentaires.

Le sujet CCINP maths PC 2017 est-il indépendant entre ses parties ?

Oui, le problème comporte cinq parties largement indépendantes, ce qui permet de progresser même sans avoir résolu toutes les questions ouvertes précédentes.

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